Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna I”
WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] Obliczyć całki nieoznaczone
a)
Z
1 + ctg x
1 − ctg x
dx
b)
Z
x(arctg x)
2
dx
2. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego
krzywą o równaniu
f (x) =
0,
x < −1
1 − x
2
, −1 ¬ x ¬ 0
π
−x
,
x > 0
oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.
[2p.] b) Opisać (podać wzór i ilustrację graficzną) dwóch wybranych zastosowań geometrycznych
całek oznaczonych nie wymienionych w punkcie a) tego zadania.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Sprawdzić, czy funkcja z = x cos
y
x
+ tg
y
x
spełnia równanie
x
2
z
xx
+ 2xyz
xy
+ y
2
z
yy
= 0
4. [4p.] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji g(x, y) = x
2
y(4−x−y) w obszarze
określonym nierównościami x 0, y 0 i x + y ¬ 6.
[2p.] b) Pokazać, że nie istnieje granica funkcji h(x, y) =
x
2
y
x
4
+ y
2
w punkcie (0, 0).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Obliczyć całkę
Z
D
Z
1
y
2
e
x
√
y
dxdy
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywą y = x
2
i prostymi y = 2, x = 1 dla x 1.
Wykonać odpowiedni rysunek.
6. [4p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = x
2
+ y
2
i
z =
q
x
2
+ y
2
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych uogólnionych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Narysować obszar całkowania oraz zmienić kolejność całkowania w
wyrażeniu
1
Z
0
dy
2
Z
1+
√
1−y
2
f (x, y) dx +
2
Z
1
dy
3−y
Z
1
f (x, y) dx