WAZNE 2011-12-21
M
ateriały dydaktyczne – TERMODYNAMIKA ( Adam Gradowski )
15. Wstep teoretyczny do
ćwiczenia laboratoryjnego nr 4
„ Badanie współczynnika wymiany ciepła i współczynnika przewodzenia ciepła
po
włoki izolacyjnej – warunki brzegowe 3. rodzaju”
(
ćwiczenie laboratoryjne z dnia 15.11. i 17.11.2010 - TT54)
15.1. Wprowadzenie
Doświadczenie oparte jest na modelu matematycznym opisującym pole
temperatu
ry ciał klasycznych (np. walca) przy ustalonych warunkach brzegowych 3.
.rodzaju.
Do ciał klasycznych zaliczamy:
a)
płytę o nieograniczonej długości i szerokości,
b)
walec o nieograniczonej ( „nieskończonej”) długości,
c)
kulę,
d)
półprzestrzeń (pominiemy ją w dalszych rozważaniach).
Funkcja opisująca nieustalone pole temperatury ciał klasycznych (a, b, c)
powstaje w wyniku całkowania równań różniczkowych przewodzenia ciepła dla tych
ciał, przy zastosowaniu warunku brzegowego 3. .rodzaju.
Każde z tych rozwiązań przedstawić można w postaci ogólnej, w której wartość
temperatury jest funkcją 9. .zmiennych:
T = f (x, X,
λ, c, ρ, T
0
, T
ot
, α,
τ
)
(1),
.gdzie: .x = r -
współrzędna (promień) rozpatrywanej powierzchni izotermicznej,
X
– charakterystyczny wymiar ciała (połowa grubości płyty lub promień walca),
T
ot
– temperatura otoczenia,
.
α
-
współczynnik wymiany ciepła.
Zastosowanie teorii podobieństwa pozwala funkcję (1) zastąpić równaniami
kryterialnymi, opartymi na liczbach bezwymiarowych:
a) kryterium Fouriera : Fo = a
τ
/ X
2
, a =
λ
/ ( c ρ)
b) kryterium Biota : Bi =
α
.
λ
/ X,
c)
bezwymiarowa współrzędna x/ X ( oznaczane też przez
K
x
, K
x
ε [ 0, 1 ]
)
.
Zastosowanie ujęcia bezwymiarowego pozwala na wykreślne przedstawienie
tempe
ratury ciał klasycznych za pomocą tzw. nomogramów, w których (najczęściej)
bezwy
miarowa współrzędna x/ X ma wartość ustaloną. Wartość x/ X = 0 odpowiada
osi wal
ca, kuli lub płaszczyzny symetrii nieograniczonej płyty. Wartość x/ X = 1
odpowiada powierzc
hni ciała. Równania i nomogramy opisujące proces nagrzewania
ciał klasycznych zachowują również ważność przy opisie procesu chłodzenia.
Rozpatrzymy przypadek nagrzewania osi nieograniczonego walca
, pozwalający
na doświadczalne badanie współczynnika wymiany ciepła
α
(podstawowy
parametrów określający warunki brzegowe WB3r). Układu pomiarowego
przedstawiono na rys. A
2
T
ot
T
pow
L
r
α
(q)
1
G
iz
Rys. A.
Kształtka stalowa do badań nagrzewania osi „nieograniczonego” walca
( 1
– kształtka cylindryczna, 2 - gruba warstwa izolacyjna, p – badana powłoka)
15.2. Przeprowadzenie pomiaru
Przy projektowaniu uk
ładu pomiarowego założono, że współczynnik wymiany ciepła
zale
ży wyłącznie od oporu cieplnego powłoki izolacyjnej tj. S = X
p
/
λ
p
.
Pozwala to
na sformu
łowanie następującej zależności opisującej wartość zastępczego
współczynnika wymiany ciepła :
.
α
p
=
λ
p
/
X
p
Kształtka stalowa (1) pokryta jest na powierzchni cylindrycznej badaną powłoka
izola
cyjną. W celu wyeliminowania osiowego przepływu ciepła obie czołowe
powierzchnie kształtki pokryte są grubą warstwą izolacyjną (2), o dużym oporze
ciepl
nym (powinien być kilkadziesiąt razy większy od oporu powłoki badanej „p”).
Podłączony do aparatu rejestrującego termoelement, zamontowany w osi kształtki
walcowej, pozwala na wyznaczenie krzywej nagrzewania punktu pomiarowego. Ma
ona postać przedstawioną schematycznie na rys. B
T
osi
Czas
τ
, [s]
Z krzywej nagrzewa
nia wybiera się – przykładowo – 5 punktów i przedstawia
się je w postaci kryteriów opisujących nagrzewania osi klasycznego walca.
Procedura obli
czeń przedstawiona jest w arkuszu obliczeniowym.
X = R
Powłoka
izolacyjna (p)
15.3.
ZADANIE I1
Obliczenie
współczynnika wymiany ciepła
Po
niższa tabela przedstawia bezwymiarowe ujęcie przykładowych wyników
nagrzewania osi walca (a
k
= 1,04
.
10
-5
m
2
/ s ,
λ
k
= 44 W/ (m K) i dla grubości powłoki
X
p
= 0,0004 m)
. Walec jest izolowany na powierzchniach czołowych, czyli spełnia
warunek walca niesk
ończonego w sensie cieplnym.
Badana pow
łoka znajduje się na powierzchni cylindrycznej. Indeksem „k” oznaczymy
parametry
materiału kształtki walcowej (stali węglowej). Średnica walca wynosi 50
mm czyli charakterystyczny wymiar R
k
= X
k
= 0,025 m.
Dla średniej temperatury nagrzewania , wynoszącej około 400
o
C mamy dla stali:
a)
ciepło właściwe c
k
= 550 J/ (kg K),
b)
współczynnik przewodzenia ciepła
λ
k
= 44 W/ (m K) ,
c)
gęstość ρ = 7500 kg/ m
3
.
d) a
k
=
λ
k
/ (c
k
ρ
k
) = 44/ (550
.
7400) = 1,08
.
10
-5
m
2
/ s.
Fo
1
2
osi
ot
0
ot
T - T
θ =
T - T
0,45
Bi (z nomogramu)
0,5
α
p
880
λ
p
0,35
Aby pow
łoka miała charakter „izolacyjny” , wartości współczynnika przewodzenia
cie
pła muszą spełniać warunek:
λ
p
< 0,5 W m
-1
K
-1
(
Ciąg dalszy nastąpi po 20.12.2011 – TT54)
Przypomnienie niektórych oznaczeń
λ
c
ρ
a
– współczynnik wyrównywania temperatury,
.
λ
k
,
λ
p
-
współczynniki przewodzenia ciepła.
15. 4.
ZADANIE I2
– E2
( WB3r- nagrzewanie
ciał klasycznych )
Płyta żeliwna o grubości 60 mm posiada wymiary gabarytowe
po
zwalające na pominięcie ilości ciepła wymienianego przez jej
powierzchnie czołowe. Warunki brzegowe procesu nagrzewania płyty
określone są wartością temperatury otoczenia równej 700
o
C oraz
współczynnikiem wymiany ciepła równym α = 30 W/( m
2
K).
Temperatura początkowa procesu nagrzewania T
o
= 50
o
C. Określić
różnicę temperatur (spadek) pomiędzy środkiem i powierzchnią płyty po
czasie = 12 min. Potrzebne dane termo
fizyczne dla żeliwa przyjąć z
tablic.
Analogiczne obliczenia wykonać także dla nieograniczonego
walca o takim samym wymiarze charakterystycznym.
A.
Rozwiązanie dla płyty
Z tablic odczytujemy dla żeliwa parametry :
. λ = 50 W/ (m K) , c = 540 J/ (kg K) oraz ρ = 7200 kg/ m
3
Wymiar charakterystyczny: X
1
= g/ 2 = 0,03 m.
Współczynnik wyrównywania temperatury
.a = λ /( c ρ) = 50 /( 540
.
7200) = 12,9
.
10
-6
m
2
/s
Liczba Fouriera:
Fo =
2
1
a
X
τ
= 12,9
.
10
-6
.
720 / 0,03
2
= 10,3
Liczba Biota: Bi = α
.
X
1
/ λ
= 30
.
0,03 / 50 = 0,018
Według wyznaczonych wartości kryteriów Fo i Bi odczytujemy z nomogramu (
s. 41
)
dla płaszczyzny symetrii płyty:
Θ
s
( Fo = 10,3 ;
Bi = 0,018 ) = 0,84 (z dokładnością ok. 0,01)
.oraz dla powierzchni płyty:
Θ
pow
( Fo = 10,3 ;
Bi = 0,018 ) = 0,81 (z dokładnością ok. 0,01)
Temperatura w płaszczyźnie symetrii:
T
s
= (T
o
– T
ot
)
.
θ
s
+ T
ot
= ( 50 - 700)
.
0,84 + 700 = 154
o
C
Dla powierzchni
T
pow
= (T
o
– T
ot
)
.
θ
pow
+ T
ot
= ( 50 - 700)
.
0,81 + 700 = 173
o
C
Szukana różnica temperatur wynosi:
ΔT = T
pow
– T
s
= 173
– 154 = 19 K.
A.
Rozwiązanie dla nieograniczonego walca
Dla wyznaczonych wartości kryteriów Fo i Bi odczytujemy z nomogramu dla
osi walca (
s. 40
) :
Θ
os
( Fo = 10,3 ;
Bi = 0,018 ) = 0,70 (z dokładnością ok. 0,01).
.oraz dla powierzchni walca:
Θ
pow
( Fo = 10,3 ;
Bi = 0,018 ) = 0,67 (z dokładnością ok. 0,01).
Temperatura w osi walca :
T
os
= (T
o
– T
ot
)
.
θ
os
+ T
ot
= ( 50 - 700)
.
0,70 + 700 = 245
o
C
Dla powierzchni walca :
T
pow
= (T
o
– T
ot
)
.
θ
pow
+ T
ot
= ( 50 - 700)
.
0,67 + 700 = 264
o
C
Różnica temperatur dla walca wynosi:
ΔT = T
pow
– T
os
= 264
– 245 = 19 K.
.. **
Literatura do tematu 16
13. B.
Staniszewski : Wymiana ciepła .PWN. W-wa 1979.
14. S.
Wiśniewski, T. Wiśniewski : Wymiana ciepła. WNT. W-wa 1994, s. 97 –
106.
15.
W. Longa : Krzepnięcie odlewów. Wyd. Śląsk. Katowice 1985, s. 60 -78.
16.
W. Longa i in.: Stygnięcie i krzepnięcie odlewów. Skr. AGH nr 623. Kraków
1978, s. 8 -14, 35 - 50).
17. Materia
ły na stronie Katedry Inżynierii Proc. Odlewniczych, przedmiot: „
Termo
dynamika i technika cieplna …...” - ćwiczenia audytoryjne i
laboratoryjne.
Uwaga
: popr. .na s.8 (ALFA = 6,25)
16. Nomogramy pola temperatury nieograniczonego walca i
nieogranic
zinej płyty (38)
Przedstawion
e nomogramy opisują cztery przypadki pól temperatury
a)
bezwymiarową temperaturę powierzchni walca (K
x
= 1),
b)
bezwymiarową temperaturę osi walca (K
x
= 0),
c)
bezwymiarową temperaturę powierzchni płyty (Kx = 0),
d)
bezwymiarową temperaturę płaszczyzny symetrii płyty (K
x
= 0).
DODATEK A. Nomogram dla powierzchni walca ( K
x
= x/ R = 1)
DODATEK B. Nomogram dla osi walca (K
x
= x / R = 0)
