1. Podstawowe obszary aktywności matematycznej i ich krótka charakterystyka.

a) orientacja w przestrzeni – umiejętność panowania nad przestrzenią, budowa

nazewnictwa np. własne ciało, kierunki, dystans

b) rytm harmonii – pojęcie czasu, wyrobienie intuicji liczby, umiejętność właściwego

panowania nad czasem

c) liczby i liczenie – aspekt kardynalny, porządkowy, miarowy
d) pomiar – mierzenie długości (jednostki), mierzenie płynów (objętość), ważenie
e) konstruowanie gier
f) układanie i rozwiązywanie zadań arytmetycznych
g) zapisywanie czynności matematycznych – używanie symboli matematycznych
h) intuicje matematyczne – podstawowe figury i posługiwanie się nimi
i) klasyfikacja – tworzenie zbiorów przedmiotów na podstawie cechy która je łączy.

2. Scharakteryzuj ideę kształcenia integralnego i znaczenie matematyki w tym kształceniu.

Nauczanie zintegrowane:

a) umożliwia oddziaływanie na wszystkie sfery osobowości
b) opiera się na różnych formach aktywności
c) zdobywanie wiedzy, która daje jednolicie scalony obraz świata
d) pozwala na stosowanie różnych strategii w nauczaniu

Co otrzymujemy?

a) rozwijanie wrażliwości moralnej oraz odpowiednich postaw moralnych
b) związanie emocjonalne ucznia ze społecznością lokalną, ojczyzną, rodziną
c) rozwijanie umiejętności własnych działań – samodzielność, współdziałanie z innymi
d) rozwijanie zainteresowań, zdolności poznawczych
e) pozwala korygować i niwelować deficyty rozwojowe
f) rozbudzanie estetyki, wrażliwości estetycznej, poprzez różne formy ekspresji,

umiejętności czysto manualne i instrumentalne

Znaczenie matematyki:

a) rozwój zdolności poznawczych
b) rozwój wyobraźni geometrycznej (umiejętność dostrzegania sytuacji geometrycznych)
c) rozwój intuicji w zakresie znaku i rekurencji (znaki, symbole odpowiadają

rzeczywistości; rekurencja: metoda myślenia, działania – zdefiniowanie następujących
pojęć o znane już elementy)

d) rozwój umiejętności tworzenia schematów (budowanie modeli ze znanej rzeczywistości,

konkretne dane do rozwiązania problemu)

e) nabywanie wiadomości instrumentalnych
f) nabywanie umiejętności komunikacyjnych
g) umiejętność współpracy w zespole, dobra organizacja pracy, tolerancja

3. Określić podstawowe kompetencje matematyczne zdobywane w edukacji przedszkolnej
i wczesnoszkolnej

1) Umiejętność wyodrębniania zbiorów ze względu na daną cechę i odwrotnie
2) Klasyfikowanie przedmiotów ze względu na 1-2 cechy
3) Porządkowanie zbiorów wg cech wielkościowych
4) Zapis i odczytywanie liczby za pomocą cyfr – umiejętność odczytywania

5) Umiejętność praktycznego stosowania systemu pozycyjnego – dziesiątkowego
6) Porównywanie liczebności zbiorów
7) Zaznaczanie na osi liczbowej i porównywanie
8) Umiejętność dodawania i odejmowania liczb w zakresie 1000 – algorytmy liczenia
9) Mnożenie i dzielenie do 100 z tabliczką mnożenia
10) Wykonywanie dzielenia z resztą
11) Stosowanie dzielenia w zakresie 1000 z liczebnikami pojedynczymi
12) Posługiwanie się nawiasami i kolejność wykonywania działań
13) Praktyczne działania, które prowadzą do konieczności wykorzystania dwóch działań
14) Używanie operacji odwrotnych
15) Używanie wszystkich liczb
16) Umiejętność odczytywania działań z pomocą graficzną
17) Rozwiązywanie prostych równań, nierówności
18) Posługiwanie się skrótami jednostek
19) Umiejętność wskazywania przebiegu liczbowego danej stałej w oparciu o tabelkę
20) Rozpoznawanie figur, kształtów, dostrzeganie figur w przyrodzie, figur osiowo

symetrycznych, budowanie figur symetrycznych

21) Rozpoznawanie odległości
22) Pojemność, masa – zamiana
23) Pisanie i odczyt daty, posługiwanie się kalendarzem
24) Umiejętność wykonywania zdarzeń losowych np. w labiryncie
25) Opisywanie ruchu i kierunków za pomocą odpowiednich zwrotów
26) Odróżnianie zbioru od kolejności
27) Umiejętność zapisywania sytuacji problemowych za pomocą liczb i działań
28) Rozwiązywanie prostych zadań tekstowych – układanie i rozwiązywanie

7. Wskazać podstawowe błędy, które utrudniają zrozumienie matematyki. Przedstawić
podstawowe zalecenia w nauczaniu matematyki.

Podstawowe błędy:

a) nieprawidłowe nauczanie: błędy popełnione przez nauczyciela, niewłaściwe postawy

nauczycieli – nauczyciel powinien starać się dostosowywać do tego, jacy są uczniowie,
do ich możliwości

b) szkoła ogranicza się do autorytarnego nauczania, nie doceniając uczenia opartego na

samodzielnym myśleniu i eksperymentowaniu przez dzieci

c) wymaganie od dziecka określonych sformułowań matematycznych, do których ono

jeszcze nie dorosło co zmusza je do rezygnacji z samodzielnego myślenia

d) nastawienie nauczyciela na konkretne sformułowanie, zbyt rzadko wkłada wysiłek w

zrozumienie, co dziecko ma na myśli

e) sprawy językowe – nauczyciel wymaga od dziecka by mówiło pełnymi zdaniami, stara

się by opanowało prawidłowy logiczny sposób formułowania zdań

f) zmuszanie ucznia do pisania czegoś, co nie ma dla niego sensu, dziecko zmusza się do

pozornych, niepotrzebnych im w danym momencie ułatwień metodycznych np. 14 – 3 =
11 → 14 – 3 = 10 + (4 – 3) = 10 + 1 = 11

Zalecenia:

a) zmiana metod nauczania: zamiast przekazywać gotową wiedzę nauczyciel powinien

organizować proces zdobywania doświadczeń

b) dodatkowe godziny zajęć wyrównawczych ze zmianą metod i podejścia

pedagogicznego

c) zindywidualizowane zajęcia z pojedynczymi dziećmi
d) poradnie wychowawczo-zawodowe redukujące niepowodzenia z matematyki

8. Etapy rozwoju dziecka wg Piageta. Czym się charakteryzują w odniesieniu do rozwoju
umiejętności matematycznych.

1) Do 2 r. ż. to okres kształtowania inteligencji praktycznej. (sensoryczno-motorycznej) W

tym czasie dziecko poznaje swoimi zmysłami najbliższą przestrzeń i uczy się poruszać
w niej i panować nad przedmiotami

2) Okres kształtowania operacji konkretnych podzielony na dwa podokresy:

a. przedoperacyjny (do 7 r.ż.) w umyśle dziecka tworzą się i dojrzewają pierwsze

operacje konkretne dotyczące pojęć liczbowych

b. operacyjne rozumowanie rozszerza się i obejmuje przestrzeń i czas

3) Rozumowanie operacyjne na poziomie formalnym dziecko zaczyna się posługiwać

logiką zbliżoną do tej, której używają dorośli.

9. Dlaczego tak ważne jest przejście od okresu przedoperacyjnego do operacyjnego przy
nauczaniu matematyki i innych przedmiotów. Jak nauczanie matematyki może pomagać
tym przejściu?

Przejście od myślenia przedoperacyjnego do operacji konkretnych dokonuje się przede
wszystkim na skutek różnego rodzaju czynności świadomie wykonywanych przez dziecko.
Można wpłynąć na przyspieszenie tego przejścia stawiając przed dzieckiem bardzo konkretne
zadania, w których ma ono okazję poznania różnorodnych zależności w trakcie praktycznych
działań na przedmiotach. Przekształcając przedmiot poprzez wykonywanie odpowiednich
czynności dziecko dochodzi do umiejętności przewidywania wyniku mającego nastąpić
przekształcenia. Dla rozwoju myślenia jest szczególnie ważne, by czynności dziecka były
wykonywane świadomie i skierowane na określony cel. Najkorzystniejsze są zadania, które
pozwalają dziecku zdać sobie sprawę, czy osiągnęło ono zamierzony z zadaniu cel, czy też
popełniło jakieś błędy.

10. Przejście od etapu kolekcji do klasyfikacji. Jakie cechy intelektualne są potrzebne i
kształtowane podczas tego procesu?

Większość sześciolatków znajduje się na poziomie kolekcji. Poprzedza on klasyfikacje
operacyjną. Najważniejsza jest tu dla dziecka przynależność obiektów. To, co odróżnia
klasyfikację na poziomie operacyjnym od wcześniejszych rozwojowo sposobów porządkowania
przedmiotów, dotyczy:

a) giętkości rozumowania: dziecko potrafi teraz segregować przedmioty na wiele

sposobów, np. wg kolorów, wielkości

b) konsekwencji: gdy dziecko podejmuje decyzję: segreguję wg wielkości, kieruje się nią,

aż rozdzieli wszystkie przedmioty

c) dokładności definiowania, charakteryzując przedmioty, dziecko bierze pod uwagę te

cechy, które uwzględniło przy segregowaniu.

11. Podstawowe pomoce dydaktyczne w nauczaniu matematyki

a) tasiemka do tworzenia zbiorów
b) drobne przedmioty do tworzenia zbiorów
c) liczydła
d) liczmany np. figury geometryczne, kasztany, ziarna fasoli, guziki etc.
e) kartoniki z cyframi, znakami arytmetycznymi
f) domino do zabaw ćwiczących sprawność rachunkową dzieci (do 5 kropek)
g) klocki do budowania
h) figury geometryczne
i) figury liczbowe
j) klocki Cuisenaire’a (kolorowe liczby – prostopadłościenne słupki, każdy klocek

symbolizuje liczbę, klocki różnej długości mają inne kolory)

k) klocki Moroza
l) pusy
m) zegar, klepsydra
n) waga szalkowa, miarki
o) geoplan

13. Źródła niepowodzeń w uczeniu się matematyki

a) matematyka jest trudna sama w sobie i nie da się jej opanować bez pewnego wysiłku ze

strony ucznia

b) niewłaściwe metody nauczania i niewłaściwe postawy nauczycieli
c) sprawy emocjonalne – dzieci mało odporne nie wytrzymują napięć które zawsze

towarzyszą rozwiązywaniu nawet łatwych zadań matematycznych

d) rozpoczynanie nauki szkolnej bez osiągnięcia dojrzałości operacyjnego rozumowania
e) obniżona sprawność manualna lub zaburzenia w spostrzeganiu

15. Co to jest proces interioryzacji? Wyjaśnić jego znaczenie na przykładzie
wprowadzania podstawowych działań arytmetycznych.

Interioryzacja – przejście z myślenia zewnętrznego na wewnętrzne – od konkretu do symbolu.

? Dziecko początkowo uczymy podstawowych działań arytmetycznych (dodawanie,
odejmowanie, mnożenie, dzielenie) na konkretnych przedmiotach (kasztany, patyczki, ziarna
fasoli etc.). proces interioryzacji następuje, gdy stawiamy mu zadanie dodania 4 + 3 w pamięci,
skłaniamy go do liczenia na liczbach.

16. Scharakteryzować i wyjaśnić na przykładzie trzy aspekty liczby: kardynalny,
porządkowy i miarowy.

Aspekt kardynalny – liczba określa moc danego zbioru, porządkowanie, liczenie elementów,
liczebniki główne, czegoś jest np. 5.
Aspekt porządkowy – elementy są liczbami, liczebniki porządkowe, ten kasztan jest piąty.
Aspekt miarowy – mierzenie rzeczywistości: długość, objętość, waga; coś waży 4 kg – aspekt
miarowy liczby 4.

18. Jak kształtują się u dziecka podstawowe intuicje geometryczne? Rozumienie pojęć
podstawowych figur geometrycznych oraz pojęcia przestrzeni, symetrii, podobieństwa,
równoległości i prostopadłości.

W rozwoju pojęć geometrycznych dzieci można wyróżnić następujące trzy poziomy:

a) poziom przedpojęciowy, w którym kształty geometryczne: koło, kwadrat, trójkąt itd., są

akceptowane jedynie jako atrybuty istniejących realnie rzeczy

b) poziom pojęć „personalnych”, w którym kształty geometryczne wymienione wcześniej,

a także prostokąty, ostrosłupy, walce itp., są już traktowane przez ucznia jako pojęcia
personalne

c) poziom pojęć „socjalnych”, na którym uczeń spostrzega zbiór geometrycznych

obiektów jak wspólnotę, w której dostrzega już określoną strukturę

Sześciolatki znajdują się na poziomie przedpojęciowym. Na przykład pojęcie okręgu wyłania
się w umyśle dziecka z obserwowania i manipulowania kółkami, pierścionkami, talerzami,
monetami. Dla uświadomienia sobie sensu jakiejś figury dziecko musi obserwować, dotykać,
przesuwać, obracać, zmieniać kształt itp. Do konstruowania pojęć potrzebne jest sprawne
klasyfikowanie.
Ćwiczenia kształtujące intuicje geometryczne to: obserwowanie, dotykanie figury, zabawa z
geoplanem, w kształtowaniu pojęć przestrzeni, symetrii, podobieństwa potrzebne będzie
lusterko.

19. Jak rozwija się u dziecka intuicja przestrzeni poczynając od rozpoznawania własnego
ciała? Jakie pojęcia matematyczne są z tą intuicją związane?

Poznawanie przestrzeni zaczyna się od świadomości własnego ciała, od własnego „ja” (1).
2. Dziecko zaczyna rozpatrywać otoczenie ze swego punktu widzenia (coś jest przed nim, za,
nad, pod, po lewej, po prawej)
Dziecięcy egocentryzm – dziecko czuje się najważniejszą osobą na świecie
3. Przejście od egocentryzmu do decentracji. Próba widzenia świata oczami drugiego
człowieka.
Z chwilą pójścia do szkoły dzieci musi dobrze orientować się na kartce papieru. Musi znać
kierunki (po prawej stronie, po lewej, ukosem do góry w lewo, w prawo na dół itd. Dziecko
poznaje przestrzeń poprzez własny ruch, obserwując ją, odczuwając i nazywając słowami
własne doświadczenia.
Pojęcia matematyczne związane z tą intuicją to: prawo, lewo, za, przed, pod, nad, dół, góra.

Centracja – patrzenie wieloaspektowe, zależne od rozwoju i inteligencji.
Decentracja – jednoaspektowe.

20. Kształtowanie pojęcia pomiaru (pomiar długości, ważenie i mierzenie płynów) i
praktycznych umiejętności w tym zakresie. Wykorzystanie idei pomiaru do zrozumienia
pojęć: równości, równania, nierówności, dodawania, odejmowania).

Mierzenie polega na porównywaniu wybranych wielkości z inną wielkością uznaną za wzorzec.

1) Pomiar długości
Dla kształtowania pojęcia miary długości ważne jest:

a) świadomość schematu własnego ciała i orientacji przestrzennej
b) dojrzewanie potrzeby precyzyjnej oceny
c) regulacje rytmiczne (rytm stawianych kroków: dużo kroków – daleko, mało – blisko)
d) kształtowanie się „niezmiennika” długości: jeśli zwiniemy drut, jego długość się nie

zmieni)

2) Ważenie
W codziennych sytuacjach dzieci mają mało okazji do ważenia. Warto więc wyjaśnić im sens
ważenia:
- to co po prawej musi się równoważyć z tym co po lewej chociaż przedmioty wkładane do
szalek są różne
- będzie tyle samo, jeżeli do obu szalek dołoży się na przykład po jednym klocku
- zachowa się równowagę, gdy z obu szalek zabierze się na przykład po dwa jednakowe klocki

3) Mierzenie płynów
Dzieci mierzą płyny przelewając, dolewając, porównując zawartości np. dwóch butelek. Dzieci
wnioskują o ilości cieczy, odmierzają wodę, stwierdzają gdzie jest mniej, więcej, wnioskują o
ilości na podstawie podziałki.

Do zrozumienia pojęcia równości, nierówności możemy zastosować każdy rodzaj pomiaru.
Dzieci mówią, że tu jest po równo, tam jest mniej, więcej; ten stół jest dłuższy, tamten zeszyt
jest krótszy; ten klocek jest cięższy. Przy kształceniu dodawania, odejmowania, dzieci mówią,
że ta linijka ma tyle cm, a tamta tyle. Razem mają np. 32 cm.

21. Związek matematyki i muzyki w kształtowaniu idei rytmu. Dostrzeganie regularności i
harmonii w przyrodzie, w codziennym życiu. Planowanie codziennych czynności. Idea
kalendarza; różne metody pomiaru czasu.