Badanie przebiegu zmienności funkcji.

Ekstremum funkcji.

Def.

Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x

o

.

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x

o

extremum lokalne

⇔

∃

S(x

o

,δ)

∀

x∈S














f(x) < f(x

o

) maksimum loka ln e wlasciwe

f(x) ≤ f(x

o

) maksimum

loka

ln e

f(x) > f(x

o

) min imum loka ln e wlasciwe

f(x) ≥ f(x

o

) minimum

loka

ln e














.

Tw. (warunek konieczny extremum).

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x

o

i ma w tym punkcie extremum,

to f ' (x

o

) = 0.

Wniosek.

Funkcja może mieć extremum tylko w tych punktach ,
w których pochodna bądź nie istnieje, bądź jest równa zeru.

Tw. (1 - warunek wystarczający extremum).

Jeżeli funkcja

1)

,

f

,

f ∈ C

o

(Q(x

o

, δ); R)

∈ C

1

(S(x

o

, δ); R)

2)

f '(x) > 0 (<)

∀x ∈ S

−

(x

o

, δ)

3)

f '(x) < 0 (>)

∀x ∈ S

+

(x

o

, δ)

to f ma w punkcie x

o

extremum i jest to maksimum (minimum).

Tw. (2 - warunek wystarczający extremum).

Jeżeli funkcja

1)

f∈ C

2

(Q(x

o

, δ); R)

2)

f ' (x

o

) = 0,

3)

f '' (x

o

) 0,

≠

to f ma w punkcie x

o

extremum,

przy czym jest to maksimum , gdy f ''(x

o

) < 0, zaś minimum, gdy f ''(x

o

) > 0.

Przykład.

Znajdź ekstrema lokalne funkcji:

f(x) =

.

e

−x

⋅

3

x

2

Df = R.

f '(x) =

,

Df ' =

,

e

−x

x

−

1
3

(2

3

− x) =

2
3

− x

e

x

⋅

3

x

R

\{0}

2

3

x

y

0

2/3

1

1

f '(x) < 0 ?

,

⇔

x ∈ (−∞

, 0) ∪





2
3

, ∞





f '(x) = 0 ?

,

⇔

e

−x

x

−

1
3

(2

3

− x) = 0 ⇔

x =

2
3

f '(x) > 0 ?

.

⇔

x ∈



0,

2
3





Zatem zgodnie z twierdzeniami wyrażającymi warunek konieczny i wystarczający
istnienia ekstremum wnioskujemy,
ż

e w punkcie x=0 funkcja f osiąga minimum f(0) = 0

oraz w punkcie x = maksimum f( ) =

.

2
3

2
3

e

−

2
3

⋅

3





2
3





2

Ćwiczenia.

Zad.1.

Znajdź ekstrema lokalne funkcji:

a)

f(x) =

,

3

x

2

b)

f(x) = x exp ,

1

x

c)

f(x) =

.

3

2x

2

− x

3

d)

f(x) = exp



−

(x−1)

2

4





Wklęsłość i wypukłość krzywej.
Punkt przegięcia krzywej.

Def.
Krzywą K opisaną funkcją y = f(x) nazywamy ( ściśle ) wypukłą na przedziale (a,b)

styczna do wykresu funkcji poprowadzona w punkcie (x

o

,f(x

o

))

⇔

∀

x

0

∈(a,b)

jest położona pod tą krzywą ( z wyjątkiem punktu styczności).

W sposób precyzyjny:

∀

x

1

,x

2

∈(a,b)

∀

0≤α≤1

f[α ⋅ x

1

+ (1 − α) ⋅ x

2

]

<

α ⋅ f(x

1

) + (1 − α) ⋅ f(x

2

)

w szczególności dla

:

.

α =

1
2

f






x

1

+ x

2

2




 <

f(x

1

) + f(x

2

)

2

Analogicznie określamy funkcję wklęsłą na przedziale (a,b).

Tw.

Jeżeli funkcja

1)

f ∈ C

2

((a, b); R)

2)

f ''(x) > 0 dla x

,

∈ (a, b)

to krzywa K opisana funkcją f jest wypukła ((< 0) wklęsła) na przedziale (a,b).

2

Def.

Punkt P

o

(x

o

, f(x

o

)) nazywamy punktem przegięcia krzywej K : y = f(x) ⇔

1)

istnieje styczna do krzywej K w punkcie P

o

,

2)

krzywa K jest w lewostronnym sąsiedztwie punktu P

o

wypukła

zaś w prawostronnym wklęsła lub odwrotnie.

Tw. (1 - warunek konieczny punktu przegięcia)

Jeżeli funkcja

1)

f

,

∈

∈

∈

∈C

2

(Q(x

o

,δ),R)

2)

krzywa K opisana przez funkcję f posiada w punkcie Po

punkt przegięcia, to

f '' (x

o

) = 0 .

Tw. (1 - warunek wystarczający p.p.).

Jeżeli funkcja

1)

f

,

∈

∈

∈

∈C

2

(S(x

o

,δ),R)

2)

f ''(x) > 0 (<)

,

x ∈

S

+

(x

o

,δ)

3)

f ''(x) < 0 (>)

,

x ∈

S

−

(x

o

,δ)

to K ma w punkcie Po (x

o

,f(x

o

)) punkt przegięcia.

Asymptoty.
Def.

1

0

. Prostą o równaniu x = x

o

nazywamy asymptotą pionową lewostronną

krzywej K: y = f(x) w punkcie x

o

.

⇔

x→x

o

−

lim f(x) = − ∞ albo

x→x

o

−

lim f(x) = + ∞

2

0

. Analogicznie określamy asymptotę pionową prawostronną.

Def.

1

0

. Prostą o równaniu y = ax + b ( gdy a

) nazywamy asymptotą ukośną

≠ 0

krzywej K: y = f(x) w +

.

∞ ⇔

x→+∞

lim [f(x) − (ax + b)] = 0

2

0

. Analogicznie określamy asymptotę ukośną w - .

∞

Tw.

1

o

. Prostą o równaniu y = ax + b ( gdy a

) jest asymptotą ukośną

≠ 0

krzywej K: y = f(x) w

istnieją i są skończone

+∞

⇔

.

x→+∞

lim






f(x)

x




 = a oraz

x→+∞

lim [f(x) − ax] = b

2

0

. Prostą o równaniu y = ax + b ( gdy a

) jest asymptotą ukośną

≠ 0

krzywej K: y = f(x) w -

istnieją i są skończone

∞

⇔

.

x→−∞

lim






f(x)

x




 = a oraz

x→−∞

lim [f(x) − ax] = b

3

Przykład.

Zbadaj przebieg zmienności funkcji:

f(x) =

x

3

− 2

(x − 1)

2

1. Df = R\{1}

2.

,

x→−∞

lim

x

3

− 2

(x − 1)

2

=

x→−∞

lim

x

2



x −

2

x

2





x

2



1 −

1

x





2

= −∞

3.

,

x→+∞

lim

x

3

− 2

(x − 1)

2

=

x→+∞

lim

x

2



x −

2

x

2





x

2



1 −

1

x





2

= +∞

4.

,

x→

1

−

lim

x

3

− 2

(x − 1)

2





−1

0+





= −∞

5.

,

x→

1

+

lim

x

3

− 2

(x − 1)

2





−1

0+





= −∞

6. f '(x) =

,

Df ' =R\{1},

(x + 1) ⋅ (x − 2)

2

(x − 1)

3

-1

1

2

1

x

y

y=x+1

y = ( x - 2 )

y=(x-1)

3

2

7.

f '(x) < 0

,

⇔

x ∈ (−

1, 1)

8.

f '(x)= 0

,

⇔

x = −

1

∨

x =

2

9.

f '(x) > 0

,

⇔

x ∈ (−∞

, − 1)

∪

(1, 2)

∪

(2, + ∞)

10.

f ''(x) =

,

Df '' =R\{1},







(x + 1) ⋅ (x − 2)

2

(x − 1)

3





 =

6 ⋅ (x − 2)

(x − 1)

4

11.

f ''(x)<0

,

⇔

x ∈ (−∞

, 1)

∪

(1, 2)

12.

f ''(x)=0

,

⇔

x =

2

13.

f ''(x)>0

,

⇔

x ∈ (

2, + ∞)

14.

x→± ∞

lim 

f(x)

x



 = a oraz

x→± ∞

lim [f(x) − ax] = b .

15.

x→± ∞

lim





 x

3

− 2

x(x −

1)

2





 = 1

oraz

x→± ∞

lim





 x

3

− 2

(x − 1)

2

− x





 =

x→±∞

lim





 2x

2

− x − 2

(x − 1)

2





 = 2

asymptota ukośna w

ma równanie :

y = x+2 ,

+∞ oraz

− ∞

4

16.

Tabela:

x

− ∞...

-1

...

1

...

2

...∞

f '(x)

+

0

-

X

+

0

+

f ''(x)

-

-

-

X

-

0

+

f(x)

max

X

p.p.

−

3
4

X

6

-5

-2.5

2.5

5

7.5

-20

-10

10

Przykład.

Zbadaj przebieg zmienności funkcji:

f(x) =

1

σ ⋅ 2π

⋅ e

−

(x − m)2

2⋅σ2

,

gdzie parametry

σ > 0, m ∈ R

1. Df = R,

2.

,

x→−∞

lim

1

σ ⋅ 2π

⋅ e

−

(x − m)2

2⋅σ2

=

x→+∞

lim

1

σ ⋅ 2π

⋅ e

−

(x − m)2

2⋅σ2

= 0

3. Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie, a ponadto f(x-m) = f(x+m),

tzn. wykres jest symetryczny względem prostej x = m.

5

4. f '(x) =

,

Df ' =R,

1

σ ⋅ 2π

⋅ e

−

(x − m)2

2⋅σ2

⋅ m

− x

σ

2

5.

f '(x)










> 0 dla
= 0 dla
< 0 dla

x < m
x = m
x > m










6. f ''(x) =

(m − x)

2

− σ

2

σ

5

⋅ 2π

⋅ e

−

(x − m)2

2⋅σ2

⋅

7. f ''(x)

,

Df '' =R,










> 0 dla
= 0 dla
< 0 dla

x < m − σ

∨

x > m − σ

x = m − σ

∨

x = m + σ

m − σ < x < m + σ










x

− ∞...

m- σ

...

m

...

m+σ

...∞

f '(x)

+

+

+

0

-

-

-

f ''(x)

+

0

-

-

-

0

+

f(x)

p.p

max.

p.p.

1

2πe ⋅σ

1

2π ⋅σ

1

2πe ⋅σ

x

f(x)

m

m -

m +

Funkcja, której wykres przedstawiliśmy pełni ważną rolę
w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce, nosi ona nazwę krzywej Gaussa,
charakteryzującej rozkład normalny zmiennej losowej.
Jest to funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego,

ma maksimum dla x = m, które wynosi

1

2π ⋅ σ

;

punkty przegięcia dla x

1

= m − σ, x

2

= m + σ; krzywa jest symetryczna

względem prostej x = m; zbliża się asymptotycznie do osi OX.

6

Ćwiczenia.

Zbadaj przebieg zmienności funkcji:

1.

2.

f( x ) =

3

x

2

,

f( x ) = x e

1
x

,

3.

4.

f( x ) =

x

2

+ 1 ,

f( x ) =

x

2

x

2

− 1

,

5.

6.

f( x ) =

x

ln x

,

f( x ) = (

2x − 5) ⋅

3

x

2

,

7.

8.

f( x ) =

x

2

− 1 ,

f( x ) =

3

2x

2

− x

3

,

9.

9.

f(x) =

,

f( x ) =

x

3

+ 2

(x + 1)

2

,

x ⋅ e

1

x3

10.

,

11.

f(x) =

,

f( x ) =

arcsin

2x

x

2

+ 1

4

x ⋅ exp(−

(x − 2)

2

)

12.

f(x) =

,

13.

f(x) = 1 - x +

.

x

3

2(x + 1)

2

x

3

x +

3

7