POPRAWNE ODPOWIEDZI Z KOLOKWIUM  

Z „METROLOGII ELEKTRYCZNEJ”, 

które odbyło się 7.04.2016 r.  

 

Grupa I  

 

Zad. 1.  
Obliczyć stałą watomierza analogowego jeżeli jego napięcie znamionowe  U

n

  =  200  V,  prąd 

znamionowy I

n

 = 5 A, a nominalna liczba działek α

n

 = 100 dz.  

 

Stała watomierza        

dz

W

10

dz

100

A

5

V

200









n

n

n

w

I

U

c



 

 

Zad. 2.  
Pomiary mocy czynnej  P odbiornika jedno-fazowy i jego współczynnika mocy cos



   wyko-

nano przy użyciu: 



 

watomierza klasy 0,5 o zakresie 5 A, 100 V i nominalnej liczbie działek 100,  



  woltomierza klasy 0,5 o zakresie 100 V,  



  amperomierza klasy 0,5 o zakresie 5 A.  

Podczas pomiaru przyrządy wskazywały:  



  watomierz α

w

=52,2 dz,  



  woltomierz U

V

=95,0 V,  



  amperomierz I

A

=4,95 A.  

Obliczyć:  
1) moc czynną P i cos



, przy założeniu, że przyrządy nie pobierają mocy z obwodu,  

2)  niepewność  standardową  i  rozszerzoną  pomiaru  mocy  P  i  współczynnika  mocy  cos



  na 

poziomie ufności 0,95.  

3) Zapisać wyniki pomiarów wraz z niepewnością rozszerzoną. 

 

Rozwiązanie 

1) 
Stała watomierza  

dz

W

5

dz

100

A

5

V

100









n

n

n

w

I

U

c



.  

Moc wskazywana przez watomierz  

W

0

,

261

dz

2

,

52

dz

W

5











w

c

P

. 

Współczynnik mocy  

5550

,

0

A

95

,

4

V

0

,

95

W

0

,

261

cos









UI

P



.  

2) 
Błąd graniczny wskazań watomierza  

dz

5

,

0

100

dz

100

5

,

0

100











n

w

g

kl





  

W

5

,

2

dz

W

5

W

5

,

0















w

g

g

c

P



 

Niepewność standardowa bezwzględna pomiaru mocy  

 

W

44

,

1

3

W

5

,

2

3









P

P

u

g

.  

Współczynnik rozszerzenia dla rozkładu prostokątnego na poziomie ufności p=0,95 

65

,

1

3

95

,

0

3







p

k

p

,  

a niepewność rozszerzona bezwzględna pomiaru mocy  

 

W

4

,

2

W

44

,

1

65

,

1

)

(









P

u

k

P

U

p

.  

Sposób I 
Niepewność standardową względną pomiaru współczynnika mocy cos



  najprościej obliczyć 

jest ze wzoru (zobacz rozdz. 7.6.3 w książce M. Lisowski: Podstawy metrologii): 





 

 

 

I

w

U

w

P

w

w

2

2

2

cos









,  

w którym:  

   

%

552

,

0

100

W

0

,

261

W

44

,

1

100







P

P

u

P

w

  -  niepewność  standardowa  względna  pomiaru 

mocy, 

 

%

304

,

0

V

0

,

95

V

100

5

,

0

3

1

3

1

3









U

U

kl

U

U

w

n

V

g



  -  niepewność  standardowa  względna 

pomiaru napięcia,  

 

%

292

,

0

A

95

,

4

A

5

5

,

0

3

1

3

1

3









I

I

kl

I

I

w

n

A

g



  -  niepewność  standardowa  względna 

pomiaru prądu.  
Zatem  





%

696

,

0

292

,

0

304

,

0

552

,

0

cos

2

2

2











w

.  

Niepewność względna rozszerzona pomiaru współczynnika mocy 









%

392

,

1

696

,

0

2

cos

cos













w

k

W

u

. 

Niepewność bezwzględna rozszerzona pomiaru współczynnika mocy 









00773

,

0

555

,

0

100

392

,

1

cos

100

cos

cos













W

U

.  

 

Sposób II 
Niepewność standardową pomiaru cos



 można również obliczyć ze wzoru definicyjnego:  





 

 

 

I

u

c

U

u

c

P

u

c

u

I

U

p

2

2

2

2

2

2

cos









,  

gdzie współczynniki wrażliwości:  





VA

1

00213

,

0

95

,

4

0

,

95

1

1

cos















UI

P

c

P



,  





V

1

00584

,

0

95

,

4

0

,

95

0

,

261

cos

2

2





















I

U

P

U

c

U



,  





A

1

112

,

0

95

,

4

0

,

95

0

,

261

cos

2

2





















UI

P

I

c

I



 

oraz niepewności bezwzględne:  

 

W

45

,

1

3

100

5

100

5

,

0

3

100











n

n

w

I

U

k l

P

u

,  

 

V

289

,

0

3

100

100

5

,

0

3

100









n

w

U

k l

U

u

,  

 

A

0145

,

0

3

100

5

5

,

0

3

100









n

w

I

k l

I

u

.  

Zatem niepewność standardowa bezwzględna 













00388

,

0

0145

,

0

112

,

0

289

,

0

00584

,

0

45

,

1

00213

,

0

cos

2

2

2

2

2

2





















u

  

I niepewność standardowa rozszerzona  









00776

,

0

00388

,

0

2

cos

cos













u

k

U

u

.  

A więc otrzymaliśmy wartość różniącą się o 3 na 3-cim miejscu znaczącym, czyli praktycznie 
tę sama wartość niepewności jaką obliczyliśmy sposobem I. Różnica ta wynika z niedokład-
ności obliczeń spowodowanych zaokrągleniami. 
 
3) Zapis wyników  
Wynik pomiaru mocy 





W

5

,

2

0

,

261





P

 

Wynik pomiaru współczynnika mocy 

0078

,

0

5550

,

0

cos







,  

a poprawniej 

008

,

0

555

,

0

cos







.  

 
 
Zad. 3.  
Metodą  techniczną  (za  pomocą  amperomierza  i  woltomierza)  wykonano  pomiar  rezystancji  
w układzie poprawnego pomiaru prądu.  
a) Narysować schemat pomiarowy z uwzględnieniem rozpływu prądów i spadków napięć.  
b) Wyprowadzić wzór na błąd względny metody pomiarowej.  
c)  Obliczyć  wartość  tego  błędu  jeżeli  woltomierz  o  rezystancji  R

v

=150  kΩ  i  zakresie 

U

n

=300 V  wskazał  napięcie  U=150,0  V,  a  amperomierz  o  nominalnym  spadku  napięcia 

U

An

=60 mV na zakresie I

n

=15 mA wskazał I=10,0 mA.  

 

 

 
 

Grupa II  

 

Zad. 1.  
Jaką wartość rezystancji powinien mieć woltomierz idealny?  
 
Odp.: Nieskończenie dużą.  
 
Zad. 2.  
Narysuj schemat pomiaru dużych prądów (ok. 100 A) o częstotliwości sieciowej 50 Hz wyko-
rzystując amperomierz elektromagnetyczny o zakresie 5 A.  
 

Przekładnia  

20

A

5

A

100

2

1







I

I

n

         

 

 

 
Zad. 3.  
Dlaczego oscyloskopy cyfrowe nie mają lampy oscyloskopowej?  
 
Odp.:  Oscyloskopy  cyfrowe  działają  na  innej  zasadzie  niż  oscyloskopy  analogowe.  Sygnał 
analogowy jest w nich przetwarzany na sygnał  cyfrowy (dyskretny), który wyświetlany jest 
na matrycy ciekłokrystalicznej.  
 
Zad.4.  
Obliczyć stałą watomierza analogowego jeżeli jego napięcie znamionowe U

n

  =  200  V,  prąd 

znamionowy I

n

 = 5 A, a nominalna liczba działek α

n

 = 100 dz.  

 

Stała watomierza        

dz

W

10

dz

100

A

5

V

200









n

n

n

w

I

U

c



 

 
Zad. 5.  
Pomiary mocy czynnej  P odbiornika jedno-fazowy i jego współczynnika mocy cos



   wyko-

nano przy użyciu: 



 

watomierza klasy 0,5 o zakresie 5 A, 100 V i nominalnej liczbie działek 100,  



  woltomierza klasy 0,5 o zakresie 100 V,  



  amperomierza klasy 0,5 o zakresie 5 A.  

Podczas pomiaru przyrządy wskazywały:  



  watomierz α

w

=55,4 dz,  



  woltomierz U

V

=94,2 V,  



  amperomierz I

A

=4,75 A.  

Obliczyć:  
1) moc czynną P i cos



, przy założeniu, że przyrządy nie pobierają mocy z obwodu,  

2)  niepewność  standardową  i  rozszerzoną  pomiaru  mocy  P  i  współczynnika  mocy  cos



  na 

poziomie ufności 0,95.  

3) Zapisać wyniki pomiarów wraz z niepewnością rozszerzoną. 

 
 
 

2

1

nI

I



A

I

1

I

2

Rozwiązanie 

1) 
Stała watomierza  

dz

W

5

dz

100

A

5

V

100









n

n

n

w

I

U

c



.  

Moc wskazywana przez watomierz  

W

0

,

277

dz

4

,

55

dz

W

5











w

c

P

. 

Współczynnik mocy  

6191

,

0

A

75

,

4

V

2

,

94

W

0

,

277

cos









UI

P



.  

2) 
Błąd graniczny wskazań watomierza  

dz

5

,

0

100

dz

100

5

,

0

100











n

w

g

kl





  

W

5

,

2

dz

W

5

W

5

,

0















w

g

g

c

P



 

Niepewność standardowa bezwzględna pomiaru mocy  

 

W

44

,

1

3

W

5

,

2

3









P

P

u

g

.  

Współczynnik rozszerzenia dla rozkładu prostokątnego na poziomie ufności p=0,95 

65

,

1

3

95

,

0

3







p

k

p

,  

a niepewność rozszerzona bezwzględna pomiaru mocy  

 

W

4

,

2

W

44

,

1

65

,

1

)

(









P

u

k

P

U

p

.  

Sposób I 
Niepewność standardową względną pomiaru współczynnika mocy cos



  najprościej obliczyć 

jest ze wzoru (zobacz rozdz. 7.6.3 w książce M. Lisowski: Podstawy metrologii): 





 

 

 

I

w

U

w

P

w

w

2

2

2

cos









,  

w którym:  

   

%

520

,

0

100

W

0

,

277

W

44

,

1

100







P

P

u

P

w

  -  niepewność  standardowa  względna  pomiaru 

mocy, 

 

%

307

,

0

V

2

,

94

V

100

5

,

0

3

1

3

1

3









U

U

kl

U

U

w

n

V

g



  -  niepewność  standardowa  względna 

pomiaru napięcia,  

 

%

304

,

0

A

75

,

4

A

5

5

,

0

3

1

3

1

3









I

I

kl

I

I

w

n

A

g



  -  niepewność  standardowa  względna  po-

miaru prądu.  
Zatem  





%

676

,

0

304

,

0

307

,

0

520

,

0

cos

2

2

2











w

.  

Niepewność względna rozszerzona pomiaru współczynnika mocy 









%

352

,

1

676

,

0

2

cos

cos













w

k

W

u

. 

Niepewność bezwzględna rozszerzona pomiaru współczynnika mocy 









0084

,

0

00837

,

0

6191

,

0

100

352

,

1

cos

100

cos

cos















W

U

.  

Sposób II 
Niepewność standardową pomiaru cos



 można również obliczyć ze wzoru definicyjnego:  





 

 

 

I

u

c

U

u

c

P

u

c

u

I

U

p

2

2

2

2

2

2

cos









,  

gdzie współczynniki wrażliwości:  





VA

1

00225

,

0

75

,

4

2

,

94

1

1

cos















UI

P

c

P



,  





V

1

00657

,

0

75

,

4

2

,

94

0

,

277

cos

2

2





















I

U

P

U

c

U



,  





A

1

130

,

0

75

,

4

2

,

94

0

,

277

cos

2

2





















UI

P

I

c

I



 

oraz niepewności bezwzględne:  

 

W

45

,

1

3

100

5

100

5

,

0

3

100











n

n

w

I

U

k l

P

u

,  

 

V

289

,

0

3

100

100

5

,

0

3

100









n

w

U

k l

U

u

,  

 

A

0145

,

0

3

100

5

5

,

0

3

100









n

w

I

k l

I

u

.  

Zatem niepewność standardowa bezwzględna 













00422

,

0

0145

,

0

130

,

0

289

,

0

00657

,

0

45

,

1

00225

,

0

cos

2

2

2

2

2

2





















u

  

I niepewność standardowa rozszerzona  









0084

,

0

00844

,

0

00422

,

0

2

cos

cos















u

k

U

u

.  

A więc otrzymaliśmy wartość różniącą się na 3-cim miejscu znaczącym, czyli po zaokrągle-
niu do 2-ch cyfr znaczących, tę sama wartość niepewności jaką obliczyliśmy sposobem I.  
 
3) Zapis wyników  
Wynik pomiaru mocy 





W

5

,

2

0

,

277





P

 

Wynik pomiaru współczynnika mocy 

0084

,

0

6191

,

0

cos







 lub 

009

,

0

619

,

0

cos







.  

 
Zad.6.  
Woltomierz  cyfrowy  o  błędzie  podstawowym 



g

U = ±0,02 %  od  wartości  mierzonej  

i 



g

U

n

  =    ±0,01  %  od  wartości  końcowej  zakresu,  na  zakresie  U

n

  =  200  V  wskazał  wartość  

U = 100,02 V.  
a) Ile wynosi błąd graniczny względny i niepewność standardowa względna wskazań wolto-

mierza?  

b) Zapisz wynik pomiaru napięcia z błędem granicznym bezwzględnym. 
 

Rozwiązanie  

 

a)  Błąd graniczny całkowity względny pomiaru napięcia woltomierzem cyfrowym  

%

04

,

0

02

,

100

200

01

,

0

02

,

0







































U

U

U

U

U

n

n

g

g

gc







, 

 

a niepewność standardowa względna  

%

28

,

0

02

,

100

200

01

,

0

02

,

0

3

1

)

(

3

1

)

(

2

2

2

2



































U

U

U

U

U

w

n

n

g

g





.

 

2

2

1

R

R

R

n





V

V

V

V

R

R

R

R

R

R

R

R

R

n









2

2

2

2

1

2

1

U

U

n



b) Błąd graniczny całkowity bezwzględny pomiaru napięcia woltomierzem cyfrowym 

V.

04

,

0

02

,

100

100

04

,

0

100









U

U

U

gc

gc



 

Zapis wyniku pomiaru napięcia 





04

,

0

02

,

100





U

V.  

 

Grupa III  

 

Zad. 1.  
Narysuj  schemat  układu do pomiarów wysokich napięć z dzielnikiem  rezystancyjnym. Jaka 
wartość rezystancji powinien mieć woltomierz współpracujący z tym dzielnikiem?  
 

Rozwiązanie 

 
 

 

 
 

Przekładnia dzielnika  
 
 
Mierzone napięcie  
 
Gdy R

v 



 ∞ to  

 
 
 
 
W rzeczywistości  
 
 

 

Zwykle  dzielnik  dostosowany  jest  do  rezystancji  wewnętrznej  miernika  R

v

  i  nie  można  go 

stosować do mirników o innej rezystancji. Dlatego rezystancja woltomierza powinna być taka 
jaka podana jest w instrukcji fabrycznej dzielnika napięcia.  
 
 
Zad. 2.  
Pomiary mocy czynnej P odbiornika 1-fazowego i jego współczynnika mocy cos



 wykonano 

przy użyciu: 



 

watomierza klasy 0,5 o zakresie 5 A, 100 V i nominalnej liczbie działek 100,  



  woltomierza klasy 0,5 o zakresie 100 V,  



  amperomierza klasy 0,5 o zakresie 5 A.  

Podczas pomiaru przyrządy wskazywały:  



  watomierz 



w

=51,3 dz,  



  woltomierz U

V

=92,7 V,  



  amperomierz I

A

=4,85 A.  

Obliczyć:  
1) moc czynną P i cos



, przy założeniu, że przyrządy nie pobierają mocy z obwodu pomia-

rowego (są idealne),  

2)  niepewność  standardową  i  rozszerzoną  pomiaru  mocy  P  i  współczynnika  mocy  cos



  na 

poziomie ufności 0,95.  

3) Zapisać wyniki pomiarów wraz z niepewnością rozszerzoną.  

V

U

1

R

1

R

2

U

2

R

V

2

1

nU

U



 

Rozwiązanie 

1) 
Stała watomierza  

dz

W

5

dz

100

A

5

V

100









n

n

n

w

I

U

c



.  

Moc wskazywana przez watomierz  

W

5

,

256

dz

3

,

51

dz

W

5











w

c

P

. 

Współczynnik mocy  

5705

,

0

A

85

,

4

V

7

,

92

W

5

,

256

cos









UI

P



.  

2) 
Błąd graniczny wskazań watomierza  

dz

5

,

0

100

dz

100

5

,

0

100











n

w

g

kl





  

W

5

,

2

dz

W

5

W

5

,

0















w

g

g

c

P



 

Niepewność standardowa bezwzględna pomiaru mocy  

 

W

44

,

1

3

W

5

,

2

3









P

P

u

g

.  

Współczynnik rozszerzenia dla rozkładu prostokątnego na poziomie ufności p=0,95 

65

,

1

3

95

,

0

3







p

k

p

,  

a niepewność rozszerzona bezwzględna pomiaru mocy  

 

W

4

,

2

W

44

,

1

65

,

1

)

(









P

u

k

P

U

p

.  

Sposób I 
Niepewność standardową względną pomiaru współczynnika mocy cos



  najprościej obliczyć 

jest ze wzoru (zobacz rozdz. 7.6.3 w książce M. Lisowski: Podstawy metrologii): 





 

 

 

I

w

U

w

P

w

w

2

2

2

cos









,  

w którym:  

   

%

561

,

0

100

W

5

,

256

W

44

,

1

100







P

P

u

P

w

 - niepewność standardowa względna pomiaru mo-

cy, 

 

%

312

,

0

V

7

,

92

V

100

5

,

0

3

1

3

1

3









U

U

kl

U

U

w

n

V

g



  -  niepewność  standardowa  względna 

pomiaru napięcia,  

 

%

300

,

0

A

85

,

4

A

5

5

,

0

3

1

3

1

3









I

I

kl

I

I

w

n

A

g



  -  niepewność  standardowa  względna  po-

miaru prądu.  
Zatem  





%

709

,

0

300

,

0

312

,

0

561

,

0

cos

2

2

2











w

.  

Niepewność względna rozszerzona pomiaru współczynnika mocy 









%

42

,

1

709

,

0

2

cos

cos













w

k

W

u

. 

Niepewność bezwzględna rozszerzona pomiaru współczynnika mocy 









0081

,

0

5705

,

0

100

42

,

1

cos

100

cos

cos













W

U

.  

 

Sposób II 
Niepewność standardową pomiaru cos



 można również obliczyć ze wzoru definicyjnego:  





 

 

 

I

u

c

U

u

c

P

u

c

u

I

U

p

2

2

2

2

2

2

cos









,  

gdzie współczynniki wrażliwości:  





VA

1

00222

,

0

85

,

4

7

,

92

1

1

cos















UI

P

c

P



,  





V

1

00615

,

0

85

,

4

7

,

92

5

,

256

cos

2

2





















I

U

P

U

c

U



,  





A

1

118

,

0

85

,

4

7

,

92

5

,

256

cos

2

2





















UI

P

I

c

I



 

oraz niepewności bezwzględne:  

 

W

45

,

1

3

100

5

100

5

,

0

3

100











n

n

w

I

U

k l

P

u

,  

 

V

289

,

0

3

100

100

5

,

0

3

100









n

w

U

k l

U

u

,  

 

A

0145

,

0

3

100

5

5

,

0

3

100









n

w

I

k l

I

u

.  

Zatem niepewność standardowa bezwzględna 













2

2

2

2

2

2

0145

,

0

118

,

0

289

,

0

00615

,

0

45

,

1

00222

,

0

cos



















u

=0,00403  

I niepewność standardowa rozszerzona  









0081

,

0

00403

,

0

2

cos

cos













u

k

U

u

.  

A więc otrzymaliśmy tę sama wartość niepewności jaką obliczyliśmy sposobem I.  
 
3) Zapis wyników  
Wynik pomiaru mocy 





W

5

,

2

5

,

246





P

 

Wynik pomiaru współczynnika mocy 

0081

,

0

5705

,

0

cos







.  

 
 
Zad. 3.  
Metodą  techniczną  (za  pomocą  amperomierza  i  woltomierza)  wykonano  pomiar  rezystancji  
w układzie poprawnego pomiaru prądu.  
a) Narysować schemat pomiarowy z uwzględnieniem rozpływu prądów i spadków napięć.  
b) Wyprowadzić wzór na błąd względny metody pomiarowej.  
c) Obliczyć wartość tego błędu jeżeli woltomierz o rezystancji R

v

=15 kΩ i zakresie U

n

=30 V 

wskazał napięcie U=20,0 V, a amperomierz o nominalnym spadku napięcia U

An

=60 mV na 

zakresie I

n

=15 mA wskazał I=12,0 mA.  

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rozwiązanie  

 

 

Grupa IV  

 

Zad. 1. 
a)  Narysuj  schemat  układu  do  pomiarów  małych  napięć  przy  wykorzystaniu  wzmacniacza 

pomiarowego.  

b) Jaka jest zasadnicza różnica między właściwościami wzmacniaczy akustycznych i pomia-

rowych?  

c) Jaką rezystancję wejściową i wyjściową powinien mieć wzmacniacz pomiarowy.  
 

Odpowiedź  

a) 

V

U

1

U

2

k

u

U

1

R

we

R

wy

U

R

w

I

1

I

2

 

2

1

1

U

k

U

u



 

b) Wzmacniacz pomiarowy musi mieć ściśle określoną wartość współczynnika wzmocnienia 

k

u

,  gdyż  od  niej  zależy  wynik  pomiaru  napięcia  U

1

.  Takiego  wymagania  nie  stawia  się 

wzmacniaczom  akustycznym,  gdyż  wartość  wzmocnienia  dopasowujemy  do  słyszalności 
naszego ucha, nie określając jego wartości liczbowej.  

c) Wzmacniacz wraz z woltomierzem V na wyjściu jest miernikiem (woltomierzem) małych 

napięć. Ażeby poprawnie mierzył on napięcie, czyli ażeby źródłowe mierzone napięcie U 
było  równe  napięciu  wejściowemu  wzmacniacza  U

1

  (U=U

1

),  to  rezystancja  wejściowa 

wzmacniacza R

w

 powinna dążyć do nieskończoności (R

we

 



 



).  

Napięcie wyjściowe wzmacniacza będzie równe U

2

 = k

u

U

1

 tylko wtedy kiedy rezystancja 

wyjściowa wzmacniacza R

wy

 



 0.  

 
 

Zad. 2.  
Pomiary mocy czynnej P odbiornika 1-fazowego i jego współczynnika mocy cos



 wykonano 

przy użyciu: 



 

watomierza klasy 0,5 o zakresie 5 A, 100 V i nominalnej liczbie działek 100,  



  woltomierza klasy 0,5 o zakresie 100 V,  



  amperomierza klasy 0,5 o zakresie 5 A.  

Podczas pomiaru przyrządy wskazywały:  



  watomierz 



w

=51,3 dz,  



  woltomierz U

V

=92,7 V,  



  amperomierz I

A

=4,85 A.  

Obliczyć:  
1) moc czynną P i cos



, przy założeniu, że przyrządy nie pobierają mocy z obwodu pomia-

rowego (są idealne),  

2)  niepewność  standardową  i  rozszerzoną  pomiaru  mocy  P  i  współczynnika  mocy  cos



  na 

poziomie ufności 0,95.  

3) Zapisać wyniki pomiarów wraz z niepewnością rozszerzoną.  
 

Rozwiązanie 

1) 
Stała watomierza  

dz

W

5

dz

100

A

5

V

100









n

n

n

w

I

U

c



.  

Moc wskazywana przez watomierz  

W

5

,

256

dz

3

,

51

dz

W

5











w

c

P

. 

Współczynnik mocy  

5705

,

0

A

85

,

4

V

7

,

92

W

5

,

256

cos









UI

P



.  

2) 
Błąd graniczny wskazań watomierza  

dz

5

,

0

100

dz

100

5

,

0

100











n

w

g

kl





  

W

5

,

2

dz

W

5

W

5

,

0















w

g

g

c

P



 

Niepewność standardowa bezwzględna pomiaru mocy  

 

W

44

,

1

3

W

5

,

2

3









P

P

u

g

.  

Współczynnik rozszerzenia dla rozkładu prostokątnego na poziomie ufności p=0,95 

65

,

1

3

95

,

0

3







p

k

p

,  

a niepewność rozszerzona bezwzględna pomiaru mocy  

 

W

4

,

2

W

44

,

1

65

,

1

)

(









P

u

k

P

U

p

.  

Sposób I 
Niepewność standardową względną pomiaru współczynnika mocy cos



  najprościej obliczyć 

jest ze wzoru (zobacz rozdz. 7.6.3 w książce M. Lisowski: Podstawy metrologii): 





 

 

 

I

w

U

w

P

w

w

2

2

2

cos









,  

w którym:  

   

%

561

,

0

100

W

5

,

256

W

44

,

1

100







P

P

u

P

w

 - niepewność standardowa względna pomiaru mo-

cy, 

 

%

312

,

0

V

7

,

92

V

100

5

,

0

3

1

3

1

3









U

U

kl

U

U

w

n

V

g



  -  niepewność  standardowa  względna 

pomiaru napięcia,  

 

%

300

,

0

A

85

,

4

A

5

5

,

0

3

1

3

1

3









I

I

kl

I

I

w

n

A

g



  -  niepewność  standardowa  względna  po-

miaru prądu.  
Zatem  





%

709

,

0

300

,

0

312

,

0

561

,

0

cos

2

2

2











w

.  

Niepewność względna rozszerzona pomiaru współczynnika mocy 









%

42

,

1

709

,

0

2

cos

cos













w

k

W

u

. 

Niepewność bezwzględna rozszerzona pomiaru współczynnika mocy 









0081

,

0

5705

,

0

100

42

,

1

cos

100

cos

cos













W

U

.  

 

Sposób II 
Niepewność standardową pomiaru cos



 można również obliczyć ze wzoru definicyjnego:  





 

 

 

I

u

c

U

u

c

P

u

c

u

I

U

p

2

2

2

2

2

2

cos









,  

gdzie współczynniki wrażliwości:  





VA

1

00222

,

0

85

,

4

7

,

92

1

1

cos















UI

P

c

P



,  





V

1

00615

,

0

85

,

4

7

,

92

5

,

256

cos

2

2





















I

U

P

U

c

U



,  





A

1

118

,

0

85

,

4

7

,

92

5

,

256

cos

2

2





















UI

P

I

c

I



 

oraz niepewności bezwzględne:  

 

W

45

,

1

3

100

5

100

5

,

0

3

100











n

n

w

I

U

k l

P

u

,  

 

V

289

,

0

3

100

100

5

,

0

3

100









n

w

U

k l

U

u

,  

 

A

0145

,

0

3

100

5

5

,

0

3

100









n

w

I

k l

I

u

.  

Zatem niepewność standardowa bezwzględna 













2

2

2

2

2

2

0145

,

0

118

,

0

289

,

0

00615

,

0

45

,

1

00222

,

0

cos



















u

=0,00403  

I niepewność standardowa rozszerzona  









0081

,

0

00403

,

0

2

cos

cos













u

k

U

u

.  

A więc otrzymaliśmy tę sama wartość niepewności jaką obliczyliśmy sposobem I.  
 
3) Zapis wyników  
Wynik pomiaru mocy 





W

5

,

2

5

,

246





P

 

Wynik pomiaru współczynnika mocy 

0081

,

0

5705

,

0

cos







.  

 
 
Zad. 3. 
Woltomierz cyfrowy o błędzie  podstawowym ±0,01 % od wartości  mierzonej i ±1 cyfra, na 
zakresie 200 V  wskazał wartość 150,05 V.  
a) Ile wynosi błąd graniczny względny i niepewność standardowa względna wskazań wolto-

mierza?  

b) Zapisz wynik pomiaru napięcia z błędem granicznym bezwzględnym.  
 

Rozwiązanie  

a) 

 

Błąd graniczny względny pomiaru napięcia woltomierzem cyfrowym 

%

017

,

0

100

15005

1

01

,

0

100

Δ









































n

n

U

U

g

gc





.

 

Niepewność standardowa względna pomiaru napięcia 

%

0069

,

0

100

15005

1

01

,

0

3

1

100

Δ

)

(

3

1

)

(

2

2

2

2



































n

n

U

U

w

g



. 

Błąd graniczny bezwzględny pomiaru napięcia woltomierzem cyfrowym 

V

026

,

0

05

,

150

100

017

,

0

100









U

U

U

gc

gc



.  

 

b) Zapis wyniku pomiaru napięcia z błędem granicznym:  





V

03

,

0

05

,

150





U

.