Badanie przebiegu zmienności funkcji.
Ekstremum funkcji.
Def.
Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x
o
.
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x
o
extremum lokalne
⇔
∃
S(x
o
,δ)
∀
x∈S
f(x) < f(x
o
) maksimum loka ln e wlasciwe
f(x) ≤ f(x
o
) maksimum
loka
ln e
f(x) > f(x
o
) min imum loka ln e wlasciwe
f(x) ≥ f(x
o
) minimum
loka
ln e
.
Tw. (warunek konieczny extremum).
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x
o
i ma w tym punkcie extremum,
to f ' (x
o
) = 0.
Wniosek.
Funkcja może mieć extremum tylko w tych punktach ,
w których pochodna bądź nie istnieje, bądź jest równa zeru.
Tw. (1 - warunek wystarczający extremum).
Jeżeli funkcja
1)
,
f
,
f ∈ C
o
(Q(x
o
, δ); R)
∈ C
1
(S(x
o
, δ); R)
2)
f '(x) > 0 (<)
∀x ∈ S
−
(x
o
, δ)
3)
f '(x) < 0 (>)
∀x ∈ S
+
(x
o
, δ)
to f ma w punkcie x
o
extremum i jest to maksimum (minimum).
Tw. (2 - warunek wystarczający extremum).
Jeżeli funkcja
1)
f∈ C
2
(Q(x
o
, δ); R)
2)
f ' (x
o
) = 0,
3)
f '' (x
o
) 0,
≠
to f ma w punkcie x
o
extremum,
przy czym jest to maksimum , gdy f ''(x
o
) < 0, zaś minimum, gdy f ''(x
o
) > 0.
Przykład.
Znajdź ekstrema lokalne funkcji:
f(x) =
.
e
−x
⋅
3
x
2
Df = R.
f '(x) =
,
Df ' =
,
e
−x
x
−
1
3
(2
3
− x) =
2
3
− x
e
x
⋅
3
x
R
\{0}
2
3
x
y
0
2/3
1
1
f '(x) < 0 ?
,
⇔
x ∈ (−∞
, 0) ∪
2
3
, ∞
f '(x) = 0 ?
,
⇔
e
−x
x
−
1
3
(2
3
− x) = 0 ⇔
x =
2
3
f '(x) > 0 ?
.
⇔
x ∈
0,
2
3
Zatem zgodnie z twierdzeniami wyrażającymi warunek konieczny i wystarczający
istnienia ekstremum wnioskujemy,
ż
e w punkcie x=0 funkcja f osiąga minimum f(0) = 0
oraz w punkcie x = maksimum f( ) =
.
2
3
2
3
e
−
2
3
⋅
3
2
3
2
Ćwiczenia.
Zad.1.
Znajdź ekstrema lokalne funkcji:
a)
f(x) =
,
3
x
2
b)
f(x) = x exp ,
1
x
c)
f(x) =
.
3
2x
2
− x
3
d)
f(x) = exp
−
(x−1)
2
4
Wklęsłość i wypukłość krzywej.
Punkt przegięcia krzywej.
Def.
Krzywą K opisaną funkcją y = f(x) nazywamy ( ściśle ) wypukłą na przedziale (a,b)
styczna do wykresu funkcji poprowadzona w punkcie (x
o
,f(x
o
))
⇔
∀
x
0
∈(a,b)
jest położona pod tą krzywą ( z wyjątkiem punktu styczności).
W sposób precyzyjny:
∀
x
1
,x
2
∈(a,b)
∀
0≤α≤1
f[α ⋅ x
1
+ (1 − α) ⋅ x
2
]
<
α ⋅ f(x
1
) + (1 − α) ⋅ f(x
2
)
w szczególności dla
:
.
α =
1
2
f
x
1
+ x
2
2
<
f(x
1
) + f(x
2
)
2
Analogicznie określamy funkcję wklęsłą na przedziale (a,b).
Tw.
Jeżeli funkcja
1)
f ∈ C
2
((a, b); R)
2)
f ''(x) > 0 dla x
,
∈ (a, b)
to krzywa K opisana funkcją f jest wypukła ((< 0) wklęsła) na przedziale (a,b).
2
Def.
Punkt P
o
(x
o
, f(x
o
)) nazywamy punktem przegięcia krzywej K : y = f(x) ⇔
1)
istnieje styczna do krzywej K w punkcie P
o
,
2)
krzywa K jest w lewostronnym sąsiedztwie punktu P
o
wypukła
zaś w prawostronnym wklęsła lub odwrotnie.
Tw. (1 - warunek konieczny punktu przegięcia)
Jeżeli funkcja
1)
f
,
∈
∈
∈
∈C
2
(Q(x
o
,δ),R)
2)
krzywa K opisana przez funkcję f posiada w punkcie Po
punkt przegięcia, to
f '' (x
o
) = 0 .
Tw. (1 - warunek wystarczający p.p.).
Jeżeli funkcja
1)
f
,
∈
∈
∈
∈C
2
(S(x
o
,δ),R)
2)
f ''(x) > 0 (<)
,
x ∈
S
+
(x
o
,δ)
3)
f ''(x) < 0 (>)
,
x ∈
S
−
(x
o
,δ)
to K ma w punkcie Po (x
o
,f(x
o
)) punkt przegięcia.
Asymptoty.
Def.
1
0
. Prostą o równaniu x = x
o
nazywamy asymptotą pionową lewostronną
krzywej K: y = f(x) w punkcie x
o
.
⇔
x→x
o
−
lim f(x) = − ∞ albo
x→x
o
−
lim f(x) = + ∞
2
0
. Analogicznie określamy asymptotę pionową prawostronną.
Def.
1
0
. Prostą o równaniu y = ax + b ( gdy a
) nazywamy asymptotą ukośną
≠ 0
krzywej K: y = f(x) w +
.
∞ ⇔
x→+∞
lim [f(x) − (ax + b)] = 0
2
0
. Analogicznie określamy asymptotę ukośną w - .
∞
Tw.
1
o
. Prostą o równaniu y = ax + b ( gdy a
) jest asymptotą ukośną
≠ 0
krzywej K: y = f(x) w
istnieją i są skończone
+∞
⇔
.
x→+∞
lim
f(x)
x
= a oraz
x→+∞
lim [f(x) − ax] = b
2
0
. Prostą o równaniu y = ax + b ( gdy a
) jest asymptotą ukośną
≠ 0
krzywej K: y = f(x) w -
istnieją i są skończone
∞
⇔
.
x→−∞
lim
f(x)
x
= a oraz
x→−∞
lim [f(x) − ax] = b
3
Przykład.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
f(x) =
x
3
− 2
(x − 1)
2
1. Df = R\{1}
2.
,
x→−∞
lim
x
3
− 2
(x − 1)
2
=
x→−∞
lim
x
2
x −
2
x
2
x
2
1 −
1
x
2
= −∞
3.
,
x→+∞
lim
x
3
− 2
(x − 1)
2
=
x→+∞
lim
x
2
x −
2
x
2
x
2
1 −
1
x
2
= +∞
4.
,
x→
1
−
lim
x
3
− 2
(x − 1)
2
−1
0+
= −∞
5.
,
x→
1
+
lim
x
3
− 2
(x − 1)
2
−1
0+
= −∞
6. f '(x) =
,
Df ' =R\{1},
(x + 1) ⋅ (x − 2)
2
(x − 1)
3
-1
1
2
1
x
y
y=x+1
y = ( x - 2 )
y=(x-1)
3
2
7.
f '(x) < 0
,
⇔
x ∈ (−
1, 1)
8.
f '(x)= 0
,
⇔
x = −
1
∨
x =
2
9.
f '(x) > 0
,
⇔
x ∈ (−∞
, − 1)
∪
(1, 2)
∪
(2, + ∞)
10.
f ''(x) =
,
Df '' =R\{1},
(x + 1) ⋅ (x − 2)
2
(x − 1)
3
=
6 ⋅ (x − 2)
(x − 1)
4
11.
f ''(x)<0
,
⇔
x ∈ (−∞
, 1)
∪
(1, 2)
12.
f ''(x)=0
,
⇔
x =
2
13.
f ''(x)>0
,
⇔
x ∈ (
2, + ∞)
14.
x→± ∞
lim
f(x)
x
= a oraz
x→± ∞
lim [f(x) − ax] = b .
15.
x→± ∞
lim
x
3
− 2
x(x −
1)
2
= 1
oraz
x→± ∞
lim
x
3
− 2
(x − 1)
2
− x
=
x→±∞
lim
2x
2
− x − 2
(x − 1)
2
= 2
asymptota ukośna w
ma równanie :
y = x+2 ,
+∞ oraz
− ∞
4
16.
Tabela:
x
− ∞...
-1
...
1
...
2
...∞
f '(x)
+
0
-
X
+
0
+
f ''(x)
-
-
-
X
-
0
+
f(x)
max
X
p.p.
−
3
4
X
6
-5
-2.5
2.5
5
7.5
-20
-10
10
Przykład.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
f(x) =
1
σ ⋅ 2π
⋅ e
−
(x − m)2
2⋅σ2
,
gdzie parametry
σ > 0, m ∈ R
1. Df = R,
2.
,
x→−∞
lim
1
σ ⋅ 2π
⋅ e
−
(x − m)2
2⋅σ2
=
x→+∞
lim
1
σ ⋅ 2π
⋅ e
−
(x − m)2
2⋅σ2
= 0
3. Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie, a ponadto f(x-m) = f(x+m),
tzn. wykres jest symetryczny względem prostej x = m.
5
4. f '(x) =
,
Df ' =R,
1
σ ⋅ 2π
⋅ e
−
(x − m)2
2⋅σ2
⋅ m
− x
σ
2
5.
f '(x)
> 0 dla
= 0 dla
< 0 dla
x < m
x = m
x > m
6. f ''(x) =
(m − x)
2
− σ
2
σ
5
⋅ 2π
⋅ e
−
(x − m)2
2⋅σ2
⋅
7. f ''(x)
,
Df '' =R,
> 0 dla
= 0 dla
< 0 dla
x < m − σ
∨
x > m − σ
x = m − σ
∨
x = m + σ
m − σ < x < m + σ
x
− ∞...
m- σ
...
m
...
m+σ
...∞
f '(x)
+
+
+
0
-
-
-
f ''(x)
+
0
-
-
-
0
+
f(x)
p.p
max.
p.p.
1
2πe ⋅σ
1
2π ⋅σ
1
2πe ⋅σ
x
f(x)
m
m -
m +
Funkcja, której wykres przedstawiliśmy pełni ważną rolę
w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce, nosi ona nazwę krzywej Gaussa,
charakteryzującej rozkład normalny zmiennej losowej.
Jest to funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego,
ma maksimum dla x = m, które wynosi
1
2π ⋅ σ
;
punkty przegięcia dla x
1
= m − σ, x
2
= m + σ; krzywa jest symetryczna
względem prostej x = m; zbliża się asymptotycznie do osi OX.
6
Ćwiczenia.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
1.
2.
f( x ) =
3
x
2
,
f( x ) = x e
1
x
,
3.
4.
f( x ) =
x
2
+ 1 ,
f( x ) =
x
2
x
2
− 1
,
5.
6.
f( x ) =
x
ln x
,
f( x ) = (
2x − 5) ⋅
3
x
2
,
7.
8.
f( x ) =
x
2
− 1 ,
f( x ) =
3
2x
2
− x
3
,
9.
9.
f(x) =
,
f( x ) =
x
3
+ 2
(x + 1)
2
,
x ⋅ e
1
x3
10.
,
11.
f(x) =
,
f( x ) =
arcsin
2x
x
2
+ 1
4
x ⋅ exp(−
(x − 2)
2
)
12.
f(x) =
,
13.
f(x) = 1 - x +
.
x
3
2(x + 1)
2
x
3
x +
3
7