WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

1

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

1 Charakterystyki geometryczne przekroju w układzie YZ

Rysunek 1 przedstawia przekrój pręta w dowolnym układzie osi YZ. Elementarne pole powierzchni dA 

posiada współrzędne y oraz z.

Z

Y

dA

z

y

Rys. 1. Przekrój pręta.

Pole powierzchni przekroju wynosi

A

=

∫

A

dA

.

(1)

Jednostką pola powierzchni w układzie SI jest m

2

. W budownictwie najczęściej będziemy używać cm

2

.  Pole 

powierzchni przekroju jest wielkością zawsze większą od zera.

Moment statyczny względem osi Y wynosi

S

Y

=

∫

A

z

⋅dA

.

(2)

Moment statyczny względem osi Z wynosi

S

Z

=

∫

A

y

⋅dA

.

(3)

Jednostką momentu statycznego w układzie SI jest m

3

. W budownictwie najczęściej będziemy używać cm

3

. 

Moment statyczny może przyjmować dowolne wartości.

Osiowy moment bezwładności względem osi Y wynosi

I

Y

=

∫

A

z

2

⋅dA

.

(4)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

2

Osiowy moment bezwładności względem osi Z wynosi

I

Z

=

∫

A

y

2

⋅dA

.

(5)

Dewiacyjny moment bezwładności w układzie YZ wynosi

I

YZ

=

∫

A

y

⋅z⋅dA

.

(6)

Biegunowy moment bezwładności w układzie YZ wynosi

I

0

=

∫

A

r

2

⋅dA=

∫

A

z

2

⋅dA

∫

A

y

2

⋅dA=I

Y

I

Z

,

(7)

w którym r oznacza odległość elementarnego pola powierzchni dA od początku układu współrzędnych YZ 
zgodnie z rysunkiem 2.

Z

Y

dA

z

y

r

Rys. 2. Położenie bieguna elementarnego pola powierzchni dA.

Jednostką wszystkich momentów bezwładności w układzie SI jest m

4

. W budownictwie najczęściej będziemy 

używać cm

4

. Osiowe momenty bezwładności są zawsze większe od zera i stanowią pewną miarę rozproszenia 

przekroju pręta względem osi. Im to rozproszenie większe tym wartość osiowego momentu bezwładności jest 
większa. 

Dewiacyjny  moment   bezwładności   może  przyjmować   dowolne  wartości   i  jest   on  pewną   miarą   asymetrii 
przekroju pręta w przyjętym układzie współrzędnych. Ponadto moment dewiacyjny w układzie współrzędnych, 
w którym jedna z osi jest osią symetrii przekroju pręta, wynosi zero. Sytuację taką przedstawia rysunek 3.

Osią środkową nazywamy taką oś względem, której odpowiedni moment statyczny wynosi zero. 

Środkiem ciężkości nazywamy punkt przecięcia się dwóch osi środkowych.

Współrzędna y

C

 środka ciężkości przekroju pręta będzie miała postać

y

C

=

S

Z

A

.

(8)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

3

Współrzędna z

C

 środka ciężkości przekroju pręta będzie miała postać

z

C

=

S

Y

A

.

(9)

Z

Y

dA

z

y

dA

-z

I

YZ

=0

Rys. 3. Przekrój pręta z jedną osią symetrii.

Złożony   przekrój   najlepiej   podzielić   na   figury,   dla   których   znamy   położenie   środka   ciężkości   i   pole 
powierzchni. Wzory na położenie środka ciężkości będą miały postać

y

C

=

S

Z

A

=

∑

i

=1 

i

=n

A

i

⋅y

i

∑

i

=1 

i

=n

A

i

(10)

oraz

z

C

=

S

Y

A

=

∑

i

=1 

i

=n

A

i

⋅z

i

∑

i

=1 

i

=n

A

i

.

(11)

w których to y

i

 i z

i

 oznaczają współrzędne środka ciężkości i-tej figury w układzie YZ natomiast A

i

 oznacza 

pole powierzchni i-tej figury.

Środek ciężkości posiada następujące właściwości:

1. Środek ciężkości może znajdować się w punkcie poza przekrojem pręta.

2. Jeżeli przekrój posiada jedną oś symetrii to środek ciężkości znajduje się na niej.

3. Jeżeli przekrój posiada dwie osie symetrii to środek ciężkości znajduje się w punkcie ich przecięcia.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

4

4. Jeżeli   przekrój   posiada   więcej  niż   dwie  osie   symetrii   to   wszystkie  osie  przecinają   się   w  środku 

ciężkości.

5. Jeżeli przekrój składa się z dwóch figur, które dodajemy do siebie to środek ciężkości znajduje się na 

linii łączącej środki ciężkości poszczególnych figur składowych. 

6. Jeżeli przekrój składa się z trzech lub więcej figur składowych, które dodajemy do siebie, to środek 

ciężkości   znajduje   się   wewnątrz   wieloboku,   którego   wierzchołkami   są   środki   ciężkości 
poszczególnych figur składowych.

Z

Y

dA

z

y

Y

0

Z

0

z

C

z

0

sc

y

C

y

0

Rys. 4. Przekrój pręta oraz układy współrzędnych Y

0

Z

0

 oraz YZ.

Załóżmy, że znane są momenty bezwładności przekroju pręta w dowolnym układzie osi środkowych Y

0

Z

0

 czyli 

I

Y0

, I

Z0

 oraz I

Y0Z0

. Moment bezwładności względem osi Y wynosi

I

Y

=I

Y0

z

C

2

⋅A

.

(12)

Moment bezwładności względem osi Z wynosi

I

Z

=I

Z0

 y

C

2

⋅A

.

(13)

Dewiacyjny moment bezwładności w układzie YZ wynosi

I

YZ

=I

Y0Z0

 y

C

⋅z

C

⋅A

.

(14)

Wzory (12), (13) i (14) nazywamy wzorami Steinera. Najczęściej chcemy wyznaczyć momenty bezwładności 
w układzie osi środkowych całego przekroju pręta Y

0

Z

0

.Wzory Steinera będą miały wtedy postać

I

Y0

=

∑

i

=1 

i

=n



I

Y0i

z

0i

2

⋅A

i



,

(15)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

5

I

Z0

=

∑

i

=1 

i

=n



I

Z0i

y

0i

2

⋅A

i



(16)

oraz

I

Y0Z0

=

∑

i

=1 

i

=n



I

Y0iZ0i

 y

0i

⋅z

0i

⋅A

i



.

(17)

We wzorach (15), (16) oraz (17) I

Y0i

, I

Z0i

 oznaczają osiowe momenty bezwładności względem osi środkowych 

i-tej figury. I

Y0iZ0i

 oznacza dewiacyjny moment bezwładności w układzie osi środkowych i-tej figury. A

i

 oznacza 

pole powierzchni i-tej figury natomiast y

0i

, z

0i

 oznaczają współrzędne środka ciężkości i-tej figury w układzie 

osi środkowych całego przekroju pręta Y

0

Z

0

.

Transformacja układu współrzędnych polega na obrocie tego układu względem jego początku o pewien kąt. 
Dodatni   kąt   obrotu   będzie   kręcił   osią   Y

0

  w   kierunku   osi   Z

0

.   Momenty   bezwładności   w   układzie   osi 

transformowanych Y

0'

Z

0'

 oblicza się ze wzorów

I

Y0'

=

I

Y0

I

Z0

2



I

Y0

−I

Z0

2

⋅cos



2

⋅



−I

Y0Z0

⋅sin



2

⋅



,

(18)

I

Z0 '

=

I

Y0

I

Z0

2

−

I

Y0

−I

Z0

2

⋅cos



2

⋅



I

Y0Z0

⋅sin



2

⋅



,

(19)

I

Y0'Z0 '

=

I

Y0

−I

Z0

2

⋅sin



2

⋅



I

Y0Z0

⋅cos



2

⋅



.

(20)

Istnieje  taki  układ  osi   środkowych,   w  którym  osiowe  momenty  bezwładności  I

Y0'

  i  I

Z0'

  osiągają   wartości 

ekstremalne. Taki  układ  osi  środkowych  nazywa   się  układem  osi  głównych.  Ponadto  okazuje  się,  że  w 
układzie   osi   głównych   dewiacyjny   moment   bezwładności   równa   się   zero.   Kąt   nachylenia   osi   głównych 
wyznacza się ze wzoru

tg



2

⋅

gl



=

−2⋅I

Y0Z0

I

Y0

−I

Z0

.

(21)

Główne momenty bezwładności wyznaczymy ze wzorów

I

Ygl

=

I

Y0

I

Z0

2



I

Y0

−I

Z0

2

⋅cos



2

⋅

gl



−I

Y0Z0

⋅sin



2

⋅

gl



,

(22)

I

Zgl

=

I

Y0

I

Z0

2

−

I

Y0

−I

Z0

2

⋅cos



2

⋅

gl



I

Y0Z0

⋅sin



2

⋅

gl



.

(23)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

6

Wartości głównych momentów bezwładności  możemy sprawdzić za pomocą zależności

I

1

/2

=

I

Y0

I

Z0

2

±





I

Y0

−I

Z0

2



2





I

Y0Z0



2

,

(24)

w  którym  I

1

  oznacza   największy  osiowy  moment  bezwładności  natomiast   I

2

  najmniejszy  osiowy  moment 

bezwładności.

Niezmiennikiem nazywamy wielkość fizyczną, która nie zmienia wartości przy obrocie (transformacji) układu 
współrzędnych. W przypadku momentów bezwładności będziemy mieli dwa niezmienniki. Pierwszy z nich ma 
postać

J

1

=I

Y0

I

Z0

=I

Y0'

I

Z0'

=I

Ygl

I

Zgl

.

(25)

Drugi z niezmienników ma postać

J

2

=I

Y0

⋅I

Z0

−I

Y0Z0

2

=I

Y0'

⋅I

Z0'

−I

Y0' Z0'

2

=I

Ygl

⋅I

Zgl

.

(26)

Rysunek  5   przedstawia   prostokąt   o  wymiarach   b   na   h.   Na   rysunku   tym   zaznaczone   jest   położenie   osi 
środkowych, które są także osiami symetrii. Możemy więc stwierdzić, że osie te będą także osiami głównymi 
bezwładności dla prostokąta.

Z

0

=Z

gl

Y

0

=Y

gl

b

h

b
2

b
2

h

2

h

2

Rys. 5. Położenie osi środkowych i głównych w przekroju prostokątnym.

Osiowe (główne) momenty bezwładności wynoszą

I

Y0

=I

Ygl

=

h

⋅b

3

12

,

(27)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

7

I

Z0

=I

Zgl

=

b

⋅h

3

12

.

(28)

Wzory (27) i (28) mogą być kłopotliwe w użyciu, ponieważ można pomylić wymiar b i h. Ogólnie wzór na 
moment bezwładności dla prostokąta w układzie jego osi głównych można zapisać jako

I

oś

=



wymiar

∥do osi



⋅



wymiar

⊥do osi



3

12

.

(29)

Dewiacyjny moment bezwładności dla prostokąta wynosi oczywiście zero.

Rysunek 6 przedstawia położenie osi środkowych w trójkącie prostokątnym o wymiarach b na h.

Z

0

Y

0

b

h

2
3

⋅b

1
3

⋅b

1

3

⋅h

2

3

⋅h

Rys. 6. Położenie osi środkowych w przekroju będącym trójkątem prostokątnym.

Osiowe (główne) momenty bezwładności wynoszą

I

Y0

=

h

⋅b

3

36

(30)

I

Z0

=

b

⋅h

3

36

.

(31)

Wzory (30) i (31) mogą być kłopotliwe w użyciu, ponieważ można pomylić wymiar b i h. Ogólnie wzór na 
moment bezwładności dla trójkąta prostokątnego w układzie jego osi środkowych można zapisać jako

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

8

I

oś

=



wymiar

∥do osi



⋅



wymiar

⊥do osi



3

36

.

(32)

Osie przedstawione na rysunku 6 nie są osiami głównymi dla trójkąta prostokątnego więc w tym układzie osi 
będzie niezerowy dewiacyjny moment bezwładności. Jego wartość bezwzględną wyznacza się ze wzoru

∣

I

Y0Z0

∣

=

b

2

⋅h

2

72

.

(33)

W celu ustalenia znaku dewiacyjnego momentu bezwładności dla trójkąta prostokątnego podzielmy ćwiartki 
układu osi środkowych na dodatnie, w których iloczyn

y

0

⋅z

0

⋅dA

jest dodatni i ćwiartki ujemne, w których 

iloczyn

y

0

⋅z

0

⋅dA

jest   ujemny.   Rysunek   7   przedstawia   taki   podział.   Jeżeli   większa   część   trójkąta 

prostokątnego znajduje się w ćwiartkach dodatnich to dewiacyjny moment bezwładności jest dodatni. Jeżeli 
większa   część   trójkąta   prostokątnego   znajduje   się   w   ćwiartkach   ujemnych   to   dewiacyjny   moment 
bezwładności jest ujemny. Rysunek 7 przedstawia także większą część przekroju pręta, który jest trójkątem 
prostokątnym. 

Z

0

Y

0

dodatnia

dodatnia

ujemna

ujemna

Rys. 7. Ćwiartki dodatnie i ujemne oraz większa część trójkąta prostokątnego.

2 Charakterystyki geometryczne przekroju w układzie XY

Rysunek 8 przedstawia przekrój pręta w dowolnym układzie osi XY. Elementarne pole powierzchni dA 

posiada współrzędne x oraz y.

X

Y

dA

x

y

Rys. 8. Przekrój pręta.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

9

Pole powierzchni przekroju wynosi

A

=

∫

A

dA

.

(34)

Jednostką pola powierzchni w układzie SI jest m

2

. W budownictwie najczęściej będziemy używać cm

2

.  Pole 

powierzchni przekroju jest wielkością zawsze większą od zera.

Moment statyczny względem osi X wynosi

S

X

=

∫

A

y

⋅dA

.

(35)

Moment statyczny względem osi Y wynosi

S

Y

=

∫

A

x

⋅dA

.

(36)

Jednostką momentu statycznego w układzie SI jest m

3

. W budownictwie najczęściej będziemy używać cm

3

. 

Moment statyczny może przyjmować dowolne wartości.

Osiowy moment bezwładności względem osi X wynosi

I

X

=

∫

A

y

2

⋅dA

.

(37)

Osiowy moment bezwładności względem osi Y wynosi

I

Y

=

∫

A

x

2

⋅dA

.

(38)

Dewiacyjny moment bezwładności w układzie XY wynosi

I

XY

=

∫

A

x

⋅y⋅dA

.

(39)

Biegunowy moment bezwładności w układzie XY wynosi

I

0

=

∫

A

r

2

⋅dA=

∫

A

y

2

⋅dA

∫

A

x

2

⋅dA=I

X

I

Y

,

(40)

w którym r oznacza odległość elementarnego pola powierzchni dA od początku układu współrzędnych XY 
zgodnie z rysunkiem 9.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

10

r

X

Y

dA

x

y

Rys. 9. Położenie bieguna elementarnego pola powierzchni dA.

Jednostką wszystkich momentów bezwładności w układzie SI jest m

4

. W budownictwie najczęściej będziemy 

używać cm

4

. Osiowe momenty bezwładności są zawsze większe od zera i stanowią pewną miarę rozproszenia 

przekroju pręta względem osi. Im to rozproszenie większe tym wartość osiowego momentu bezwładności jest 
większa. 

Dewiacyjny  moment   bezwładności   może  przyjmować   dowolne  wartości   i  jest   on  pewną   miarą   asymetrii 
przekroju pręta w przyjętym układzie współrzędnych. Ponadto moment dewiacyjny w układzie współrzędnych, 
w którym jedna z osi jest osią symetrii przekroju pręta, wynosi zero. Sytuację taką przedstawia rysunek 10.

X

Y

dA

x

y

dA

-x

I

XY

=0

Rys. 10. Przekrój pręta z jedną osią symetrii.

Osią środkową nazywamy taką oś względem, której odpowiedni moment statyczny wynosi zero. 

Środkiem ciężkości nazywamy punkt przecięcia się dwóch osi środkowych.

Współrzędna x

C

 środka ciężkości przekroju pręta będzie miała postać

x

C

=

S

Y

A

.

(41)

Współrzędna y

C

 środka ciężkości przekroju pręta będzie miała postać

y

C

=

S

X

A

.

(42)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

11

Złożony   przekrój   najlepiej   podzielić   na   figury,   dla   których   znamy   położenie   środka   ciężkości   i   pole 
powierzchni. Wzory na położenie środka ciężkości będą miały postać

x

C

=

S

Y

A

=

∑

i

=1 

i

=n

A

i

⋅x

i

∑

i

=1 

i

=n

A

i

(43)

oraz

y

C

=

S

X

A

=

∑

i

=1 

i

=n

A

i

⋅y

i

∑

i

=1 

i

=n

A

i

.

(44)

w których to x

i

 i y

i

 oznaczają współrzędne środka ciężkości i-tej figury w układzie XY natomiast A

i

 oznacza 

pole powierzchni i-tej figury.

Środek ciężkości posiada następujące właściwości:

1. Środek ciężkości może znajdować się w punkcie poza przekrojem pręta.

2. Jeżeli przekrój posiada jedną oś symetrii to środek ciężkości znajduje się na niej.

3. Jeżeli przekrój posiada dwie osie symetrii to środek ciężkości znajduje się w punkcie ich przecięcia.

4. Jeżeli   przekrój   posiada   więcej  niż   dwie  osie   symetrii   to   wszystkie  osie  przecinają   się   w  środku 

ciężkości.

5. Jeżeli przekrój składa się z dwóch figur, które dodajemy do siebie to środek ciężkości znajduje się na 

linii łączącej środki ciężkości poszczególnych figur składowych. 

6. Jeżeli przekrój składa się z trzech lub więcej figur składowych, które dodajemy do siebie, to środek 

ciężkości   znajduje   się   wewnątrz   wieloboku,   którego   wierzchołkami   są   środki   ciężkości 
poszczególnych figur składowych.

X

Y

dA

x

y

Y

0

X

0

x

C

x

0

sc

y

C

y

0

Rys. 11. Przekrój pręta oraz układy współrzędnych X

0

Y

0

 oraz XY.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

12

Załóżmy, że znane są momenty bezwładności przekroju pręta w dowolnym układzie osi środkowych X

0

Y

0 

czyli I

X0

, I

Y0

 oraz I

X0Y0

. Moment bezwładności względem osi X wynosi

I

X

=I

X0

 y

C

2

⋅A

.

(45)

Moment bezwładności względem osi Y wynosi

I

Y

=I

Y0

x

C

2

⋅A

.

(46)

Dewiacyjny moment bezwładności w układzie XY wynosi

I

XY

=I

X0Y0

x

C

⋅y

C

⋅A

.

(47)

Wzory (45), (46) i (47) nazywamy wzorami Steinera. Najczęściej chcemy wyznaczyć momenty bezwładności 
w układzie osi środkowych całego przekroju pręta X

0

Y

0

.Wzory Steinera będą miały wtedy postać

I

X0

=

∑

i

=1 

i

=n



I

X0i

 y

0i

2

⋅A

i



,

(48)

I

Y0

=

∑

i

=1 

i

=n



I

Y0i

x

0i

2

⋅A

i



(49)

I

X0Y0

=

∑

i

=1 

i

=n



I

X0iY0i

x

0i

⋅y

0i

⋅A

i



.

(50)

We wzorach (48), (49) oraz (50) I

X0i

, I

Y0i

 oznaczają osiowe momenty bezwładności względem osi środkowych 

i-tej   figury.   I

X0iY0i

  oznacza   dewiacyjny  moment   bezwładności   w  układzie   osi   środkowych  i-tej   figury.  A

i 

oznacza pole powierzchni i-tej figury natomiast x

0i

, y

0i

 oznaczają współrzędne środka ciężkości i-tej figury w 

układzie osi środkowych całego przekroju pręta X

0

Y

0

.

Transformacja układu współrzędnych polega na obrocie tego układu względem jego początku o pewien kąt. 
Dodatni   kąt   obrotu   będzie   kręcił   osią   X

0

  w   kierunku   osi   Y

0

.   Momenty   bezwładności   w   układzie   osi 

transformowanych X

0'

Y

0'

 oblicza się ze wzorów

I

X0 '

=

I

X0

I

Y0

2



I

X0

−I

Y0

2

⋅cos



2

⋅



−I

X0Y0

⋅sin



2

⋅



,

(51)

I

Y0'

=

I

X0

I

Y0

2

−

I

X0

−I

Y0

2

⋅cos



2

⋅



I

X0Y0

⋅sin



2

⋅



,

(52)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

13

I

X0 'Y0'

=

I

X0

−I

Y0

2

⋅sin



2

⋅



I

X0Y0

⋅cos



2

⋅



.

(53)

Istnieje  taki  układ  osi  środkowych,   w  którym  osiowe  momenty  bezwładności  I

X0'

  i  I

Y0'

  osiągają   wartości 

ekstremalne. Taki  układ  osi  środkowych  nazywa   się  układem  osi  głównych.  Ponadto  okazuje  się,  że  w 
układzie   osi   głównych   dewiacyjny  moment   bezwładności  równa   się   zero.   Kąt   nachylenia   osi   głównych 
wyznacza się ze wzoru

tg



2

⋅

gl



=

−2⋅I

X0Y0

I

X0

−I

Y0

.

(54)

Główne momenty bezwładności wyznaczymy ze wzorów

I

Xgl

=

I

X0

I

Y0

2



I

X0

−I

Y0

2

⋅cos



2

⋅

gl



−I

X0Y0

⋅sin



2

⋅

gl



,

(55)

I

Ygl

=

I

X0

I

Y0

2

−

I

X0

−I

Y0

2

⋅cos



2

⋅

gl



I

X0Y0

⋅sin



2

⋅

gl



.

(56)

Wartości głównych momentów bezwładności  możemy sprawdzić za pomocą zależności

I

1

/2

=

I

X0

I

Y0

2

±





I

X0

−I

Y0

2



2





I

X0Y0



2

,

(57)

w  którym  I

1

  oznacza   największy  osiowy  moment  bezwładności  natomiast   I

2

  najmniejszy  osiowy  moment 

bezwładności.

Niezmiennikiem nazywamy wielkość fizyczną, która nie zmienia wartości przy obrocie (transformacji) układu 
współrzędnych. W przypadku momentów bezwładności będziemy mieli dwa niezmienniki. Pierwszy z nich ma 
postać

J

1

=I

X0

I

Y0

=I

X0 '

I

Y0'

=I

Xgl

I

Ygl

.

(58)

Drugi z niezmienników ma postać

J

2

=I

X0

⋅I

Y0

−I

X0Y0

2

=I

X0 '

⋅I

Y0'

−I

X0 'Y0'

2

=I

Xgl

⋅I

Ygl

.

(59)

Rysunek  12   przedstawia   prostokąt   o  wymiarach  b   na   h.  Na   rysunku  tym  zaznaczone  jest   położenie  osi 
środkowych, które są także osiami symetrii. Możemy więc stwierdzić, że osie te będą także osiami głównymi 
bezwładności dla prostokąta.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

14

X

0

=X

gl

Y

0

=Y

gl

b

h

b
2

b
2

h

2

h

2

Rys. 12. Położenie osi środkowych i głównych w przekroju prostokątnym.

Osiowe (główne) momenty bezwładności wynoszą

I

X0

=I

Xgl

=

b

⋅h

3

12

,

(60)

I

Y0

=I

Ygl

=

h

⋅b

3

12

.

(61)

Wzory (60) i (61) mogą być kłopotliwe w użyciu, ponieważ można pomylić wymiar b i h. Ogólnie wzór na 
moment bezwładności dla prostokąta w układzie jego osi głównych można zapisać jako

I

oś

=



wymiar

∥do osi



⋅



wymiar

⊥do osi



3

12

.

(62)

Dewiacyjny moment bezwładności dla prostokąta wynosi oczywiście zero.

Rysunek 13 przedstawia położenie osi środkowych w trójkącie prostokątnym o wymiarach b na h. Osiowe 
(główne) momenty bezwładności wynoszą

I

X0

=

b

⋅h

3

36

(63)

I

Y0

=

h

⋅b

3

36

.

(64)

Wzory (63) i (64) mogą być kłopotliwe w użyciu, ponieważ można pomylić wymiar b i h. Ogólnie wzór na 
moment bezwładności dla trójkąta prostokątnego w układzie jego osi środkowych można zapisać jako

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

15

I

oś

=



wymiar

∥do osi



⋅



wymiar

⊥do osi



3

36

.

(65)

X

0

Y

0

b

h

2
3

⋅b

1
3

⋅b

1

3

⋅h

2

3

⋅h

Rys. 13. Położenie osi środkowych w przekroju będącym trójkątem prostokątnym.

Osie przedstawione na rysunku 13 nie są osiami głównymi dla trójkąta prostokątnego więc w tym układzie osi 
będzie niezerowy dewiacyjny moment bezwładności. Jego wartość bezwzględną wyznacza się ze wzoru

∣

I

X0Y0

∣

=

b

2

⋅h

2

72

.

(66)

W celu ustalenia znaku dewiacyjnego momentu bezwładności dla trójkąta prostokątnego podzielmy ćwiartki 
układu osi środkowych na dodatnie, w których iloczyn

x

0

⋅y

0

⋅dA

jest dodatni i ćwiartki ujemne, w których 

iloczyn

x

0

⋅y

0

⋅dA

jest   ujemny.   Rysunek   14   przedstawia   taki   podział.   Jeżeli   większa   część   trójkąta 

prostokątnego znajduje się w ćwiartkach dodatnich to dewiacyjny moment bezwładności jest dodatni. Jeżeli 
większa   część   trójkąta   prostokątnego   znajduje   się   w   ćwiartkach   ujemnych   to   dewiacyjny   moment 
bezwładności jest ujemny. Rysunek 7 przedstawia także większą część przekroju pręta, który jest trójkątem 
prostokątnym. 

X

0

Y

0

dodatnia

dodatnia

ujemna

ujemna

Rys. 14. Ćwiartki dodatnie i ujemne oraz większa część trójkąta prostokątnego.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

16

3 Przestrzenny stan naprężenia

Podstawowym  założeniem  w  analizie  stanu   naprężenia   jest   założenie  ciągłości   ośrodka.   Założenie 

ciągłości ośrodka pozwala na wprowadzenie pojęcia gęstości, które definiuje się jako

= lim

 V 0

m
V

=

dm
dV

,

(67)

w którym 

∆

m oznacza masę zawartą w objętości 

∆

V. Najczęściej zakłada się, że gęstość jest stała w całym 

ciele. 

Opisane dalej zależności są słuszne tylko dla materiałów izotropowych, które to materiały mają takie same 
właściwości we wszystkich kierunkach. Opisane poniżej zależności są także słuszne w zakresie sprężystym 
pracy materiału. Oznacza to, że po przyłożeniu obciążenia ciało ulegnie deformacjom. Jednak po odciążeniu 
ciało to powróci do swej pierwotnej postaci czyli nie ulegnie deformacjom trwałym.

Wielkością, która służy do opisu stanu naprężenia jest wektor naprężenia. Na płaszczyźnie o normalnej

n

wyodrębiniamy  elementarne  pole  powierzchni  dS  Na   elementarnym  polu  powierzchni  działa   siła  

d F

. 

Wektor naprężenia definiuje się jako

f

n 

=

d F

dS

.

(68)

Rysunek 15 przedstawia wektor naprężenia na płaszczyźnie o normalnej

n

.

dS

n

f

n 

Rys. 15. Wektor naprężenia.

Wektor naprężenia możemy rozłożyć na dwie składowe: normalną



n

 i styczną



n

. Rozkład wektora 

naprężenia   na   dwie   składowe   przedstawia   rysunek   16.   Składowe   wektora   naprężenia   nazywają   się 
naprężeniem normalnym 

σ

 i naprężeniem stycznym 

τ

. Jednostką naprężenia w układzie SI jest Pa (Pascal). W 

budownictwie będziemy używać wielokrotności MPa.

Aby jednoznacznie określić stan naprężenia w dowolnym punkcie należy znać wektory naprężenia na 
trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyznach.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

17

dS

n

f

n 



n



n

Rys. 16. Rozkład wektora naprężenie na składową normalną i styczną.

Na każdej z tych trzech płaszczyzn określa się naprężenie normalne oraz dwie składowe naprężenia stycznego. 
Graficznie stan naprężenia przedstawia się na ściankach elementarnego sześcianu w kartezjańskim układzie 
współrzędnych XYZ. Naprężenia normalne zapisuje się jako 

σ

X

,  

σ

Y

, oraz  

σ

Z

. Indeks dolny określa nam oś, 

która jest normalna  (prostopadła) do płaszczyzny, na której działa  dane  naprężenie normalne. Naprężenia 
styczne  określa   się  jako  

τ

XY

,  

τ

YX

,  

τ

XZ

,  

τ

ZX

,  

τ

YZ

  oraz  

τ

ZY

.   Pierwszy  z  tych  indeksów  określa   normalną   do 

płaszczyzny, na której działa dane naprężenie styczne natomiast drugi indeks określa nam kierunek danego 
naprężenia stycznego. Naprężenie jest dodatnie jeżeli na ściankach dodatnich  na zwrot zgodny ze zwrotem 
osi  układu  współrzędnych  XYZ.  Ścianki  dodatnie  są   to  ścianki,   które  są   widoczne,   jeżeli  patrzymy  na 
elementarny   sześcian   z   punktu,   który   ma   wszystkie   współrzędne   dodatnie.   Rysunek   17   a)   przedstawia 
naprężenia dodatnie na ściankach dodatnich. Natomiast rysunek 17 b) przedstawia dodatnie naprężenia na 
ściankach ujemnych. Dodatnie naprężenia na ściankach ujemnych będą miały zwroty przeciwne do zwrotów 
osi układu współrzędnych XYZ.

X

Y

Z

X

Y

Z



X



Y



Z



XY



YX



YZ



ZY



XZ



ZX



X



Y



Z



XY



YX



YZ



ZY



ZX



XZ

a)

b)

Rys. 17. Stan naprężenia w punkcie: a) na ściankach dodatnich, b) na ściankach ujemnych.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

18

Wszystkie dziewięć składowych stanu naprężenia zapisuje się w tablicy nazywanej  tensorem naprężenia. 
Tensor ma więc postać

=

[



X



XY



XZ



YX



Y



YZ



ZX



ZY



Z

]

.

(69)

Pierwszą kolumnę tensora (69) stanowią składowe wektora naprężenia na płaszczyźnie o normalnej X, drugą 
składowe wektora naprężenia na płaszczyźnie o normalnej Y trzecią natomiast składowe wektora naprężenia 
na płaszczyźnie o normalnej Z.

Tensor   naprężenia   posiada   ponadto   właściwość,   że   jest  symetryczny   względem   przekątnej,   na   której 
znajdują się naprężenia normalne. Zachodzą więc zależności



XY

=

YX

,

(70)



XZ

=

ZX

(71)



YZ

=

ZY

.

(72)

Dowolna   płaszczyzna   jest   definiowana   poprzez   swój   wektor   normalny

n

,   który  można   opisać   trzema 

kosinusami kątów pomiędzy kierunkiem wektora normalnego a poszczególnymi osiami układu współrzędnych 
XYZ. Kosinusy te tworzą macierz kolumnową w postaci

[

cos



n , x



cos



n , y



cos



n , z



]

.

(73)

Wektor   naprężenia

f

n 

na   płaszczyźnie   o   normalnej

n

  będzie   miał   trzy   składowe,   które   można 

wyznaczyć korzystając ze wzoru

[

f

X

n 

f

Y

n 

f

X

n 

]

=

[



X



YX



ZX



XY



Y



ZY



XZ



YZ



Z

]

⋅

[

cos



n , x



cos



n , y



cos



n , z



]

.

(74)

Układ współrzędnych XYZ możemy transformować (obrócić) względem początku układu. Transformacja ta 
jest opisana za pomocą macierzy transformacji, która ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

19

B

=

[

cos



x ' , x



cos



x ' , y



cos



x ' , z



cos



y ' , x



cos



y ' , y



cos



y ' , z



cos



z' , x



cos



z' , y



cos



z' , z



]

.

(75)

Wyrazy tej macierzy nie mogą być dowolne. Muszą one spełniać warunki ortogonalności (prostopadłości). 
Warunków tych jest sześć. Pierwsze trzy z nich to suma kwadratów kosinusów w poszczególnych wierszach 
macierzy (75), która musi się równać jeden.

cos

2



x ' , x



cos

2



x ' , y



cos

2



x ' , z



=1

,

(76)

cos

2



y ' , x



cos

2



y ' , y



cos

2



y ' , z



=1

,

(77)

cos

2



z ' , x



cos

2



z ' , y



cos

2



z ' , z



=1

.

(78)

Pozostałe trzy równania to poszczególne wiersze macierzy (75) przemnożone przez siebie, które są równe zero

cos



x ' , x



⋅cos



y ' , x



cos



x' , y



⋅cos



y' , y



cos



x ' , z



⋅cos



y ' , z



=0

,

(79)

cos



x ' , x



⋅cos



z ' , x



cos



x' , y



⋅cos



z' , y



cos



x ' , z



⋅cos



z ' , z



=0

,

(80)

cos



y ' , x



⋅cos



z ' , x



cos



y' , y



⋅cos



z' , y



cos



y ' , z



⋅cos



z ' , z



=0

.

(81)

Współrzędne tensora naprężenia (69) w układzie transformowanym wyznaczymy korzystając ze wzoru

 '=B⋅⋅B

T

,

(82)

w  którym  B

T

  jest  transponowaną   macierzą  transformacji. Tensor  naprężenia  w  układzie  transponowanym 

będzie miał postać

 '=

[



X '



X 'Y '



X ' Z '



Y ' X '



Y'



Y 'Z '



Z ' X '



Z 'Y '



Z '

]

.

(83)

Istnieje taki układ transponowany, w którym naprężenia normalne osiągają wartości ekstremalne natomiast 
naprężenia   styczne   wynoszą   zero.   Układ   taki   nazywa   się  układem   głównym.   Ekstremalne   naprężenia 
normalne nazywają się naprężeniami głównymi. Naprężenia główne wyznacza się jako pierwiastki równania 
trzeciego stopnia nazywanego równaniem charakterystycznym w postaci

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

20



3

−I

1

⋅

2

I

2

⋅−I

3

=0

,

(84)

w którym współczynnik I

1

 równa się sumie naprężeń normalnych

I

1

=

X



Y



Z

.

(85)

I

2

 równa się sumie podwyznaczników tensora (69)

I

2

=

∣



X



XY



YX



Y

∣



∣



Y



YZ



ZY



Z

∣



∣



X



XZ



ZX



Z

∣

.

(86)

I

3

 równa się wyznacznikowi z macierzy opisującej tensor (69)

I

3

=

∣



X



XY



XZ



YX



Y



YZ



ZX



ZY



Z

∣

.

(87)

Tensor naprężenia w układzie osi głównych ma postać



gl

=

[



1

0

0

0



2

0

0

0



3

]

.

(88)

Chcąc wyznaczyć kierunki główne należy wykorzystać poniższy układ równań

{





X

−



⋅n

1



YX

⋅n

2



ZX

⋅n

3

=0



XY

⋅n

1







Y

−



⋅n

2



ZY

⋅n

3

=0



XZ

⋅n

1



YZ

⋅n

2







Z

−



⋅n

3

=0

,

(89)

w którym 

σ

 oznacza jedno z naprężeń głównych natomiast n

1

, n

2

 oraz n

3

 oznaczają trzy kosinusy kierunkowe 

pomiędzy   kierunkiem   głównym   i   osiami   układu   współrzędnych   XYZ.   Układ   równań   (89)   jest   układem 
jednorodnym, którego wyznacznik główny wynosi zero. Chcąc wyznaczyć kierunki główne zamiast 

σ

 należy 

postawić poszczególne naprężenia główne oraz jedno z równań zamienić na warunek ortogonalności w postaci

n

1

2

n

2

2

n

3

2

=1

.

(90)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

21

Układy równań do wyznaczenia kierunków głównych dla naprężeń głównych 

σ

1

, 

σ

2

 oraz 

σ

3

 będą miały postać

{





X

−

1



⋅n

1

1 



YX

⋅n

2

1 



ZX

⋅n

3

1

=0



XY

⋅n

1

1 







Y

−

1



⋅n

2

1



ZY

⋅n

3

1 

=0

[

n

1

1 

]

2



[

n

2

1 

]

2



[

n

3

1 

]

2

=1

,

(91)

{





X

−

2



⋅n

1

2



YX

⋅n

2

2 



ZX

⋅n

3

2 

=0



XY

⋅n

1

2 







Y

−

2



⋅n

2

2 



ZY

⋅n

3

2

=0

[

n

1

2 

]

2



[

n

2

2 

]

2



[

n

3

2 

]

2

=1

,

(92)

{





X

−

3



⋅n

1

3



YX

⋅n

2

3 



ZX

⋅n

3

3 

=0



XY

⋅n

1

3 







Y

−

3



⋅n

2

3 



ZY

⋅n

3

3

=0

[

n

1

3 

]

2



[

n

2

3 

]

2



[

n

3

3 

]

2

=1

.

(93)

Macierz transformacji dla kierunków głównych będzie miała postać

B

gl

=

[

n

1

1 

n

2

1 

n

3

1 

n

1

2 

n

2

2 

n

3

2

n

1

3 

n

2

3 

n

3

3

]

.

(94)

Możemy ją zapisać także jako

B

gl

=

[

cos



1 , x



cos



1 , y



cos



1 , z



cos



2 , x



cos



2 , y



cos



2 , z



cos



3 , x



cos



3 , y



cos



3 , z



]

.

(95)

Wartości współczynników I

1

, I

2

  oraz I

3

  nie mogą zależeć od położenia układu współrzędnych są więc one 

niezmiennikami stanu naprężenia. W przypadku tensora (83) mają one postać

I

1

=

X '



Y '



Z '

,

(96)

I

2

=

∣



X '



X 'Y '



Y' X '



Y'

∣



∣



Y'



Y' Z '



Z 'Y '



Z'

∣



∣



X '



X 'Z '



Z ' X '



Z '

∣

.

(97)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

22

I

3

=

∣



X '



X 'Y '



X ' Z '



Y ' X '



Y'



Y 'Z '



Z ' X '



Z 'Y '



Z '

∣

.

(98)

W przypadku tensora (88) mają one postać

I

1

=

1



2



3

,

(99)

I

2

=

1

⋅

2



2

⋅

3



3

⋅

1

,

(100)

I

3

=

1

⋅

2

⋅

3

,

(101)

4 Płaski stan naprężenia

Jeżeli jeden z trzech wektorów naprężenia, które opisują stan naprężenia w punkcie, jest równy zero to 

stan   taki   nazywamy  płaskim  stanem  naprężenia.   Przyjmijmy,   że  zerowy  jest   wektor   na   płaszczyźnie  o 
normalnej Z.  Dla uproszczenia będziemy przedstawiać płaski stan naprężenia na elementarnym kwadracie, 
który przedstawiony jest na rysunku 18. Tensor naprężenia będzie miał w płaskim stanie naprężenia postać

=

[



X



XY

0



YX



Y

0

0

0

0

]

(102)

bok dodatni

b

ok

 d

od

at

n

i

bok ujemny

b

ok

 u

je

m

n

y

X

Y

X

Y



X



Y



XY



YX



Y



X



YX



XY

Rys. 18. Płaski stan naprężenia.

Wiadomo, że przy obrocie układu współrzędnych XY składowe stanu naprężenia zmieniają swoje wartości. 
Istnieje taki układ współrzędnych, w którym naprężenia normalne przyjmują wartości ekstremalne (największą 
i najmniejszą z możliwych) natomiast naprężenie styczne przyjmuje wartość zero. Taki układ współrzędnych 
nazywa się układem osi głównych. Natomiast ekstremalne naprężenia normalne nazywają się naprężeniami 
głównymi. Wzór na kąt obrotu układu osi głównych ma postać (kąt dodatni kręci od osi X do osi Y)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

23

tg

2⋅

gl

=

2

⋅

XY



X

−

Y

.

(103)

Naprężenia główne będziemy wyznaczać ze wzorów



Xgl

=



X



Y

2





X

−

Y

2

⋅cos2⋅

gl



XY

⋅sin2⋅

gl



(104)

oraz



Ygl

=



X



Y

2

−



X

−

Y

2

⋅cos2⋅

gl

−

XY

⋅sin2⋅

gl



.

(105)

W celu sprawdzenia obliczeń naprężeń głównych będziemy stosować następujący wzór



1

/2

=



X



Y

2

±







X

−

Y

2



2



XY

2

,

(106)

w którym  

σ

1

  oznacza maksymalne naprężenie główne natomiast  

σ

2

  oznacza minimalne naprężenie główne. 

Rysunek 19 przedstawia elementarny kwadrat z zaznaczonymi naprężeniami głównymi. Tensor naprężenia w 
przypadku naprężeń głównych będzie miał postać



gl

=

[



Xgl

0

0

0



Ygl

0

0

0

0

]

(107)

X

Y

X

gl

Y

gl



gl



Xgl



Xgl



Ygl



Ygl

Rys. 19. Naprężenia główne w płaskim stanie naprężenia.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

24

Kąt nachylenia układu współrzędnych, w którym naprężenia styczne osiągają wartości ekstremalne wynosi

tg

2⋅



=−



X

−

Y

2

⋅

XY

.

(108)

Ekstremalne naprężenie normalne wyznacza się ze wzoru



MAX

=−



X

−

Y

2

⋅sin2⋅





XY

⋅cos2⋅





.

(109)

Jako sprawdzenie można wykorzystać zależność

∣

MAX

∣=







X

−

Y

2



2



XY

2

.

(110)

Naprężenia normalne stowarzyszone z ekstremalnymi naprężeniami stycznymi wyznacza się ze wzorów



X



=



X



Y

2





X

−

Y

2

⋅cos2⋅





XY

⋅sin2⋅





,

(111)



Y



=



X



Y

2

−



X

−

Y

2

⋅cos2⋅



−

XY

⋅sin2⋅





.

(112)

Naprężenia normalne stowarzyszone z ekstremalnymi naprężeniami stycznymi mają te same wartości i mogą 
być także wyznaczone z zależności



X



=

Y



=



X



Y

2

.

(113)

Tensor naprężenia będzie w przypadku ekstremalnych naprężeń stycznych miał postać





=

[



X





MAX

0



MAX



Y



0

0

0

0

]

.

(114)

Osie naprężeń głównych i ekstremalnych naprężeń stycznych są wzajemnie obrócone o kąt 45

o

. Rysunek 

20 przedstawia stan naprężenia w układzie ekstremalnych naprężeń stycznych.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

25

X

Y

X

gl

Y

gl



gl

X

τ

Y

τ





45

o

X

Y

X

τ

Y

τ







X 



X 



Y 



Y 



MAX



MAX



MAX



MAX

Rys. 20. Ekstremalne naprężenia styczne.

W   płaskim   stanie   naprężenia   trzeci   niezmiennik   zawsze   jest   równy   zero   niezależnie   od   układu 
współrzędnych. Pierwszy niezmiennik tensora (102) wynosi

I

1

=

X



Y

.

(115)

Drugi niezmiennik tensora (102) wynosi

I

2

=

X

⋅

Y

−

XY

2

.

(116)

Pierwszy niezmiennik tensora (107) wynosi

I

1

=

Xgl



Ygl

.

(117)

Drugi niezmiennik tensora (107) wynosi

I

2

=

Xgl

⋅

Ygl

.

(118)

Pierwszy niezmiennik tensora (114) wynosi

I

1

=

X





Y



.

(119)

Drugi niezmiennik tensora (114) wynosi

I

2

=

X



⋅

Y



−

MAX

2

.

(120)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

26

5 Geometria stanu odkształcenia

Konstrukcje   poddane   działaniu   sił   czynnych   i   biernych   (reakcji)   doznają   odkształcenia,   które   jest 

widoczne   jako   zmiana   wymiarów   i   kształtów   ciała.   Najbardziej   widocznym   efektem   odkształcenia   jest 
przemieszczanie się punktów ciała. Rysunek 21 przedstawia ciało przed odkształceniem i po podkształceniu. 
Punkt A przemieścił się do punktu A' o wektor

u

 A

. Wektor ten nazywa się wektorem przemieszczenia.

X

Y

Z

P

1

R

1

R

2

A

A'

u

 A

Rys. 21. Przemieszczenia ciała wywołane siłami czynnymi i biernymi.

Wektor przemieszczenia można wyrazić jako

u

 A

=u

A

⋅iv

A 

⋅jw

A

⋅k

,

(121)

w którym u

(A)

, v

(A)

  i w

(A)

  są składowymi wektora przemieszczenia punktu A natomiast i, j i k są wersorami 

układu współrzędnych XYZ.

Możemy wyróżnić dwa rodzaje odkształceń:

1. Odkształcenia objętościowe, które powodują zmianę objętości bez zmiany postaci.

2. Odkształcenia postaciowe, które powodują zmianę kształtu (postaci).

Aby określić stan odkształcenia w punkcie należy rozpatrzyć równowagę elementarnego prostopadłościanu o 
wymiarach dx, dy i dz, który będzie obciążony tensorem naprężenia (69). Zależność między naprężeniami a 
odkształceniami jest liniowa, czyli jeżeli naprężenia wzrosną dwa razy to i odkształcenia wzrosną dwa razy. 
Jeżeli   skutek   (odkształcenia)   są   liniową   funkcją   przyczyny   (naprężenia)   to   można   zastosować  zasadę 
superpozycji, czyli rozpatrywać osobno działanie naprężeń normalnych 

σ

X

, 

σ

Y

, 

σ

Z

 i naprężeń stycznych 

τ

XY

, 

τ

YZ

, 

τ

XZ

. Na koniec należy tylko zsumować skutki.

Zakładając, że naprężenia normalne są dodatnie (rozciągające) będą one powodowały zwiększenie długości 
krawędzi   prostopadłościanu.   Na   rysunku   22   przedstawiono   elementarny   prostopadłościan   pod   wpływem 
działania naprężeń normalnych. Zmiany długości krawędzi zostały pokazane na rzutach prostopadłościanu na 
trzy płaszczyzny.

Jak widać na rysunku 22 zmiany długości krawędzi wynoszą 

∆

dx, 

∆

dy i 

∆

dz. Taki stan odkształcenia można 

jednoznacznie opisać za pomocą trzech wielkości

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

27

X

Y

Z

P

d

z

∆

dz

dy

∆

dy

dx

∆

dx

dx

∆

dx

dy

∆

dy

d

z

∆

dz



X



Y



Z



X



Z



Y

Rys. 22. Odkształcenia liniowe.



X

=

 dx

dx

.

(122)



Y

=

 dy

dy

,

(123)



Z

=

 dz

dz

.

(124)

Wielkości   (122),   (123)   i   (124)   nazywamy  odkształceniami   liniowymi.   Odkształcenia   liniowe   mogą 
przyjmować wartości dodatnie, ujemne oraz zero.  Zmianie długości krawędzi towarzyszy zmiana objętości. 
Zmianę tą nazywa się względnym odkszta ceniem obj to ciowym albo dylatacj

ł

ę ś

ą. Wynosi ona

 dV

dV

=

X



Y



Z

.

(125)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

28

Odkształcenie prostopadłościanu wynikające z działania naprężeń stycznych wiąże się ze zmianą kształtu lub 
inaczej zmianą postaci. Zmianie ulegają kąty nachylenia krawędzi prostopadłościanu bez zmiany ich długości.

P

X

Y

Z



XY



YX



YZ



ZY



XZ



ZX



XY



YZ



XY



YZ



XZ



XZ

Rys. 23. Odkształcenia postaciowe.

Miarą zmiany postaci prostopadłościanu są trzy kąty. Pierwszy z nich w płaszczyźnie XY wynosi



XY

=

XY



XY

.

(126)

Drugi z nich w płaszczyźnie YZ wynosi



YZ

=

YZ



YZ

.

(127)

Trzeci z nich w płaszczyźnie XZ wynosi



XZ

=

XZ



XZ

.

(128)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

29

Odkształceniami postaciowymi nazywamy wielkości



XY

=



XY

2

=



XY



XY

2

,

(129)



YZ

=



YZ

2

=



YZ



YZ

2

,

(130)



XZ

=



XZ

2

=



XZ



XZ

2

.

(131)

Odkształcenia liniowe i postaciowe tworzą tensor odkształcenia w postaci

=

[



X



XY



XZ



YX



Y



YZ



ZX



ZY



Z

]

.

(132)

Stan odkształcenia w punkcie opisują trzy składowe odkształcenia liniowego 

ε

X

  ,  

ε

Y

  , 

ε

Z

  oraz trzy składowe 

odkształcenia postaciowego 

ε

XY

, 

ε

YZ

, 

ε

XZ

. Jak widać odkształcenia są wielkościami bezwymiarowymi.

Składowe wektora przemieszczenia są w ogólnym przypadku funkcjami zmiennych x, y oraz z. Równaniami, 
które wiążą składowe wektora przemieszczenia oraz składowe tensora odkształcenia są równania Cauchy'ego. 
Mają one postać



X

=

∂u
∂x



Y

=

∂v

∂ y



Z

= ∂

w

∂ z



XY

=

YX

=

1
2

⋅



∂u
∂ y



∂v
∂x





YZ

=

ZY

=

1
2

⋅



∂v
∂ z

∂

w

∂ y





XZ

=

ZX

=

1
2

⋅



∂w

∂x



∂u
∂ z



.

(133)

Jak widać ze wzoru (133) tensor odkształcenia jest tensorem symetrycznym. Tensor odkształcenia możemy 
transformować. Wielkością opisującą nam transformację jest macierz transformacji (75). Współrzędne tensora 
odkształcenia w układzie transformowanym wyznacza się ze wzoru.

'=B⋅⋅B

T

,

(134)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

30

w którym B

T

  jest transponowaną macierzą transformacji. Tensor odkształcenia w układzie transponowanym 

będzie miał postać

'=

[



X '



X 'Y '



X ' Z '



Y' X '



Y'



Y ' Z'



Z ' X '



Z 'Y '



Z '

]

.

(135)

Istnieje taki układ transponowany, w którym odkształcenia liniowe osiągają wartości ekstremalne natomiast 
odkształcenia postaciowe wynoszą zero. Układ taki nazywa się układem głównym. Ekstremalne odkształcenia 
liniowe   nazywają   się  odkształceniami   głównymi.   Odkształcenia   główne   wyznacza   się   jako   pierwiastki 
równania trzeciego stopnia nazywanego równaniem charakterystycznym w postaci



3

−I

1

⋅

2

I

2

⋅−I

3

=0

,

(136)

w którym współczynnik I

1

 równa się sumie odkształceń liniowych

I

1

=

X



Y



Z

.

(137)

I

2

 równa się sumie podwyznaczników tensora (132)

I

2

=

∣



X



XY



YX



Y

∣



∣



Y



YZ



ZY



Z

∣



∣



X



XZ



ZX



Z

∣

.

(138)

I

3

 równa się wyznacznikowi z macierzy opisującej tensor (132)

I

3

=

∣



X



XY



XZ



YX



Y



YZ



ZX



ZY



Z

∣

.

(139)

Tensor odkształcenia w układzie osi głównych ma postać



gl

=

[



1

0

0

0



2

0

0

0



3

]

.

(140)

Chcąc wyznaczyć kierunki główne należy wykorzystać poniższy układ równań

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

31

{





X

−



⋅n

1



YX

⋅n

2



ZX

⋅n

3

=0



XY

⋅n

1







Y

−



⋅n

2



ZY

⋅n

3

=0



XZ

⋅n

1



YZ

⋅n

2







Z

−



⋅n

3

=0

,

(141)

w   którym  

ε

  oznacza   jedno   z   odkształceń   głównych   natomiast   n

1

,   n

2

  oraz   n

3

  oznaczają   trzy   kosinusy 

kierunkowe pomiędzy kierunkiem głównym i osiami układu współrzędnych XYZ. Układ równań (141) jest 
układem jednorodnym, którego wyznacznik główny wynosi zero. Chcąc wyznaczyć kierunki główne zamiast 

ε 

należy postawić poszczególne odkształcenia główne oraz jedno z równań zamienić na warunek ortogonalności 
w postaci

n

1

2

n

2

2

n

3

2

=1

.

(142)

Układy równań do wyznaczenia kierunków głównych dla naprężeń głównych 

ε

1

, 

ε

2

 oraz 

ε

3

 będą miały postać

{





X

−

1



⋅n

1

1



YX

⋅n

2

1



ZX

⋅n

3

1 

=0



XY

⋅n

1

1 







Y

−

1



⋅n

2

1 



ZY

⋅n

3

1 

=0

[

n

1

1

]

2



[

n

2

1

]

2



[

n

3

1

]

2

=1

,

(143)

{





X

−

2



⋅n

1

2 



YX

⋅n

2

2 



ZX

⋅n

3

2 

=0



XY

⋅n

1

2







Y

−

2



⋅n

2

2



ZY

⋅n

3

2 

=0

[

n

1

2 

]

2



[

n

2

2 

]

2



[

n

3

2 

]

2

=1

,

(144)

{





X

−

3



⋅n

1

3 



YX

⋅n

2

3 



ZX

⋅n

3

3 

=0



XY

⋅n

1

3







Y

−

3



⋅n

2

3



ZY

⋅n

3

3 

=0

[

n

1

3 

]

2



[

n

2

3 

]

2



[

n

3

3 

]

2

=1

.

(145)

Macierz transformacji dla kierunków głównych będzie miała postać

B

gl

=

[

n

1

1 

n

2

1 

n

3

1 

n

1

2 

n

2

2 

n

3

2

n

1

3 

n

2

3 

n

3

3

]

.

(146)

Możemy ją zapisać także jako

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

32

B

gl

=

[

cos



1 , x



cos



1 , y



cos



1 , z



cos



2 , x



cos



2 , y



cos



2 , z



cos



3 , x



cos



3 , y



cos



3 , z



]

.

(147)

Wartości współczynników I

1

, I

2

  oraz I

3

  nie mogą zależeć od położenia układu współrzędnych są więc one 

niezmiennikami stanu odkształcenia. W przypadku tensora (135) mają one postać

I

1

=

X '



Y'



Z '

,

(148)

I

2

=

∣



X '



X 'Y '



Y ' X '



Y'

∣



∣



Y '



Y 'Z '



Z 'Y '



Z '

∣



∣



X '



X ' Z '



Z ' X '



Z '

∣

.

(149)

I

3

=

∣



X '



X 'Y'



X ' Z '



Y ' X '



Y'



Y 'Z '



Z' X '



Z 'Y'



Z '

∣

.

(150)

W przypadku tensora (140) mają one postać

I

1

=

1



2



3

,

(151)

I

2

=

1

⋅

2



2

⋅

3



3

⋅

1

,

(152)

I

3

=

1

⋅

2

⋅

3

,

(153)

6 Płaski stan odkształcenia

Do czynienia z płaskim stanem odkształcenia mamy wtedy, gdy tensor odkształcenia (132) będzie miał 

postać

=

[



X



XY

0



YX



Y

0

0

0

0

]

.

(154)

Taki   stan   odkształcenia   występuje   w   bardzo   długich   ścianach   (murach   oporowych),   które   są   obciążone 
prostopadle   do   największego   swojego   wymiaru   (długości).   W   takim   właśnie   przypadku   wszystkie 
odkształcenia po kierunku długości mają wartość zero.

W przypadku płaskiego stanu odkształcenia wektor przemieszczenia będzie miał tylko dwie składowe czyli u i 
v. Obie składowe będą funkcjami zmiennych x i y,

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

33

u

=u



x , y



v

=v



x , y



(155)

natomiast  składowa  w  będzie  wynosiła  zero.  Pochodne  cząstkowe  składowych  u  i  v  po  zmiennej  z  będą 
pochodnymi stałych czyli wynoszą

∂u



x , y



∂ z

=0

∂v



x , y



∂ z

=0

.

(156)

Natomiast pochodne składowej w po zmiennych x, y, z wynoszą

∂w

∂x

=0

∂w
∂ y

=0

∂w

∂ z

=0

.

(157)

Ostatecznie równania Cauchy'ego będą miały w płaskim stanie odkształcenia postać



X

=

∂u
∂x



Y

=

∂v

∂ y



Z

=0



XY

=

YX

=

1
2

⋅



∂u
∂ y

 ∂

v

∂x





YZ

=

ZY

=0



XZ

=

ZX

=0

.

(158)

Wiadomo, że przy obrocie układu współrzędnych XY składowe stanu odkształcenia zmieniają swoje wartości. 
Istnieje taki układ współrzędnych, w którym odkształcenia liniowe osiągają wartości ekstremalne (największą i 
najmniejszą   z   możliwych)   natomiast   odkształcenie   postaciowe   przyjmuje   wartość   zero.   Taki   układ 
współrzędnych nazywa się układem osi głównych. Natomiast ekstremalne odkształcenia liniowe nazywają się 
odkształceniami głównymi. Wzór na kąt obrotu układu osi głównych ma postać (kąt dodatni kręci od osi X 
do osi Y)

tg

2⋅

gl

=

2

⋅

XY



X

−

Y

.

(159)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

34

Odkształcenia główne będziemy wyznaczać ze wzorów



Xgl

=



X



Y

2





X

−

Y

2

⋅cos2⋅

gl



XY

⋅sin2⋅

gl



,

(160)



Ygl

=



X



Y

2

−



X

−

Y

2

⋅cos2⋅

gl

−

XY

⋅sin2⋅

gl



.

(161)

W celu sprawdzenia obliczeń naprężeń głównych będziemy stosować następujący wzór



1

/2

=



X



Y

2

±







X

−

Y

2



2



XY

2

,

(162)

w którym 

ε

1

 oznacza maksymalne odkształcenie główne natomiast 

ε

2

 oznacza minimalne odkształcenie główne. 

Tensor odkształcenia w przypadku odkształceń głównych będzie miał postać



gl

=

[



Xgl

0

0

0



Ygl

0

0

0

0

]

.

(163)

Kąt   nachylenia  układu  współrzędnych,  w  którym  odkształcenia   postaciowe  osiągają   wartości  ekstremalne 
wynosi

tg

2⋅



=−



X

−

Y

2

⋅

XY

.

(164)

Ekstremalne odkształcenia postaciowe wyznacza się ze wzoru



MAX

=−



X

−

Y

2

⋅sin2⋅





XY

⋅cos2⋅





.

(165)

Jako sprawdzenie można wykorzystać zależność

∣

MAX

∣=







X

−

Y

2



2



XY

2

.

(166)

Odkształcenia liniowe stowarzyszone z ekstremalnymi odkształceniami postaciowymi wyznacza się ze wzorów

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

35



XP

=



X



Y

2





X

−

Y

2

⋅cos2⋅





XY

⋅sin2⋅





,

(167)



YP

=



X



Y

2

−



X

−

Y

2

⋅cos2⋅



−

XY

⋅sin2⋅





.

(168)

Odkształcenia liniowe stowarzyszone z ekstremalnymi odkształceniami postaciowymi mają te same wartości i 
mogą być także wyznaczone z zależności



XP

=

YP

=



X



Y

2

.

(169)

Tensor odkształcenia będzie w przypadku ekstremalnych odkształceń postaciowych miał postać





=

[



XP



MAX

0



MAX



YP

0

0

0

0

]

.

(170)

Osie odkształceń głównych i ekstremalnych odkształceń postaciowych są wzajemnie obrócone o kąt 45

o

.

Pierwszy niezmiennik tensora (154) wynosi

I

1

=

X



Y

.

(171)

Drugi niezmiennik tensora (154) wynosi

I

2

=

X

⋅

Y

−

XY

2

.

(172)

Pierwszy niezmiennik tensora (163) wynosi

I

1

=

Xgl



Ygl

.

(173)

Drugi niezmiennik tensora (163) wynosi

I

2

=

Xgl

⋅

Ygl

.

(174)

Pierwszy niezmiennik tensora (170) wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

36

I

1

=

XP



YP

.

(175)

Drugi niezmiennik tensora (170) wynosi

I

2

=

XP

⋅

YP

−

MAX

2

.

(176)

Trzeci niezmiennik we wszystkich opisanych powyżej przypadkach jest zawsze równy zero.

7 Rozciąganie osiowe

Podstawowym testem laboratoryjnym służącym do wyznaczenia zależności pomiędzy naprężeniami i 

odkształceniami jest statyczna próba rozciągania. Próba ta polega na osiowym rozciąganiu próbki wykonanej 
z  materiału  w  maszynie  wytrzymałościowej.  Słowo statyczna  oznacza,  że  badanie wykonywane  jest  przy 
powoli rosnącej sile rozciągającej. Próbka jest umocowana w szczękach maszyny wytrzymałościowej. Siła 
rozciągająca P jest wymuszana za pomocą szczęk.

Rysunek 24 przedstawia próbkę  wykonaną ze stali  niskowęglowej (na przykład St3S).  Jest  to najczęściej 
wykorzystywana stal w budownictwie. Próbka ma przekrój kołowy o średnicy d. Długość części pomiarowej 
próbki jest dziesięciokrotnie większa od średnicy (próbka dziesięciokrotna). Obok próbek dziesięciokrotnych 
są   także   próbki   pięciokrotne   (długość   pomiarowa   jest   pięciokrotnie   większa   niż   średnica   takiej   próbki). 
Pogrubione   elementy   służą   do   ułożenia   próbki   w  szczękach   maszyny   wytrzymałościowej.   Wadą   takiego 
zamocowania jest w początkowym etapie obciążania próbki brak osiowego przyłożenia siły rozciągającej P. 
Taka próbka musi się “ułożyć” w szczękach maszyny.

Rys. 24. Próbka dzieięciokrotna do statycznej próby rozciągania.

Pod wpływem działania siły rozciągającej P w przekroju próbki powstanie stan naprężenia opisany tensorem 
naprężenia 

=

[



X

= =

P

A

0

0 0

0

0 0

0

0 0

]

,

(177)

w którym P jest osiową siłą rozciągającą, A

0

 jest początkowym polem powierzchni przekroju próbki. Przekrój 

ten jest w naszym przypadku kołem o średnicy 10 mm. Tensor naprężenia (177) jest oczywiście tensorem w 

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

37

układzie   osi   głównych,   ponieważ   wszystkie   naprężenia   styczne  są   równe   zero.   Rysunek  25   przedstawia 
elementarny kwadrat opisujący osiowe rozciąganie.

X=X

gl

Y=Y

gl





Rys. 25. Stan naprężenia przy osiowym rozciąganiu.



X



X



S



P



H



W



Z

zakres sprężysty

odkształcenia sprężysto-plastyczne



X

=

N

A

0



X

rz

=

N

A

odkształcenie graniczne

 

≈0,2

Rys. 26. Wykres zależności pomiędzy naprężeniem i odkształceniem dla stali niskowęglowej.

Próbka pod wpływem siły rozciągającej będzie się wydłużać. Miarą tego wydłużenia jest odkształcenie liniowe 
po kierunku osi pręta 

ε

X

, które wynosi



X

=

 L

L

0

.

(178)

We wzorze (178)  

∆

L jest wydłużeniem próbki pod wpływem działania osiowej siły rozciągającej P, L

0

  jest 

początkową długością części pomiarowej próbki, która w przypadku naszej próbki dziesięciokrotnej będzie 
wynosiła 10,0 cm.

W wyniku statycznej próby rozciągania uzyskuje się wykres zależności pomiędzy naprężeniami normalnymi 

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

38

σ

X

 i odkształceniami liniowymi 

ε

X

. Przykładowy wykres dla stali niskowęglowej przedstawia rysunek 26.

Na wykresie 26 znajdują się następujące punkty charakterystyczne:

1. Granica proporcjonalności  

σ

H

  – jest największą wartością naprężenia normalnego, przy której zależność 

naprężenie-odkształcenie jest jeszcze liniowa.

2. Granica sprężystości 

σ

S

  – jest największą wartością naprężenia normalnego, dla której krzywa odciążania 

pokrywa się z krzywą obciążania. Jeżeli próbka zostanie najpierw obciążona poniżej granicy sprężystości a 
potem obciążenie zmaleje do zera to próbka wróci do swojej pierwotnej długości.

3. Granica plastyczności 

σ

P

 – jest to wartość naprężenia, przy którym występują znaczne odkształcenia trwałe 

nazywane  odkształceniami   plastycznymi.   bez   wzrostu   siły   rozciągającej.   Materiał   płynie.   Jeżeli 
powierzchnia boczna próbki byłaby wypolerowana to po przekroczeniu granicy plastyczności powierzchnia 
ta  by  zmatowiała  i  pojawiłyby  się  linie  Lüdersa.  Przyczyną  tego  zjawiska  są  ekstremalne  naprężenia 
styczne występujące na płaszczyznach nachylonych pod kątem 45 stopni do osi pręta (naprężeń głównych). 
Ekstremalne   naprężenia   styczne   będą   w   stali   niskowęglowej   powodowały   poślizg   warstw   materiału 
względem siebie i w konsekwencji zmatowienie wypolerowanej powierzchni. Granica plastyczności może 
mieć  dwie  wartości  dolną  i  górną,   ponieważ   siła   normalna   może  w  małym  zakresie  zmieniać   swoją 
wartość oscylując wokół granicy plastyczności.

4. Wytrzymałość doraźna 

σ

W

 – jest równa maksymalnej wartości naprężenia normalnego na całym wykresie. 

Od   tego   miejsca   próbka   przestaje   się   równomiernie   odkształcać.   Tworzy   się   wyraźne   przewężenie 
nazywane  szyjką.   Z  chwilą   pojawienia  się  szyjki  dalsze  odkształcenia  próbki  będą  występowały  przy 
malejącej  sile   rozciągającej  P  ale   przy  rosnących  naprężeniach   normalnych,   ponieważ   pole  przekroju 
próbki zmalało wskutek pojawienia się szyjki.

Wykres   narysowany   na   rysunku   26   liną   ciągłą   odnosi   się   do  naprężeń   nominalnych  (obliczonych   dla 
początkowego pola powierzchni). Wykres narysowany na rysunku 26 linią przerywaną odnosi się do naprężeń 
rzeczywistych  (obliczonych  dla   aktualnego  pola   powierzchni).   Zmniejszanie  się  pola   powierzchni  próbki 
następuje już od początku procesu rozciągania. Zmniejszenie to jest jednak bardzo małe i znika po usunięciu 
obciążenia.   Widoczne   zmniejszenie   pola   powierzchni   następuje   dopiero   z   chwilą   pojawienia   się   szyjki. 
Zaznaczone   na   rysunku   26   odkształcenie   graniczne   odpowiada   sile   zrywającej   próbkę.   Odkształcenie 
graniczne wynosi około 0,2 czyli 20%. Próbka ulega zerwaniu w miejscu pojawienia się szyjki. 



X



X



S



P



W



X

=

N

A

0

odkształcenie graniczne



S



P

Rys. 27. Wykres zależności pomiędzy naprężeniem i odkształceniem dla stali wysokowęglowej.

W   przypadku   stali   wysokowęglowej   lub   stopów   aluminium   wykres   zależności   pomiędzy   naprężeniami   i 
odkształceniami  ma  postać   przedstawioną   na   rysunku  27.  W  odróżnieniu  od  wykresu  na  rysunku  26   na 
wykresie   tym   nie   ma   wyraźnej   granicy   plastyczności.   Jako   granicę   plastyczności   przyjmuje   się   takie 

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

39

naprężenie   normalne,   które   odpowiada   odkształceniom   plastycznym   wynoszącym   0,002.   Jako   granicę 
sprężystości przyjmuje się takie naprężenie normalne, które odpowiada odkształceniom plastycznym 0,0005.

Cechą wspólną materiałów takich jak stal niskowęglowa lub aluminium jest ich  ciągliwość. Wynika ona z 
faktu,   że  zerwanie  próbki   poprzedzone  jest   pojawieniem  się  dużych  odkształceń  trwałych  (plastycznych) 
wynoszących 15% do 30% początkowej długości próbki. Materiały takie nazywamy materiałami ciągliwymi. 
Materiały takie jak beton, cegła, skała lub stal wysokowęglowa nazywamy materiałami kruchymi.

X

Y



X

X

Y

dx

dx



dy

dy



X

Rys. 28. Odkształcenia spowodowane działaniem naprężenia normalnego 

σ

X

.

Rysunek   28   przedstawia   elementarny   kwadrat   po   odkształceniu   spowodowanym   działaniem   naprężenia 
normalnego  

σ

X

.   Zostało   doświadczalnie   dowiedzione,   że   pomiędzy   naprężeniem   rozciągającym  

σ

X

  a 

odkształceniem liniowym 

ε

X

 w zakresie sprężystej pracy materiału istnieje zależność liniowa.

Możemy więc napisać, że



X

=E⋅

X

.

(179)

Odkształcenie liniowe będzie więc wynosiło



X

=



X

E

.

(180)

Współczynnikiem proporcjonalności E jest moduł Younga. Jest to pierwsza z wielkości nazywanych stałymi 
materiałowymi. Stałe materiałowe są charakterystyczne dla danego materiału i są określane na podstawie 
badań  laboratoryjnych.   Jednostką   modułu Younga   jest   w  układzie  SI   Pascal   (Pa).   Jednak  w  materiałach 
stosowanych w budownictwie używa się wielokrotności GPa.

Odkształcenie



Y

=

 dy

dy

(181)

jest jest ujemne (elementarny kwadrat w kierunku osi Y uległ skróceniu). Zostało doświadczalnie dowiedzione, 
że pomiędzy odkształceniem liniowym 

ε

X

 a odkształceniem liniowym 

ε

Y

 w zakresie sprężystej pracy materiału 

istnieje zależność liniowa. Możemy więc napisać, że

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

40



Y

=−⋅

X

.

(182)

Współczynnikiem proporcjonalności 

ν

 jest współczynnik Poissona. Minus we wzorze (182) wynika z faktu, 

że   współczynnik   Poissona   jest   wartością   dodatnią   a   odkształcenia   liniowe   są   różnego   znaku.   Należy 
podkreślić, że  współczynnik Poissona jest wielkością bezwymiarową. Otrzymywany jest także na drodze 
badań   laboratoryjnych.   Dla   materiałów   sprężystych   współczynnik   Poissona   nie   może   być   większy   niż 
0,5.Uwzględniając zależność (180) otrzymany



Y

=−⋅



X

E

.

(183)

Analogicznie możemy napisać, że



Z

=−⋅

X

=−⋅



X

E

.

(184)

Tensor odkształcenia dla osiowego rozciągania będzie miał postać

=

[



X

E

0

0

0

−⋅



X

E

0

0

0

−⋅



X

E

]

.

(185)

Moduł Younga oraz współczynnik Poissona stanowią dwie stałe materiałowe dla materiału izotropowego.

8 Związki fizyczne w przestrzennym stanie naprężenia

W  przypadku  tensora   naprężenia   (69)   dla   naprężeń  normalnych  możemy  wykorzystać   analogię  do 

związków   przedstawionych   w   poprzednim   punkcie.   Skutki   działania   wszystkich   naprężeń   normalnych 
przedstawia   Tabela   1.   Sumując   wiersze   Tabeli   1   możemy   otrzymać   zależności   pomiędzy   naprężeniami 
normalnymi i odkształceniami liniowymi w postaci



X

=

1

E

⋅

[



X

−⋅





Y



Z



]

,

(186)



Y

=

1

E

⋅

[



Y

−⋅





X



Z



]

,

(187)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

41



Z

=

1

E

⋅

[



Z

−⋅





X



Y



]

.

(188)

Tabela 1. Skutki działania naprężeń normalnych.



X



Y



Z



X



X

E

−⋅



Y

E

−⋅



Z

E



Y

−⋅



X

E



Y

E

−⋅



Z

E



Z

−⋅



X

E

−⋅



Y

E



Z

E

X

Y



XY



YX

X

Y



1



2

X

Y



XY



XY



YX

Rys. 29. Deformacja przy działaniu naprężenia stycznego.

W przypadku działania naprężenia stycznego deformację elementarnego kwadratu przedstawia rysunek 29. 
Teoretycznie zostało udowodnione, że pomiędzy naprężeniem stycznym 

τ

XY

 w całkowitym kątem odkształcenia 

γ

XY

 istnieje także zależność liniowa. Możemy więc napisać, że



XY

=G⋅

XY

.

(189)

Współczynnikiem proporcjonalności jest  moduł Kirchhoffa. Wielkość ta nie jest jednak stałą materiałową, 
ponieważ pomiędzy modułem Kirchhoffa a modułem Younga i współczynnikiem Poissona istnieje zależność

G

=

E

2

⋅



1





.

(190)

Wzór (189) możemy napisać w postaci



XY

=



XY

G

.

(191)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

42

Odkształcenie postaciowe na płaszczyźnie XY będzie miało postać



XY

=



XY

2

⋅G

.

(192)

Analogicznie odkształcenia postaciowe na pozostałych płaszczyznach można zapisać



YZ

=



YZ

2

⋅G

,

(193)



XZ

=



XZ

2

⋅G

.

(194)

Komplet sześciu równań fizycznych dla materiału izotropowego w zakresie sprężystej pracy materiału ma 
postać

{



X

=

1
E

⋅

[



X

−⋅





Y



Z



]



Y

=

1

E

⋅

[



Y

−⋅





X



Z



]



Z

=

1

E

⋅

[



Z

−⋅





X



Y



]



XY

=



XY

2

⋅G



YZ

=



YZ

2

⋅G



XZ

=



XZ

2

⋅G

.

(195)

Zależność pomiędzy tensorem naprężenia (83) a tensorem odkształcenia (135) będzie miała postać

{



X '

=

1
E

⋅

[



X '

−⋅





Y'



Z '



]



Y '

=

1

E

⋅

[



Y '

−⋅





X '



Z '



]



Z '

=

1
E

⋅

[



Z '

−⋅





X '



Y'



]

,

(196)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

43

{



X 'Y'

=



X 'Y '

2

⋅G



Y 'Z '

=



Y 'Z '

2

⋅G



X 'Z '

=



X 'Z '

2

⋅G

.

(197)

W przypadku tensora naprężenia (88) i tensora odkształcenia (140) związki fizyczne mają postać

{



1

=

1

E

⋅

[



1

−⋅





2



3



]



2

=

1

E

⋅

[



2

−⋅





1



3



]



3

=

1

E

⋅

[



3

−⋅





1



2



]

.

(198)

W przypadku płaskiego stanu naprężenia (102) związki fizyczne mają postać

{



X

=

1
E

⋅





X

−⋅

Y





Y

=

1

E

⋅





Y

−⋅

X





Z

=

−

E

⋅





X



Y





XY

=



XY

2

⋅G

.

(199)

Względna zmiana objętości (dylatacja) wynosi

 dV

dV

=

X



Y



Z

.

(200)

Uwzględniając związki fizyczne (195) możemy ją zapisać jako

dV

dV

=

1
E

⋅

[



X

−⋅





Y



Z



]



1

E

⋅

[



Y

−⋅





X



Z



]



1

E

⋅

[



Z

−⋅





X



Y



]

.

(201)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

44

Wzór (201) możemy zapisać

 dV

dV

=

1

E

⋅





X



Y



Z



−

2

⋅

E

⋅





X



Y



Z



.

(202)

Czyli ostatecznie otrzymamy

 dV

dV

=

1

−2⋅

E

⋅





X



Y



Z



.

(203)

Współczynnik

K

=

1

−2⋅

E

(204)

nazywamy  modułem  ściśliwości.   Ze  wzoru  (204)   wynika,   że  wartość  współczynnika   Poissona  musi  być 
mniejsza niż 0,5, ponieważ gdyby była większa niż 0,5 to przy wszechstronnym ściskaniu elementarna kostka 
powiększałaby się, co przeczyłoby wynikom badań laboratoryjnych. 

9 Twierdzenie Clapeyrona

Pojęcie układów Clapeyrona zostanie pokazane na przykładzie sprężyny rozciąganej siłą P, zależną od 

wydłużenia sprężyny u. Sprężynę przedstawia rysunek 30.

u

P(u)

P=0

Rys. 30. Sprężyna.

Pracę siły P(u), która powoduje rozciągnięcie sprężyny możemy wyznaczyć ze wzoru

L

=

∫

0 

u

k

P

 u ⋅du

.

(205)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

45

Jeżeli zależność pomiędzy siłą P a wydłużeniem sprężyny u jest liniowa, tak jak to przedstawia rysunek 31 to 
praca siły P równa się polu powierzchni trójkąta prostokątnego czyli

L

=

1
2

⋅P

k

⋅u

k

.

(206)

P

u

P

k

u

k

L

Rys. 31. Liniowa zależność pomiędzy siłą a wydłużeniem sprężyny.

Przedstawiony powyżej przykład sprężyny z liniową charakterystyką stanowi układ Clapeyrona. Układ taki 
charakteryzuje się następującymi właściwościami:

1. materiał jest liniowo sprężysty,

2. w trakcie odkształcenia nie występują nowe punkty podparcia,

3. w układzie nie ma naprężeń i odkształceń wstępnych

4. w układzie nie występują zmiany temperatury.

Twierdzenie Clapeyrona głosi, że praca obciążeń równa się energii sprężystej zgromadzonej wewnątrz układu 
czyli

L

=U

,

(207)

w   którym   L   oznacza   pracę   obciążeń   (sił   zewnętrznych)   natomiast   U   oznacza   energię   sprężystą 
zmagazynowaną wewnątrz układu. Praca sił zewnętrznych wzrastających liniowo nieskończenie powoli od 
zera do ostatecznych ich wartości wyraża się dla układów Clapeyrona 

L

=

1
2

⋅ P⋅u

.

(208)

Wzór (208) możemy zapisać ogólnie jako

L

=

1
2

⋅ F⋅f

,

(209)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

46

w którym F oznacza siłę uogólnioną natomiast f oznacza przemieszczeni uogólnione. Jeżeli F oznaczać będzie 
moment pary sił zaczepiony w pewnym przekroju to f będzie kątem obrotu tego przekroju.

10 Energia sprężysta

Jednostkową energią sprężystą nazywamy ilość energii sprężystej nagromadzonej w jednostce objętości 

ciała. Dla układów Clapeyrona wynosi ona

W

=

1
2

⋅





X

⋅

X



Y

⋅

Y



Z

⋅

Z



XY

⋅

XY



YX

⋅

YX



YZ

⋅

YZ



ZY

⋅

ZY



XZ

⋅

XZ



ZX

⋅

ZX



.

(210)

Uwzględniając symetrię tensorów naprężenia i odkształcenia jednostkowa energia sprężysta będzie wynosiła

W

=

1
2

⋅





X

⋅

X



Y

⋅

Y



Z

⋅

Z

2⋅

XY

⋅

XY

2⋅

YZ

⋅

YZ

2⋅

XZ

⋅

XZ



.

(211)

Jednostkową   energię   sprężystą   możemy   rozłożyć   na   dwa   składniki:   energię   sprężystą   odkształcenia 
objętościowego oraz energię sprężystą odkształcenia postaciowego.

Energia sprężysta odkształcenia objętościowego wynosi

W

o

=

1

−2⋅

6

⋅E

⋅





X



Y



Z



2

.

(212)

Energia sprężysta odkształcenia postaciowego wynosi

W

p 

=

1

12

⋅G

⋅

[





X

−

Y



2







Y

−

Z



2







Z

−

X



2

6⋅





XY

2



YZ

2



XZ

2



]

.

(213)

W układzie osi naprężeń głównych energia sprężysta odkształcenia objętościowego wynosi

W

o

=

1

−2⋅

6

⋅E

⋅





1



2



3



2

.

(214)

W układzie osi naprężeń głównych energia sprężysta odkształcenia postaciowego wynosi

W

 p

=

1

12

⋅G

⋅

[





1

−

2



2







2

−

3



2







3

−

1



2

]

.

(215)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW – PODSTAWY TEORII – CZĘŚĆ 1

47

11 Wytężenie materiału i naprężenie zredukowane

Analizując   wykresy   zależności   pomiędzy   naprężeniem   rozciągającym   a   odkształceniem   liniowym 

przedstawione na rysunkach 26 i 27 możemy stwierdzić, że w przypadku materiału ciągliwego (rysunek 26) za 
stan niebezpieczny uznaje się osiągnięcie granicy plastyczności 

σ

P

. Natomiast dla materiału kruchego (rysunek 

27) za stan niebezpieczny przyjmuje się doraźną granicę wytrzymałości 

σ

W

.

Podstawowym  problemem  jest   wyznaczenie  współczynnika  bezpieczeństwa,   który   określa   nam   ile   razy 
aktualne naprężenie 

σ

 jest mniejsze od naprężenia niebezpiecznego 

σ

n

.

n

=





n

.

(216)

Obliczenie   współczynnika   bezpieczeństwa   dla   osiowego   rozciągania   jest   bardzo   proste,   trudniej   sprawa 
przedstawia się w trójosiowym stanie naprężenia opisanym tensorem naprężenia (69). Problem ten rozwiązują 
hipotezy wytrzymałościowe (wytężeniowe), które sprowadzają stan naprężenia opisany tensorem (69) do 
przypadku osiowego rozciągania. W tym celu hipotezy te wprowadzają pojęcie naprężenia zredukowanego, 
które to jest właśnie naprężeniem rozciągającym w sprowadzonym przypadku osiowego rozciągania.

Naprężenie zredukowane musi być funkcją niezmienników stanu naprężenia czyli



red

=

red



I

1

, I

2

, I

3



.

(217)

Naprężenie zredukowane musi być funkcją składowych stanu naprężenia czyli



red

=

red





X

,



Y

,



Z

,



XY

,



YZ

,



XZ



.

(218)

Naprężenie zredukowane dla osiowego rozciągania musi się równać naprężeniu rozciągającemu



red



 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0



=

.

(219)

Naprężenie zredukowane dla zerowego tensora naprężenia musi się równać zero



red



0 , 0 , 0 ,0 , 0 , 0



=0

.

(220)

12 Hipoteza Hubera-Misesa-Hencky'ego (H-M-H)

Jest   to   hipoteza   dla   materiałów   ciągliwych.   Jako   naprężenie   niebezpieczne   przyjmuje   się   granicę 

plastyczności 

σ

P

. Możemy więc zapisać



red

=

P

.

(221)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ