Wyk
ł
ad 7
MECHANIKA TEORETYCZNA
Studia stacjonarne I stopnia – rok akademicki 2013/14
1
Wyk
ł
ad 7
Autor:
Henryk Laskowski
Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciąg
ł
ych
Instytut Mechaniki Budowli
Wydzia
ł
Inżynierii Lądowej
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Ruch względny
Część 1
Inercjalne i nieinercjalne uk
ł
ady odniesienia
W uk
ł
adach inercjalnych nie pojawiają się pozorne si
ł
y bezw
ł
adności
Uk
ł
ad inercjalny
to uk
ł
ad, względem którego cia
ł
o nie poddane dzia
ł
aniu innych cia
ł
porusza się
ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku. W uk
ł
adach
inercjalnych jest spe
ł
niona II zasada dynamiki Newtona
Uk
ł
ad inercjalny lokalny (ograniczony w przestrzeni)
to uk
ł
ad, który wraz z cia
ł
em porusza się w polu grawitacyjnym - taki uk
ł
ad, mimo
3
W rzeczywistości uk
ł
ady inercjalne nie istnieją. W pewnych zagadnieniach
można jedynie przyjmować, że ze względu na skalę zagadnienia dany uk
ł
ad
można uznać za inercjalny
to uk
ł
ad, który wraz z cia
ł
em porusza się w polu grawitacyjnym - taki uk
ł
ad, mimo
że przyspiesza, wewnątrz pozostaje inercjalny ponieważ nie dzia
ł
ają
w
nim pozorne si
ł
y bezw
ł
adności
Nieinercjalne uk
ł
ady odniesienia
to uk
ł
ady, w których pojawiają się pozorne si
ł
y bezw
ł
adności
Ziemia nie jest uk
ł
adem inercjalnym
- wykonuje ruch obrotowy wokó
ł
w
ł
asnej osi
- porusza się po eliptycznej orbicie wokó
ł
S
ł
ońca
W uk
ł
adach nieinercjalnych nie jest spe
ł
niona II zasada dynamiki Newtona
4
- porusza się po eliptycznej orbicie wokó
ł
S
ł
ońca
Istnieją zjawiska na Ziemi, które można wyjaśnić
tylko wtedy, gdy uwzględni się, że Ziemia nie jest
inercjalnym uk
ł
adem odniesienia:
- powstawanie tajfunów,
- odchylenie od pionu toru spadających cia
ł
,
- odchylenie p
ł
aszczyzny ruchu wahad
ł
a Foucaulta.
x
z
O
y
x
e
y
e
z
e
Ruchomy uk
ł
ad odniesienia (w tym też
Ruch względem sta
ł
ego uk
ł
adu odniesienia
nazywamy ruchem bezwzględnym
Inercjalny uk
ł
ad odniesienia
Uk
ł
ad, w odniesieniu do którego przyjęto
za
ł
ożenie, że jest nieruchomy
5
Ruch uk
ł
adu ruchomego względem uk
ł
adu nieruchomego nazywamy
ruchem unoszenia
Ruchomy uk
ł
ad odniesienia (w tym też
nieinercjalny)
Uk
ł
ad poruszający się dowolnym ruchem
Ruch względem ruchomego uk
ł
adu odniesienia
nazywamy ruchem względnym
Część 2
Opis ruchu w uk
ł
adach nieinercjalnych
2.1. Równania ruchu w uk
ł
adzie
sta
ł
ym i zmiennym
Uk
ł
ad Oxyz - sta
ł
y uk
ł
ad odniesienia
o bazie
x
y
z
e ,e ,e
( )
r
r t
=
Opis ruchu
w uk
ł
adzie sta
ł
ym
z
r
A
r
ρ
ζ
A
M
7
Uk
ł
ad O
ξηζ
- ruchomy uk
ł
ad odniesienia
o bazie
ξ
η
ζ
e ,e ,e
( )
( ) ( )
A
r t
r t
ρ t
=
+
( )
ρ
ρ t
=
Opis ruchu
w uk
ł
adzie ruchomym
x
y
O
ξ
η
x
z
O
y
x
e
y
e
z
e
ζ
ζ
e
x
z
O
y
x
e
y
e
z
e
ζ
ζ
e
x
z
O
y
x
e
y
e
z
e
ζ
ζ
e
Obrót
8
ξ
A
η
ξ
e
η
e
ζ
e
ξ
A
η
ξ
e
η
e
ζ
e
ξ
A
η
ξ
e
η
e
ζ
e
Obrót
Ruch unoszenia
ruch uk
ł
adu ruchomego względem uk
ł
adu
nieruchomego
Ruch bezwzględny
ruch względem sta
ł
ego uk
ł
adu odniesienia
Ruch względny
ruch względem ruchomego uk
ł
adu odniesienia
z
O
y
x
z
O
y
( )
r t
( )
ρ t
A
ζ
( )
A
r t
ζ
9
x
A
ξ
η
( )
A
r t
ξ
A
η
ξ
e
η
e
ζ
e
Obrót
Ruch unoszenia
jest z
ł
ożeniem translacji i obrotu
uk
ł
adu ruchomego względem
uk
ł
adu nieruchomego
x
z
O
y
x
e
y
e
z
e
ζ
ζ
e
ξ
x
η
y
ζ
z
f
f
f
f
f
f
=
=
=
ξ
x
η
y
ζ
z
e
e
e
e
e
e
=
=
=
f
Translacja uk
ł
adu ruchomego względem
uk
ł
adu nieruchomego
Równość odpowiednich wersorów
Równość odpowiednich wspó
ł
rzędnych
dowolnego wektora
10
ξ
A
η
ξ
e
η
e
ζ
e
ξ
x
η
y
ζ
z
f
f
f
f
f
f
=
=
=
ξ ξ
η η
ζ
ζ
f
f e
f e
f e
=
+
+
&
&
&
&
x x
y
y
z z
f
f e
f e
f e
=
+
+
&
&
&
&
ξ ξ
η η
ζ
ζ
f
f e
f e
f e
=
+
+
x x
y
y
z z
f
f e
f e
f e
=
+
+
Równość pochodnych wektora oraz ich
odpowiednich wspó
ł
rzędnych wyznaczonych
w uk
ł
adzie sta
ł
ym i zmiennym
ξ
x
η
y
ζ
z
f
f
f
f
f
f
=
=
=
&
&
&
&
&
&
x
z
O
y
x
e
y
e
z
e
ζ
ζ
e
Obrót
Obrót uk
ł
adu ruchomego względem uk
ł
adu
nieruchomego
Wersory bazy uk
ł
adu ruchomego
x
y
z
e ,e ,e
Wersory bazy uk
ł
adu nieruchomego
nie ulegają zmianie (nie zależą od czasu)
f
11
ξ
A
η
ξ
e
η
e
ζ
e
( )
( )
( )
ξ
ξ
η
η
ζ
ζ
e
e t
e
e t
e
e
t
=
=
=
Wersory bazy uk
ł
adu ruchomego
są funkcjami czasu
x x
y
y
z z
f
f e
f e
f e
=
+
+
&
&
&
&
x x
y
y
z z
f
f e
f e
f e
=
+
+
ξ ξ
η η
ζ
ζ
f
f e
f e
f e
=
+
+
Zachodzi równość pochodnych wektora wyrażonego w bazie
uk
ł
adu nieruchomego i ruchomego lecz nie zachodzi równość
odpowiednich wspó
ł
rzędnych tych pochodnych
ζ
ζ
η
η
ξ
ξ
ζ
ζ
η
η
ξ
ξ
e
f
e
f
e
f
e
f
e
f
e
f
f
&
&
&
&
&
&
&
+
+
+
+
+
=
ω, r , r&
W ruchu po okręgu wektory związane są zależnością
r
ω r
= ×
&
ξ
ξ
η
η
ζ
ζ
e
ω e
e
ω e
e
ω e
= ×
= ×
= ×
&
&
&
ξ ξ
η η
ζ
ζ
f
f e
f e
f e
=
+
+
+
&
&
&
&
ζ
ζ
e
W ruchu obrotowym uk
ł
adu ruchomego końce
wersorów poruszają się po okręgach, więc:
ω
12
(
)
ξ ξ
η η
ζ
ζ
ξ ξ
η η
ζ
ζ
f
f e
f e
f e
ω
f e
f e
f e
=
+
+
+ ×
+
+
&
&
&
&
(
)
(
)
(
)
ξ ξ
η η
ζ
ζ
ξ
ξ
η
η
ζ
ζ
f
f e
f e
f e
f
ω e
f
ω e
f
ω e
=
+
+
+
×
+
×
+
×
w
f
f
ω
f
=
+ ×
&
&
ξ
η
O
ξ
e
η
e
w
ξ ξ
η η
ζ
ζ
f
f e
f e
f e
=
+
+
&
&
&
&
- pochodna wektora w uk
ł
adzie ruchomym
- wektor wodzący początku uk
ł
adu ruchomego
( )
ρ t
( )
( ) ( )
A
r t
r t
ρ t
=
+
( )
r t
( )
A
r t
2.2. Prędkość w ruchu względnym
- wektor wodzący w uk
ł
adzie nieruchomym
r
r
ρ
ω ρ
υ
υ
υ
= +
+ × = + =
&
&
&
υ
- wektor wodzący w uk
ł
adzie ruchomym
- prędkość bezwzględna
13
- prędkość unoszenia
u
A
υ
r
ω ρ
= + ×
&
A
w
w
u
b
r
r
ρ
ω ρ
υ
υ
υ
= +
+ × = + =
&
&
&
b
υ
w
υ
ρ
=
&
- prędkość bezwzględna
- prędkość względna
2.3. Przyspieszenie w ruchu względnym
w
w
a
ρ
=
&&
- przyspieszenie względne
A
w
w
u
b
r
r
ρ
ω ρ
υ
υ
υ
= +
+ × = + =
&
&
&
(
)
A
w
w
w
w
c
u
b
r
r
ρ
ω ρ
ω ρ
ω
ρ
ω ρ
a
a
a
a
= +
+ ×
+ × + ×
+ ×
=
+ +
=
&&
&&
&&
&
&
&
14
- przyspieszenie unoszenia
w
w
a
ρ
=
- przyspieszenie Coriolisa
2
c
w
a
ω ρ
=
×
&
(
)
u
A
a
r
ω ρ
ω
ω ρ
= + × + × ×
&&
&
2.4. Interpretacja sk
ł
adowych przyspieszenia
w uk
ł
adzie względnym
Zasady Newtona nie są prawdziwe w nieinercjalnych uk
ł
adach odniesienia
w
F
a
m
≠
w
b
u
c
a
a
a
a
= − −
w
u
c
ma
F
F
F
= +
+
15
Pozorne si
ł
y bezw
ł
adności rzeczywiście dzia
ł
ają na cia
ł
a materialne
w uk
ł
adach nieinercjalnych. Si
ł
y te można mierzyć za pomocą dynamometrów.
u
u
F
ma
= −
c
c
F
ma
= −
b
F
ma
=
- si
ł
a bezw
ł
adności Coriolisa
- si
ł
a rzeczywista
- si
ł
a bezw
ł
adności unoszenia
Część 3
Dzia
ł
ania na wektorach wyznaczonych
w różnych uk
ł
adach wspó
ł
rzędnych
przyk
ł
ad obliczeniowy – ilustracja ruchu względnego
3.1. Związki pomiędzy wspó
ł
rzędnymi wektorów w uk
ł
adzie
sta
ł
ym i zmiennym
ξ
η
ζ
e , e , e
mnożenie kolejno przez
ξ
ξ
η η
ζ
ζ
f
f e
f e
f e
=
+
+
x x
y
y
z z
f
f e
f e
f e
=
+
+
x x
y
y
z z
ξ
ξ
η η
ζ
ζ
f e
f e
f e
f e
f e
f e
+
+
=
+
+
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
(
) (
) (
)
( )
( )
( )
ξ
x
x
ξ
y
y
ξ
z
z
ξ
x
y
z
f
f
e e
f
e
e
f
e e
f cos x,ξ
f cos y,ξ
f cos z,ξ
f
f
e e
f
e
e
f
e e
f cos x,η
f cos y,η
f cos z,η
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
+
17
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
(
) (
) (
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
x
ξ
x
ξ
η
x
η
ζ
x
ζ
ξ
η
ζ
y
ξ
y
ξ
η
y
η
ζ
y
ζ
ξ
η
ζ
z
ξ
z
ξ
η
z
η
ζ
z
ζ
ξ
η
ζ
f
f
e e
f
e e
f
e e
f cos x,ξ
f cos x,η
f cos x,ζ
f
f
e
e
f
e
e
f
e
e
f cos y,ξ
f cos y,η
f cos y,ζ
f
f
e e
f
e e
f
e e
f cos z,ξ
f cos z,η
f cos z,ζ
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
+
(
) (
) (
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
η
x
x
η
y
y
η
z
z
η
x
y
z
ζ
x
x
ζ
y
y
ζ
z
z
ζ
x
y
z
f
f
e e
f
e
e
f
e e
f cos x,η
f cos y,η
f cos z,η
f
f
e e
f
e
e
f
e e
f cos x,ζ
f cos y,ζ
f cos z,ζ
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
+
x
y
z
e , e , e
prowadzi do zależności:
mnożenie kolejno przez
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ξ
x
η
y
ζ
z
f
cos x,ξ
c os y,ξ
cos z,ξ
f
f
cos x,η
cos y,η
cos z,η
f
f
cos x,ζ
cos y,ζ
cos z,ζ
f
=
⋅
( )
( )
( )
f
cos x,ξ
cos x,η
cos x,ζ
f
Związki macierzowe pomiędzy wspó
ł
rzędnymi w uk
ł
adach sta
ł
ym i zmiennym
(
)
(
)
f ξ , η, ζ
α f x, y, z
= ⋅
%
18
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
ξ
y
η
z
ζ
f
cos x,ξ
cos x,η
cos x,ζ
f
f
cos y,ξ
cos y,η
cos y,ζ
f
f
cos z,ξ
cos z,η
cos z,ζ
f
=
⋅
(
)
(
)
T
f x, y, z
α
f ξ , η, ζ
=
⋅
%
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
cos x,ξ
c os y,ξ
cos z,ξ
α
cos x,η
cos y,η
cos z,η
cos x,ζ
cos y,ζ
cos z,ζ
=
%
- macierz przejścia
Macierz przejścia uk
ł
adów p
ł
askich
( )
( )
( )
( )
0
0
0
0
1
cos x,ξ
c os y,ξ
α
cos x,η
cos y,η
=
%
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
cos x,ξ
c os y,ξ
cos z,ξ
α
cos x,η
cos y,η
cos z,η
cos x,ζ
cos y,ζ
cos z,ζ
=
%
cos α
sin α
α
sin α
cos α
=
−
%
Macierz przejścia uk
ł
adów p
ł
askich
19
z
O
z
e
x
y
x
e
y
e
ζ
O
ζ
e
α
sin α
cos α
−
ξ
x
η
y
f
f
cos α
sin α
f
f
sin α
cos α
=
⋅
−
Zależności pomiędzy wspó
ł
rzędnymi
x
ξ
y
η
f
f
cos α
sin α
f
f
sin α
cos α
−
=
⋅
2.4. Wyznaczenie ruchu w uk
ł
adzie bezwzględnym i względnym
(przyk
ł
ad obliczeniowy)
Zadanie
Na brzegu wirującej ze sta
ł
ą prędkością kątową tarczy rozpoczyna się ruch
swobodny punktu materialnego (ruch po tarczy bez tarcia i oporów powietrza) z
chwilową prędkością początkową skierowaną do osi obrotu. Opisać ruch
punktu w uk
ł
adzie bezwzględnym i względnym, wyznaczyć prędkości
i przyspieszenia w obu uk
ł
adach odniesienia.
20
- promień tarczy
5
R
m
=
- wartość chwilowej prędkości w uk
ł
adzie ruchomym
0
1
m
υ
s
=
- wartość prędkości kątowej tarczy
0 1
rad
ω
,
s
=
Dane liczbowe:
Prędkości
21
X t
( )
0.5
−
t
⋅
:=
Y t
( )
5
t
−
:=
- równanie ruchu w układzie nieruchom ym
v
0
1
−
:=
- pr
ę
dko
ść
pocz
ą
tkowa punktu w układzie ruchomym
ξ
t
( )
0.5
−
t
⋅
cos
α
t
( )
(
)
⋅
5
t
−
(
) sin
α
t
( )
(
)
⋅
+
:=
- równanie ruchu w układzie ruchomym
η
t
( )
0.5 t
⋅
sin
α
t
( )
(
)
⋅
5
t
−
(
) cos
α
t
( )
(
)
⋅
+
:=
ρ
d
:=
v
ξ
t
( )
vb
0.5
−
1
−
:=
- pr
ę
dko
ść
punktu w układzie nieruchomym
A t
( )
cos
α
t
( )
(
)
sin
α
t
( )
(
)
0
sin
α
t
( )
(
)
−
cos
α
t
( )
(
)
0
0
0
1
:=
- macierz przej
ś
cia z układu ruchomego do nieruchomego
22
v
ξ
t
( )
t
ρ ξ
t
( )
d
d
:=
v
η
t
( )
t
ρ η
t
( )
d
d
:=
vw t
( )
v
ξ
t
( )
v
η
t
( )
0
:=
- pr
ę
dko
ść
wzgl
ę
dna
wyra
ż
ona we współrz
ę
dnych wzgl
ę
dnych
vwb t
( )
A t
( ) vw t
( )
⋅
:=
- pr
ę
dko
ść
wzgl
ę
dna
wyra
ż
ona we współrz
ę
dnych bezwzgl
ę
dnych
ω
t
( )
0
0
0.1
:=
- wektor pr
ę
dko
ś
ci k
ą
towej
vub t
( )
ω
t
( )
ρ
b t
( )
×
:=
- pr
ę
dko
ść
unoszenia
wyra
ż
ona we współrz
ę
dnych bezwzgl
ę
dnych
vb t
( )
vwb t
( )
vub t
( )
+
:=
- pr
ę
dko
ść
bezwzgl
ę
dna
wyra
ż
ona we współrz
ę
dnych bezwzgl
ę
dnych
0
1
2
3
4
5
6
6
Tor punktu
w uk
ł
adzie
ruchomym
y
ξ
η
υ
u
υ
υ
O
Prędkości
23
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
6
5
4
3
2
1
0
6
1
( )
( ) ( ) ( )
( ) (
)
Tor punktu
w uk
ł
adzie nieruchomym
x
w
υ
b
υ
O
Przyspieszenia
24
a A t
( )
0
0
0
:=
aw
ξ
t
( )
2
t
ρ ξ
t
( )
d
d
2
:=
aw
η
t
( )
2
t
ρ η
t
( )
d
d
2
:=
a w t
( )
a w
ξ
t
( )
a w
η
t
( )
0
:=
a wb t
( )
A t
( ) a w t
( )
⋅
:=
ε
t
( )
0
0
0
:=
25
t
d
a ub t
( )
a A t
( )
ε
t
( )
ρ
b t
( )
×
+
ω
t
( )
ω
t
( )
ρ
b t
( )
×
(
)
×
+
:=
a cb t
( )
2
ω
t
( )
⋅
v wb t
( )
×
:=
a b t
( )
a wb t
( )
a ub t
( )
+
a cb t
( )
+
:=
0
1
2
3
4
5
6
Tor punktu
w uk
ł
adzie
ruchomym
y
ξ
η
w
a
u
a
c
a
O
Przyspieszenia
26
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
6
5
4
3
2
1
0
( )
( ) ( ) ( )
( ) (
)
Tor punktu
w uk
ł
adzie nieruchomym
x
O
27
Dziękuję za uwagę
28
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
MT st w 06 [tryb zgodności]
MT st w 08 [tryb zgodności]
MT st w 05 [tryb zgodności]
MT st w 03 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 02a [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 02 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 10 [tryb zgodności]
MT st w 06 [tryb zgodności]
MT st w 041 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 10 [tryb zgodno┼Ťci]
MT st w 11 [tryb zgodno┼Ťci]
Chemia Jadrowa 07 [tryb zgodnosci]
1 ST PiS [tryb zgodnosci]
MT st w 04 cz1 [tryb zgodności]
MT st w 04 cz2 [tryb zgodności]
więcej podobnych podstron