Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
1
Wykład 3a. Funkcje charakterystyczne zm. los. i ich własności
.
Funkcje charakterystyczne (F.Ch.)
Jest to bardzo użyteczne narzędzie w rękach matematyka
Definicja. Funkcja charakterystyczna zm. los. X to odwzorowanie
C
R
:
dane wzorem:
itX
def
Ee
)
t
(
, gdzie i =
1
, C- liczby zespolone.
lub
)
tX
sin(
iE
)
tX
cos(
E
)
t
(
lub
R
itx
x
itx
.
c
absolutnie
.
los
.
zm
dla
,
dx
)
x
(
f
e
.
dysk
.
los
.
zm
.
dla
,
)
x
X
(
P
e
)
t
(
Ostatnie przekształcenie znane jest pod nazwą transformata Fouriera
gęstości prawdopodobieństwa.
Przykład 1. X~ Poisson(
)
0
k
itk
e
)
t
(
!
k
e
k
=
0
k
k
it
)
e
(
!
k
1
e
=
it
e
e
e
=
)
1
e
(
it
e
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
2
Przykład 2. X
~N(0,1)
2
/
2
t
2
/
2
x
itx
e
dx
e
(
2
1
)
t
(
( Ostatnia równość nie jest natychmiastowa. Dowód można
sprowadzić do rozwiązania pewnego równania różniczkowego).
Twierdzenie 2.1. Własności F.Ch.
a)
itX
Ee
)
t
(
jest ciągła,
1
)
0
(
, |
1
|
)
t
(
b) Jeżeli E|X
k
|
, to F.Ch. jest k-krotnie różniczkowalna
oraz
)
X
(
E
i
)
0
(
k
k
)
k
(
c)
)
at
(
e
)
t
(
X
itb
b
aX
,
R
b
,
a
d)
)
t
(
)
t
(
X
X
e) Jeżeli X i Y są niezależne to
)
t
(
)
t
(
)
t
(
Y
X
Y
X
Związek
między gęstością zmiennej X a jej funkcją
charakterystyczną
Twierdzenie . Niech f(x) będzie gęstością rozkładu zm.
los. X. Załóżmy, że funkcja charakterystyczna
zmiennej losowej X jest całkowalna (tzn.
)
dt
|
)
t
(
|
. Wtedy mamy następującą równość
dt
)
t
(
e
2
1
)
x
(
f
itx
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
3
Twierdzenie 5.1 (O jednoznaczności). Funkcja charakterystyczna
jednoznacznie wyznacza rozkład prawdopodobieństwa, tzn. jeśli
)
t
(
)
t
(
X
X
dla wszystkich t
R
, to
)
x
(
F
)
x
(
F
X
X
dla x
R
.
Twierdzenie 5.2 (O ciągłości). Zbieżność funkcji
charakterystycznych w każdym punkcie jest równoważna
zbieżności rozkładów (dystrybuant) w każdym punkcie
z wyjątkiem, być może, punktów nieciągłości dystrybuanty
granicznej. Innymi słowy:
)
a
(
F
)
a
(
F
że
,
takich
a
dla
)
a
(
F
)
a
(
F
t
),
t
(
)
t
(
X
X
X
X
X
n
n
X
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
4
Wykład 3b.
Część 2
.
Rozkład gamma i jego funkcja charakterystyczna, rozkład
wykładniczy, rozkłady średnich z próby losowej prostej, rozkład chi-kwadrat z k stopniami
swobody.
Rozkład gamma. Funkcja charakterystyczna
Zmienna losowa X ma rozkład gamma, jeśli jej gęstość
prawdopodobieństwa jest postaci
0
p
,
0
a
0
x
dla
e
x
)
p
(
a
0
x
dla
0
)
x
(
f
ax
1
p
p
0
x
1
p
def
dx
e
x
)
p
(
Wzór na f(x) określa gęstość, ponieważ podstawiając y = ax mamy
1
dy
e
y
)
p
(
1
dx
e
x
)
p
(
a
0
y
1
p
0
ax
1
p
p
. Stąd
p
0
ax
1
p
a
)
p
(
dx
e
x
(*)
Ostatni wzór jest prawdziwy dla a = a
1
+i a
2
, a
1
> 0 (dowód
pomijamy).
Funkcja charakterystyczna dla zmiennej losowej o rozkładzie gamma
z parametrami a i p przybiera postać
)
t
(
dx
e
)
x
(
f
itx
p
p
p
p
0
x
)
it
a
(
1
p
p
a
it
1
a
it
1
/
1
)
it
a
(
)
p
(
)
p
(
a
dx
e
x
)
p
(
a
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
5
Momenty zmiennej los. o rozkładzie gamma(a,p)
E(X) =
a
p
, Var(X) =
2
a
p
Ważna uwaga. Przy parametrze p = 1 rozkład gamma sprowadza
się do rozkładu wykładniczego (przypominamy
1
)
1
(
).
0
,
0
x
dla
e
1
0
x
dla
0
)
x
(
f
x
1
Zwyczajowo parametr a oznacza się przez 1/
.
Zatem E(X) =
,
Var(X) =
2
Funkcja charakterystyczna dla zmiennej o rozkładzie wykładniczym
ma więc postać
)
it
1
(
1
)
t
(
Komentarz do rozkładów wykładniczych.
1. Jeżeli mamy do czynienia z próbą prostą pochodzącą z rozkładu
wykładniczego, to średnia arytmetyczna z próby losowej oznaczana
n
X
=
)
X
X
(
n
1
n
1
( kreska tym razem nie oznacza sprzężenia!)
ma parametry: E(
X
n
) =
, Var(
X
n
) =
n
/
2
. Zatem widać, że
statystyki tej można użyć do estymacji parametru
, który jest
wartością oczekiwaną w tym rozkładzie, a wariancja (miara
rozproszenia od tej wartości) zbiega do zera przy n
.
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
6
Rozkład średniej z próby losowej prostej:
n
2
1
X
,
X
,
X
1)
n
X
=
)
X
X
(
n
1
n
1
,
n
1
X
,
,
X
~ rozkład wykładniczy(
).
Przypominamy F.Ch spełnia warunek
)
at
(
e
)
t
(
X
itb
b
aX
,
zatem dla a=1/n, b=0 mamy
)
n
/
t
(
)
t
(
k
k
X
n
/
X
=
n
it
1
1
k
Zatem
n
X
jest sumą niezależnych zm. los., o identycznych F. Ch.
Otrzymujemy więc
n
X
X
X
X
n
it
1
1
)
n
/
t
(
)
n
/
t
(
)
n
/
t
(
)
t
(
n
2
1
n
Wniosek z twierdzenia o jednoznaczności.
n
X
ma rozkład
gamma z parametrami p = n, a = n/
.
2)
n
X
=
)
X
X
(
n
1
n
1
,
n
1
X
,
,
X
~ N(
)
,
k
k
X
Y
~ N(0,1); zatem
k
k
Y
X
Z własności F. Ch.
)
at
(
e
)
t
(
X
itb
b
aX
oraz z faktu
2
/
t
Y
2
k
e
)
t
(
mamy
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
7
2
/
t
it
2
/
t
it
Y
it
Y
X
2
2
2
2
k
k
k
e
e
e
)
t
(
e
)
t
(
)
t
(
Zatem
n
2
t
it
n
)
n
2
t
n
it
(
)
X
(
n
2
t
n
it
n
/
)
X
(
2
2
2
2
2
2
2
2
k
e
e
)
t
(
zatem
e
)
t
(
Wniosek. Z postaci funkcji charakterystycznej wynika, że
średnia
n
X
z próby pochodzącej z rozkładu normalnego
N
(
)
,
ma rozkład N(
)
n
/
,
.
Rozkład Chi-kwadrat z k-stopniami swobody
Jest to rozkład zmiennej losowej
k
1
i
2
i
Z
X
gdzie
k
,
,
2
,
1
i
Z
i
są niezależnymi zmiennymi losowymi
o rozkładzie N(0,1). Zapis: X
~
2
(k)
Stwierdzenie 4.1 Rozkład
2
(k) jest rozkładem Gamma z
parametrami p= k/2, a=1/2.
Dowód. Niech Y=Z
2
. Niech
F
1
(y) = P(
)
y
(
F
)
y
(
F
)
y
Z
y
(
P
)
y
Z
2
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
8
Zatem
f
1
(y) = 0 dla y
0
, natomiast z faktu , że gęstość rozkładu N(0,1) jest
symetryczna, mamy
f
1
(y) =
y
)
y
(
f
y
2
/
)
y
(
f
2
)
)
y
(
F
)
y
((
F
Stąd, biorąc pod
uwagę gęstość rozkładu normalnego, otrzymujemy
f
1
(y)=
0
y
dla
e
y
2
1
0
y
dla
0
2
y
2
/
1
Tak więc Y ma rozkład Gamma ( ½, ½).
Można wykazać (posługując się np. F. Ch.) następujący fakt.
Lemat. Jeżeli niezależne zmienne losowe mają rozkłady gamma
o parametrach (p
1
,a),...,(p
n
,a) to zm. los.
X
1
+....+X
n
ma rozkład gamma o parametrach
)
a
,
p
(
n
1
i
i
.
W naszym przypadku
Y
i
=
2
i
Z
mają rozkłady gamma o parametrach (1/2,1/2).
Zatem
k
1
i
2
i
Z
X
=
k
1
i
i
Y
ma rozkład gamma z parametrami
p = k/2 oraz a = 1/2 c.b.d.o.
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
9
Wniosek. Jeżeli zmienne losowe Z
1
, Z
2
, ... ,Z
n
są niezależne i o
jednakowym rozkładzie N(
)
,
to statystyka
n
1
i
2
2
i
)
Z
(
X
ma rozkład
)
n
(
2
.