GRANICA, CIĄGŁOŚĆ, ZŁOŻENIE FUNKCJI

1. Obliczyć granice funkcji.

(a)

x

x

x

5

2

sin

lim

0

(b)

x

x

x

2

0

sin

lim

(c)

1

1

4

1

lim

x

x

x

(d)

x

x

x

5

sin

2

4

sin

lim

0

(e)

x

x

tg

x

8

5

lim

0

(f)

2

3

1

)

1

(

1

lim

x

x

x

x

(g)

2

3

1

)

1

(

2

lim

x

x

x

(h)

x

x

x

2

3

lim

2

(i)

x

x

x

1

lim

2

1

0

(j)

tgx

x

x

1

sin

1

lim

0

(k)

4

16

3

1

lim

2

x

x

x

(l)

3

1

lim

2

5

x

x

x

(m)

2

1

lim

3

x

x

x

(n)

2

1

lim

3

x

x

x

(o)

x

x

2

lim

(p)

x

x

1

0

3

lim

(r)

x

x

1

0

3

lim

(s)

3

2

2

3

2

2

lim

x

x

x

x

(t)

x

x

x

1

1

2

lim

0

(u)

)

2

(

lim

2

x

x

x

(v)

)

2

(

lim

2

x

x

x

2. Zbadać ciągłość funkcji.

a)

0

dla

1

0

dla

)

(

2

x

x

x

x

x

x

f

b)

2

dla

3

2

dla

1

2

dla

1

)

(

x

x

x

x

x

x

x

f

c)

0

dla

1

0

dla

0

0

dla

1

)

(

x

x

x

x

x

f

d)

0

dla

1

0

dla

)

(

2

sin

x

x

x

f

x

x

e)

1

,

1

dla

1

,

1

dla

)

(

2

1

2

1

1

x

x

x

x

x

f

x

x

f)

0

dla

1

0

dla

)

(

x

x

x

f

x

x

g)

0

dla

1

0

dla

cos

)

(

x

x

x

x

f

h)

2

dla

2

2

0

dla

4

2

,

2

,

0

dla

4

)

(

2

x

x

x

x

x

x

x

f

3. Określić funkcje, z których utworzone są następujące funkcje złożone:
(a)

x

x

f

3

sin

)

(

(b)

3

)

(cos

)

(

x

x

f

(c)

6

)

4

2

(

)

(

x

x

f

(d)

)

cos(sin

)

(

x

x

f

(e)

4

)

sin

(

1

)

(

x

x

f

(f)

3

7

)

5

2

(

)

(

x

x

f

(g)

x

x

f

cos

log

)

(

(h)

x

x

f

sin

2

)

(

Odpowiedzi.

1. (a)

5

2

(b) 0

(c) 4

(d)

5

2

(e)

8

5

(f)

(g)

(h)

(i)

(j) 0

(k) 3

(l) 0

(m)

(n)

(o) 0

(p)

(r) 0

(s)

8

1

(t) 0

(u) 0

(v)

2. funkcja ciągła (g);

funkcje nieciągłe w punktach: (a)

0

x

, I rodzaj

(b)

2

x

, I rodzaj

(c)

0

x

, I rodzaj

(d)

0

x

, I rodzaj

(e)

1

x

, II rodzaj

(f)

0

x

, I rodzaj

(h)

2

x

,

2

x

, I rodzaj

3. (a)

x

t

t

x

f

3

sin

)

(

(b)

x

t

t

x

f

cos

3

)

(

(c)

x

a

a

x

f

4

2

6

)

(

(d)

x

b

b

x

f

sin

cos

)

(

(e)

x

c

c

x

f

sin

4

)

(

(f)

5

2

3

7

)

(

x

u

u

x

f

(g)

x

v

v

u

u

x

f

cos

log

)

(

(h)

x

b

b

a

a

x

f

sin

2

)

(