Wykład 12. Wzajemne poło˙zenie prostych w

R

3

, proste sko´sne.

Definicja 12.1.1.

Rzutem uko´snym punktu P (x, y, z)

wzgl ˛edem wektora −

→

a

= [a

x

, a

y

, a

z

] na płasz-

czyzn ˛e π nazywamy punkt P

′



x

′

, y

′

, z

′



tej płasz-

czyzny, który do niej nale ˙zy. (rysunek)

Dygresja: W szczególnym przypadku mamy
P P

′

⊥ π, co oznacza, ˙ze wektor kierunkowy

−

→

k

prostej l, na której le ˙z ˛

a punkty jest wektorem

normalnym −

→

n

płaszczyzny π (

−

→

k

= −

→

n

).

Definicja 12.1.2.

Okre´slanie wielko´sci zwi ˛

azanych

z płaszczyzn ˛

a:

1. Odległo´s ´

c punktu P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) od płasz-

czyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 jest
okre´slona jako

d

=

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

q

A

2

+ B

2

+ C

2

Dygresja: Odległo´s ´

c punktu od płaszczy-

zny jest równa długo´sci odcinka P P

′

,

gdzie

P

′



x

′

, y

′

, z

′



jest rzutem prostok ˛

atnym punktu

P

na płaszczyzn ˛

e π.

2. Odległo´sci pomi ˛edzy dwoma równoległymi

płaszczyznami π

1

: Ax+By +Cz +D

1

= 0,

π

2

: Ax+By +Cz +D

2

= 0

okre´sla si ˛e jako

d

=

|D

1

− D

2

|

q

A

2

+ B

2

+ C

2

3. K ˛

at nachylenia prostej l o wektorze kierun-

kowym

−

→

k

do płaszczyzny π o wektorze nor-

malnym −

→

n

okre´slamy jako

cos φ =





−

→

n

×

−

→

k





|−

→

n

|





−

→

k





lub

sin φ =





−

→

n

◦

−

→

k





|−

→

n

|





−

→

k





4. K ˛

at mi ˛edzy dwiema płaszczyznami π

1

, π

2

o

wektorach normalnych −

→

n

1

, −

→

n

2

wyra˙za si ˛e

formuł ˛

a

cos φ =

|−

→

n

1

◦ −

→

n

2

|

|−

→

n

1

| |−

→

n

2

|

Defincja 12.1.3.

Okre´slanie wielko´sci zwi ˛

azanych

z prost ˛

a:

1. Odległo´s ´

c punktu od P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) od pro-

stej l o wektorze kierunkowym

−

→

k

okre´slamy

jako

d

=





−

→

k

×

−−−→

P

0

P

1









−

→

k





,

gdzie P

1

(x

1

, y

1

, z

1

) jest dowolnym punk-

tem le ˙z ˛

acym na prostej l

2. Odległo´s ´

c pomi ˛edzy prostymi sko´snymi l

1

, l

2

wyra˙za si ˛e wzorem

d

=





−−−→

P

1

P

2

×

−

→

k

1

◦

−

→

k

2









−

→

k

1

×

−

→

k

2





,

gdzie

−

→

k

1

,

−

→

k

2

s ˛

a wektorami kierunkowymi

prostych sko´snym, natomiast punkty
P

1

(x

1

, y

1

, z

1

) , P

2

(x

2

, y

2

, z

2

) s ˛

a punktami

le ˙z ˛

acymi na prostych l

1

i l

2

.

3. K ˛

at mi ˛edzy dwiema prostymi l

1

i l

2

o wekto-

rach kierunkowych

−

→

k

1

,

−

→

k

2

wyra˙za si ˛e for-

muł ˛

a

cos φ =





−

→

k

1

◦

−

→

k

2









−

→

k

1









−

→

k

2





Literatura

•

Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometri ˛

a, PWN,

Warszawa 1976.

•

Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ˛e-
stochowa 2001.

•

Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.

•

Kiełbasi ´nski A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.

•

Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.

•

Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ˙zszej, PWN,
Warszawa 1975.

•

Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.