Badanie symetrycznego czwórnika
opracował Sebastian Broszkiewicz
Spis treści
I.
Podstawy teoretyczne ćwiczenia.
1. Pojęcia podstawowe dotyczące czwórnika.
2.
Równania czwórnika.
3.
Warunki symetrii i odwracalności czwórnika.
4.
Stany pracy czwórnika.
5.
Impedancja wejściowa czwórnika.
6.
Sens fizyczny parametrów łańcuchowych A,B,C,D.
7.
Czwórniki pasywne.
1) Schematy zastępcze czwórników pasywnych.
2) Wyznaczenie parametrów łańcuchowych A,B,C,D w funkcji
impedancji w stanie jałowym i w stanie zwarcia.
3) Impedancja charakterystyczna czwórnika symetrycznego.
2
2
3
5
7
7
8
9
9
12
14
II. Przebieg ćwiczenia.
1. Wyznaczenie parametrów czwórnika na podstawie znajomości
impedancji elementów jego struktury.
2.
Wyznaczenie parametrów czwórnika na podstawie znajomości
impedancji wejścia czwórnika w stanie biegu jałowego Z
o
i
zwarcia Z
k
.
15
15
17
III. Wnioski.
IV. Literatura.
18
18
I.
Podstawy teoretyczne ćwiczenia.
1. Pojęcia podstawowe dotyczące czwórnika.
Czwórnik jest elementem czterozaciskowym mającym dwie pary
uporządkowanych zacisków, z których jedną nazywamy wejściem a drugą
wyjściem (rys.1).
Rys.1.Schemat ogólny czwórnika
W odniesieniu do wejścia i wyjścia czwórnika musi być spełniony następujący
warunek równowagi prądów :
I
1
= I
1
’ ; I
2
= I
2
’
(I.1.1)
Wielkości związane z wejściem, a więc napięcie i prąd na wejściu czwórnika
opatrzone są wskaźnikiem 1, a wielkości związane z wyjściem wskaźnikiem 2.
Czwórniki dzielimy na liniowe i nieliniowe, stacjonarne i niestacjonarne,
symetryczne i niesymetryczne, odwracalne i nieodwracalne, pasywne
i aktywne.
Czwórnik nazywamy liniowym jeśli spełnia on własność addytywności
i jednorodności, czyli jeśli y
1
jest odpowiedzią układu na dowolne wymuszenie
u
1
, a y
2
jest odpowiedzią na dowolne wymuszenie u
2
, to y
1
+y
2
jest
odpowiedzią układu na wymuszenie u
1
+u
2
, oraz jeśli y jest odpowiedzią
układu na dowolne wymuszenie u, to ay jest odpowiedzią na wymuszenie au
(a – stała rzeczywista).
1
I
1
Wejście U
1
1’ I
1
’
I
2
2
U
2
Wyjście
I
2
’ 2’
2
Czwórnik nazywamy stacjonarnym jeśli jego parametry są niezależne od czasu.
Czwórnik nazywamy symetrycznym jeśli przy zmianie miejscami wejścia
z wyjściem, nie zmieni się rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie poza
czwórnikiem, tzn. w obwodzie dołączonym do wejścia i wyjścia czwórnika.
Jeżeli do zacisków wejściowych czwórnika odwracalnego doprowadzimy
idealne źródło napięcia E, które w zwartym obwodzie wyjścia wywoła prąd I,
to po przemieszczeniu tego źródła do wyjścia, w zwartym obwodzie wejścia
też popłynie prąd I.
Czwórnik nazywamy pasywnym, jeśli dla dowolnej chwili t energia
doprowadzona do czwórnika jest nieujemna.
2. Równania czwórnika.
Równania czwórnika określają związki pomiędzy prądami i napięciami na
wejściu i wyjściu czwórnika. Ponieważ przedmiotem rozważań będą czwórniki
liniowe, zatem do rozwiązywania zagadnień można stosować metody
rozwiązywania obwodów.
Związki miedzy czterema wielkościami U
1
,U
2
,I
1
,I
2
ujmujemy za pomocą
dwóch równań liniowych. W zależności od charakteru współczynników
rozróżniamy sześć zasadniczych równań czwórnika :
a) równanie impedancyjna
U
1
i U
2
są wyrażone w zależności od I
1
i I
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
22
21
12
11
2
1
I
I
z
z
z
z
U
U
(I.2.1)
w którym : z
11
,z
12
,z
21
,z
22
– parametry impedancyjne, a
z -
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
22
21
12
11
z
z
z
z
macierz impedancyjna
b) równanie admitancyjne
I
1
i I
2
są wyrażone w zależności od U
1
i U
2
3
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
22
21
12
11
2
1
U
U
y
y
y
y
I
I
(I.2.2)
w którym : y
11
,y
12
,y
21
,y
22
– parametry admitancyjne, a
y
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
22
21
12
11
y
y
y
y
- macierz admitancyjna
c) równanie łańcuchowe proste
U
1
i I
1
są wyrażone w zależności od U
2
i I
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
2
1
1
I
U
D
C
B
A
I
U
(I.2.3)
w którym : A,B,C,D – parametry łańcuchowe, a
A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
D
C
B
A
- macierz łańcuchowa
Znak „-” przy prądzie I
2
wynika ze strzałkowania tego prądu na rysunku 1.
d) równanie łańcuchowe odwrócone
U
2
i I
2
wyrażone są w zależności od U
1
i I
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
1
2
2
det
1
I
U
A
C
B
D
I
U
A
(I.2.4)
w którym
B
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
A
C
B
D
A
det
1
- macierz łańcuchowa odwrócona
Znak „-” przy prądzie I
2
wynika ze strzałkowania tego prądu jak na
rysunku 1.
e) równanie mieszane (hybrydowe)
U
1
i I
2
wyrażone są w zależności od I
1
i U
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
22
21
12
11
2
1
U
I
h
h
h
h
I
U
(I.2.5)
w którym : h
11
,h
12
,h
21
,h
22
– parametry hybrydowe, a
h
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
22
21
12
11
h
h
h
h
- macierz hybrydowa
f) równanie hybrydowe odwrócone
I
1
i U
2
wyrażone są w zależności od U
1
i I
2
4
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
22
21
12
11
2
1
I
U
g
g
g
g
U
I
(I.2.6)
w którym : g
11
,g
12
,g
21
,g
22
– parametry hybrydowe odwrócone, a
g
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
22
21
12
11
g
g
g
g
- macierz hybrydowa odwrócona
3. Warunki symetrii i odwracalności czwórnika.
W dotychczasowych rozważaniach zakładaliśmy zwrot prądów I
1
i I
2
do
„pudełka”. Często jednak, zwłaszcza w przypadku postaci łańcuchowej,
wygodnie jest przyjmować zwrot prądu zgodnie z kierunkiem przekazywania
energii, tzn. prąd I
1
do „pudełka”, a prąd I
2
od „pudełka”. Takie strzałkowanie
będzie wykorzystane w poniższych wyliczeniach.
W celu określenia warunków jakie musi spełniać czwórnik odwracalny,
załóżmy że czwórnik jest zasilany od strony zacisków wejściowych napięciem
U
1
=E, natomiast zaciski wyjściowe są zwarte (U
2
=0).Korzystając z równań w
postaci łańcuchowej :
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
2
1
1
I
U
D
C
B
A
I
U
lub
U
1
=A U
2
+ B I
2
;
I
1
=C U
2
+ D I
2
,
(I.3.1)
otrzymamy
U
1
=B I
2
,
(I.3.2)
stąd
I
2
=
E
B
U
B
1
1
1
=
(I.3.3)
Jeśli natomiast do czwórnika od strony zacisków wyjściowych zostanie
doprowadzone napięcie E=U
2
, a zaciski wejściowe są zwarte (U
1
=0), to
zgodnie z równaniem w postaci łańcuchowej odwróconej
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
1
2
2
det
1
I
U
A
C
B
D
I
U
A
, lub
U
2
=
1
1
det
det
I
B
U
D
A
A
−
;
I
2
=
1
1
det
det
I
A
U
C
A
A
+
−
(I.3.4)
5
w zwartym obwodzie wejścia popłynie prąd (prąd I
1
zmieni swój zwrot)
U
2
=
1
det
I
B
A
,
(I.3.5)
stąd otrzymamy
I
1
=
E
B
U
B
A
A
det
det
2
=
(I.3.6)
Zasada wzajemności jest spełniona, jeśli wyznaczony prąd I
2
jest równy
wyznaczonemu powyżej prądowi I
1
:
E
B
E
B
A
det
1
=
stąd otrzymujemy warunek :
detA=1
który jest warunkiem odwracalności czwórnika.
Warunki odwracalności odpowiadające parametrom admitancyjnym,
impedancyjnym i hybrydowym są następujące:
y
12
=y
21
;
z
12
=z
21
;
h
12
=-h
21
;
g
12
=-g
21
Z definicji wyrażającej symetrię czwórnika wynika, że dla czwórnika
symetrycznego macierze A i B muszą być sobie równe. Porównując równanie
łańcuchowe i równanie łańcuchowe odwrotne stwierdzamy, że warunek ten jest
spełniony, jeśli przy detA=A D – B C=1, oraz parametr A=D.
Wtedy detA=A
2
-B C=1.
Jeśli detA=1 oraz A=D, to
y
11
=y
22
;
y
12
=y
21
z
11
=z
22
;
z
12
=z
21
h
12
=-h
21
;
deth=1
g
12
=-g
21
;
detg=1
Z powyższych zależności wynika że czwórniki symetryczne są również
odwracalne.
6
4. Stany pracy czwórnika.
Do zacisków wejściowych czwórnika przeważnie jest dołączone źródło
napięcia lub źródło prądu. Zaciski wyjściowe mogą być rozwarte i wtedy stan
pracy nazywamy stanem jałowym, mogą być zwarte i taki stan pracy to stan
zwarcia i do zacisków wyjściowych może być dołączony również odbiornik i
taki stan pracy nazywamy stanem obciążenia.
W stanie jałowym prąd I
2
=0, w stanie zwarcia natomiast napięcie U
2
=0
Biorąc pod uwagę równanie łańcuchowe stwierdzamy, że w stanie jałowym,
przy I
2
=0
U
10
=A U
20
; I
10
=C U
20
(I.4.1)
Natomiast w stanie zwarcia, przy U
2
=0
U
1k
=B I
2k
; I
1k
=D I
2k
(I.4.2)
Również równania impedancyjne, admitancyjne i hybrydowe ulegają
uproszczeniu w stanie jałowym i w stanie zwarcia.
5. Impedancja wejściowa czwórnika.
Stosunek napięcia na wejściu do prądu na wejściu nazywamy impedancją
wejściową czwórnika.
W zależności od stanu pracy czwórnika możemy wyznaczyć impedancję
wejściową w stanie obciążenia, w stanie jałowym i w stanie zwarcia.
Uwzględniając równania łańcuchowe i zakładając U
2
=Z
o
I
2
otrzymamy
impedancje wejściowa w stanie obciążenia
Z
we
=
D
Z
C
B
Z
A
o
o
+
+
(I.5.1)
Impedancja wejściowa czwórnika symetrycznego po uwzględnieniu warunku
symetrii A=D wyniesie
Z
we sym
=
A
Z
C
B
Z
A
o
o
+
+
(I.5.2)
Impedancję wejściową w stanie jałowym i w stanie zwarcia można określić na
podstawie równań z punktu 4 :
7
w stanie jałowym
Z
10
=
C
A
I
U
=
10
10
(I.5.4)
w stanie zwarcia
Z
1k
=
D
B
I
U
k
k
=
1
1
(I.5.5)
6. Sens fizyczny parametrów łańcuchowych A,B,C,D.
Na podstawie zależności dotyczących stanu jałowego i stanu zwarcia
czwórnika można podać sens fizyczny parametrów łańcuchowych. I tak
otrzymujemy :
A=
20
10
U
U
(I.6.1)
Parametr A jest więc równy przekładni napięć w stanie jałowym.
D=
k
k
I
I
2
1
(I.6.2)
Parametr D jest równy przekładni prądów w stanie zwarcia.
C=
20
10
U
I
(I.6.3)
Parametr C jest równy stosunkowi prądu na wejściu do napięcia na wejściu
w stanie jałowym.
B=
k
k
I
U
2
1
(I.6.4)
Parametr B jest równy stosunkowi napięcia na wejściu do prądu na wyjściu
w stanie zwarcia.
Z powyższych równań wynika wymiar parametrów łańcuchowych: parametry
A i B są bezwymiarowe, parametr C ma wymiar admitancji, parametr B
natomiast ma wymiar impedancji.
8
7. Czwórniki pasywne.
1) Schematy zastępcze czwórników pasywnych.
Spośród czterech parametrów macierzy łańcuchowej opisującej czwórnik
pasywny, trzy parametry ą w ogólnym przypadku niezależne, gdyż parametry
te spełniają równanie A D – B C = 1. W szczególnym przypadku czwórnika
symetrycznego dodatkowo A=D, a więc niezależne są dwa parametry.
Trzy parametry macierzy łańcuchowej czwórnika, można odwzorować za
pomocą co najmniej trzech gałęzi impedancyjnych. Jeżeli impedancje te są
połączone w gwiazdę otrzymujemy schemat zastępczy, który można
narysować w kształcie litery T (rys.2).Schemat taki nazywamy schematem
typu T. Jeśli impedancje są połączone w trójkąt, otrzymujemy schemat
zastępczy, który można narysować w kształcie litery
π (rys.3).Schemat taki
nazywamy schematem typu
π.
Rys.2 Schemat zastępczy czwórnika typu T
Z
1
Z
2
Y
I
2
U
2
I
1
U
1
9
Rys.3 Schemat zastępczy czwórnika typu
π
Czwórnik typu T.
W odniesieniu do czwórnika typu T wyznaczamy zależność pomiędzy
parametrami łańcuchowymi a elementami czwórnika.
Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa dla obwodu pokazanego na rys.2
U
1
=U
2
+Z
2
I
2
+Z
1
I
1
(I.7.1)
Na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa
I
1
=I
2
+(U
2
+Z
2
I
2
)Y=Y U
2
+(1+Z
2
Y)I
2
(I.7.2)
W powyższym równaniu współczynnik przy U
2
jest parametrem C, a
współczynnik przy I
2
parametrem D, czyli
C=Y ;
D=1+Z
2
Y
(I.7.3)
Eliminując w pierwszym równaniu prąd I
1
i uwzględniając równanie drugie
otrzymamy
U
1
=(1+Z
1
Y)U
2
+(Z
1
+Z
2
+Z
1
Z
2
Y)I
2
(I.7.4)
W powyższym równaniu współczynnik przy U
2
jest parametrem A,
a współczynnik przy I
2
jest parametrem B, czyli
A=1+Z
1
Y ; B=Z
1
+Z
2
+Z
1
Z
2
Y
(I.7.5)
Macierz parametrów łańcuchowych czwórnika typu T ma zatem postać
A
T
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
Y
Z
Y
Y
Z
Z
Z
Z
Y
Z
2
2
1
2
1
1
1
1
(I.7.6)
Z
I
1
U
1
Y
1
I
2
U
2
Y
2
10
Łatwo sprawdzić,
że jest spełniony warunek odwracalności
detA
T
=1.Natomiast warunek symetrii A=D jest spełniony wówczas, gdy
Z
1
=Z
2
. Ze schematu czwórnika widać, że przy Z
1
=Z
2
=Z, czwórnik jest
symetryczny. Macierz parametrów łańcuchowych ma wtedy postać:
A
T
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
Y
Z
Y
Y
Z
Z
Y
Z
1
2
1
2
(I.7.7)
Czwórnik typu
π.
W odniesieniu do czwórnika typu
π, podobnie jak dla czwórnika typu T,
wyznaczymy zależności pomiędzy parametrami łańcuchowymi elementami
czwórnika.
Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa dla obwodu pokazanego na rys.3
U
1
=U
2
+Z(I
2
+Y
2
U
2
)=(1+Z Y
2
)U
2
+Z I
2
(I.7.8)
W powyższym równaniu współczynnik przy U
2
jest parametrem A,
a współczynnik przy I
2
jest parametrem B, czyli
A=1+Z Y
2
; B=Z
(I.7.9)
Na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa
I
1
=I
2
+Y
2
U
2
+Y
1
U
1
(I.7.10)
Eliminując w powyższym równaniu napięcie U
1
i uwzględniając pierwsze
równanie otrzymamy
I
1
=(Y
1
+Y
2
+Y
1
Y
2
U)U
2
+(1+Z U
1
)I
2
(I.7.11)
W powyższym równaniu współczynnik przy U
2
jest parametrem C,
a współczynnik przy I
2
jest parametrem D, czyli
C=Y
1
+Y
2
+Y
1
Y
2
Z ; D=1+Z Y
1
(I.7.12)
Macierz parametrów łańcuchowych czwórnika typu
π ma zatem postać
A
π
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
1
2
1
2
1
2
1
1
Y
Z
Z
Y
Y
Y
Y
Z
Y
Z
(I.7.13)
Łatwo można wykazać, że spełniony jest warunek odwracalności:
detA
π
=1.Warunek symetrii jest spełniony wówczas, gdy Y
1
=Y
2
=Y.Macierz
parametrów łańcuchowych ma wtedy postać:
A
π
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
Y
Z
Z
Y
Y
Z
Y
Z
1
2
1
2
(I.7.14)
11
2) Wyznaczenie parametrów łańcuchowych A,B,C,D w funkcji impedancji
w stanie jałowym i w stanie zwarcia.
Gdy nie jest znana struktura wewnętrzna czwórniak pasywnego, a dostępne są
tylko jego zaciski, lub gdy schemat jest dość skomplikowany i wyznaczenie
parametrów łańcuchowych wymaga rozwiązania dużej liczby równań,
posługujemy się impedancjami w stanie jałowym i w stanie zwarcia, które są
powiązane z parametrami łańcuchowymi. Impedancje w stanie jałowym i w
stanie zwarcia można niekiedy zmierzyć i wtedy metoda, przedstawiona
poniżej, jest bardzo dogodna.
Napiszmy równanie łańcuchowe czwórnika pasywnego przy zwrotach prądu I
1
do „pudełka”, a prądu I
2
od „pudełka”:
Zgodnie z równaniem (I.3.1)
U
1
=A U
2
+ B I
2
;
I
1
=C U
2
+ D I
2
(I.7.15)
a zgodnie z równaniem (I.3.4)
U
2
=D U
1
- B I
1
;
I
2
=-C U
1
+ A I
1
(I.7.16)
W stanie jałowym zacisków 2-2’ (I
2
=0), zgodnie z (I.7.15)
U
10
=A U
2
;
I
10
=C U
2
Z
10
=
C
A
I
U
=
10
10
(I.7.17)
W stanie zwarcia zacisków 2-2’ (U
2
=0), zgodnie z (I.7.15)
U
1k
=B I
2
;
I
1k
=D I
2
Z
1k
=
D
B
I
U
k
k
=
1
1
(I.7.18)
W stanie jałowym zacisków 1-1’, przy dołączeniu źródła do zacisków 2-2’,
zgodnie z (I.7.16) przy I
1
=0
U
20
=D U
1
; I
20
=C U
1
Z
20
=
C
D
I
U
=
20
20
(I.7.19)
W stanie zwarcia zacisków 1-1’, przy dołączeniu źródła do zacisków 2-2’,
zgodnie z (I.7.16) przy U
1
=0
U
2k
=B I
1
;
I
2k
=A I
1
12
Z
2k
=
A
B
I
U
k
k
=
2
2
(I.7.20)
Do równania
A D – B C=1
Podstawiamy na podstawie zależności (I.7.20) B=A Z
2k
oraz na podstawie
zależności (I.7.19) C=
20
Z
D
, przez co otrzymujemy
1
20
2
=
−
Z
Z
D
A
D
A
k
(I.7.21)
skąd
20
2
1
1
Z
Z
D
A
k
−
=
(I.7.22)
Z zależności podanych poprzednio wynika, że
k
k
Z
Z
Z
Z
D
A
2
1
20
10
=
=
(I.7.23)
zatem
k
Z
Z
Z
A
2
20
10
2
−
=
(I.7.24)
a ostatecznie otrzymamy
A=
k
Z
Z
Z
2
20
10
−
(I.7.25)
Po wyznaczeniu parametru A możemy określić pozostałe parametry
łańcuchowe:
B=A Z
2k
(I.7.26)
C=
10
Z
A
(I.7.27)
D=A
10
20
Z
Z
(I.7.28)
Z równania (I.7.23) wynika, że dla czwórnika symetrycznego, przy A=D
Z
10
=Z
20
;
Z
1k
=Z
2k
Przy przebiegach sinusoidalnych impedancje jałowe i zwarciowe są liczbami
zespolonymi, a w ogólnym przypadku posługujemy się transformatami.
13
3) Impedancja charakterystyczna czwórnika symetrycznego.
Impedancją falową lub charakterystyczną czwórnika symetrycznego
nazywamy taką impedancję Z
c
, która dołączona do zacisków wyjściowych
czwórnika powoduje, że impedancja wejściowa jest jej równa.
Jeśli więc, zgodnie z definicją Z
o
=Z
c
=Z
we
to jest spełniony warunek
c
Z
I
U
I
U
=
=
1
1
2
2
(I.7.29)
Wyznaczmy teraz impedancję charakterystyczną czwórnika w funkcji jego
parametrów łańcuchowych. Równania czwórnika symetrycznego napiszmy
w postaci łańcuchowej i w równaniu pierwszym wyraźmy prąd I
2
=U
2
/Z
c
,
a w równaniu drugim napięcie U
2
=Z
c
I
2
. Zatem
U
1
=
2
2
2
U
Z
B
A
Z
U
B
U
A
c
c
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
+
(I.7.30)
I
1
=
(
)
2
2
2
I
A
Z
C
I
A
I
Z
C
c
c
+
=
+
(I.7.31)
Podzielmy obustronnie równanie (I.7.30) przez równanie (I.7.31)
2
2
1
1
I
U
A
Z
C
Z
B
A
I
U
c
c
+
+
=
(I.7.32)
uwzględniając zależność (I.7.29) otrzymamy
Z
c
=
c
c
c
Z
A
CZ
Z
B
A
+
+
(I.7.33)
Stąd przy C
≠ 0
Z
c
=
C
B
(I.7.34)
Impedancję charakterystyczną czwórnika symetrycznego można też uzależnić
od impedancji wejściowej czwórnika w stanie jałowymi w stanie zwarcia.
Skorzystajmy z równań (I.5.4) i (I.5.5), które przy D=A mają postać
Z
10
=
C
A
;
Z
1k
=
A
B
(I.7.35)
Po pomnożeniu stronami powyższych równań otrzymujemy
14
Z
10
Z
1k
=
C
B
=Z
c
2
(I.7.36)
czyli
Z
c
=
k
Z
Z
1
10
(I.7.37)
lub
Z
c
=
k
Z
Z
2
20
(I.7.38)
II. Przebieg ćwiczenia.
1. Wyznaczenie parametrów czwórnika na podstawie znajomości
impedancji elementów jego struktury.
Z
Y Y
Rys.4.Schemat badanego czwórnika
Z=R
Y=
ωC, X=
C
ω
1
,
ω=2πf
Pomiaru impedancji elementów struktury czwórnika dokonuje się w układzie
wg Rys.5 przy założeniu, że rezystancja woltomierza R
v
jest wielokrotnie
większa od impedancji elementów czwórnika
R
v
>>R ;
R
v
>>X
15
A
TRANSFO
R
M
ATOR
I U
V
∼
Rys.5 Schemat układu pomiarowego
(prostokąt symbolizuje element badany – tu: opornik lub kondensator)
Z pomiaru U, oraz I oblicza się:
R=
R
R
I
U
(układ zasilany prądem stałym)
Y=
Y
Y
U
I
(układ zasilany prądem zmiennym)
A wyniki umieszcza się w tabeli nr 1.
Obiekt
pomiaru
U I R Y
jednostka V A
Ω
S
opornik
-
kondensator
-
Tabela nr 1.
Następnie przy pomocy poniższych wzorów obliczamy parametry łańcuchowe
czwórnika i impedancje wejścia wg wzorów :
A=1+Z Y = 1 + jRC
ω = D
B = Z =R
C = 2Y + Y
2
Z =j2C
ω - R(Cω)
2
ω=2πf ; f=50Hz
16
Z
0
=
C
A
;
Z
k
=
A
B
Impedancję falową liczymy wg wzoru.
Z
c
=
k
Z
Z
0
2. Wyznaczenie parametrów czwórnika na podstawie znajomości
impedancji wejścia czwórnika w stanie biegu jałowego Z
o
i zwarcia
Z
k
.
Pomiaru impedancji wejścia czwórnika dokonuje się w układzie wg Rys.6.
A
R
C
X
C
1
W A
V U
1
1`
2 K
2
K
1
2`
V
Rys.6 Schemat układu pomiarowego.
W stanie biegu jałowego czwórnika wyłącznik K
1
otwarty, w stanie zwarcia
zamknięty.
Wyniki pomiarów zapisujemy w tabeli nr 2:
Stan
czwórnika
U I P
cos
ϕ ϕ
o
ϕ
k
Z
o
Z
k
V
A
W
°
°
Ω
Ω
Jałowy
-
-
Zwarcia
-
-
Tabela nr 2
A następnie według poniższych wzorów uzupełniamy ją :
Z=
I
U
;
cos
ϕ=
UI
P
17
Z
o
=
o
j
o
e
Z
ϕ
Z
k
=
k
j
k
e
Z
ϕ
Teraz na podstawie wyników z tabeli nr 2 dokonujemy obliczenia parametrów
łańcuchowych oraz impedancji falowej czwórnika wg wzorów :
A=D=
k
Z
Z
Z
−
0
0
B=A Z
k
C=
10
Z
A
Z
c
=
k
Z
Z
0
R
c
= ReZ
c
X
c
= ImZ
c
C
c
=
ω
⋅
c
X
1
Po włączeniu na wyjściu czwórnika impedancji falowej sprawdzamy, czy
impedancje w punktach wejścia i wyjścia czwórnika są równe (przełącznik K
2
zamknięty, K
1
otwarty):
2
2
1
1
I
U
I
U =
III. Wnioski.
We wnioskach należy zamieścić własne spostrzeżenia z wykonanego ćwiczenia.
Porównać wyniki obliczeń impedancji falowej dokonanych w punkcie 1 i 2, oraz
porównać impedancję wejścia i wyjścia zmierzonych po włączeniu na wyjściu
czwórnika impedancji falowej.
IV. Literatura.
Elektrotechnika teoretyczna – Maciej Krakowski
Elektrotechnika teoretyczna – Stanisław Bolkowski
Elektrotechnika – Eugeniusz Nieciejowski
18
Document Outline