Automatyka i sterowanie
Krzysztof Marzjan
Automatyka i sterowanie
Krzysztof Marzjan
1. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji jednostkowej
f(t)
t
1
⎩
⎨
⎧
≥
<
=
=
0
1
0
0
)
(
1
)
(
t
t
t
t
f
Z definicji przekształcenia otrzymuje się:
( )
s
e
s
dt
e
s
F
st
st
1
1
1
0
0
=
−
=
⋅
=
∞
∞
−
−
∫
2. Znaleźć transformatę Laplace’a impulsu Diraca
)
(t
δ
f(t)
t
( )
( )
∫
∞
∞
−
=
⎩
⎨
⎧
=
∞
≠
=
1
0
0
0
dt
t
t
t
t
δ
δ
( )
( )
( ) ( )
t
t
dt
d
t
d
t
δ
τ
τ
δ
=
=
∫
∞
−
1
1
Wykorzystując twierdzenie o transformacie pochodnej można zapisać:
2
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
{
}
1
1
)
(
1
)
(
)
(
=
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
=
s
s
t
dt
d
L
t
L
s
F
δ
3. Znaleźć transformatę Laplace’a przesuniętej funkcji skokowej
f(t)
t
A
τ
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
−
⋅
=
τ
τ
τ
t
t
A
t
A
t
f
0
)
(
1
)
(
Można wykorzystać definicję transformaty:
(
)
τ
τ
τ
τ
s
st
st
st
e
s
A
e
s
A
dt
e
A
dt
e
t
A
s
F
−
∞
∞
∞
−
−
−
=
−
=
=
−
⋅
=
∫
∫
0
1
)
(
ale
także twierdzenie o opóźnieniu, wiadomo, że
{ }
s
t
L
1
)
(
1
=
, stąd
3
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
{
}
τ
τ
s
e
s
A
t
A
L
s
F
−
=
−
⋅
=
)
(
1
)
(
4. Znaleźć transformatę Laplace’a impulsu prostokątnego
f(t)
t
A
τ
-A
)
(
1 t
A
⋅
)
(
1
τ
−
⋅
−
t
A
f(t)
t
A
τ
[
]
)
(
1
)
(
1
)
(
τ
−
−
=
t
t
A
t
f
{
}
[
]
{
}
{
} {
}
s
e
A
e
s
s
A
t
L
t
L
A
t
t
A
L
t
f
L
s
F
s
s
)
1
(
1
1
]
)
(
1
)
(
1
[
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
τ
τ
τ
τ
−
−
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
=
−
−
=
−
−
=
=
Transformatę tę można także wyznaczyć korzystając z definicji przekształcenia:
4
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
s
e
A
e
s
A
dt
e
A
dt
e
t
f
s
F
s
st
st
st
)
1
(
)
(
)
(
0
0
0
τ
τ
τ
−
−
−
∞
−
−
=
−
=
=
=
∫
∫
5. Znaleźć transformatę Laplace’a ciągu impulsów prostokątnych
f(t)
t
A
τ
T
Transformata pojedynczego impulsu prostokątnego
została obliczona w przykładzie poprzednim, wobec
tego:
s
e
A
s
F
s
T
)
1
(
)
(
τ
−
−
=
;
Korzystając ze wzoru na transformatę funkcji
okresowej otrzymuje się:
( )
)
1
(
)
1
(
sT
s
e
s
e
A
s
f
−
−
−
−
=
τ
5
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
6. Obliczyć transformatę funkcji liniowej
)
(
1
)
(
t
t
t
f
⋅
=
W tym przypadku można skorzystać z twierdzenia o różniczkowaniu w dziedzinie zmiennej zespolonej
{
} ( )
2
2
1
1
1
1
1
)
(
1
s
s
s
ds
d
t
t
L
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⋅
7. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji
)
2
(
1
)
3
2
(
)
(
−
⋅
−
=
t
t
t
f
.
Aby
wyznaczyć transformatę podanej funkcji należy ją przekształcić
)
2
(
1
)
2
(
1
)
2
(
2
)
2
(
1
]
1
)
2
[(
2
)
2
(
1
)
3
2
(
)
(
−
+
−
⋅
−
=
−
⋅
+
−
=
−
⋅
−
=
t
t
t
t
t
t
t
t
f
Należy zwrócić uwagę na to, by argument funkcji, której transformatę się wyznacza był identyczny jak argument
skoku jednostkowego, stąd:
{
6
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
}
s
s
s
e
s
s
e
s
e
s
t
t
t
L
s
F
2
2
2
2
2
2
1
2
)
2
(
1
)
2
(
1
)
2
(
2
)
(
−
−
−
+
=
+
=
−
+
−
⋅
−
=
8. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji, której przebieg pokazuje rysunek
Przedstawiony przebieg daje się rozłożyć na przebiegi opisane funkcjami, których transformaty można w prosty
sposób wyznaczyć:
f(t)
t
A
τ
)
(
1 t
t
A ⋅
τ
)
(
1
)
(
τ
τ
τ
−
⋅
−
−
t
t
A
f(t)
t
τ
)
1
(
1
1
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
2
2
2
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
s
s
e
s
A
e
s
s
A
t
t
A
t
t
A
L
s
F
−
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
⋅
−
−
⋅
=
;
7
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
W obliczeniach wykorzystano twierdzenie o opóźnieniu.
9. Obliczyć transformatę funkcji wykładniczej
)
(
1
)
(
t
e
t
f
at
⋅
=
−
Aby obliczyć transformatę tej funkcji możemy skorzystać z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie zmiennej
zespolonej
{
}
a
s
t
e
L
at
+
=
⋅
−
1
)
(
1
10. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji
.
)
2
(
1
)
(
)
2
3
(
−
⋅
=
−
−
t
e
t
f
t
)
2
(
1
)
2
(
1
)
2
(
1
)
(
)
2
(
3
4
4
)
2
(
3
)
2
3
(
−
⋅
⋅
=
−
⋅
=
−
⋅
=
−
−
−
−
−
−
−
−
t
e
e
t
e
t
e
t
f
t
t
t
8
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
{
}
3
3
1
)
2
(
1
)
(
)
2
(
2
2
4
)
2
(
3
4
+
=
+
=
−
⋅
⋅
=
+
−
−
−
−
−
−
s
e
e
s
e
t
e
e
L
s
F
s
s
t
11. Obliczyć transformatę funkcji
)
(
1
sin
)
(
t
t
t
f
⋅
=
ω
Najprościej transformatę tę obliczyć, zapisując daną funkcję następująco:
)
(
1
2
)
(
1
sin
)
(
t
j
e
e
t
t
t
f
t
j
t
j
⋅
−
=
⋅
=
−
ω
ω
ω
( )
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
=
+
+
−
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⋅
−
−
s
s
j
s
j
s
j
j
s
j
s
j
t
j
e
e
L
t
j
t
j
12. Obliczyć transformatę Laplace’a funkcji
)
2
(
1
4
sin
)
(
−
⋅
=
t
t
t
f
.
)
2
(
1
)
2
(
4
cos
8
sin
)
2
(
1
)
2
(
4
sin
8
cos
)
2
(
1
]
8
sin
)
2
(
4
cos
8
cos
)
2
(
4
[sin
)
2
(
1
]
8
)
2
(
4
sin[
)
2
(
1
4
sin
)
(
−
⋅
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
=
=
−
⋅
⋅
−
+
⋅
−
=
−
⋅
+
−
=
−
⋅
=
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
f
9
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
{
}
s
s
e
s
s
e
s
t
t
t
t
L
s
F
2
2
2
2
2
2
4
8
sin
4
4
8
cos
)
2
(
1
)
2
(
4
cos
8
sin
)
2
(
1
)
2
(
4
sin
8
cos
)
(
−
−
+
+
+
=
=
−
⋅
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
=
13. Znaleźć transformatę funkcji, której przebieg przedstawia rysunek
f(t)
t
1
ω
π
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤
≤
<
=
ω
π
ω
π
ω
t
t
t
t
t
f
0
0
sin
0
0
)
(
ω
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
ω
π
ω
π
ω
t
t
1
sin
f(t)
t
1
-1
)
(
1
sin
t
t
⋅
ω
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
⋅
=
ω
π
ω
π
ω
ω
t
t
t
t
t
f
1
sin
)
(
1
sin
)
(
10
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
2
2
2
2
2
2
1
1
sin
)
(
1
sin
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
π
ω
π
ω
ω
ω
π
ω
π
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
+
+
+
==
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
⋅
=
−
−
s
e
e
s
s
t
t
t
t
L
s
F
s
s
14. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji, której przebieg pokazuje rysunek
11
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
2A
A
t
0
2t
0
3t
0
0
t
f(t)
Przedstawiony przebieg daje się rozłożyć na przebiegi opisane funkcjami, których transformaty można w prosty
sposób wyznaczyć:
12
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
t
0
-A
-2A
2A
A
2t
0
3t
0
0
f(t)
)
2
(
1
)
2
(
2
0
0
0
t
t
t
t
t
A
−
⋅
−
−
)
(
1
)
(
0
0
0
t
t
t
t
t
A
−
⋅
−
)
(
1 t
A
⋅
)
3
(
1
0
t
t
A
−
⋅
−
)
3
(
1
)
3
(
0
0
0
t
t
t
t
t
A
−
⋅
−
t
)
3
(
1
)
3
(
1
)
3
(
)
2
(
1
)
2
(
2
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
t
t
A
t
t
t
t
t
A
t
t
t
t
t
A
t
t
t
t
t
A
t
A
t
f
−
⋅
−
−
⋅
−
+
−
⋅
−
−
−
⋅
−
+
⋅
=
13
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
0
0
0
0
3
3
2
0
2
2
0
2
0
2
st
st
st
st
e
s
A
e
s
t
A
e
s
t
A
e
s
t
A
s
A
)
s
(
F
−
−
−
−
−
+
−
+
=
Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania
Oblicz transformatę Laplace’a funkcji:
)
(
1
)
3
2
(
)
(
t
t
t
f
⋅
−
=
a.
b.
)
2
(
1
)
1
3
(
)
(
−
⋅
−
=
t
t
t
f
c.
)
2
(
1
)
(
)
1
(
4
−
⋅
=
−
−
t
e
t
f
t
d.
)
(
1
cos
)
(
t
t
t
f
⋅
=
ω
e.
)
(
1
sin
)
(
t
t
t
f
⋅
=
ω
)
f.
(
1
sinh
)
(
t
t
t
f
⋅
=
ω
)
g.
(
1
cosh
)
(
t
t
t
f
⋅
=
ω
14
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
h.
)
(
1
)
3
(
2
sin
)
(
t
t
t
f
⋅
−
=
Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji, której przebieg pokazuje rysunek
a.
2A
A
t
0
2t
0
3t
0
0
t
f(t)
b.
2A
A
t
0
2t
0
3t
0
0
t
f(t)
c.
3
2
4
6
0
t
f(t)
d.
5
1
2
3
0
t
f(t)
15
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
Znaleźć oryginał funkcji
1.
2
1
)
(
+
+
=
s
s
s
F
Należy zwrócić uwagę na fakt, że gdy transformata jest funkcją wymierną, to musi być ściśle właściwą, stąd:
)
(
1
)
(
2
1
1
2
1
2
2
1
)
(
2
1
1
1
t
e
t
s
L
s
s
L
s
s
L
t
f
t
⋅
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
−
−
−
−
δ
16
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
2.
2
4
1
3
)
(
+
+
=
s
s
s
F
)
(
1
8
1
)
(
4
3
2
1
6
1
1
4
3
2
1
3
1
4
3
2
4
1
3
)
(
2
1
1
1
t
e
t
s
L
s
s
L
s
s
L
t
f
t
⋅
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
−
+
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
−
−
−
−
δ
3.
4
4
1
)
(
2
+
+
=
s
s
s
F
)
(
1
)
2
(
1
4
4
1
)
(
2
2
1
2
1
t
te
s
L
s
s
L
t
f
t
⋅
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
−
−
−
17
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
4.
13
4
1
)
(
2
+
+
=
s
s
s
F
)
(
1
3
sin
3
1
3
)
2
(
3
3
1
13
4
1
)
(
2
2
2
1
2
1
t
e
t
s
L
s
s
L
t
f
t
⋅
⋅
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
⋅
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
−
−
−
5.
3
4
1
)
(
2
+
+
=
s
s
s
F
t
e
t
s
L
s
s
L
t
f
t
)
(
1
sinh
1
)
2
(
1
3
4
1
)
(
2
2
2
1
2
1
⋅
⋅
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
−
−
−
lub
18
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
)
(
1
2
1
2
1
3
2
1
1
2
1
)
3
(
)
1
(
1
3
4
1
)
(
3
1
1
2
1
t
e
e
s
s
L
s
s
L
s
s
L
t
f
t
t
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
−
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
−
−
−
−
−
19
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
6.
5
2
1
3
)
(
2
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
F
)
(
1
2
sin
2
5
2
cos
)
(
2
)
1
(
2
2
5
2
)
1
(
1
1
2
)
1
(
2
2
5
1
1
5
2
4
1
5
2
1
3
)
(
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
t
e
t
t
t
s
s
s
L
s
s
L
s
s
s
L
s
s
s
s
L
t
f
t
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
−
+
+
+
+
=
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
⋅
−
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
−
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
+
+
=
−
−
−
−
−
δ
20
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
7.
1
2
1
3
)
(
2
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
F
)
(
1
)
1
(
)
(
)
1
(
1
1
1
1
)
1
(
1
1
1
)
1
(
1
1
2
1
3
)
(
2
1
2
1
2
1
2
2
1
t
e
t
t
s
s
L
s
s
L
s
s
L
s
s
s
s
L
t
f
t
⋅
−
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
+
+
=
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
+
+
=
−
−
−
−
−
δ
21
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
8.
5
6
1
3
)
(
2
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
F
)
(
1
2
sinh
2
5
2
cosh
3
)
(
2
)
3
(
2
2
5
2
)
3
(
3
3
1
2
)
3
(
2
2
5
)
3
(
3
1
5
6
4
3
1
5
6
1
3
)
(
3
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
t
e
t
t
t
s
s
s
L
s
s
L
s
s
s
L
s
s
s
s
L
t
f
t
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
+
−
+
+
−
=
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
+
⋅
+
+
−
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
−
−
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
+
+
=
−
−
−
−
−
δ
lub
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
−
−
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
+
+
=
−
−
−
5
1
1
)
5
(
)
1
(
4
3
1
5
6
1
3
)
(
2
1
1
1
2
2
1
s
A
s
A
L
s
s
s
L
s
s
s
s
L
t
f
Współczynniki rozkładu na ułamki proste:
4
11
1
4
3
4
1
5
4
3
5
2
1
1
−
=
+
−
−
=
−
=
+
−
−
=
−
=
−
=
s
s
s
s
A
s
s
A
22
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
)
(
1
4
11
4
1
)
(
5
4
11
1
4
1
1
5
1
t
e
e
t
s
s
L
t
t
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
=
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
−
+
+
−
+
=
−
−
−
δ
9. Rozwiązać równanie różniczkowe metodą przekształcenia Laplace’a.
0
)
0
(
,
1
)
0
(
0
)
(
13
)
(
4
)
(
2
2
=
′
=
=
+
+
+
+
y
y
t
y
dt
t
dy
dt
t
y
d
Dokonuje się przekształcenia Laplace’a z uwzględnieniem warunków początkowych:
4
)
(
)
13
4
(
0
)
(
13
4
)
(
4
)
(
0
)
(
13
)
0
(
4
)
(
4
)
0
(
)
0
(
)
(
2
2
2
+
=
+
+
=
+
−
+
−
=
+
−
+
′
−
−
+
+
+
s
s
y
s
s
s
y
s
sy
s
s
y
s
s
y
y
s
sy
y
sy
s
y
s
Stąd transformata rozwiązania dana jest zależnością:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
)
2
(
3
3
2
3
)
2
(
2
3
)
2
(
2
3
)
2
(
2
3
)
2
(
4
13
4
4
)
(
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
y
I ostatecznie rozwiązanie jest postaci:
23
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
)
(
1
3
sin
3
2
3
cos
)
(
2
t
t
t
e
t
y
t
⋅
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
−
10. Rozwiązać równanie różniczkowe metodą przekształcenia Laplace’a.
1
)
(
)
1
(
0
)
(
1
)
(
0
)
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
1
)
0
(
,
0
)
0
(
,
1
)
0
(
0
)
(
)
(
2
3
2
3
2
3
3
3
+
=
−
=
−
−
−
=
−
′′
−
′
−
−
=
′′
=
′
=
=
−
+
+
+
+
+
+
s
s
y
s
s
y
s
s
y
s
s
y
y
y
s
y
s
s
y
s
y
y
y
t
y
dt
t
y
d
Transformata
rozwiązania jest równa:
)
1
(
)
1
(
1
1
1
)
(
2
2
3
2
+
+
−
+
=
−
+
=
s
s
s
s
s
s
s
y
Transformatę tę można zapisać w postaci sumy dwóch ułamków:
24
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
1
(
1
1
)
(
2
2
2
3
2
2
1
2
3
2
1
+
+
−
+
=
+
+
−
−
+
+
+
+
=
+
+
+
+
−
=
s
s
s
s
s
s
s
s
A
s
A
s
s
A
s
s
A
s
A
s
A
s
y
Porównując współczynniki przy tych samych potęgach otrzymuje się układ równań:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
+
=
+
−
=
+
1
0
1
3
1
3
2
1
2
1
A
A
A
A
A
A
A
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
−
=
+
=
+
1
1
2
1
3
1
3
1
2
1
A
A
A
A
A
A
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−
=
=
+
1
3
2
1
3
1
1
2
1
A
A
A
A
A
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
−
=
=
3
1
3
2
3
1
3
2
1
A
A
A
Stąd, transformata rozwiązania ma postać:
25
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
1
1
3
1
1
1
3
2
)
(
2
+
+
−
+
−
=
s
s
s
s
s
y
po przekształceniach:
2
2
2
2
2
2
2
3
2
1
2
3
3
3
2
3
2
1
2
1
3
1
1
1
3
2
2
3
2
1
2
3
2
1
3
1
1
1
3
2
)
(
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
+
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
+
+
−
=
s
s
s
s
s
s
s
s
y
i ostatecznie rozwiązanie:
26
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
)
(
1
2
3
sin
3
3
2
3
cos
3
1
3
2
)
(
2
1
2
1
t
t
e
t
e
e
t
y
t
t
t
⋅
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
+
=
−
−
11. Rozwiązać równanie różniczkowe metodą przekształcenia Laplace’a.
1
)
0
(
,
1
)
0
(
)
(
1
2
)
(
4
)
(
4
)
(
2
2
−
=
′
=
⋅
=
+
+
+
+
y
y
t
t
y
dt
t
dy
dt
t
y
d
s
s
s
y
s
s
s
s
y
s
sy
s
s
y
s
s
s
y
y
s
sy
y
sy
s
y
s
2
3
)
(
)
4
4
(
2
)
(
4
4
)
(
4
1
)
(
2
)
(
4
)
0
(
4
)
(
4
)
0
(
)
0
(
)
(
2
2
2
+
+
=
+
+
=
+
−
+
+
−
=
+
−
+
′
−
−
+
+
+
Transformata rozwiązania jest równa:
)
4
4
(
2
3
)
(
2
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
y
27
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
)
4
4
(
2
3
)
4
4
(
)
4
4
(
4
4
)
(
2
2
2
3
2
2
2
1
2
3
2
1
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
s
s
A
s
A
s
s
A
s
s
A
s
A
s
A
s
y
Porównując współczynniki przy tych samych potęgach otrzymuje się układ równań:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
+
=
+
2
4
3
4
1
1
3
1
2
1
A
A
A
A
A
stąd
1
2
1
2
1
3
2
1
=
=
=
A
A
A
Stąd, transformata rozwiązania ma postać:
4
4
2
2
1
1
2
1
)
(
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
y
po przekształceniach:
2
1
2
1
1
2
1
)
2
(
2
2
1
1
2
1
)
(
2
+
+
=
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
y
Rozwiązanie jest postaci:
28
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
)
(
1
)
1
(
2
1
)
(
2
t
e
t
y
t
⋅
+
=
−
Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania
1. Znaleźć oryginał funkcji:
a.
3
1
)
(
+
−
=
s
s
s
F
b.
1
4
1
2
)
(
+
−
=
s
s
s
F
c.
3
4
1
)
(
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
F
d.
9
6
1
3
)
(
2
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
F
29
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
e.
13
6
1
3
)
(
2
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
F
2. Rozwiąż równanie różniczkowe metodą odwrotnego przekształcenia Laplace’a:
a.
3
)
0
(
,
2
)
0
(
)
(
1
8
)
(
4
)
(
)
(
3
'
2
2
−
=
=
⋅
=
−
+
+
+
y
y
t
t
y
dt
t
dy
dt
t
y
d
b.
5
)
0
(
,
0
)
0
(
)
(
1
8
)
(
4
)
(
4
)
(
'
2
2
=
=
⋅
=
+
+
+
+
y
y
t
t
y
dt
t
dy
dt
t
y
d
30
Automatyka i sterowanie – przekształcenie Laplace’a, przykłady
c.
0
)
0
(
,
2
)
0
(
)
(
1
34
)
(
34
)
(
6
)
(
'
2
2
=
−
=
⋅
=
+
+
+
+
y
y
t
t
y
dt
t
dy
dt
t
y
d