12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
1
12.
12. Analiza stanu odkształcenia
12.1. Składowe stanu odkształcenia
Każda konstrukcja budowlana pod wpływem obciążenia doznaje odkształceń, które objawiają się
zmianą kształtu i wymiarów elementów budowlanych. Rysunek 12.1 przedstawia odkształcony pod wpływem
sił czynnych (P
1
, P
2
i P
3
) i biernych (R
1
i R
2
) element konstrukcji.
X
1
X
2
X
3
P
1
P
2
P
3
R
1
R
2
A
A'
u
A
Rys. 12.1. Odkształcony element konstrukcji.
Odkształcenia zostaną opisane za pomocą współrzędnych w konfiguracji pierwotnej (przed odkształceniem).
Na rysunku 12.1 punkt A po odkształceniu przemieścił się o wektor przemieszczenia
u
A
do punktu A'.
Wektor przemieszczenia można wyrazić jako
u
A
=u
1
A
⋅e
1
u
2
A
⋅e
2
u
3
A
⋅e
3
.
(12.1)
Możemy wyróżnić dwa rodzaje odkształceń:
1. Odkształcenia objętościowe, które powodują zmianę objętości bez zmiany postaci.
2. Odkształcenia postaciowe, które powodują zmianę kształtu (postaci).
Aby określić stan odkształcenia w punkcie należy rozpatrzyć równowagę elementarnego prostopadłościanu o
wymiarach dx
1
, dx
2
i dx
3
, który będzie obciążony tensorem naprężenia (11.4). Jak zostanie pokazane w
następnym wykładzie zależność między naprężeniami a odkształceniami jest liniowa, czyli jeżeli naprężenia
wzrosną dwa razy to i odkształcenia wzrosną dwa razy. Jeżeli skutek (odkształcenia) są liniową funkcją
przyczyny (naprężenia) to można zastosować zasadę superpozycji, czyli rozpatrywać osobno działanie
naprężeń normalnych
s
11
,
s
22
,
s
33
i naprężeń stycznych
s
12
,
s
23
,
s
13
. Na koniec należy tylko zsumować skutki.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
2
Zakładając, że naprężenia normalne są dodatnie (rozciągające) będą one powodowały zwiększenie długości
krawędzi prostopadłościanu. Na rysunku 12.2 przedstawiono elementarny prostopadłościan pod wpływem
działania naprężeń normalnych. Zmiany długości krawędzi zostały pokazane na rzutach prostopadłościanu na
trzy płaszczyzny.
X
1
X
2
X
3
11
11
22
22
33
33
P
dx
2
Ddx
2
dx
3
D
dx
3
dx
2
Ddx
2
dx
3
D
dx
3
dx
1
Dd
x
1
dx
1
Dd
x
1
Rys. 12.2. Odkształcenia objętościowe.
Jak widać na rysunku 12.2 zmiany długości krawędzi wynoszą
Ddx
1
,
Ddx
2
,
Ddx
3
. Taki stan odkształcenia
można jednoznacznie opisać za pomocą trzech wielkości
11
=
dx
1
dx
1
,
(12.2)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
3
22
=
dx
2
dx
2
,
(12.3)
33
=
dx
3
dx
3
.
(12.4)
Wielkości (12.2), (12.3) i (12.4) nazywamy odkształceniami liniowymi. Odkształcenia liniowe mogą
przyjmować wartości dodatnie, ujemne oraz zero.
Zmianie długości krawędzi towarzyszy zmiana objętości. Zmianę tą nazywa się odkształceniem
objętościowym. Objętość prostopadłościanu przed odkształceniem wynosiła
dV
=dx
1
⋅dx
2
⋅dx
3
.
(12.5)
Po odkształceniu objętość prostopadłościanu wynosi
dV
dV =
dx
1
dx
1
⋅
dx
2
dx
2
⋅
dx
3
dx
3
.
(12.6)
Wzór (12.6) będzie miał postać
dV
dV =dx
1
⋅
1
dx
1
dx
1
⋅dx
2
⋅
1
dx
2
dx
2
⋅dx
3
⋅
1
dx
3
dx
3
.
(12.7)
Uwzględniając wzory (12.2), (12.3), (12.4) i (12.5) wzór (12.7) będzie miał postać
dV
dV =dV⋅
1
11
⋅
1
22
⋅
1
33
.
(12.8)
Wzór (12.8) można przekształcić do postaci
dV
dV
dV
=1
11
22
33
11
⋅
22
11
⋅
33
22
⋅
33
11
⋅
22
⋅
33
.
(12.9)
Odkształcenia są wielkością małą natomiast ich iloczyny są wielkościami małymi wyższego rzędu. W związku
z tym możemy pominąć człony zawierające iloczyny odkształceń. Wzór (12.9) będzie miał postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
4
dV
dV
=
11
22
33
.
(12.10)
Wielkość po lewej stronie równania nazywa się względnym odkształceniem objętościowym lub dylatacją.
Jak widać jest ona sumą wszystkich liniowych odkształceń.
Odkształcenie prostopadłościanu wynikające z działania naprężeń stycznych wiąże się ze zmianą kształtu lub
inaczej zmianą postaci. Zmianie ulegają kąty nachylenia krawędzi prostopadłościanu bez zmiany ich długości.
X
1
X
2
X
3
P
12
21
23
32
13
31
12
13
23
23
12
13
Rys. 12.3. Odkształcenia postaciowe.
Miarą zmiany postaci prostopadłościanu są trzy kąty. Pierwszy z nich w płaszczyźnie X
1
X
2
12
=
12
12
.
(12.11)
Drugi z nich w płaszczyźnie X
2
X
3
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
5
23
=
23
23
.
(12.12)
Trzeci z nich w płaszczyźnie X
1
X
3
13
=
13
13
.
(12.13)
Interpretacją tych kątów jest różnica między kątem prostym w konfiguracji początkowej a kątem ostrym w
konfiguracji aktualnej (odkształconej).
Stan odkształcenia w punkcie opisują trzy składowe odkształcenia liniowego
e
11
,
e
22
,
e
33
oraz trzy składowe
odkształcenia postaciowego
g
12
,
g
13
,
g
23
.
12.2 Równania geometryczne Cauchy'ego
W rozdziale tym zostaną podane zależności pomiędzy współrzędnymi wektora przemieszczenia a
składowymi stanu odkształcenia.
Rysunek 12.4 przedstawia rzut elementarnego prostopadłościanu na płaszczyznę X
1
X
2
.
Odkształcenie liniowe
e
11
wynosi
11
=
∣P ' A' '∣−∣P A∣
∣P A∣
,
(12.14)
w którym
∣P A∣=dx
1
(12.15)
oraz
∣P ' A' '∣=dx
1
u
1
∂ u
1
∂ x
1
⋅dx
1
−u
1
=dx
1
∂ u
1
∂ x
1
⋅dx
1
.
(12.16)
Ostatecznie odkształcenie liniowe
e
11
wynosi
11
=
dx
1
∂ u
1
∂ x
1
⋅dx
1
−dx
1
dx
1
=
∂ u
1
∂ x
1
.
(12.17)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
6
X
1
X
2
P
A
B
D
P'
A'
B'
D'
dx
1
u
P
u
A
u
B
x
1
x
2
dx
2
u
1
u
2
A''
B''
12
12
u
1
∂ u
1
∂ x
1
⋅dx
1
u
2
∂
u
2
∂
x
2
⋅dx
2
∂
u
2
∂
x
1
⋅dx
1
∂ u
1
∂ x
2
⋅dx
2
Rys. 12.4. Rzut odkształconego elementarnego prostopadłościanu na płaszczyznę X
1
X
2
.
W podobny sposób można wyznaczyć odkształcenie liniowe
e
22
.
22
=
∣P ' B ' '∣−∣P B∣
∣P B∣
,
(12.18)
w którym
∣P B∣=dx
2
(12.19)
oraz
∣P ' B ' '∣=dx
2
u
2
∂ u
2
∂ x
2
⋅dx
2
−u
2
=dx
2
∂ u
2
∂ x
2
⋅dx
2
.
(12.20)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
7
Ostatecznie odkształcenie liniowe
e
22
wynosi
22
=
dx
2
∂ u
2
∂ x
2
⋅dx
2
−dx
2
dx
2
=
∂ u
2
∂ x
2
.
(12.21)
Z równań (12.17) i (12.21) wynika zależność
33
=
∂ u
3
∂ x
3
.
(12.22)
Z rysunku 12.4 wynika, że
tg
12
=
∣A' ' A'∣
∣P ' A' '∣
,
(12.23)
w którym
∣A' ' A'∣=
∂ u
2
∂ x
1
⋅dx
1
.
(12.24)
Uwzględniając (12.16) wzór (12.24) będzie miał postać
tg
12
=
∂ u
2
∂ x
1
⋅dx
1
dx
1
∂ u
1
∂ x
1
⋅dx
1
=
∂ u
2
∂ x
1
1
∂ u
1
∂ x
1
.
(12.25)
W przypadku małych odkształceń tangens kąta równa się w przybliżeniu kątowi wyrażonemu w radianach.
Ponadto wartość
∂ u
1
∂ x
1
jest wielkością małą w porównaniu z jednością. Wzór (12.25) można ostatecznie
zapisać jako
12
=
∂ u
2
∂ x
1
.
(12.26)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
8
Tangens kąta
b
12
wymosi
tg
12
=
∣B ' ' B '∣
∣P ' B ' '∣
,
(12.27)
w którym
∣B ' ' B '∣=
∂ u
1
∂ x
2
⋅dx
2
.
(12.28)
Uwzględniając (12.20) wzór (12.28) będzie miał postać
tg
12
=
∂ u
1
∂ x
2
⋅dx
2
dx
2
∂ u
2
∂ x
2
⋅dx
2
=
∂ u
1
∂ x
2
1
∂ u
2
∂ x
2
.
(12.29)
W przypadku małych odkształceń tangens kąta równa się w przybliżeniu kątowi wyrażonemu w radianach.
Ponadto wartość
∂ u
2
∂ x
2
jest wielkością małą w porównaniu z jednością. Wzór (12.29) można ostatecznie
zapisać jako
12
=
∂ u
1
∂ x
2
.
(12.30)
Ostatecznie kąt odkształcenia postaciowego będzie miał postać
12
=
∂ u
1
∂ x
2
∂ u
2
∂ x
1
.
(12.31)
Analogicznie można wyznaczyć pozostałe odkształcenia postaciowe.
23
=
∂ u
2
∂ x
3
∂ u
3
∂ x
2
.
(12.32)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
9
13
=
∂ u
1
∂ x
3
∂ u
3
∂ x
1
.
(12.33)
Równania (12.17), (12.21), (12.22), (12.31), (12.32) oraz (12.33) noszą nazwę równań geometrycznych
Cauchy'ego. Wprowadzając oznaczenia odkształceń postaciowych
{
12
=2⋅
12
23
=2⋅
23
13
=2⋅
13
,
(12.34)
równania geometryczne można przedstawić w zapisie wskaźnikowym jako
ij
=
1
2
⋅
u
i , j
u
j , i
.
(12.35)
Wielkości u
i,j
oraz u
j,i
nazywa się gradientem przemieszczenia. Korzystając z wzoru (12.35) można zapisać
ji
=
1
2
⋅
u
j , i
u
i , j
.
(12.36)
Porównując wzory (12.35) i (12.36) można stwierdzić, że
ij
=
ji
.
(12.37)
Rozpisując równanie (12.35) można otrzymać wzory na odkształcenia liniowe
{
11
=u
1,1
=
∂ u
1
∂ x
1
22
=u
2,2
=
∂ u
2
∂ x
2
33
=u
3,3
=
∂ u
3
∂ x
3
(12.38)
oraz wzory na odkształcenia postaciowe
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
10
{
12
=
1
2
⋅
u
1,2
u
2,1
=
1
2
⋅
∂ u
1
∂ x
2
∂ u
2
∂ x
1
23
=
1
2
⋅
u
2,3
u
3,2
=
1
2
⋅
∂ u
2
∂ x
3
∂ u
3
∂ x
2
13
=
1
2
⋅
u
1,3
u
3,1
=
1
2
⋅
∂ u
1
∂ x
3
∂ u
3
∂ x
1
.
(12.39)
Dodatkową informację o deformacji daje kąt obrotu dwusiecznej zawartej między krawędziami elementarnego
prostopadłościanu. Rysunek 12.5 przedstawia obrót dwusiecznej kąta zawartego między krawędziami w
konfiguracji pierwotnej i aktualnej. Dodatni kąt obrotu dwusiecznej
w
12
następuje od osi X
2
do osi X
1
.
X
1
X
2
P
A
B
D
P'
A'
B'
D'
12
12
45
o
12
45
o
Rys. 12.5. Obrót dwusiecznej kąta między krawędziami.
Zaznaczony na rysunku kąt
d wynosi
=
90
o
−
12
12
2
=45
o
−
12
12
2
.
(12.40)
Kąt obrotu dwusiecznej można wyznaczyć z zależności
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
11
45
o
=
12
45
o
−
12
12
2
12
.
(12.41)
Kąt obrotu dwusiecznej ostatecznie wynosi
12
=
12
−
12
2
.
(12.42)
Korzystając z równań (12.26) i (12.30) kąt obrotu dwusiecznej wynosi
12
=
1
2
⋅
∂ u
1
∂ x
2
−
∂ u
2
∂ x
1
.
(12.43)
Z wzoru (12.43) można wyliczyć wartość kąta
w
21
, która wynosi
21
=
1
2
⋅
∂ u
2
∂ x
1
−
∂ u
1
∂ x
2
.
(12.44)
Korzystając z równań (12.26) i (12.30) wzór (12.44) będzie miał postać
21
=
12
−
12
2
=−
12
.
(12.45)
Analogicznie można zapisać dla pozostałych kątów obrotu
23
=−
32
=
1
2
⋅
∂ u
2
∂ x
3
−
∂ u
3
∂ x
2
,
(12.46)
13
=−
31
=
1
2
⋅
∂ u
1
∂ x
3
−
∂ u
3
∂ x
1
.
(12.47)
Kąt obrotu dwusiecznej można zapisać ogólnie
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
12
ij
=−
ji
=
1
2
⋅
∂ u
i
∂ x
j
−
∂ u
j
∂ x
i
.
(12.48)
12.3 Tensor odkształcenia
Sześć składowych stanu odkształcenia wyrażonych równaniami (12.38) i (12.39) można zapisać w
postaci tablicy
ij
=
[
11
12
13
21
22
23
31
32
33
]
.
(12.49)
Tablica ta jest podobna do tensora naprężenia (11.4). Aby tablica (12.49) była tensorem musi ona spełniać
prawo transformacji tensora (10.74), które w przypadku stanu odkształcenia będzie miało postać
k ' p '
=a
k ' i
⋅a
p ' j
⋅
ij
.
(12.50)
Korzystając z wzoru (12.35) lewą stronę (12.50) można wyrazić jako
k ' p '
=
1
2
⋅
u
k ' , p '
u
p ' , k '
.
(12.51)
Gradient przemieszczenia można wyrazić jako
u
k ' p '
=
∂ u
k '
∂ x
p '
=
∂ u
k '
∂ x
j
⋅
∂ x
j
∂ x
p '
.
(12.52)
Korzystając z (10.52) można wzór (12.52) zapisać jako
u
k ' p'
=
∂ u
k '
∂ x
p'
=
∂ u
k '
∂ x
j
⋅a
jp'
.
(12.53)
Ze względu na to, że funkcja cosinus jest funkcją parzystą można zapisać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
13
a
jp'
=a
p ' j
(12.54)
czyli kosinus kąta między osią j a osią p' równa się kosinusowi między osią p' a osią j. Wzór (12.53) można
więc zapisać
u
k ' p '
=
∂ u
k '
∂ x
p '
=
∂ u
k '
∂ x
j
⋅a
p ' j
.
(12.55)
Z prawa transformacji wektora (10.50)
u
k '
=a
k ' i
⋅u
i
.
(12.56)
Podstawiając (12.56) do (12.55) otrzymano
u
k ' p '
=
a
k ' i
⋅u
i
∂ x
j
⋅a
p ' j
=a
k ' i
⋅a
p ' j
⋅u
i , j
.
(12.57)
Z równania (12.57) widać, że gradienty przemieszczeń tworzą tensor drugiego rzędu.
u
p ' k '
=
∂ u
p '
∂ x
k '
=
∂ u
p'
∂ x
i
⋅
∂ x
i
∂ x
k '
.
(12.58)
Korzystając z (10.52) można wzór (12.58) zapisać jako
u
p' k '
=
∂ u
p'
∂ x
k '
=
∂ u
p'
∂ x
i
⋅a
ik '
.
(12.59)
Wzór (12.59) można zapisać
u
p' k '
=
∂ u
p'
∂ x
k '
=
∂ u
p'
∂ x
i
⋅a
k ' i
.
(12.60)
Z prawa transformacji wektora (10.50)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
14
u
p '
=a
p ' j
⋅u
j
.
(12.61)
Podstawiając (12.61) do (12.60) otrzymano
u
p ' k '
=
a
p ' j
⋅u
j
∂ x
i
⋅a
k ' i
=a
k ' i
⋅a
p ' j
⋅u
j , i
.
(12.62)
Podstawiając (12.57) i (12.62) do (12.51) otrzymano
k ' p '
=
1
2
⋅
a
k ' i
⋅a
p' j
⋅u
i , j
a
k ' i
⋅a
p ' j
⋅u
j , i
,
(12.63)
który będzie miał postać
k ' p '
=a
k ' i
⋅a
p' j
⋅
1
2
⋅
u
i , j
u
j , i
=a
k ' i
⋅a
p ' j
⋅
ij
.
(12.64)
Ze wzoru (12.64) widać, że (12.49) stanowi tensor drugiego rzędu nazywany tensorem odkształcenia. Tensor
ten jest tensorem symetrycznym.
W podobny sposób można udowodnić, że współrzędne
w
ij
tworzą także tensor drugiego rzędu. Jednakże w
przeciwieństwie do tensora odkształcenia tensor ten jest tensorem skośnie symetrycznym (10.103). Tensor ten
nazywa się tensorem obrotu i ma postać
ij
=
[
11
12
13
21
22
23
31
32
33
]
=
[
0
12
13
−
12
0
23
−
13
−
23
0
]
.
(12.65)
We wzorze (12.65) wykorzystano właściwość tensora skośnie symetrycznego (10.104).
12.4 Odkształcenia główne
Podobnie jak dla tensora naprężenia istnieje pewien układ współrzędnych, w którym odkształcenia
liniowe będą ekstremalne natomiast odkształcenia postaciowe będą wynosiły zero. Odkształcenia główne
oblicza się z równania charakterystycznego
3
−I
1
⋅
2
I
2
⋅−I
3
=0
,
(12.66)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
15
w którym I
1
, I
2
i I
3
są niezmiennikami stanu odkształcenia. Pierwszy niezmiennik ma postać
I
1
=
kk
=
11
22
33
.
(12.67)
Porównując wzór (12.67) i (12.10) można stwierdzić, że pierwszy niezmiennik stanu odkształcenia równa się
względnemu odkształceniu objętościowemu.
Drugi niezmiennik stanu odkształcenia ma postać
I
2
=
∂∣
ij
∣
∂
kk
=
∂∣
ij
∣
∂
11
∂∣
ij
∣
∂
22
∂∣
ij
∣
∂
33
,
(12.68)
który można przedstawić w postaci
I
2
=
∣
11
12
21
22
∣
∣
11
13
31
33
∣
∣
22
23
32
33
∣
.
(12.69)
Trzeci niezmiennik stanu odkształcenia ma postać
I
3
=∣
ij
∣=
∣
11
12
13
21
22
23
31
32
33
∣
.
(12.70)
Rozwiązaniem równania (12.66) są trzy odkształcenia główne, które można uporządkować w sposób
I
=max
1
,
2
,
3
III
=min
1
,
2
,
3
(12.71)
natomiast
III
II
I
.
(12.72)
Odkształcenia
e
I
,
e
II
,
e
III
nazywa się odkształceniami głównymi uporządkowanymi.
Chcąc wyznaczyć kierunki główne odpowiadające poszczególnym odkształceniom głównym należy wartości
odkształceń uporządkowanych wstawić do układu równań podobnego do (11.72). Układ równań będzie miał w
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
16
przypadku stanu odkształcenia postać
{
11
−
I
⋅n
1
1
21
⋅n
2
1
31
⋅n
3
1
=0
12
⋅n
1
1
22
−
I
⋅n
2
1
32
⋅n
3
1
=0
13
⋅n
1
1
23
⋅n
2
1
33
−
I
⋅n
3
1
=0
.
(12.73)
Układ równań (12.73) jest układem równań jednorodnym, z którego można obliczyć jedynie stosunki
pomiędzy kosinusami kierunkowymi n
1
(1)
, n
2
(1)
, n
3
(1)
. Chcąc wyznaczyć kierunki główne związane z
odkształceniem
e
I
należy wstawić warunek, który muszą spełniać kosinusy kierunkowe n
1
(1)
, n
2
(1)
, n
3
(1)
(na
podstawie (10.61))
[
n
1
1
]
2
[
n
2
1
]
2
[
n
3
1
]
2
=1
.
(12.74)
Podstawiając pozostałe naprężenia główne można wyznaczyć pozostałe kosinusy kierunkowe. Zamiast jednego
z równań układu jednorodnego należy podstawić zależności
[
n
1
2
]
2
[
n
2
2
]
2
[
n
3
2
]
2
=1
,
(12.75)
[
n
1
3
]
2
[
n
2
3
]
2
[
n
3
3
]
2
=1
.
(12.76)
Kosinusy te będą tworzyły macierz transformacji w postaci
[
n
1
1
n
2
1
n
3
1
n
1
2
n
2
2
n
3
2
n
1
3
n
2
3
n
3
3
]
.
(12.77)
Aby układ współrzędnych był układem prawoskrętnym musi być spełniony warunek
∣
n
1
1
n
2
1
n
3
1
n
1
2
n
2
2
n
3
2
n
1
3
n
2
3
n
3
3
∣
=1
.
(12.78)
Jeżeli wyznacznik równa się minus jeden należy w jednym wierszu zmienić wszystkie znaki na przeciwne.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
17
12.5 Ekstremalne odkształcenia postaciowe
Położenie układu współrzędnych, w którym odkształcenia postaciowe przyjmują wartości ekstremalne
najwygodniej jest określić w układzie osi głównych (
e
1
>
e
2
>
e
3
). Wzory transformacyjne mają postać
1' 1'
=a
1' 1
2
⋅
1
a
1' 2
2
⋅
2
a
1' 3
2
⋅
3
,
(12.79)
2' 2 '
=a
2 ' 1
2
⋅
1
a
2 ' 2
2
⋅
2
a
2 ' 3
2
⋅
3
,
(12.80)
3' 3'
=a
3' 1
2
⋅
1
a
3' 2
2
⋅
2
a
3' 3
2
⋅
3
,
(12.81)
1' 2 '
=a
1' 1
⋅a
2 ' 1
⋅
1
a
1' 2
⋅a
2 ' 2
⋅
2
a
1' 3
⋅a
2 ' 3
⋅
3
,
(12.82)
1' 3'
=a
1' 1
⋅a
3' 1
⋅
1
a
1' 2
⋅a
3' 2
⋅
2
a
1' 3
⋅a
3' 3
⋅
3
,
(12.83)
2 ' 3'
=a
2 ' 1
⋅a
3' 1
⋅
1
a
2 ' 2
⋅a
3' 2
⋅
2
a
2 ' 3
⋅a
3' 3
⋅
3
.
(12.84)
Ekstremalne odkształcenia postaciowe będą się znajdowały na płaszczyznach nachylonych pod kątem 45
stopni w stosunku do układu osi głównych.
Dla układu współrzędnych obróconemu o 45 stopni wokół osi X
3
macierz transformacji ma postać (kąt
dodatni kręci od osi X
1
do X
2
)
a
i ' j
=
[
a
1' 1
a
1' 2
a
1' 3
a
2 ' 1
a
2 ' 2
a
2 ' 3
a
3' 1
a
3' 2
a
3' 3
]
=
[
2
2
2
2
0
−
2
2
2
2
0
0
0
0
]
.
(12.85)
Odkształcenia w układzie transponowanym opisuje tensor odkształcenia
i ' j'
=
[
1
2
2
−
1
−
2
2
0
−
1
−
2
2
1
2
2
0
0
0
0
]
.
(12.86)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
18
Dla układu współrzędnych obróconemu o 45 stopni wokół osi X
1
(kąt dodatni kręci od osi X
2
do osi X
3
)
macierz transformacji ma postać
a
i ' j
=
[
a
1' 1
a
1' 2
a
1' 3
a
2 ' 1
a
2 ' 2
a
2 ' 3
a
3' 1
a
3' 2
a
3' 3
]
=
[
0
0
0
0
2
2
2
2
0
−
2
2
2
2
]
.
(12.87)
Odkształcenia w układzie transponowanym opisuje tensor odkształcenia
i ' j'
=
[
0
0
0
0
2
3
2
−
2
−
3
2
0
−
2
−
3
2
2
3
2
]
.
(12.88)
Dla układu współrzędnych obróconemu o 45 stopni wokół osi X
2
(kąt dodatni kręci od osi X
3
do osi X
1
)
macierz transformacji ma postać
a
i ' j
=
[
a
1' 1
a
1' 2
a
1' 3
a
2 ' 1
a
2 ' 2
a
2 ' 3
a
3' 1
a
3' 2
a
3' 3
]
=
[
2
2
0
−
2
2
0
0
0
2
2
0
2
2
]
.
(12.89)
Odkształcenia w układzie transponowanym opisuje tensor odkształcenia
i ' j'
=
[
3
1
2
0
−
3
−
1
2
0
0
0
−
3
−
1
2
0
3
1
2
]
.
(12.90)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
19
Ogólnie można powiedzieć, że pierwsze z ekstremalnych odkształceń postaciowych wyznacza się ze wzoru
maxI
/minI
=±
1
−
2
2
,
(12.91)
a odpowiadające mu odkształcenia liniowe wyznacza się ze wzoru
I
=
1
2
2
.
(12.92)
Drugie z ekstremalnych odkształceń postaciowych wyznacza się ze wzoru
maxII
/minII
=±
2
−
3
2
,
(12.93)
a odpowiadające mu odkształcenia liniowe wyznacza się ze wzoru
II
=
2
3
2
.
(12.94)
Trzecie z ekstremalnych odkształceń postaciowych wyznacza się ze wzoru
maxIII
/minIII
=±
3
−
1
2
,
(12.95)
a odpowiadające mu odkształcenia liniowe wyznacza się ze wzoru
III
=
3
1
2
.
(12.96)
12.6 Rozkład tensora odkształcenia na aksjator i dewiator
Tensor odkształcenia, tak samo jak i każdy inny symetryczny tensor rzędu drugiego można rozłożyć na
część aksjatorową (część kulistą) oraz część dewiatorową. Zgodnie ze wzorem (10.107) aksjator będzie
wynosił
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
20
ij
O
=
1
3
⋅
pp
⋅
ij
.
(12.97)
Aksjator można przedstawić w formie tablicy
ij
O
=
[
1
3
⋅
pp
0
0
0
1
3
⋅
pp
0
0
0
1
3
⋅
pp
]
.
(12.98)
We wzorach (12.97) i (12.98)
e
pp
równa się pierwszemu niezmiennikowi tensora naprężenia. Zgodnie ze
wzorem (10.109) dewiator tensora naprężenia będzie wynosił
ij
D
=
ij
−
1
3
⋅
pp
⋅
ij
=
[
11
−
1
3
⋅
pp
12
13
21
22
−
1
3
⋅
pp
23
31
32
33
−
1
3
⋅
pp
]
.
(12.99)
Dla tensora odkształcenia w osiach głównych rozkład na aksjator i dewiator będzie miał postać
gl
=
[
1
3
⋅
pp
0
0
0
1
3
⋅
pp
0
0
0
1
3
⋅
pp
]
[
I
−
1
3
⋅
pp
0
0
0
II
−
1
3
⋅
pp
0
0
0
III
−
1
3
⋅
pp
]
,
(12.100)
w którym
pp
=
I
II
III
.
(12.101)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
21
Jak łatwo sprawdzić pierwszy niezmiennik dewiatora (suma odkształceń na głównej przekątnej) równa się
zero.
Dewiator tensora odkształcenia w osiach głównych można zapisać jako
ij
D
=
[
I
D
0
0
0
II
D
0
0
0
III
D
]
.
(12.102)
Korzystając z zależności
III
D
=−
I
D
−
II
D
(12.103)
wzór (12.102) będzie miał postać
ij
D
=
[
I
D
0
0
0
II
D
0
0
0
−
I
D
−
II
D
]
,
(12.104)
który można przedstawić jako sumę dwóch tensorów
ij
D
=
[
I
D
0
0
0
0
0
0
0
−
I
D
]
[
0
0
0
0
II
D
0
0
0
−
II
D
]
.
(12.105)
Każdy z tych tensorów reprezentuje stan odkształcenia nazywany czystym odkształceniem postaciowym. Dla
pierwszego z tensorów zgodnie ze wzorem (12.90) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą
i ' j '
=
[
−
I
D
I
D
2
0
−
−
I
D
−
I
D
2
0
0
0
−
−
I
D
−
I
D
2
0
−
I
D
I
D
2
]
=
[
0
0
I
D
0
0
0
I
D
0
0
]
.
(12.106)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
22
Dla drugiego z tensorów zgodnie ze wzorem (12.88) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą
i ' j '
=
[
0
0
0
0
II
D
−
II
D
2
−
II
D
−
−
II
D
2
0
−
II
D
−
−
II
D
2
II
D
−
II
D
2
]
=
[
0
0
0
0
0
−
II
D
0
−
II
D
0
]
.
(12.107)
Rysunek 12.6 przedstawia dwa czyste ścinania reprezentowane przez tensory (12.105).
X
III
X
I
I
D
I
D
2
I
D
2
I
D
2
I
D
2
X
II
X
III
II
D
2
II
D
2
II
D
2
II
D
2
II
D
Rys. 12.6. Dwa czyste ścinania.
Korzystając z zależności
II
D
=−
I
D
−
III
D
(12.108)
wzór (12.102) będzie miał postać
ij
D
=
[
I
D
0
0
0
−
I
D
−
III
D
0
0
0
III
D
]
.
(12.109)
który można przedstawić jako sumę dwóch tensorów
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
23
ij
D
=
[
I
D
0
0
0
−
I
D
0
0
0
0
]
[
0
0
0
0
−
III
D
0
0
0
III
D
]
.
(12.110)
Dla pierwszego tensora zgodnie z (12.86) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą
i ' j '
=
[
I
D
−
I
D
2
−
I
D
−
−
I
D
2
0
−
I
D
−
−
I
D
2
I
D
−
I
D
2
0
0
0
0
]
=
[
0
−
I
D
0
−
I
D
0
0
0
0
0
]
.
(12.111)
Dla drugiego tensora zgodnie z (12.88) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą
i ' j '
=
[
0
0
0
0
−
III
D
III
D
2
−
−
III
D
−
III
D
2
0
−
−
III
D
−
III
D
2
−
III
D
III
D
2
]
=
[
0
0
0
0
0
III
D
0
III
D
0
]
.
(12.112)
Rysunek 12.7 przedstawia dwa czyste ścinania reprezentowane przez tensory (12.110).
X
I
X
II
I
D
I
D
2
I
D
2
I
D
2
X
II
X
III
III
D
2
III
D
2
III
D
2
III
D
2
III
D
I
D
2
Rys. 12.7. Dwa czyste ścinania.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
24
Korzystając z zależności
I
D
=−
II
D
−
III
D
(12.113)
wzór (12.102) będzie miał postać
ij
D
=
[
−
II
D
−
III
D
0
0
0
II
D
0
0
0
III
D
]
.
(12.114)
który można przedstawić jako sumę dwóch tensorów
ij
D
=
[
−
II
D
0
0
0
II
D
0
0
0
0
]
[
−
III
D
0
0
0
0
0
0
0
III
D
]
.
(12.115)
Dla pierwszego tensora zgodnie z (12.86) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą
i ' j'
=
[
−
II
D
II
D
2
−
−
II
D
−
II
D
2
0
−
−
II
D
−
II
D
2
−
II
D
II
D
2
0
0
0
0
]
=
[
0
II
D
0
II
D
0
0
0
0
0
]
.
(12.116)
Dla drugiego tensora zgodnie z (12.90) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą
i ' j '
=
[
III
D
−
III
D
2
0
−
III
D
−
−
III
D
2
0
0
0
−
III
D
−
−
III
D
2
0
III
D
−
III
D
2
]
=
[
0
0
−
III
D
0
0
0
−
III
D
0
0
]
.
(12.117)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
25
Rysunek 12.8 przedstawia dwa czyste ścinania reprezentowane przez tensory (12.115).
X
I
X
II
X
III
X
I
III
D
2
III
D
2
III
D
2
III
D
2
III
D
II
D
2
II
D
2
II
D
2
II
D
2
II
D
Rys. 12.8. Dwa czyste ścinania.
12.7 Płaski stan odkształcenia
Płaski stan odkształcenia jest szczególnym przypadkiem stanu odkształcenia. Występuje on na przykład
wtedy, gdy wszystkie odkształcenia z indeksem 3 są równe zero. Tensor odkształcenia będzie miał w układzie
współrzędnych X
1
X
2
postać
ij
=
[
11
12
0
21
22
0
0
0
0
]
.
(12.118)
Płaski stan odkształcenia może występować w długiej ścianie oporowej, w której obciążenie w kierunku osi X
3
nie zmienia się natomiast obciążeniem ściany oporowej w kierunku osi X
1
może być na przykład parcie wody
lub parcie gruntu p(x
2
). Ścianę taką przedstawia rysunek 12.9.
Rozpatrując wycięty myślowo element ściany należy stwierdzić, że aby element ten był poddany płaskiemu
stanowi odkształcenia muszą się pojawić naprężenia
s
33
czyli tensor naprężenia stowarzyszony z płaskim
stanem odkształcenia będzie miał postać
ij
=
[
11
12
0
21
22
0
0
0
33
]
.
(12.119)
Ogólnie można stwierdzić, że płaskiemu stanowi odkształcenia nie towarzyszy płaski stan naprężenia.
Zostanie do dokładnie omówione w następnym wykładzie.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
26
X
1
X
2
X
3
p(x
2
)
33
33
Rys. 12.9. Ściana oporowa.
Ze względu na podobieństwa pomiędzy tensorem odkształcenia i tensorem naprężenia wzory w płaskim stanie
odkształcenia będą podobne do wzorów dla płaskiego stanu naprężenia opisanych w punkcie 7.5. Zamiast
naprężeń normalnych będą występowały odpowiednie odkształcenia liniowe natomiast zamiast naprężeń
stycznych będą występowały odkształcenia postaciowe. Indeks X będzie się równał indeksowi 1 a indeks Y
indeksowi 2. Przykładowe odkształcenia liniowe i postaciowe przedstawia rysunek 12.10.
X
1
X
2
X
1
X
2
2
⋅
12
=2⋅
21
dx
1
dx
2
dx
2
dx
1
Rys. 12.10. Odkształcenia liniowe i postaciowe w płaskim stanie odkształcenia.
Wzory transformacyjne będą miały dla płaskiego stanu odkształcenia postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
27
1' 1'
=
11
22
2
11
−
22
2
⋅cos2⋅
12
⋅sin2⋅
,
(12.120)
2' 2'
=
11
22
2
−
11
−
22
2
⋅cos2⋅−
12
⋅sin2⋅
,
(12.121)
1' 2'
=−
11
−
22
2
⋅sin2⋅
12
⋅cos2⋅
.
(12.122)
Kąt nachylenia osi głównych wynosi
tg
2⋅
gl
=
2
⋅
12
11
−
22
.
(12.123)
Podstawiając wartość kąta głównego do wzorów (12.120) i (12.121) można uzyskać wartości odkształceń
głównych. Wartości te można sprawdzić za pomocą wzoru
1
/2
=
11
22
2
±
11
−
22
2
2
12
2
.
(12.124)
Kąt nachylenia ekstremalnych odkształceń postaciowych można obliczyć ze wzoru
tg
2⋅
post
=−
11
−
22
2
⋅
12
.
(12.125)
Podstawiając wartość kąta
a
post
do wzoru (12.122) można uzyskać wartość ekstremalnych odkształceń
postaciowych. Wartość tę można sprawdzić za pomocą wzoru
12 ext
=±
11
−
22
2
2
12
2
.
(12.126)
Podstawiając wartość kąta
a
post
do wzorów (12.120) i (12.121) można uzyskać wartość odkształceń liniowych
odpowiadających ekstremalnym odkształceniom postaciowym. Wartości te można sprawdzić za pomocą
wzoru
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
28
11 post
=
22 post
=
11
22
2
.
(12.127)
12.8 Tensor odkształcenia dla odkształceń skończonych
Gdy ciało odkształcalne poddane jest działaniu obciążenia, to poszczególne punkty poruszają się, co dla
obserwatora zewnętrznego widoczne jest jako przemieszczanie i obrót poszczególnych jego części.
Najwygodniejszym sposobem rozróżnienia odkształcenia ciała i jego ruchu jako bryły sztywnej jest zbadanie
zmian odległości pomiędzy dwoma punktami położonymi bardzo blisko siebie. Ciało, które zostało
odkształcone i przemieszczone pod wpływem sił czynnych i biernych przedstawia rysunek 12.11.
X
2
=
x
2
P
1
P
2
R
1
X
1
=
x
1
X
3
=
x
3
A(x
i
)
B(x
i
+dx
i
)
A'(
x
i
)
B'(
x
i
+d
x
i
)
u
A
u
B
ds
ds
0
R
2
Rys. 12.11. Ciało pod wpływem działania sił czynnych i biernych.
Punkt A w konfiguracji pierwotnej ma współrzędne x
i
natomiast po odkształceniu w konfiguracji aktualnej
punkt A przemieścił się do punktu A' o współrzędnych
x
i
. Podobnie punkt B w konfiguracji pierwotnej znalazł
się w konfiguracji aktualnej w punkcie B'. Pierwotną odległość ds
0
pomiędzy punktami A i B oblicza się z
zależności
ds
0
2
=
dx
1
2
dx
2
2
dx
3
2
=dx
i
⋅dx
i
.
(12.128)
Odległość punktów A' i B' po odkształceniu oblicza się ze wzoru
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
29
ds
2
=
d
1
2
d
2
2
d
3
2
=d
i
⋅d
i
.
(12.129)
Poprzednio zakładano, że odkształcenia są bardzo małe. Obecnie nie będą nakładane na odkształcenia żadne
ograniczenia. Odkształcenia takie nazywają się odkształceniami skończonymi.
Opisując stan odkształcenia ciała można posłużyć się współrzędnymi punktów w konfiguracji pierwotnej x
i
.
Opis taki nazywa się opisem materialnym lub opisem Lagrange'a. Można się także posłużyć współrzędnymi
w konfiguracji aktualnej
x
i
. Opis taki nazywa się opisem przestrzennym lub opisem Eulera.
W opisie Lagrange'a współrzędne w konfiguracji aktualnej (po odkształceniu) wyraża się za pomocą
współrzędnych w konfiguracji pierwotnej. Wektor przemieszczenia punktu A ma współrzędne
u
i
A
=u
i
=
i
−x
i
.
(12.130)
Wektor przemieszczenia punktu B ma współrzędne
u
i
B
=
i
d
i
−
x
i
dx
i
.
(12.131)
Z równania (12.130) można otrzymać zależność
i
=u
i
x
i
=u
i
x
1
, x
2
, x
3
x
i
.
(12.132)
Po obliczeniu różniczek z lewej i prawej strony otrzymano
d
i
=
∂ u
i
∂ x
1
⋅dx
1
∂ u
i
∂ x
2
⋅dx
2
∂ u
i
∂ x
3
⋅dx
3
dx
i
=
∂ u
i
∂ x
j
⋅dx
j
dx
i
.
(12.133)
Długość odcinak A'B' w konfiguracji aktualnej wynosi
ds
2
=d
i
⋅d
i
=
∂ u
i
∂ x
j
⋅dx
j
dx
i
⋅
∂ u
i
∂ x
k
⋅dx
k
dx
i
.
(12.134)
Po wymnożeniu otrzymano
ds
2
=
∂ u
i
∂ x
j
⋅dx
j
⋅
∂ u
i
∂ x
k
⋅dx
k
∂ u
i
∂ x
j
⋅dx
j
⋅dx
i
∂ u
i
∂ x
k
⋅dx
k
⋅dx
i
dx
i
⋅dx
i
.
(12.135)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
30
W członie pierwszym należy zamienić wskaźniki i na k oraz k na i. W członie trzecim należy zmienić
wskaźniki i na j oraz k na i. Wzór (12.135) będzie miało postać
ds
2
=
∂ u
k
∂ x
j
⋅dx
j
⋅
∂ u
k
∂ x
i
⋅dx
i
∂ u
i
∂ x
j
⋅dx
j
⋅dx
i
∂ u
j
∂ x
i
⋅dx
i
⋅dx
j
dx
i
⋅dx
i
.
(12.136)
Różnica odległości w konfiguracji aktualnej i konfiguracji pierwotnej wynosi
ds
2
−
ds
0
2
=
∂ u
k
∂ x
j
⋅dx
j
⋅
∂ u
k
∂ x
i
⋅dx
i
∂ u
i
∂ x
j
⋅dx
j
⋅dx
i
∂ u
j
∂ x
i
⋅dx
i
⋅dx
j
dx
i
⋅dx
i
−dx
i
⋅dx
i
,
(12.137)
który można przedstawić w formie
ds
2
−
ds
0
2
=dx
i
⋅dx
j
⋅
∂ u
i
∂ x
j
∂ u
j
∂ x
i
∂ u
k
∂ x
i
⋅
∂ u
k
∂ x
j
.
(12.138)
Wzór (12.138) można przekształcić
ds
2
−
ds
0
2
2
⋅dx
i
⋅dx
j
=
ij
L
=
1
2
⋅
∂ u
i
∂ x
j
∂ u
j
∂ x
i
∂ u
k
∂ x
i
⋅
∂ u
k
∂ x
j
.
(12.139)
Wzór (12.139) określa tensor dla odkształceń skończonych Lagrange'a (Greena). Jest to zbiór dziewięciu
bezwymiarowych wartości skalarnych, z których tylko sześć jest niezależnych ze względu na
ij
L
=
ji
L
.
(12.140)
Dla i=1 i j=1 wzór (12.139) będzie miał postać
11
L
=
∂ u
1
∂ x
1
1
2
⋅
∂ u
1
∂ x
1
⋅
∂ u
1
∂ x
1
∂ u
2
∂ x
1
⋅
∂ u
2
∂ x
1
∂ u
3
∂ x
1
⋅
∂ u
3
∂ x
1
.
(12.141)
Dla i=2 i j=2 wzór (12.139) będzie miał postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
31
22
L
=
∂ u
2
∂ x
2
1
2
⋅
∂ u
1
∂ x
2
⋅
∂ u
1
∂ x
2
∂ u
2
∂ x
2
⋅
∂ u
2
∂ x
2
∂ u
3
∂ x
2
⋅
∂ u
3
∂ x
2
.
(12.142)
Dla i=3 i j=3 wzór (12.139) będzie miał postać
33
L
=
∂ u
3
∂ x
3
1
2
⋅
∂ u
1
∂ x
3
⋅
∂ u
1
∂ x
3
∂ u
2
∂ x
3
⋅
∂ u
2
∂ x
3
∂ u
3
∂ x
3
⋅
∂ u
3
∂ x
3
.
(12.143)
Dla i=1 i j=2 wzór (12.139) będzie miał postać
12
L
=
21
L
=
1
2
⋅
∂ u
1
∂ x
2
∂ u
2
∂ x
1
∂ u
1
∂ x
1
⋅
∂ u
1
∂ x
2
∂ u
2
∂ x
1
⋅
∂ u
2
∂ x
2
∂ u
3
∂ x
1
⋅
∂ u
3
∂ x
2
.
(12.144)
Dla i=2 i j=3 wzór (12.139) będzie miał postać
23
L
=
32
L
=
1
2
⋅
∂ u
2
∂ x
3
∂ u
3
∂ x
2
∂ u
1
∂ x
2
⋅
∂ u
1
∂ x
3
∂ u
2
∂ x
2
⋅
∂ u
2
∂ x
3
∂ u
3
∂ x
2
⋅
∂ u
3
∂ x
3
.
(12.145)
Dla i=1 i j=3 wzór (12.139) będzie miał postać
13
L
=
31
L
=
1
2
⋅
∂ u
1
∂ x
3
∂ u
3
∂ x
1
∂ u
1
∂ x
1
⋅
∂ u
1
∂ x
3
∂ u
2
∂ x
1
⋅
∂ u
2
∂ x
3
∂ u
3
∂ x
1
⋅
∂ u
3
∂ x
3
.
(12.146)
W opisie Eulera współrzędne w konfiguracji pierwotnej wyraża się za pomocą współrzędnych w konfiguracji
aktualnej. Z równania (12.130) można otrzymać zależność
x
i
=
i
−u
i
=
i
−u
i
1
,
2
,
3
.
(12.147)
Po obliczeniu różniczek z lewej i prawej strony otrzymano
d x
i
=d
i
−
∂ u
i
∂
1
⋅d
1
∂ u
i
∂
2
⋅d
2
∂ u
i
∂
3
⋅d
3
=d
i
−
∂ u
i
∂
j
⋅d
j
.
(12.148)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
32
Długość odcinak AB w konfiguracji pierwotnej wynosi
ds
0
2
=dx
i
⋅dx
i
=
d
i
−
∂ u
i
∂
j
⋅d
j
⋅
d
i
−
∂ u
i
∂
k
⋅d
k
.
(12.149)
Po wymnożeniu otrzymano
ds
0
2
=d
i
⋅d
i
−d
i
⋅
∂ u
i
∂
k
⋅d
k
−d
i
⋅
∂ u
i
∂
j
⋅d
j
∂ u
i
∂
j
⋅d
j
⋅
∂ u
i
∂
k
⋅d
k
(12.150)
W drugim członie należy zmienić wskaźnik i na j oraz k na i. W czwartym członie należy zmienić wskaźnik i
na k oraz k na i. W wyniku otrzymano
ds
0
2
=d
i
⋅d
i
−d
j
⋅
∂ u
j
∂
i
⋅d
i
−d
i
⋅
∂ u
i
∂
j
⋅d
j
∂ u
k
∂
j
⋅d
j
⋅
∂ u
k
∂
i
⋅d
i
(12.151)
Różnica odległości w konfiguracji aktualnej i konfiguracji pierwotnej wynosi
ds
2
−
ds
0
2
=d
i
⋅d
i
−d
i
⋅d
i
d
j
⋅
∂ u
j
∂
i
⋅d
i
d
i
⋅
∂ u
i
∂
j
⋅d
j
−
∂ u
k
∂
j
⋅d
j
⋅
∂ u
k
∂
i
⋅d
i
,
(12.152)
który można przedstawić w formie
ds
2
−
ds
0
2
=d
i
⋅d
j
⋅
∂ u
i
∂
j
∂ u
j
∂
i
−
∂ u
k
∂
i
⋅
∂ u
k
∂
j
.
(12.153)
Wzór (12.153) można przedstawić w formie
ds
2
−
ds
0
2
2
⋅d
i
⋅d
j
=
ij
E
=
1
2
⋅
∂ u
i
∂
j
∂ u
j
∂
i
−
∂ u
k
∂
i
⋅
∂ u
k
∂
j
.
(12.154)
Wzór (12.154) określa tensor dla odkształceń skończonych Eulera (Almansiego). Jest to zbiór dziewięciu
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
33
bezwymiarowych wartości skalarnych, z których tylko sześć jest niezależnych ze względu na
ij
E
=
ji
E
.
(12.155)
Dla i=1 i j=1 wzór (12.154) będzie miał postać
11
E
=
∂ u
1
∂
1
−
1
2
⋅
∂ u
1
∂
1
⋅
∂ u
1
∂
1
∂ u
2
∂
1
⋅
∂ u
2
∂
1
∂ u
3
∂
1
⋅
∂ u
3
∂
1
.
(12.156)
Dla i=2 i j=2 wzór (12.154) będzie miał postać
22
E
=
∂ u
2
∂
2
−
1
2
⋅
∂ u
1
∂
2
⋅
∂ u
1
∂
2
∂ u
2
∂
2
⋅
∂ u
2
∂
2
∂ u
3
∂
2
⋅
∂ u
3
∂
2
.
(12.157)
Dla i=3 i j=3 wzór (12.154) będzie miał postać
33
E
=
∂ u
3
∂
3
−
1
2
⋅
∂ u
1
∂
3
⋅
∂ u
1
∂
3
∂ u
2
∂
3
⋅
∂ u
2
∂
3
∂ u
3
∂
3
⋅
∂ u
3
∂
3
.
(12.158)
Dla i=1 i j=2 wzór (12.154) będzie miał postać
12
E
=
21
E
=
1
2
⋅
∂ u
1
∂
2
∂ u
2
∂
1
−
∂ u
1
∂
1
⋅
∂ u
1
∂
2
−
∂ u
2
∂
1
⋅
∂ u
2
∂
2
−
∂ u
3
∂
1
⋅
∂ u
3
∂
2
.
(12.159)
Dla i=2 i j=3 wzór (12.154) będzie miał postać
23
E
=
32
E
=
1
2
⋅
∂ u
2
∂
3
∂ u
3
∂
2
−
∂ u
1
∂
2
⋅
∂ u
1
∂
3
−
∂ u
2
∂
2
⋅
∂ u
2
∂
3
−
∂ u
3
∂
2
⋅
∂ u
3
∂
3
.
(12.160)
Dla i=1 i j=3 wzór (12.154) będzie miał postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
34
13
E
=
31
E
=
1
2
⋅
∂ u
1
∂
3
∂ u
3
∂
1
−
∂ u
1
∂
1
⋅
∂ u
1
∂
3
−
∂ u
2
∂
1
⋅
∂ u
2
∂
3
−
∂ u
3
∂
1
⋅
∂ u
3
∂
3
.
(12.161)
Opis materialny jest stosowany w teorii konstrukcji, ponieważ warunki podparcia znane są w konfiguracji
pierwotnej. W opisie tym kostka elementarna jest prostopadłościanem przed odkształceniem.
Opis przestrzenny jest stosowany przede wszystkim w mechanice płynów. W opisie tym elementarna kostka
jest prostopadłościanem w konfiguracji aktualnej. Porównanie obu opisów przedstawia rysunek 12.12.
X
1
X
2
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
u
A
Opis materialny – Lagrange'a
x
1
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
u
A
Opis przestrzenny - Eulera
x
2
A, B, C, D – konfiguracja pierwotna
A', B', C', D' – konfiguracja aktualna
Rys. 12.12. Opis materialny i opis przestrzenny.
Jeżeli przemieszczenia u
i
będą małe to pochodne przemieszczeń także będą małe a iloczyny pochodnych
przemieszczeń będą wielkością małą wyższego rzędu i mogą zostać pominięte. Tensor Lagrange'a będzie miał
postać
ij
L
=
1
2
⋅
∂ u
i
∂ x
j
∂ u
j
∂ x
i
.
(12.162)
Tensor Eulera będzie miał postać
ij
E
=
1
2
⋅
∂ u
i
∂
j
∂ u
j
∂
i
.
(12.163)
Ponadto, gdy przemieszczenia są małe to różnica pomiędzy współrzędnymi x
i
i
x
i
będzie pomijalnie mała.
Można przyjąć więc, że
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
35
x
i
≃
i
,
(12.164)
co daje w rezultacie tylko jeden tensor małych odkształceń, który ma postać
ij
L
=
ij
E
=
ij
=
1
2
⋅
∂ u
i
∂ x
j
∂ u
j
∂ x
i
.
(12.165)
Równanie (12.165) jest identyczne z równaniem geometrycznym Cauchy'ego (12.35).
12.9 Równania nierozdzielności odkształceń
W równaniach geometrycznych (12.35) lub (12.165) trzy funkcje przemieszczeń
u
i
x
1
, x
2
, x
3
opisujące pole przemieszczeń służą do obliczenia sześciu funkcji
ij
x
1
, x
2
, x
3
opisujących pole
odkształceń. Wynika stąd wniosek, że funkcje
ij
x
1
, x
2
, x
3
nie mogą być zupełnie dowolne. Powinny one
spełniać jeszcze trzy dodatkowe warunki.
Chcąc wyznaczyć te trzy dodatkowe równania należy równanie (12.35) zróżniczkować dwa razy i zamienić
kolejne wskaźniki. W efekcie można otrzymać
ij , kl
=
1
2
⋅
u
i , jkl
u
j , ikl
kl , ij
=
1
2
⋅
u
k , lij
u
l , kij
ik , jl
=
1
2
⋅
u
i , kjl
u
k , ijl
jl , ik
=
1
2
⋅
u
j , lik
u
l , jik
.
(12.166)
Następnie dwa pierwsze równania dodajemy stronami, a pozostałe równania odejmujemy. W wyniku tego
można otrzymać
ij.kl
kl , ij
−
ik , jl
−
jl , ik
=
1
2
⋅
u
i , jkl
u
j , ikl
1
2
⋅
u
k , lij
u
l , kij
−
1
2
⋅
u
i , kjl
u
k , ijl
−
1
2
⋅
u
j , lik
u
l , jik
,
(12.167)
które będzie miało postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
36
ij.kl
kl , ij
−
ik , jl
−
jl , ik
=
1
2
⋅
u
i , jkl
u
j , ikl
u
k , lij
u
l , kij
−u
i , kjl
−u
k , ijl
−u
j , lik
−u
l , jik
.
(12.168)
Grupując składniki podobne równanie (12.168) będzie miało postać
ij.kl
kl , ij
−
ik , jl
−
jl , ik
=
1
2
⋅
u
i , jkl
−u
i , kjl
u
j , ikl
−u
j , lik
u
k , lij
−u
k , ijl
u
l , kij
−u
l , jik
.
(12.169)
W przypadku funkcji ciągłych jakimi są funkcje przemieszczeń różniczkowanie cząstkowe nie zależy od
kolejności różniczkowania czyli można napisać
u
i , jkl
=u
i , kjl
u
j , ikl
=u
j , lik
u
k , lij
=u
k , ijl
u
l , kij
=u
l , jik
.
(12.170)
Podstawiając wzór (12.170) do (12.169) otrzymano
ij.kl
kl , ij
−
ik , jl
−
jl , ik
=0
.
(12.171)
Równanie to nazywa się równaniem nierozdzielności odkształceń. Wzór (12.171) oznacza 3
4
czyli 81
równań. Z analizy permutacji wskaźników wynika, że tylko sześć z nich będzie niezależnych.
Dla i=k=1, j=l=2 równanie (12.171) będzie miało postać
2
⋅
12,12
−
11,22
−
22,11
=0
.
(12.172)
Dla i=k=2, j=l=3 równanie (12.171) będzie miało postać
2
⋅
23,23
−
22,33
−
33,22
=0
.
(12.173)
Dla i=k=3, j=l=1 równanie (12.171) będzie miało postać
2
⋅
31,31
−
33,11
−
11,33
=0
.
(12.174)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
37
Dla i=j=1, k=2, l=3 równanie (12.171) będzie miało postać
11,23
23,11
−
12,13
−
13,12
=0
.
(12.175)
Dla i=j=2, k=3, l=1 równanie (12.171) będzie miało postać
22,31
31,22
−
23,21
−
21,23
=0
.
(12.176)
Dla i=j=3, k=1, l=2 równanie (12.171) będzie miało postać
33,12
12,33
−
31,32
−
32,31
=0
.
(12.177)
Wprowadzając symbol permutacyjny (10.35) wzór (12.171) można inaczej zapisać jako
ij
=
ji
=e
ikm
⋅e
jln
⋅
kl , mn
=0
.
(12.178)
Tensor
h
ij
nazywa się tensorem niespójności. Równania nierozdzielności można także przedstawić w formie
macierzowej
ij
=
[
11
12
13
21
22
23
31
32
33
]
=0
.
(12.179)
Współrzędne równowskaźnikowe oznaczają równania (12.172), (12.173) i (12.174). Współrzędne
różnowskaźnikowe oznaczają równania (12.175), (12.176) i (12.177).
Spełnienie równań (12.171) oznacza, że ośrodek, który był ciągły przed odkształceniem jest także ciągły po
odkształceniu. Każdemu punktowi materialnemu w konfiguracji pierwotnej odpowiada dokładnie jeden punkt
w konfiguracji aktualnej (po odkształceniu). W materiale nie powstaną więc dziury ani elementarne
prostopadłościany nie będą na siebie nachodzić.
Na początku tego punktu stwierdzono, że potrzeba tylko trzech dodatkowych równań, a tymczasem z
równania (12.171) wynika, że jest ich sześć. Okazuje się, że współrzędne tensora niespójności
h
ij
nie są
niezależne. Wewnątrz ciała spełnione mogą być tylko równania odpowiadające tylko równowskaźnikowym lub
różnowskaźnikowym współrzędnym tensora niespójności. Na powierzchni ciała muszą być już spełnione
wszystkie równania czyli wszystkie współrzędne tensora niespójności muszą się równać zero.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
38
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
39
(12.1)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater