Prawdopodobieństwo i statystyka
6.10.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Niech
będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej
, wariancji każdej ze współrzędnych równej
oraz kowariancji równej
. Staramy się obserwować niezależne realizacje tej zmiennej, ale nie w pełni to
wychodzi - czasem udaje się zaobserwować jedynie pierwszą lub jedynie drugą ze
współrzędnych. Przyjmijmy ważne założenie, iż do „zgubienia” obserwacji
(całkowitego, jej pierwszej współrzędnej, lub jej drugiej współrzędnej) dochodzi
całkowicie niezależnie od wartości tych obserwacji.
(
X Y
,
)
)
(
μ μ
X
Y
,
σ
2
ρ σ
⋅
2
Załóżmy, iż otrzymaliśmy próbkę, zawierającą 10 obserwacji wyłącznie pierwszej
współrzędnej, 40 obserwacji całej pary, oraz 10 obserwacji wyłącznie drugiej
współrzędnej. Niech teraz:
X oznacza średnią z próbki (50-ciu) obserwacji na zmiennej X,
Y oznacza średnią z próbki (50-ciu) obserwacji na zmiennej Y,
X
Y
− oznacza średnią z próbki (40-tu) obserwacji na różnicy zmiennych X Y
− ;
oraz niech:
(
X
Y
−
)
oraz X Y
− oznaczają dwa alternatywne estymatory różnicy
(
)
μ
μ
X
Y
−
Estymatory te mają jednakową wariancję o ile:
(A)
ρ
= 0
(B)
9
3
=
ρ
(C)
9
4
=
ρ
(D)
9
6
=
ρ
(E)
9
5
=
ρ
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.10.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech dwuwymiarowa zmienna losowa ma gęstość:
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) (
f
x y
x
y
dla
x y
dla
x y
X Y
,
,
,
,
,
,
=
− −
∈
×
∉
×
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
0
0
0
)
,
,
1
0 1
1
0 1
Niech
i
{
}
Y
X
U
,
min
=
{
}
Y
X
V
,
max
=
.
Wtedy
(A) zmienne
U i V są niezależne
(B) gęstość zmiennej
jest równa
)
,
( V
U
v
u
v
u
g
2
2
4
)
,
(
−
−
=
, gdy
1
0
<
<
<
v
u
(C) gęstość zmiennej
jest równa
)
,
( V
U
)
5
,
1
)(
2
3
(
)
,
(
u
v
v
u
g
−
−
=
, gdy
1
0
<
<
<
v
u
(D) gęstość zmiennej V jest równa
, gdy
2
3
2
)
(
v
v
h
−
=
1
0
<
< v
(E)
4
3
=
EV
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.10.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Na początku doświadczenia w urnie I znajdują się 3 kule białe, zaś w urnie II - 3 kule
czarne. Losujemy po jednej kuli z każdej urny - po czym kulę wylosowaną z urny I
wrzucamy do urny II, a tę wylosowaną z urny II wrzucamy do urny I. Czynność tę
powtarzamy wielokrotnie. Granica (przy n
→ ∞ ) prawdopodobieństwa, iż obie kule
wylosowane w n-tym kroku są jednakowego koloru, wynosi:
(A)
2
3
(B)
1
2
(C)
5
2
(D)
1
3
(E)
1
4
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.10.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Niech
będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o
identycznym rozkładzie jednostajnym na pewnym przedziale
(
, a<b.
Współczynnik korelacji liniowej
wynosi:
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
)
b
a,
{ }
{ }
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
i
n
i
i
n
i
X
X
Corr
K
K
,
1
,
1
max
,
min
(A) 0
(B)
n
1
(C)
1
2
+
n
(D)
1
1
2
+
+
n
n
(E)
2
1
n
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.10.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Wiadomo, że liczby
0,38, 0,65, 0,72, 1,00
są niezależnymi realizacjami zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym o gęstości
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
<
=
,
.
0
0
1
przyp
pozost
w
x
dla
x
f
θ
θ
θ
gdzie
0
>
θ
jest nieznanym parametrem. Zakładamy, że parametr
θ jest zmienną
losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0,5, 2].
Mediana rozkładu a posteriori, przy tych danych, jest równa
(A) 1,250
(B) 1
(C)
0,627
(D) 1,211
(E) 1,155
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.10.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Załóżmy, że dysponujemy pojedynczą obserwacją
X
z rozkładu
{
}
1
0
, P
P
P
∈
, gdzie
jest
rozkładem normalnym
i
jest rozkładem Laplace’a o gęstości
0
P
)
4
,
0
(
N
1
P
|
|
2
1
4
1
)
(
x
e
x
f
−
=
.
Rozważmy zadanie testowania hipotezy
0
0
:
P
P
H
=
przeciw alternatywie
1
1
:
P
P
H
=
.
Wiadomo, że w zbiorze liczb większych od 2, do obszaru krytycznego testu najmocniejszego
należą liczby z przedziału
. Moc tego testu jest równa
(
∞
+
,
8
,
3
)
(A) 0,1371
(B) 0,2447
(C) 0,2036
(D) 0,1224
(E) 0,2036
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.10.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
7.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z tego samego
rozkładu o dystrybuancie
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
⎩
⎨
⎧
≤
>
−
=
−
−
θ
θ
θ
θ
x
x
x
F
x
gdy
0
gdy
3
1
)
(
)
(
gdzie
0
≥
θ
jest nieznanym parametrem. Rozważamy jednostajnie najmocniejszy test
hipotezy 0
:
0
=
θ
H
przy alternatywie
0
:
1
>
θ
H
na poziomie istotności 0,01.
W danym punkcie
0
1
>
θ
funkcja mocy tego testu przyjmuje wartości większe lub
równe 0,81 wtedy i tylko wtedy, gdy liczebność próbki n spełnia warunek
(A)
1
3
4
θ
≥
n
(B)
1
3
100
log
θ
≥
n
(C)
1
4
θ
≥
n
(D)
100
log
3
1
θ
≥
n
(E)
1
4
θ
≥
n
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.10.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
8.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z tego samego
rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej 1. Niech N będzie zmienną losową
o rozkładzie Poissona o wartości oczekiwanej 1 niezależną od zmiennych
. Niech
K
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
K
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
>
=
∑
=
0
gdy
0
0
gdy
1
N
N
X
S
N
i
i
N
Wtedy gęstość rozkładu zmiennej
w punkcie
jest równa
N
S
0
>
s
(A)
∑
+∞
=
−
−
−
−
1
1
1
!
)!
1
(
n
n
s
n
n
s
e
(B)
∑
+∞
=
−
−
1
1
!
n
sn
n
e
(C)
∑
+∞
=
−
−
−
1
1
!
)!
1
(
n
sn
n
n
e
(D)
∑
+∞
=
−
−
−
1
1
!
)!
1
(
1
n
s
n
n
e
(E)
żadna z powyższych odpowiedzi
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.10.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
9.
Niech
, n>2, będą niezależnymi zmiennymi losowymi z tego samego
rozkładu geometrycznego, gdzie
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
K
,
2
,
1
,
0
gdy
)
1
(
)
1
(
)
(
2
=
−
+
=
=
k
p
p
k
k
X
P
k
i
,
a
jest nieznanym parametrem.
)
1
,
0
(
∈
p
Rozważamy klasę estymatorów parametru p postaci
∑
=
+
=
n
i
i
X
a
a
p
1
ˆ
.
Dobierz parametr a tak, by otrzymać estymator nieobciążony.
A)
n
a
2
=
(B)
1
2
−
= n
a
(C)
n
a
=
(D)
5
,
0
+
= n
a
(E)
1
−
= n
a
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.10.2008 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
10.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym
rozkładzie Weibulla o gęstości
6
2
1
,
,
,
X
X
X
K
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
0
gdy
0
0
gdy
1
exp
4
)
(
4
3
x
x
x
x
x
f
θ
θ
θ
,
gdzie
0
>
θ
jest nieznanym parametrem. Niech oznacza estymator największej
wiarogodności parametru
θ
ˆ
θ
. Obliczyć
(
)
θ
θ
θ
θ
1
,
0
ˆ
<
−
P
.
(A) 0,1915
(B) 0,2548
(C) 0,0604
(D) 0,1342
(E) 0,0589
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.10.2008 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi
*
Imię i nazwisko : ........................ K L U C Z O D P O W I E D Z I .............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Odpowiedź Punktacja
♦
1 E
2 B
3 C
4 B
5 D
6 B
7 C
8 A
9 B
10 A
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
♦
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11