Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 18
18. Siła elektrostatyczna
18.1 Wstęp
Oddziaływanie elektromagnetyczne - chyba najważniejsze w fizyce. Pozwala wyja-
śnić nie tylko zjawiska elektryczne ale też siły zespalające materię na poziomie ato-
mów, cząsteczek. Przewodniki i izolatory. Doświadczenie z naładowaniem pręta meta-
lowego i pręta szklanego. Zdolność izolacyjna stopionego kwarcu jest 10
25
razy większa
niż miedzi.
18.2 Ładunek elektryczny
Porównajmy siłę grawitacyjną pomiędzy elektronem i protonem w atomie wodoru
F = 3.61·10
-47
N z siła elektryczną pomiędzy nimi w tym samym atomie F = 2.27·10
-8
N.
To, że siły grawitacyjne dla "dużych" ciał dominują wynika stąd, że liczby protonów i
elektronów są równe.
Nie istnieje, żaden związek między masą i ładunkiem.
W przeciwieństwie do masy ładunki "+" lub "-".
18.2.1 Kwantyzacja ładunku
Ładunek elementarny e = 1.6·10
-19
C.
Wszystkie ładunki są wielokrotnością e.
18.2.2 Zachowanie ładunku
Zasada zachowania ładunku - B. Franklin.
Wypadkowy ładunek w układzie zamknię-
tym jest stały.
18.3 Prawo Coulomba
Siła oddziaływania dwóch ładunków q
1
i q
2
2
2
1
r
q
q
k
F
=
(18.1)
gdzie stała
0
4
1
πε
=
k
. Współczynnik
ε
0
= 8.854·10
-12
C
2
/(Nm
2
) nosi
nazwę przenikalno-
ści elektrycznej próżni.
W układzie cgs k = 1.
18.3.1 Zasada superpozycji
Siłę wypadkową
(tak jak w grawitacji)
obliczamy dodając wektorowo siły dwuciało-
we
.
Przykład 1
18-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Dipol elektryczny składa się z dwóch ładunków oddalonych od siebie l. Jaka siła
jest wywierana na ładunek q umieszczony tak jak na rysunku?
+Q
-Q
l
q
F
F
2
F
1
r
r
Z podobieństwa trójkątów
r
l
F
F =
1
Stąd
3
3
2
1
r
p
qk
r
Ql
qk
r
Qq
k
r
l
F
r
l
F
=
=
=
=
gdzie p = Ql jest
momentem dipolowym
.
18.4 Pole elektryczne
W wykładzie 6 zdefiniowaliśmy natężenie pola grawitacyjnego w dowolnym punk-
cie przestrzeni jako siłę grawitacyjną działająca na masę m umieszczoną w tym punkcie
przestrzeni podzieloną przez tę masę.
Analogicznie
definiujemy natężenie pola elektrycznego jako siłę działającą na ładunek
próbny q (umieszczony w danym punkcie przestrzeni) podzieloną przez ten ładunek
.
Aby zmierzyć natężenie pola elektrycznego E w dowolnym punkcie P, należy w tym
punkcie umieścić ładunek próbny i zmierzyć wypadkową siłę elektryczną F działającą
na ten ładunek. Należy upewnić się czy obecność ładunku q nie zmienia położeń innych
ładunków. Wtedy
q
F
E
=
(18.2)
Ładunek próbny jest dodatni
(umowa). Kierunek E jest taki sam jak F (na ładunek do-
datni).
Przykład 2
Ten sam układ co poprzednio tylko w punkcie P nie ma "jakiegoś" ładunku tylko
tam umieścimy ładunek próbny. Korzystając z otrzymanej zależności obliczamy E
3
3
r
p
k
q
r
p
kq
E
=
=
18-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Pole E w punkcie P jest skierowane w prawo.
+Q
-Q
l
F
F
2
F
1
r
r
P
Pole E w odległości r od ładunku punktowego Q jest równe
r
r
Q
k
r
r
Qq
k
q
q
ˆ
ˆ
1
1
2
2
=
=
= F
E
Pole elektryczne od n ładunków punktowych jest równe sumie wektorowej pól elek-
trycznych
∑
=
=
n
i
i
i
i
r
r
Q
k
1
2
ˆ
E
Przykład 3
Całkowity ładunek naładowanego pierścienia o promieniu R wynosi Q. Jakie jest
pole elektryczne na osi pierścienia w odległości x
0
od środka?
R
x
0
r
P
dE
dE
x
α
Pole wytwarzane przez element dl pierścienia jest równe
dE
x
= dE(cos
α)
cos
α = x
0
/r
Jeżeli
λ = Q/2πR jest liniową gęstością ładunku to
2
d
d
r
l
k
E
λ
=
oraz
r
x
r
l
k
E
x
0
2
d
d
λ
=
18-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Stąd
2
3
2
2
0
0
3
0
3
0
)
(
)
2
(
d
R
x
Q
kx
R
r
x
k
l
r
x
k
E
E
x
+
=
=
=
=
∫
π
λ
λ
Zwróćmy uwagę, że w środku pierścienia (x
0
= 0) E = 0, a dla x
0
>> R pole E
→ kQ/x
0
2
i jest takie samo jak pole ładunku punktowego w tej odległości.
Jedną z zalet posługiwania się pojęciem pola elektrycznego jest to, że nie musimy
zajmować się szczegółami źródła pola. Np. pole E = kQ/r
2
może pochodzić od wielu
źródeł.
18.4.1 Linie sił
Kierunek pola E w przestrzeni można przedstawić za pomocą tzw.
linii sił
. Linie nie
tylko pokazują kierunek E ale też jego wartość (liczba linii na jednostkę powierzchni).
Jeżeli liczbę linii przechodzących przez powierzchnię
∆S oznaczymy ∆
φ to wówczas
∆
φ = E ∆S = E∆S cosα
gdzie
α jest kątem pomiędzy wektorem powierzchni ∆S i wektorem E.
W ogólności więc
d
φ = dE ds
(18.3)
i jest to definicja
strumienia elektrycznego
.
Całkowity strumień przechodzący przez powierzchnię S można obliczyć jako sumę
przyczynków od elementów powierzchni
∑
∆
=
ia
powierzchn
S
E
φ
Suma ta przedstawia całkę powierzchniową
∫
=
S
S
E d
φ
(18.4)
Obliczmy teraz strumień dla ładunku punktowego w odległości r od niego.
W tym celu rysujemy kulę o promieniu r wokół ładunku Q i liczymy strumień (liczbę
linii przez powierzchnię).
0
2
2
2
4
)
4
(
)
4
(
ε
π
π
π
φ
Q
kQ
r
r
Q
k
r
E
=
=
=
=
(18.5)
Otrzymany strumień nie zależy od r, a zatem strumień jest
jednakowy dla wszystkich r
.
Całkowita liczba linii wychodzących od ładunku jest równa Q/
ε
0
i linie te ciągną się do
nieskończoności.
18-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Ponieważ pokazaliśmy, że strumień jest taki sam przez każdą powierzchnię niezależnie
od r więc jest to prawdą dla zamkniętej powierzchni o dowolnym kształcie (która ota-
cza ładunek Q).
Taka powierzchnia nazywa się
powierzchnią Gaussa
.
18.5 Prawo Gaussa.
Niech zamknięta powierzchnia obejmuje dwa ładunki Q
1
i Q
2
. Całkowita liczba linii
sił przecinająca powierzchnię zamkniętą wokół ładunków Q
1
i Q
2
jest równa
∫
∫
∫
∫
+
=
+
=
=
S
E
S
E
S
E
E
S
E
d
d
d
)
(
d
1
1
2
1
µ k
ca
φ
gdzie E
1
jest wytwarzane przez Q
1
, a E
2
przez Q
2
. Powołując się na wcześniejszy wynik
otrzymujemy
φ
całk
= (Q
1
/
ε
0
) + (Q
2
/
ε
0
) = (Q
1
+ Q
2
)/
ε
0
Całkowita liczba linii sił jest równa
całkowitemu ładunkowi
podzielonemu przez
ε
0
. Po-
dobnie można pokazać dla dowolnej liczby n ładunków.
Otrzymujemy więc
prawo Gaussa
0
.
.
4
d
ε
π
wewn
wewn
Q
kQ
=
=
∫
S
E
(18.6)
Strumień pola wychodzący z naładowanego ciała jest równa wypadkowemu ładunkowi
podzielonemu przez
ε
0
. Jeżeli Q jest ujemne strumień wpływa do ciała.
Linie mogą zaczynać się i kończyć tylko na ładunkach a wszędzie indziej są ciągłe.
A co w sytuacji gdy na zewnątrz zamkniętej powierzchni są ładunki?
Rozważmy zamkniętą powierzchnię (rysunek) wewnątrz której Q
wewn.
= 0, a linie sił
pochodzą od ładunku na zewnątrz.
c
b
a
d
18-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Całkowity strumień dzielimy na części
φ
całk
=
φ
ab
+
φ
bc
+
φ
cd
+
φ
da
Z rysunku widać, że
φ
ab
= +2,
φ
bc
= +3,
φ
cd
= -7,
φ
da
= +2. Tak więc
φ
całk
= +2 + 3 - 7 + 2 = 0
Na następnym wykładzie zastosujemy prawo Gaussa do obliczania E dla różnych nała-
dowanych ciał.
18-6