KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

1

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

ODWZOROWANIE PROSTEJ

I PŁASZCZYZNY, PRZYNALEŻNOŚĆ

I RÓWNOLEGŁOŚĆ ELEMENTÓW

WYKŁAD 2

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

2

1. ODWZOROWANIE PROSTEJ
2. ODBUDOWA PROSTEJ Z RZUTÓW
3. SZCZEGÓLNE PRZYPADKI POŁOŻENIA PROSTEJ
4. PROSTA LEŻĄCA NA RZUTNI
5. WZAJEMNE POŁOŻENIE PARY PROSTYCH
6. SZCZEGÓLNE USTAWIENIE PŁASZCZYZN
7. PŁASZCZYZNA PROSTOPADŁA DO UKŁADU

ODNIESIENIA

8. PRZYNALEŻNOŚĆ ELEMENTÓW
9. PRZYNALEŻNOŚĆ – PRZYKŁADY
10. PRZYNALEŻNOŚĆ DO PŁASZCZYZN

RZUTUJĄCYCH – PRZYKŁADY

11. RÓWNOLEGŁOŚĆ ELEMENTÓW

TEMATYKA WYKŁADU

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

3

1. ODWZOROWANIE

PROSTEJ

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

4

przez dwa dowolne punkty przechodzi tylko

jedna

prosta

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

5

przez prostą prowadzimy płaszczyznę

ε

1

prostopadłą do rzutni poziomej –

π

1

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

6

przez prostą prowadzimy płaszczyznę

ε

2

prostopadłą do rzutni pionowej –

π

2

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

7

płaszczyzna

ε

1

rzuca prostą

l

na rzutnię

π

1

krawędź tę nazywamy rzutem poziomym prostej

l

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

8

płaszczyzna

ε

2

rzuca prostą

l

na rzutnię

π

2

krawędź tę nazywamy rzutem pionowym prostej

l

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

9

równoważność zapisu prostej

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

10

2. ODBUDOWA PROSTEJ

Z RZUTÓW

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

11

dane są rzuty prostej

l

na płaszczyznach

π

1

oraz

π

2

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

12

prosta

l

jest krawędzią przecięcia obu płaszczyzn

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

13

proste

l

i

f

usytuowane są prostopadle do osi

x

położenie ich na rzutniach jest niejednoznaczne

WYJĄTEK

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

14

3. SZCZEGÓLNE PRZYPADKI

POŁOŻENIA PROSTEJ

3.1. PROSTE RÓWNOLEGŁE

DO UKŁADU ODNIESIENIA

3.2. PROSTE PROSTOPADŁE

DO UKŁADU ODNIESIENIA

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

15

3.1. PROSTE RÓWNOLEGŁE DO UKŁADU

ODNIESIENIA

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

16

prosta pozioma

a

jest równoległa do płaszczyzny

π

1

prosta pozioma

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

17

prosta czołowa

b

jest równoległa do płaszczyzny

π

2

prosta czołowa

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

18

prosta

c

równoległa do osi

x

12

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

19

3.2. PROSTE PROSTOPADŁE DO UKŁADU

ODNIESIENIA

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

20

prosta pionowa

d

jest prostopadła do płaszczyzny

π

1

prosta pionowa

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

21

prosta celowa

e

jest prostopadła do płaszczyzny

π

2

prosta celowa

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

22

prosta prostopadła do osi

x

12

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

23

4. PROSTA LEŻĄCA NA RZUTNI

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

24

prosta

a

znajduje się na rzutni poziomej (przed osią

x

12

)

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

25

prosta

b

znajduje się na rzutni pionowej (nad osią

x

12

)

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

26

prosta

c

znajduje się na rzutni poziomej (za osią

x

12

)

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

27

prosta

d

znajduje się na rzutni pionowej (pod osią

x

12

)

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

28

5. WZAJEMNE POŁOŻENIE PARY

PROSTYCH

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

29

para prostych przecinających się w punkcie właściwym

tworzy płaszczyznę

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

30

para prostych równoległych tworzy płaszczyznę

KATEDRA MOSTÓW

GEOMETRIA WYKREŚLNA

Rok I, semestr I (zimowy)

Politechnika Gdańska

WYKŁAD 2 Rok akademicki 2005/2006

Opracował: Andrzej Kozakiewicz

Wykładowcy:
dr hab. inż. Jacek Chróścielewski, prof. PG
mgr inż. Bożena Kotarska-Lewandowska

31

proste skośne nie przecinają się i nie tworzą

płaszczyzny