1

Wstep

Przy

p

omo

cy

prost

yc

h

przyklado

w

c

hcielib

ysm

y

zilustro

w

ac,

ze

nie

k

azdy

p

opra

wn

y

matemat

ycznie

al-

gorytm

obliczania

danego

wzoru

jest

p

opra

wn

y

n

umerycznie.

Czesto

uzycie

zlego

algorytm

u

pro

w

adzi

do

znacznego

bledu.

1.1

Ro

wnanie

kw

adrato

w

e

x

2

2px

+

q

=

0

(1)

W

szk

ole

stosuje

sie

algorytm:

x1

=

p

+

p

p

p

q

x2

=

p

p

p

p

q

(2)

(3)

P

opra

wn

y

algorytm

wyglada

nastepujaco:

if

p



0

then

x1

=

p

+

p

p

p

q

x2

=

q

=x1

(4)

(5)

if

p

<

0

then

x2

=

p

p

p

p

q

x1

=

q

=x2

(6)

(7)

Kiedy

algorytm

'szk

oln

y'

jest

niep

opra

wn

y?

Moze

on

genero

w

ac

znaczn

y

blad

w

c

h

wili

gdy

np.

p

p



q

.

Zadanie:

p

oszuk

ac

takic

h

w

artosci

p

i

q

,

dla

ktoryc

h

algorytm

y

da

ja

rozne

wyniki.

1.2

Wzor

rekurencyjn

y

Zau

w

azm

y

,

ze

dla



=

p

5

1

2



0:61803398

zac

ho

dzi

wzor

rekurencyjn

y



n+1

=



n

1



n

(8)

T

ymczasem

zastoso

w

anie

wzoru

rekurencyjnego

w

cale

nie

da

je

pra

widlo

wyc

h

wynik

o

w.

Zadanie:

spra

wdzic

o

d

jakiej

w

artosci

n

wzor

rekurencyjn

y

nie

da

je

wlasciwyc

h

wynik

o

w.

1.3

Szaco

w

anie

bledu

algorytm

u

na

przykladzie

wzoru

a

2

b

2

Istnieja

dw

a

algorytm

y

obliczania

wzoru

a

2

b

2

.

a

2

b

2

(a

b)(a

+

b)

(9)

Kazde

dzialanie

n

umeryczne

generuje

p

ewien

blad

w

p

oro

wnaniu

do

rzeczywistej

w

artosci

wyniku

dzialania:

f

l

(a

+

b)

=

(a

+

b)(1

+

)

f

l

(a



b)

=

(a



b)(1

+

)

(10)

f

l

(

p

a)

=

p

s(1

+

);

gdzie

p

oprzez

f

l

(a2b)

oznaczam

y

wynik

n

umerycznego

dzialania

2.

1

Oszacujm

y

bledy

otrzymane

w

obu

algorytmac

h:

f

l

(a

2

b

2

)

=

(a



a(1

+



1

)

b



b(1

+



2

))(1

+



3

)

=

(a

2

b

2

)



1

+

a

2



1

b

2



2

a

2

b

2



(1

+



3

)

(11)

=

(a

2

b

2

)(1

+

Æ

);

gdzie

Æ

=

a

2



1

b

2



2

a

2

b

2

.

Jezeli

a

2

jest

o

dp

o

wiednio

bliskie

b

2

,

a



1

i



2

ma

ja

przeciwne

znaki,

to

blad

wzgledn

y

Æ

wyniku

otrzymanego

pierwszym

algorytmem

moze

b

yc

do

w

olnie

duzy

.

Nie

jest

to

pra

wda

w

przypadku

drugiego

algorytm

u:

f

l

((a

b)(a

+

b))

=

((a

b)(1

+



1

)(a

+

b)(1

+



2

))(1

+



3

)

=

(a

2

b

2

)(1

+

Æ

);

(12)

gdzie

Æ



j

1

j

+

j

2

j

+

j

3

j.

1.4

Exp

onens

W

artosc

funk

cji

wykladniczej

mozna

liczyc

k

orzysta

jac

z

rozwiniecia

exp(x)

w

szereg:

exp(x)

=

1

X

k =0

x

k

k

!

(13)

Niestet

y

wzor

ten

da

je

bledne

wyniki

dla

wielu

ujemn

yc

h

w

artosci

x.

Wtedy

nalezy

sk

orzystac

z

wzoru:

exp(x)

=

1

exp

(

x)

:

(14)

Zadanie:

spra

wdzic

dla

jakic

h

w

artosci

x

wzor

13

da

je

bledne

wyniki.

2