Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna I”

WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2010/2011

1. [4p.] Obliczyć całki nieoznaczone

a)

Z

1 + ctg x

1 − ctg x

dx

b)

Z

x(arctg x)

2

dx

2. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego

krzywą o równaniu

f (x) =











0,

x < −1

1 − x

2

, −1 ¬ x ¬ 0

π

−x

,

x > 0

oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.
[2p.] b) Opisać (podać wzór i ilustrację graficzną) dwóch wybranych zastosowań geometrycznych
całek oznaczonych nie wymienionych w punkcie a) tego zadania.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] Sprawdzić, czy funkcja z = x cos

y

x

+ tg

y

x

spełnia równanie

x

2

z

xx

+ 2xyz

xy

+ y

2

z

yy

= 0

4. [4p.] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji g(x, y) = x

2

y(4−x−y) w obszarze

określonym nierównościami x ­ 0, y ­ 0 i x + y ¬ 6.

[2p.] b) Pokazać, że nie istnieje granica funkcji h(x, y) =

x

2

y

x

4

+ y

2

w punkcie (0, 0).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] Obliczyć całkę

Z

D

Z

1

y

2

e

x

√

y

dxdy

gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywą y = x

2

i prostymi y = 2, x = 1 dla x ­ 1.

Wykonać odpowiedni rysunek.

6. [4p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z = x

2

+ y

2

i

z =

q

x

2

+ y

2

[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych uogólnionych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Narysować obszar całkowania oraz zmienić kolejność całkowania w

wyrażeniu

1

Z

0

dy

2

Z

1+

√

1−y

2

f (x, y) dx +

2

Z

1

dy

3−y

Z

1

f (x, y) dx