Metoda elementów skończonych
w zastosowaniu do belek na sprężystych podporach.
Zadania pomocnicze
Leszek Chodor
Zadanie 1
(pomocnicze)
:
Określić funkcje kształtu elementu (e) pręta prostego
bez
uwzględnienia
wpływu
przemieszczeń
poziomych na kąty obrotu i ugięcia elementu.
Rozwiązanie:
Pole przemieszczeń
)
(x
u
wewnątrz elementu
skończonego,
zgodnie
z
fundamentalnym
założeniem metody elementów skończonych
przyjmuje się w postaci:
[ ]
)
(
)
(
e
df
u
N
x
u
⋅
=
(1)
gdzie
[ ]
N
– macierz kształtu elementu, a
)
(e
u
wektor przemieszczeń węzłowych.
Przemieszczenia osi pręta przy wymuszonych
przemieszczeniach jednostkowych węzła (1) i (2) ,
pokazano na Rys.1, z którego wynika, że formuła (1)
dla przyjętego ukłądu współrzędnych (oś y=w jest
skierowana do góry,przyjmie postać:
[ ]
)
(
2
2
2
1
1
1
e
w
u
w
u
N
w
u
ϕ
ϕ
⋅
⋅
gdzie:
[ ]
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
−
=
−
−
−
−
2
3
2
3
3
2
2
2
3
2
3
3
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
0
2
3
1
0
0
2
0
2
3
1
0
0
1
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
x
l
x
l
x
l
x
l
x
x
l
x
N
(2)
W powyższych rozwiązaniu nie pokazaliśmy jawnie wyrażeń dla
)
(
'
)
(
x
w
x
=
ϕ
.
Można je otrzymać w prosty sposób poprzez wskazane różniczkowanie.
Rys.1 Ilustracja macierzy
kształtu elementu
prętowego
Przemieszczenia pokazane na Rys.1. można uzyskać z rozwiązania równania różniczkowego linii
ugięcia przy braku obciążenia na pręcie:
0
=
IV
w
Ogólne rozwiązanie tego równania jest funkcją:
3
4
2
3
2
1
x
C
x
C
x
C
C
w
+
+
+
=
Stałe całkowania wyznaczymy z warunków brzegowych:
.
3
2
,
,
,
)
(
,
)
0
(
2
4
3
2
2
1
0
2
1
x
C
x
C
C
gdzie
w
l
w
w
w
dx
dw
l
x
dx
dw
x
dx
dw
+
+
=
=
=
=
=
=
=
ϕ
ϕ
Otrzymujemy stąd równanie macierzowe:
2
2
1
1
4
3
2
1
2
3
2
3
2
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
ϕ
ϕ
w
w
C
C
C
C
l
l
l
l
l
=
⋅
, czyli:
3
2
2
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
4
3
2
1
)
(
2
)
(
3
2
l
l
l
l
w
w
w
w
w
C
C
C
C
−
−
−
+
−
=
+
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Podstawiając wartości stanu uzyskamy kolejne wyrazy macierzy (2).
Na przykład:
dla
0
,
1
2
2
1
1
=
=
=
=
w
w
ϕ
ϕ
:
3
3
2
2
1
2
3
1
l
x
l
x
w
w
+
−
=
.
Pozostałe wyrazy znajdziemy analogicznie.
Zadanie 2
(pomocnicze)
:
Obliczyć macierz sztywności dla elementu pręta z poprzedniego zadania.
Wprowadźmy pojęcia uogólnionych naprężeń oraz odkształceń
ε
σ
,
, które występują na poziomie
przekroju pręta. Za naprężenia uogólnione przyjmiemy siły przekrojowe, natomiast odkształcenia
uogólnione odpowiadają wielkościom, których iloczyn z naprężeniami określa pracę wewnętrzną.
W przypadku zginania z rozciąganiem naprężenia uogólnione, to momenty zginające M i siły osiowe
N. Natomiast odkształcenia uogólnione, to krzywizna w” i wydłużenie względne u’.
Znane zależności
'
,
''
EAu
N
w
EJ
M
y
=
+
=
, a w zwartej formie:
w
u
EJ
EA
M
N
∂
∂
=
2
0
0
0
0
stanowią związki fizyczne. Znak (+) wystąpił wobec przyjętego układu współrzędnych.
Związki te zapisaliśmy w zwartej formie spójnej z definicjami przyjętymi przy rozwiązaniu
ZBTS metodą Ritza:
[ ] [ ]
u
E
df
⋅
∂
⋅
=
σ
,
skąd otrzymujemy wyrażenia na podstawowe macierze metody:
macierz Hooke’a
[ ]
E
i macierz operatorów różniczkowania
[ ]
∂
, wektor naprężeń
σ
i
przemieszczeń
u
[ ]
[ ]
∂
∂
=
∂
=
2
0
0
,
0
0
EJ
EA
E
,
w
u
u
M
N
=
=
,
σ
Macierz zgodności geometrycznej [B] obliczymy z definicji:
[ ] [ ][ ]
⋅
∂
∂
=
∂
=
2
0
0
N
B
df
( )
( )
=
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
−
⋅
−
−
−
−
2
3
2
3
3
2
2
2
3
2
3
3
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
3
1
0
2
2
3
1
0
0
0
0
0
1
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
x
l
x
l
x
l
x
l
x
x
l
x
( )
( )
−
+
+
−
+
−
−
=
−
−
2
3
2
2
3
2
)
(
6
4
)
(
12
6
6
4
12
6
1
1
0
0
0
0
0
0
l
x
l
l
l
x
l
l
l
x
l
l
x
l
l
l
Macierz sztywności
[ ]
)
(e
k
elementu (e) otrzymamy z definicji.
[ ]
[ ] [ ][ ]
∫
=
V
T
df
e
dV
B
E
B
k
)
(
,
która dla ropatrywanego przypadku przyjmie postać:
[ ] [ ] [ ][ ]
∫
l
T
e
B
E
B
k
0
)
(
Po wykonaniu przypisanych działań i scałkowaniu po długości pręta , otrzymamy:
[ ]
+
−
+
+
−
+
−
−
−
+
−
+
+
+
−
+
+
−
+
=
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EA
l
EA
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EA
l
EA
e
k
4
6
0
2
6
0
6
12
0
6
12
0
0
0
0
0
2
6
0
4
6
0
6
12
0
6
12
0
0
0
0
0
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
)
(
Macierz sztywności określa siły przywęzłowe w funkcji przemieszczeń węzłów. Zależności te są
znane w mechanice budowli pod nazwą wzorów transformacyjnych dla elementu sztywno-sztywnego.
Zadanie 3 (
pomocnicze
):
Obliczyć macierz sztywności dla prostoliniowego, jednorodnego elementu,
obciążonego ściskającą siłą osiową.
Ogólne równanie różniczkowe dla jednego elementu skończonego ma postać:
[ ]
)
(
)
(
)
(
)
(
e
V
e
A
e
e
F
F
u
k
+
=
,
Macierz sztywności
[ ]
)
(e
k
można określić, znając zależność pomiędzy siłami węzłowymi
[ ]
)
(
)
(
)
(
e
V
e
A
e
F
F
F
+
=
,
a
przemieszczeniami węzłowymi
)
(e
u
. Zależności
te dla zadanego zagadnienia (Rys.2) , określimy
poprzez rozwiązania równania różniczkowego pręta
ś
ciskanego bez obciążenia pomiędzy węzłami:
0
'
=
+
Pw
EJw
IV
Po wprowadzeniu zmiennych
EJ
Pl
l
x
2
2
,
=
=
λ
ξ
,
mamy:
0
2
2
4
4
2
=
+
ξ
ξ
λ
d
w
d
d
w
d
Rozwiązanie tego równania ma postać:
λξ
λξ
λξ
ξ
sin
cos
)
(
4
3
2
1
C
C
C
C
w
+
+
+
=
Stałe całkowania określimy z warunków brzegowych:
2
1
2
)
1
(
1
)
0
(
)
1
(
,
)
0
(
,
,
w
w
w
w
l
l
d
dw
d
dw
=
=
=
=
ϕ
ϕ
ξ
ξ
,
gdzie:
λξ
λ
λξ
λ
ξ
cos
4
3
2
C
C
C
d
dw
+
−
=
.
Mamy stąd równanie:
l
w
l
w
C
C
C
C
2
2
1
1
2
1
4
3
cos
sin
0
sin
cos
1
0
0
0
1
0
1
ϕ
ϕ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
−
,]
skąd po rozwiązaniu:
=
−
−
−
−
+
−
−
−
...
...
...
4
3
sin
)
cos
1
(
2
)]
(cos
)
(
)
(sin
)
cos
(sin
[
2
1
2
1
2
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ϕ
λ
λ
λ
ϕ
w
w
l
l
C
C
C
C
Ponieważ:
),
cos
sin
(
),
sin
cos
(
"
3
4
3
3
2
4
2
3
3
3
3
3
2
2
2
2
λξ
λ
λξ
λ
λξ
λ
λξ
λ
ξ
ξ
C
C
T
C
C
EJw
M
l
EJ
d
w
d
l
EJ
l
EJ
d
w
d
l
EJ
−
−
=
=
−
−
=
=
=
)
(
)
0
(
),
(
)
0
(
3
4
EJ
1
2
3
EJ
1
3
2
λ
λ
C
T
T
C
M
M
l
l
−
=
=
−
=
=
,
to:
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ϕ
λ
λ
λ
ϕ
λ
2
1
2
2
1
2
sin
)
1
(cos
)
(cos
)
(
)
(sin
)
cos
(sin
1
+
−
−
−
+
−
−
−
+
=
w
w
l
l
l
EJ
M
,
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ϕ
ϕ
λ
2
1
2
2
1
3
sin
)
1
(cos
)
(
sin
)
cos
1
)(
(
2
1
+
−
−
+
−
+
+
=
w
w
l
l
l
EJ
T
,
itd. ...
Rys.2 Pręt ściskany siłą -P
Szczególnie użyteczne formuły znajdziemy dla
:
2
λ
α
=
2
4
1
3
2
1
2
1
2
4
)
(
6
2
ϕ
ϕ
Λ
+
Λ
+
−
Λ
=
l
EJ
l
EJ
l
EJ
w
w
M
2
3
1
4
2
1
2
2
4
2
)
(
6
2
ϕ
ϕ
Λ
+
Λ
+
−
Λ
=
l
EJ
l
EJ
l
EJ
w
w
M
1
2
2
1
2
2
1
1
1
),
(
6
)
(
12
2
3
T
T
w
w
T
l
EJ
l
EJ
−
=
+
Λ
+
−
Λ
=
ϕ
ϕ
gdzie wprowadzono oznaczenia:
,
1
,
1
,
1
,
1
)
(
2
2
2
2
3
1
2
60
1
0
2
1
2
2
3
4
30
1
0
4
1
2
4
3
3
60
1
0
1
2
10
1
0
2
1
EJ
Pl
EJ
Pl
EJ
Pl
ctg
EJ
Pl
ctg
ctg
ctg
+
≈
−
Λ
=
Λ
−
≈
+
Λ
=
Λ
−
≈
=
Λ
−
≈
Λ
=
Λ
≈
≈
≈
−
≈
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
cr
P
P
EJ
P
l
2
2
π
α
=
=
,
2
2
l
EJ
cr
P
π
=
-
krytyczne obciążenie „eulerowskie
”
Zapisując powyższe w postaci macierzowej, mamy:
2
2
1
1
3
4
2
6
4
2
2
6
2
6
1
12
2
6
1
12
4
2
2
6
3
4
2
6
2
6
1
12
2
6
1
12
2
2
1
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
ϕ
ϕ
w
w
M
T
M
T
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
⋅
Λ
Λ
−
Λ
Λ
Λ
−
Λ
Λ
−
Λ
−
Λ
Λ
−
Λ
Λ
Λ
Λ
−
Λ
Λ
=
lub w zwartej formie
[ ]
)
(e
u
k
F
⋅
=
Po rozwinięciu w szereg macierzy
[ ]
k
względem P i pozostawieniu wyrazów liniowych
uzyskamy formułę przybliżoną:
[ ]
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
l
l
l
l
l
l
l
l
P
k
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
15
2
10
1
30
1
10
1
10
1
5
6
10
1
5
6
30
1
10
1
15
2
10
1
10
1
5
6
10
1
5
6
6
6
6
12
6
12
6
6
6
12
6
12
4
2
2
4
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
-
Pierwszy człon rozwinięcia, to klasyczna, liniowa macierz sztywności, a
drugi człon jest w
mechanice budowli nazywany macierzą geometryczną
.
Zwróćmy uwagę, że dokładniejsze
rozwinięcie
ś
cisłej
macierzy
sztywności
umożliwiłoby
zdefiniowanie
macierzy
geometrycznych wyższych rzędów.
Ostatecznie w celu uwzględnienia związku obciążeń podłużnych od przemieszczeń
poziomych węzłów, uzupełnimy macierz sztywności o uzyskane wyniki i otrzymamy:
[ ]
Λ
Λ
−
Λ
Λ
Λ
−
Λ
Λ
−
Λ
−
−
Λ
Λ
−
Λ
Λ
Λ
Λ
−
Λ
Λ
−
=
3
4
2
6
4
2
2
6
2
6
1
12
2
6
1
12
4
2
2
6
3
4
2
6
2
6
1
12
2
6
1
12
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EA
l
EA
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EA
l
EA
k
Zadanie 4
pomocnicze
:
Określić obciążenie węzłowe, gdy na pręt prosty (ogólnie na krawędź
elementu) elementu), działa obciążenie ciągłe pomiędzy węzłami.
obciążonego ściskającą siłą osiową.
Obciążenie międzywęzłowe wyznaczymy z definicji
[ ]
,
dA
q
N
F
A
T
df
A
∫
=
υ
gdzie zgodnie z Rys.3.
)
(x
p
q
=
υ
,
Dla pręta zginanego, określona w zadaniu pomocniczym 1 - macierz kształtu wynosi:
[ ]
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
=
−
−
−
−
2
3
2
3
3
2
2
3
2
2
3
3
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
3
1
2
2
3
1
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
x
l
x
l
x
T
x
l
x
N
Z definicji dla
const
p
q
=
=
υ
, mamy:
−
+
=
∫
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
⋅
=
=
−
−
−
−
12
2
12
2
0
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
2
2
2
3
2
3
3
2
2
3
2
2
3
3
2
2
2
)
(
2
3
1
2
2
3
1
l
l
l
l
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
x
l
x
l
x
A
p
dx
x
l
x
p
M
R
M
R
F
Rys.3. Obciążenie
międzywęzłowe p(x)
Analogicznie można znaleźć obciążenie węzłowe przy innych postaciach obciążenia między
węzłami, np. dla
l
x
p
p
p
x
p
q
)
(
)
(
1
2
1
−
+
=
=
υ
,
mamy:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+
−
+
+
+
=
∫
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
⋅
−
+
=
−
−
−
−
2
1
60
2
1
20
3
2
1
60
2
1
20
3
0
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
3
7
2
3
7
2
)
(
2
3
1
2
2
3
1
)
(
2
2
2
3
2
3
3
2
2
3
2
2
3
3
2
2
p
p
p
p
p
p
p
p
dx
x
l
x
p
p
p
F
l
l
l
l
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
l
x
l
x
l
x
l
x
l
x
A
Zadanie 5
pomocnicze
:
Określić wektor równoważników węzłowych dla elementu belki
spoczywającej na sprężystym podłożu Winklera ze współczynnikiem sprężystości podłoża
k
Z definicji sprężystego podłoża winklerowskiego, mamy:
).
(
)
(
x
w
k
x
p
q
⋅
−
=
=
υ
Ponieważ
[ ]
)
(
)
(
e
u
N
x
w
⋅
=
, więc:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
(
)
,
0
)
(
0
)
(
∫
∫
−
=
⋅
−
=
l
e
T
l
e
T
A
u
dx
N
N
k
dx
u
N
k
N
F
Dla belki zginanej przy oznaczeniu , mamy:
[ ] [ ]
2
3
2
3
2
3
2
3
2
)
2
3
(
)
2
(
)
2
3
1
(
+
−
−
+
−
+
−
=
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
l
N
N
T
Po wykonaniu przypisanych działań i po obliczeniu całki oznaczonej (w granicach od 0do l),
mamy:
2
2
1
1
2
2
2
2
420
4
22
3
13
22
156
13
54
3
13
4
22
13
54
22
156
ϕ
ϕ
w
w
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
F
kl
A
⋅
−
−
−
−
−
−
−
=
l
x /
=
ξ
Zadanie 6
(przykład liczbowy)
:
Znależć ugięcie i kat obrotu końca wspornika metodą MES.
Macierz sztywności układu
[ ]
K
, wektor równoważników węzłowych
F
oraz wektor
niewiadomych
u
wynoszą:
[ ] [ ]
−
−
−
−
−
−
=
=
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
e
k
K
4
6
2
6
6
12
6
12
2
6
4
6
6
12
6
12
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
)
(
12
2
12
2
2
2
l
l
l
l
q
F
−
−
=
,
2
2
1
1
ϕ
ϕ
w
w
u
=
Równanie kanoniczne układu
[ ]
F
u
K
=
⋅
po rozpisaniu przyjmie postać:
6
6
2
2
2
1
6
6
6
2
12
6
12
6
6
6
12
6
12
1
1
4
2
2
4
2
2
2
l
l
ql
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
EJ
w
w
−
=
⋅
−
−
−
−
−
−
ϕ
ϕ
brzegowe warunki kinematyczne:
K
M
w
1
1
1
,
0
ϕ
−
=
=
uwzględniamy przez odpowiednią
modyfikację równania kanonicznego
0
0
0
1
1
4
2
0
0
2
4
0
0
0
0
1
1
6
6
2
2
2
1
6
6
12
6
6
2
K
w
w
l
l
ql
l
l
l
l
l
l
EJ
ϕ
ϕ
ϕ
−
+
=
⋅
−
−
−
−
−
,
Rys.4. Belka z przykładu
liczbowego 6
czyli w rezultacie
6
6
2
2
2
1
6
6
12
6
6
1
4
2
2
4
2
l
l
EJ
ql
l
l
l
l
l
EJ
Kl
l
EJ
w
−
−
−
−
−
−
=
⋅
+
ϕ
ϕ
Rozwiązanie tego układu równań daje:
6
8
2
2
2
1
2
2
2
0
1
1
l
l
EJ
ql
K
ql
l
w
−
−
+
=
⋅
ϕ
ϕ
Uwaga:
1) dla stałej sprężystości podpory K=oo otrzymamy rozwiązanie dla wspornika idealnie
utwierdzonego, \
2) dla K=0 ustrój jest mechanizmem. Świadczy o tym fakt, że wyznacznik układu
Det[k]=0 i równanie kanoniczne staje się nieoznaczone.
Zadanie 7
(przykład liczbowy)
:
Obliczyć siłę krytyczną belki-słupa
pokazanego na rys. 5.
Macierz sztywności układu złożonego z 1 elementu złożona z macierzy liniowej
[ ]
k
i
geometrycznej
[ ]
k
[ ]
−
−
−
−
−
−
=
=
−
−
−
−
−
−
=
=
4
6
2
6
6
12
6
12
2
6
4
6
6
12
6
12
100
4
6
2
6
6
12
6
12
2
6
4
6
6
12
6
12
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
k
Rys.5. Belka-słup z przykładu
liczbowego 7
[ ]
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
15
2
10
1
30
1
10
1
10
1
5
6
10
1
5
6
30
1
10
1
15
2
10
1
10
1
5
6
10
1
5
6
P
k
3) Warunki brzegowe: w1=f1=0.uwzzględniamy poprzez modyfikację macierzy
sztywności, czyli: wykreślenie wierzy i kolumn odpowiadających odebranym
stopniom swobody
W rezultacie otrzymamy
[ ]
−
−
−
−
−
=
15
2
10
1
10
1
5
6
4
6
6
12
100
P
k
Z kryterium stateczności Det[k]=0, mamy równanie
2
20
3
520
120000
P
P
+
−
=0
Rozwiązanie tego równania daje
kN
P
cr
6
,
248
)
31
2
13
(
*
100
3
4
=
−
=
Ś
cisłe rozwiązanie tego zagadnienia, to:
kN
P
l
EJ
cr
7
,
246
2
2
4
=
=
π
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
5 3 Zał 2 Ritz Belka na gruncie przykład liczb
Dom budowany na gruncie żony nie należy do męża
podloga na gruncie id 364776 Nieznany
Materiały na egzamin, Materiały pomocnicze Technik Informatyk
protokół utrwalenia na gruncie nowo wyzaczonych punktów granicznych
26 Podać zasady obliczania współrzędnych na podstawie odległości i azymutu na elipsoidzie (zadanie
Fundament na gruncie
plik 04 LI zadania pomocnicze nr 3 (listopad 2012) dodatek
5 Metody?lsyfikacji formuł na gruncie pierwszorzędowego rachunku kwantyfikatorów
5 Dwa podejścia do ochrony mniejszości na gruncie krajowym Kopia
więcej podobnych podstron