Prawdopodobieństwo i statystyka

6.10.2008 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 1.

Niech

będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej

, wariancji każdej ze współrzędnych równej

oraz kowariancji równej

. Staramy się obserwować niezależne realizacje tej zmiennej, ale nie w pełni to

wychodzi - czasem udaje się zaobserwować jedynie pierwszą lub jedynie drugą ze
współrzędnych. Przyjmijmy ważne założenie, iż do „zgubienia” obserwacji
(całkowitego, jej pierwszej współrzędnej, lub jej drugiej współrzędnej) dochodzi
całkowicie niezależnie od wartości tych obserwacji.

(

X Y

,

)

)

(

μ μ

X

Y

,

σ

2

ρ σ

⋅

2

Załóżmy, iż otrzymaliśmy próbkę, zawierającą 10 obserwacji wyłącznie pierwszej
współrzędnej, 40 obserwacji całej pary, oraz 10 obserwacji wyłącznie drugiej
współrzędnej. Niech teraz:

X oznacza średnią z próbki (50-ciu) obserwacji na zmiennej X,

Y oznacza średnią z próbki (50-ciu) obserwacji na zmiennej Y,

X

Y

− oznacza średnią z próbki (40-tu) obserwacji na różnicy zmiennych X Y

− ;

oraz niech:

(

X

Y

−

)

oraz X Y

− oznaczają dwa alternatywne estymatory różnicy

(

)

μ

μ

X

Y

−

Estymatory te mają jednakową wariancję o ile:

(A)

ρ

= 0

(B)

9

3

=

ρ

(C)

9

4

=

ρ

(D)

9

6

=

ρ

(E)

9

5

=

ρ

1

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.10.2008 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 2.

Niech dwuwymiarowa zmienna losowa ma gęstość:

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) (

f

x y

x

y

dla

x y

dla

x y

X Y

,

,

,

,

,

,

=

− −

∈

×

∉

×

⎧

⎨

⎪
⎩⎪

2

0

0

0

)

,
,

1

0 1

1

0 1

Niech

i

{

}

Y

X

U

,

min

=

{

}

Y

X

V

,

max

=

.

Wtedy

(A) zmienne

U i V są niezależne

(B) gęstość zmiennej

jest równa

)

,

( V

U

v

u

v

u

g

2

2

4

)

,

(

−

−

=

, gdy

1

0

<

<

<

v

u

(C) gęstość zmiennej

jest równa

)

,

( V

U

)

5

,

1

)(

2

3

(

)

,

(

u

v

v

u

g

−

−

=

, gdy

1

0

<

<

<

v

u

(D) gęstość zmiennej V jest równa

, gdy

2

3

2

)

(

v

v

h

−

=

1

0

<

< v

(E)

4

3

=

EV

2

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.10.2008 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 3.

Na początku doświadczenia w urnie I znajdują się 3 kule białe, zaś w urnie II - 3 kule
czarne. Losujemy po jednej kuli z każdej urny - po czym kulę wylosowaną z urny I
wrzucamy do urny II, a tę wylosowaną z urny II wrzucamy do urny I. Czynność tę
powtarzamy wielokrotnie. Granica (przy n

→ ∞ ) prawdopodobieństwa, iż obie kule

wylosowane w n-tym kroku są jednakowego koloru, wynosi:

(A)

2

3

(B)

1
2

(C)

5

2

(D)

1

3

(E)

1

4

3

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.10.2008 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 4.

Niech

będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o

identycznym rozkładzie jednostajnym na pewnym przedziale

(

, a<b.

Współczynnik korelacji liniowej

wynosi:

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

)

b

a,

{ }

{ }

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

i

n

i

i

n

i

X

X

Corr

K

K

,

1

,

1

max

,

min

(A) 0

(B)

n

1

(C)

1

2

+

n

(D)

1

1

2

+

+

n

n

(E)

2

1

n

4

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.10.2008 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 5.

Wiadomo, że liczby

0,38, 0,65, 0,72, 1,00

są niezależnymi realizacjami zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym o gęstości

( )

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

<

=

,

.

0

0

1

przyp

pozost

w

x

dla

x

f

θ

θ

θ

gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem. Zakładamy, że parametr

θ jest zmienną

losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0,5, 2].
Mediana rozkładu a posteriori, przy tych danych, jest równa

(A) 1,250

(B) 1

(C)

0,627

(D) 1,211

(E) 1,155

5

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.10.2008 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 6.

Załóżmy, że dysponujemy pojedynczą obserwacją

X

z rozkładu

{

}

1

0

, P

P

P

∈

, gdzie

jest

rozkładem normalnym

i

jest rozkładem Laplace’a o gęstości

0

P

)

4

,

0

(

N

1

P

|

|

2

1

4

1

)

(

x

e

x

f

−

=

.

Rozważmy zadanie testowania hipotezy

0

0

:

P

P

H

=

przeciw alternatywie

1

1

:

P

P

H

=

.

Wiadomo, że w zbiorze liczb większych od 2, do obszaru krytycznego testu najmocniejszego
należą liczby z przedziału

. Moc tego testu jest równa

(

∞

+

,

8

,

3

)

(A) 0,1371

(B) 0,2447

(C) 0,2036

(D) 0,1224

(E) 0,2036

6

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.10.2008 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

7.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z tego samego

rozkładu o dystrybuancie

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

⎩

⎨

⎧

≤

>

−

=

−

−

θ

θ

θ

θ

x

x

x

F

x

gdy

0

gdy

3

1

)

(

)

(

gdzie

0

≥

θ

jest nieznanym parametrem. Rozważamy jednostajnie najmocniejszy test

hipotezy 0

:

0

=

θ

H

przy alternatywie

0

:

1

>

θ

H

na poziomie istotności 0,01.

W danym punkcie

0

1

>

θ

funkcja mocy tego testu przyjmuje wartości większe lub

równe 0,81 wtedy i tylko wtedy, gdy liczebność próbki n spełnia warunek

(A)

1

3

4

θ

≥

n

(B)

1

3

100

log

θ

≥

n

(C)

1

4

θ

≥

n

(D)

100

log

3

1

θ

≥

n

(E)

1

4

θ

≥

n

7

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.10.2008 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

8.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z tego samego

rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej 1. Niech N będzie zmienną losową
o rozkładzie Poissona o wartości oczekiwanej 1 niezależną od zmiennych

. Niech

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

>

=

∑

=

0

gdy

0

0

gdy

1

N

N

X

S

N

i

i

N

Wtedy gęstość rozkładu zmiennej

w punkcie

jest równa

N

S

0

>

s

(A)

∑

+∞

=

−

−

−

−

1

1

1

!

)!

1

(

n

n

s

n

n

s

e

(B)

∑

+∞

=

−

−

1

1

!

n

sn

n

e

(C)

∑

+∞

=

−

−

−

1

1

!

)!

1

(

n

sn

n

n

e

(D)

∑

+∞

=

−

−

−

1

1

!

)!

1

(

1

n

s

n

n

e

(E)

żadna z powyższych odpowiedzi

8

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.10.2008 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

9.

Niech

, n>2, będą niezależnymi zmiennymi losowymi z tego samego

rozkładu geometrycznego, gdzie

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

K

,

2

,

1

,

0

gdy

)

1

(

)

1

(

)

(

2

=

−

+

=

=

k

p

p

k

k

X

P

k

i

,

a

jest nieznanym parametrem.

)

1

,

0

(

∈

p

Rozważamy klasę estymatorów parametru p postaci

∑

=

+

=

n

i

i

X

a

a

p

1

ˆ

.

Dobierz parametr a tak, by otrzymać estymator nieobciążony.

A)

n

a

2

=

(B)

1

2

−

= n

a

(C)

n

a

=

(D)

5

,

0

+

= n

a

(E)

1

−

= n

a

9

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.10.2008 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

10.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym

rozkładzie Weibulla o gęstości

6

2

1

,

,

,

X

X

X

K

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=

0

gdy

0

0

gdy

1

exp

4

)

(

4

3

x

x

x

x

x

f

θ

θ

θ

,

gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem. Niech oznacza estymator największej

wiarogodności parametru

θ

ˆ

θ

. Obliczyć

(

)

θ

θ

θ

θ

1

,

0

ˆ

<

−

P

.

(A) 0,1915

(B) 0,2548

(C) 0,0604

(D) 0,1342

(E) 0,0589

10

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.10.2008 r.

___________________________________________________________________________

Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Arkusz odpowiedzi

*

Imię i nazwisko : ........................ K L U C Z O D P O W I E D Z I .............................
Pesel ...........................................

Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

♦

1 E

2 B

3 C

4 B

5 D

6 B

7 C

8 A

9 B

10 A

*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

♦

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.

11