Kwantowa Studnia Potencjału
0
a
V
0
E
I
II
III
[
−
ℏ
2
2m
∂
2
∂
x
2
V
0
]
I
x =E
I
x
[
−
ℏ
2
2m
∂
2
∂
x
2
V
0
]
III
x =E
III
x
[
−
ℏ
2
2m
∂
2
∂
x
2
]
II
x =E
II
x
E<V
0
k
=
2mE
ℏ
2
=
2m V
0
−
E
ℏ
2
Kwantowa Studnia Potencjału
0
a
V
0
E
I
II
III
[
−
ℏ
2
2m
∂
2
∂
x
2
V
0
]
I
x =E
I
x
[
−
ℏ
2
2m
∂
2
∂
x
2
V
0
]
III
x =E
III
x
[
−
ℏ
2
2m
∂
2
∂
x
2
]
II
x =E
II
x
E<V
0
k
=
2mE
ℏ
2
=
2m V
0
−
E
ℏ
2
d
2
I
dx
2
=
2
I
d
2
I
dx
2
=
2
I
d
2
II
dx
2
=−
k
2
II
d
2
III
dx
2
=
2
III
I
=
A
1
e
−
x
A e
x
II
=
B e
ikx
C e
−
ikx
III
=
D e
−
x
D
1
e
x
A
1
=
0
D
1
=
0
I
0
=
II
0
II
a =
III
a
I
x
|
x=0
=
II
x
|
x=0
II
x
|
x=a
=
III
x
|
x=a
A
=
B
C
Stąd mamy
A=Bik C −ik
B e
ika
C e
−
ika
=
D e
−
a
Bik e
ika
C −ik e
−
ika
=
D −e
−
a
4 równania stanowią
układ równań
zależnych z
wyznacznikiem
głównym
W
=
∣
1
−
1
−
1
0
−
ik
ik
0
0 e
ika
e
−
ika
−
e
−
a
0 ike
ik
−
ike
−
ika
e
−
a
∣
Warunek rozwiązania
niezerowego
W =0
Rozważmy uproszczony przypadek studnii nieskończonej: V
0
>>E
Wtedy:
I
0
III
0
oraz
II
=
B e
ikx
C e
−
ikx
Ponieważ
i
II
0=0
II
a =0
więc otrzymujemy układ dwóch równań liniowych zależnych:.
BC=0
B e
ika
C e
−
ika
=
0
W =0 ⇒e
−
ika
−
e
ika
=
0
2i sin ka=0
sin ka=0
ka=n n=1,2,3,4...
E
=
2
ℏ
2
2ma
2
n
2
Dyskretne poziomy energetyczne w
studnii potencjału
Wypychanie poziomów ze
studnii?
II
=
B e
ikx
C e
−
ikx
=
Be
ikx
−
B e
−
ikx
=
2iBsin kx =B
1
sinkx
∫
0
a
∣
II
x ∣
2
dx=1
⇒
B
1
2
∫
0
a
sin
2
kx dx=1
B
1
2
a
2
=
1⇒ B
1
=
2
a
II
=
2
a
sin kx
II
=
n
=
2
a
sin
n
a
x
Postac różnych funkcji
falowych cząstki w
studni potencjału.
Jednej wartości energii
cząstki odpowiada
jedna funkcja falowa.
MBE –
schemat urządzenia do epitaksji struktur z wiązki
molekularnej
Kwantowa studnia potencjału i
zasada działania diody
elektroluminescencyjnej i lasera
półprzewodnikowego
l
Dziury w pasmie
walencyjnym
p-type
Electrony w pasmie
przewodnictwa
n-type