1

5. RACHUNEK WEKTOROWY

Def.5.1
Przestrzeń

3

R - zbiór wszystkich uporządkowanych trójek ( , , )

x y z liczb rzeczywistych, tj.





3

( , , ) :

, ,

x y z

x y z





R

R .

Interpretacja geometryczna przestrzeni

3

R

Przestrzeń

3

R interpretujemy jako:

1.zbiór wszystkich punktów ( , , )

P x y z w przestrzeni.

Elementy przestrzeni

3

R nazywamy punktami i oznaczamy

dużymi literami alfabetu tj. A, B, C, P, Q itd.
Liczby x, y, z nazywamy wtedy współrzędnymi punktu ( , , )

P x y z .

2. zbiór wszystkich wektorów zaczepionych

a

OP





w przestrzeni.

Wektory te mają wspólny początek (0,0,0)

O

, a końce w punktach

( , , )

P x y z . Wektor

OP



nazywamy wektorem wodzącym punktu P.

W tej interpretacji elementy przestrzeni

3

R nazywamy wektorami

i oznaczamy przez

, , , , ,

a b c u v w

itd.

Liczby x, y, z nazywamy współrzędnymi wektora

a

.

3.zbiór wszystkich wektorów swobodnych w przestrzeni. Przez

wektor swobody

u

rozumiemy zbiór wszystkich wektorów

zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek,
zwrot oraz długość co wektor

u

.

W tej interpretacji elementy przestrzeni

3

R także nazywamy

wektorami.

Def.5.2
Ortokartezjańskim układem współrzędnych w przestrzeni, który oznaczamy symbolem

OXYZ

nazywamy trzy

wzajemnie prostopadłe proste x, y, z przecinające się w jednym punkcie 0(0,0,0). Proste OX, OY, OZ nazywamy
osiami, a płaszczyzny OXY, OXZ, OYZ płaszczyznami układu współrzędnych.

Def.5.3
W zależności od wzajemnego położenia osi OX, OY, OZ układu współrzędnych wyróżniamy dwie jego orientacje:
układ prawoskrętny i układ lewoskrętny.

Układ prawoskrętny

Układ lewoskrętny

2

Def.5.4

1

1

1

1

( ,

,

)

P x y z ,

2

2

2

2

( ,

,

)

P x

y

z

- dwa dowolne punkty przestrzeni

3

R

Długość odcinka

1 2

P P , określa wzór:

2

2

2

1 2

2

1

2

1

2

1

(

)

(

)

(

)

P P

x

x

y

y

z

z













.

Def.5.5
Wektorem o początku w punkcie

1

1

1

1

( ,

,

)

P x y z i końcu w punkcie

2

2

2

2

( ,

,

)

P x

y

z

nazywamy uporządkowaną parę

punktów P

1

i P

2

wyznaczającą w danej przestrzeni odcinek skierowany. Wektor taki oznaczamy

1 2

P P



.

Def.5.6

Współrzędnymi (lub składowymi) wektora

1 2

a

P P





o początku w punkcie

1

1

1

1

( ,

,

)

P x y z i końcu w punkcie

2

2

2

2

( ,

,

)

P x

y

z

nazywamy liczby:

2

1

2

1

2

1

,

,

,

x

y

z

a

x

x

a

y

y

a

z

z













co zapisujemy





1 2

2

1

2

1

2

1

,

,

PP

x

x

y

y

z

z











lub

1 2

,

,

x

y

z

P P

a

a

a







 



.

Def.5.7
Wektor zerowy - wektor, którego koniec pokrywa się z jego początkiem. Wektor zerowy oznaczamy symbolem

0 . Współrzędne wektora zerowego przedstawiają się następująco:





0

,

0

,

0



0



.

Def.5.8

Długością wektora

1 2

P P



nazywamy odległość punktów P

1

i P

2

:

2

2

2

1 2

2

1

2

1

2

1

(

)

(

)

(

)

P P

x

x

y

y

z

z















lub

2

2

2

1 2

x

y

z

P P

a

a

a









Def.5.9
Wektorem jednostkowym nazywamy wektor, którego długość jest równa jednostce długości.

Def.5.10

Wektory













1, 0, 0 ,

0, 1, 0 ,

0, 0, 1

i

j

k







nazywamy wersorami osi układu współrzędnych, odpowiednio

osi OX, OY, OZ.

Def.5.11
Punkty A, B, C przestrzeni

3

R są współliniowe, gdy

istnieje prosta, do której należą te punkty

Def.5.12
Punkty

K,

L,

M,

N

przestrzeni

3

R

są

współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, do
której należą te punkty.

Def.5.13
Dwa wektory

,

,

x

y

z

a

a

a

a





 



,

,

,

x

y

z

b

b

b b





 



nazywamy równymi, jeśli

x

x

y

y

z

z

a

b

a

b

a

b

a

b















3

Def.5.14
Działania na wektorach:

,

,

x

y

z

a

a

a

a





 



,

,

,

x

y

z

b

b

b b





 



,

,

,

x

y

z

c

c

c

c





 



- wektory,





R

1.

Suma wektorów

,

,

x

x

y

y

z

z

c

a

b

c

a

b

a

b

a

b





 















2.

Iloczyn wektora a przez liczbę rzeczywistą (skalar)



,

,

x

y

z

c

a

c

a

a

a

















 



3.

Różnica wektorów:

,

,

x

x

y

y

z

z

c

a b

c

a

b

a

b

a

b





 















Własności działań na wektorach:

,

,

a b c - wektory w

3

R , ,

 



R .

1. a

b

b

a

  

{przemienność dodawania wektorów}

2.

(

)

(

)

a

b

c

a

b

c











{łączność dodawania wektorów}

3.

a

a

 

0

(element neutralny dodawania}

4.

 

a

a

  

0

{element przeciwny}

5. (

)

(

)

a

a

 

 



6. (

) a

a

a

 











7.

(

)

a

b

a

b













Własności długości wektora:

,

a b - wektoramy w

3

R ,





R .

1.

0

a



, przy czym

0

a

a

  

0

2.

a

a









3.

a

b

a

b







{nierówność trójkąta}

4.

a

b

a

b







.

Def.5.15
Kombinacją liniową wektorów

i

a , gdzie

1, 2,...,

i

n



nazywamy wektor:

1

1

2

2

1

...

n

i

i

n

n

i

a

a

a

a





















,

gdzie

i





R ,

1, 2,...,

i

n



.

Def.5.16
Wektory

i

a ,

1, 2,...,

i

n



nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli istnieje n stałych

i



nierównych jednocześnie

zeru (tj.

2

1

0

n

i

i









) takich, że:

1

n

i

i

i

a









0

Dla liniowo niezależnych wektorów

i

a ,

1, 2,...,

i

n



zachodzi implikacja:





1

0,

1, 2, ... ,

n

i

i

i

i

a

i

n





























0

4

Def.5.17
Wektory, które nie są liniowo zależne nazywamy liniowo niezależnymi.

Def.5.18

Dwa wektory a i b liniowo zależne nazywamy wektorami współliniowymi (lub kolinearnymi).

Mówimy, że wektory a i b są współliniowe, gdy istnieje
prosta, w której zawarte są te wektory

Def.5.19
Dwa niezerowe wektory współliniowe (kolinearne) a i b nazywamy wektorami równoległymi.
Piszemy wtedy a

b .

Def.5.20
Niech

,

,

x

y

z

a

a

a

a





 



,

,

,

x

y

z

b

b

b b





 



będą niezerowymi wektorami.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym równoległości wektorów a i b jest zależność:

1

x

y

z

x

y

z

a

a

a

rz

b

b

b















lub

y

x

z

x

y

z

a

a

a

b

b

b





Def.5.21
Trzy wektory , ,

u v w liniowo zależne nazywamy wektorami współpłaszczyznowymi (lub komplanarnymi).

Mówimy,

że

wektory

, ,

u v w

są

współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, w
której zawarte są te wektory

Tw.5.1

Trzy wektory

,

,

,

,

,

,

,

,

x

y

z

x

y

z

x

y

z

u

u u

u

v

v v

v

w

w w

w































są komplanarne (współpłaszczyznowe)

wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

0

x

y

z

x

y

z

x

y

z

u

u

u

v

v

v

w

w

w



.

ILOCZYN SKALARNY

Def.5.22
Niech

u

i v będą dowolnymi wektorami w

3

R . Iloczynem skalarnym u v dwóch wektorów

u

i v nazywamy

liczbę określoną wzorem:

cos

0

u

v

u

v

u v

u

v



  









 









0

0

0

0

,

gdzie



jest miarą kąta między wektorami

u

i v .

5

Kosinus kąta między niezerowymi wektorami

u

i

v wyraża się wzorem: cos

u v

u

v







.

Def.5.23
Wektory

u

i

v nazywamy wektorami ortogonalnymi, jeśli

0

u v



Tw.5.2
Niezerowe wektory

u

i

v są prostopadłe, co zapisujemy u

v



, wtedy i tylko wtedy, gdy są ortogonalne.

0

u

v

u v







.

Wzór na obliczanie iloczynu skalarnego
Iloczyn skalarny wektorów

,

,

,

,

,

x

y

z

x

y

z

u

u u

u

v

v v

v





















jest równy sumie iloczynów odpowiednich

współrzędnych tych wektorów, tzn.:

x x

y

y

z z

u v

u v

u v

u v







Własności iloczynu skalarnego:

, ,

u v w - dowolne wektory w

3

R ,





R

1. u v

v u



2.





u

v

w

u w v w







3.

 





u

v

u v







4.

2

u u

u



5. u v

u

v

 

.

ILOCZYN WEKTOROWY

Def.5.24
Niech

u

i v będą dowolnymi niewspółliniowymi i niezerowymi wektorami w

3

R . Iloczynem wektorowym u v



uporządkowanej pary wektorów

u

i v nazywamy taki wektor w u v

 

, który spełnia warunki:

1. wektor w jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach

u

i v ,

2. długość wektora w jest równa iloczynowi długości wektorów

u

i v i sinusa kąta między nimi, tj.

sin

w

u

v



  

,

gdzie



jest miarą kąta między wektorami

u

i v ,

3. zwrot wektora w jest tak dobrany, by uporządkowana trójka wektorów , ,

u v w miała orientację zgodną z

przyjętą orientacją przestrzeni.

Jeżeli jeden z wektorów

u

i v jest wektorem zerowym

lub wektory te są współliniowe, to przyjmujemy, że:

u v

 

0

Sinus kąta między niezerowymi wektorami

u

i v wyraża się wzorem: sin

u v

u

v









.

6

Własności iloczynu wektorowego:

, ,

u v w - dowolne wektory w

3

R ,





R

1.





u v

v u

   

2.





u

v

w

u w v

w

     

3.

(

)

u

v

w

u v

u w

 

   

4.

 





u

v

u v





 



5. u v

u

v

  

- (równość jest możliwa tylko wtedy, gdy wektory

u

i

v są prostopadłe)

6. u v

u v

 



0

Wzór na obliczanie iloczynu wektorowego

,

,

,

,

,

x

y

z

x

y

z

u

u u

u

v

v v

v





















- dowolne wektory w

3

R

Iloczyn wektorowy tych wektorów wyraża się wzorem:

,

,

y

z

x

y

x

z

y

z

x

y

x

z

u

u

u

u

u

u

u v

v

v

v

v

v

v





 















lub

x

y

z

x

y

z

i

j

k

u v

u

u

u

v

v

v

 

,

gdzie

, ,

i j k

oznaczają wersory odpowiednio na osiach OX, OY, OZ.

Interpretacja geometryczna:

1.

Pole równoległoboku rozpiętego na wektorach

i

AB

AC





jest równe

S

AB AC









2.

Pole trójkąta rozpiętego na wektorach

i

AB

AC





jest równe połowie pola równoległoboku rozpiętego na tych

wektorach, czyli:

1

2

ABC

S

AB AC











3.

Pole równoległoboku o przekątnych ,

p q wyraża się wzorem:

1

2

S

p q





.

ILOCZYN MIESZANY

Def.5.25

Niech

,

,

,

,

,

,

,

,

x

y

z

x

y

z

x

y

z

u

u u

u

v

v v

v

w

w w

w































będą dowolnymi wektorami w

3

R .

Iloczynem mieszanym , ,

u v w uporządowanej trójki wektorów , ,

u v w nazywamy liczbę określoną wzorem:



 



, ,

u v w

u v

w





.

Wzór na obliczanie iloczynu mieszanego: ( , ,

)

x

y

z

x

y

z

x

y

z

u

u

u

u v

w

v

v

v

w

w

w



.

7

Własności iloczynu mieszanego:

, ,

,

u v w r - wektory w

3

R ,





R

1.

( , ,

)

( , , )

( ,

, )

u v w

w u v

v w u





2.

( , ,

)

( , ,

)

( ,

, )

u v w

v u w

u w v

 

 

3.

(

, ,

)

( , ,

)

( , ,

)

u

r v w

u v w

r v w







4.

(

, , )

( , ,

)

u v w

u v w







5.

( , ,

)

u v w

u

v

w

  

(równość jest możliwa tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z wektorów , ,

u v w jest

zerowy albo, gdy te wektory są wzajemnie prostopadłe)

6.

( , ,

)

0

, ,

u v w

u v w





są komplanarne (współpłaszczyznowe).

Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego wektorów:

1. Objętości równoległościanu V rozpiętego na trzech wektorach jest równa





, ,

V

u v w



2. Objętość czworościanu

c

V rozpiętego na wektorach , ,

u v w jest równa





1

, ,

6

c

V

u v w



.

W szczególności, jeśli dane są wierzchołki tego czworościanu:

1

1

1

1

( ,

,

)

P x y z ,

2

2

2

2

( ,

,

)

P x

y

z

,

3

3

3

3

( ,

,

)

P x

y

z ,

4

4

4

4

( ,

,

)

P x

y

z

to jego objętość wyraża się wzorem:

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

1

1

1

det

1

6

1

c

x

y

z

x

y

z

V

x

y

z

x

y

z



























.