WAZNE 2011-12-21

M

ateriały dydaktyczne – TERMODYNAMIKA ( Adam Gradowski )

15. Wstep teoretyczny do

ćwiczenia laboratoryjnego nr 4

„ Badanie współczynnika wymiany ciepła i współczynnika przewodzenia ciepła

po

włoki izolacyjnej – warunki brzegowe 3. rodzaju”

(

ćwiczenie laboratoryjne z dnia 15.11. i 17.11.2010 - TT54)

15.1. Wprowadzenie

Doświadczenie oparte jest na modelu matematycznym opisującym pole

temperatu

ry ciał klasycznych (np. walca) przy ustalonych warunkach brzegowych 3.

.rodzaju.
Do ciał klasycznych zaliczamy:

a)

płytę o nieograniczonej długości i szerokości,

b)

walec o nieograniczonej ( „nieskończonej”) długości,

c)

kulę,

d)

półprzestrzeń (pominiemy ją w dalszych rozważaniach).

Funkcja opisująca nieustalone pole temperatury ciał klasycznych (a, b, c)

powstaje w wyniku całkowania równań różniczkowych przewodzenia ciepła dla tych
ciał, przy zastosowaniu warunku brzegowego 3. .rodzaju.

Każde z tych rozwiązań przedstawić można w postaci ogólnej, w której wartość

temperatury jest funkcją 9. .zmiennych:

T = f (x, X,

λ, c, ρ, T

0

, T

ot

, α,

τ

)

(1),

.gdzie: .x = r -

współrzędna (promień) rozpatrywanej powierzchni izotermicznej,

X

– charakterystyczny wymiar ciała (połowa grubości płyty lub promień walca),

T

ot

– temperatura otoczenia,

.

α

-

współczynnik wymiany ciepła.

Zastosowanie teorii podobieństwa pozwala funkcję (1) zastąpić równaniami

kryterialnymi, opartymi na liczbach bezwymiarowych:

a) kryterium Fouriera : Fo = a

τ

/ X

2

, a =

λ

/ ( c ρ)

b) kryterium Biota : Bi =

α

.

λ

/ X,

c)

bezwymiarowa współrzędna x/ X ( oznaczane też przez

K

x

, K

x

ε [ 0, 1 ]

)

.

Zastosowanie ujęcia bezwymiarowego pozwala na wykreślne przedstawienie

tempe

ratury ciał klasycznych za pomocą tzw. nomogramów, w których (najczęściej)

bezwy

miarowa współrzędna x/ X ma wartość ustaloną. Wartość x/ X = 0 odpowiada

osi wal

ca, kuli lub płaszczyzny symetrii nieograniczonej płyty. Wartość x/ X = 1

odpowiada powierzc

hni ciała. Równania i nomogramy opisujące proces nagrzewania

ciał klasycznych zachowują również ważność przy opisie procesu chłodzenia.

Rozpatrzymy przypadek nagrzewania osi nieograniczonego walca

, pozwalający

na doświadczalne badanie współczynnika wymiany ciepła

α

(podstawowy

parametrów określający warunki brzegowe WB3r). Układu pomiarowego
przedstawiono na rys. A

2

T

ot

T

pow

L

r

α

(q)

1

G

iz

Rys. A.

Kształtka stalowa do badań nagrzewania osi „nieograniczonego” walca

( 1

– kształtka cylindryczna, 2 - gruba warstwa izolacyjna, p – badana powłoka)

15.2. Przeprowadzenie pomiaru

Przy projektowaniu uk

ładu pomiarowego założono, że współczynnik wymiany ciepła

zale

ży wyłącznie od oporu cieplnego powłoki izolacyjnej tj. S = X

p

/

λ

p

.

Pozwala to

na sformu

łowanie następującej zależności opisującej wartość zastępczego

współczynnika wymiany ciepła :

.

α

p

=

λ

p

/

X

p

Kształtka stalowa (1) pokryta jest na powierzchni cylindrycznej badaną powłoka
izola

cyjną. W celu wyeliminowania osiowego przepływu ciepła obie czołowe

powierzchnie kształtki pokryte są grubą warstwą izolacyjną (2), o dużym oporze
ciepl

nym (powinien być kilkadziesiąt razy większy od oporu powłoki badanej „p”).

Podłączony do aparatu rejestrującego termoelement, zamontowany w osi kształtki
walcowej, pozwala na wyznaczenie krzywej nagrzewania punktu pomiarowego. Ma
ona postać przedstawioną schematycznie na rys. B

T

osi

Czas

τ

, [s]

Z krzywej nagrzewa

nia wybiera się – przykładowo – 5 punktów i przedstawia

się je w postaci kryteriów opisujących nagrzewania osi klasycznego walca.
Procedura obli

czeń przedstawiona jest w arkuszu obliczeniowym.

X = R

Powłoka
izolacyjna (p)

15.3.

ZADANIE I1

Obliczenie

współczynnika wymiany ciepła

Po

niższa tabela przedstawia bezwymiarowe ujęcie przykładowych wyników

nagrzewania osi walca (a

k

= 1,04

.

10

-5

m

2

/ s ,

λ

k

= 44 W/ (m K) i dla grubości powłoki

X

p

= 0,0004 m)

. Walec jest izolowany na powierzchniach czołowych, czyli spełnia

warunek walca niesk

ończonego w sensie cieplnym.

Badana pow

łoka znajduje się na powierzchni cylindrycznej. Indeksem „k” oznaczymy

parametry

materiału kształtki walcowej (stali węglowej). Średnica walca wynosi 50

mm czyli charakterystyczny wymiar R

k

= X

k

= 0,025 m.

Dla średniej temperatury nagrzewania , wynoszącej około 400

o

C mamy dla stali:

a)

ciepło właściwe c

k

= 550 J/ (kg K),

b)

współczynnik przewodzenia ciepła

λ

k

= 44 W/ (m K) ,

c)

gęstość ρ = 7500 kg/ m

3

.

d) a

k

=

λ

k

/ (c

k

ρ

k

) = 44/ (550

.

7400) = 1,08

.

10

-5

m

2

/ s.

Fo

1

2

osi

ot

0

ot

T - T

θ =

T - T

0,45

Bi (z nomogramu)

0,5

α

p

880

λ

p

0,35

Aby pow

łoka miała charakter „izolacyjny” , wartości współczynnika przewodzenia

cie

pła muszą spełniać warunek:

λ

p

< 0,5 W m

-1

K

-1

(

Ciąg dalszy nastąpi po 20.12.2011 – TT54)

Przypomnienie niektórych oznaczeń

λ

c

ρ

a

– współczynnik wyrównywania temperatury,

.

λ

k

,

λ

p

-

współczynniki przewodzenia ciepła.

15. 4.

ZADANIE I2

– E2

( WB3r- nagrzewanie

ciał klasycznych )

Płyta żeliwna o grubości 60 mm posiada wymiary gabarytowe

po

zwalające na pominięcie ilości ciepła wymienianego przez jej

powierzchnie czołowe. Warunki brzegowe procesu nagrzewania płyty
określone są wartością temperatury otoczenia równej 700

o

C oraz

współczynnikiem wymiany ciepła równym α = 30 W/( m

2

K).

Temperatura początkowa procesu nagrzewania T

o

= 50

o

C. Określić

różnicę temperatur (spadek) pomiędzy środkiem i powierzchnią płyty po

czasie = 12 min. Potrzebne dane termo

fizyczne dla żeliwa przyjąć z

tablic.

Analogiczne obliczenia wykonać także dla nieograniczonego

walca o takim samym wymiarze charakterystycznym.

A.

Rozwiązanie dla płyty

Z tablic odczytujemy dla żeliwa parametry :

. λ = 50 W/ (m K) , c = 540 J/ (kg K) oraz ρ = 7200 kg/ m

3

Wymiar charakterystyczny: X

1

= g/ 2 = 0,03 m.

Współczynnik wyrównywania temperatury

.a = λ /( c ρ) = 50 /( 540

.

7200) = 12,9

.

10

-6

m

2

/s

Liczba Fouriera:

Fo =

2

1

a

X

τ

= 12,9

.

10

-6

.

720 / 0,03

2

= 10,3

Liczba Biota: Bi = α

.

X

1

/ λ

= 30

.

0,03 / 50 = 0,018

Według wyznaczonych wartości kryteriów Fo i Bi odczytujemy z nomogramu (

s. 41

)

dla płaszczyzny symetrii płyty:
Θ

s

( Fo = 10,3 ;

Bi = 0,018 ) = 0,84 (z dokładnością ok. 0,01)

.oraz dla powierzchni płyty:
Θ

pow

( Fo = 10,3 ;

Bi = 0,018 ) = 0,81 (z dokładnością ok. 0,01)

Temperatura w płaszczyźnie symetrii:

T

s

= (T

o

– T

ot

)

.

θ

s

+ T

ot

= ( 50 - 700)

.

0,84 + 700 = 154

o

C

Dla powierzchni
T

pow

= (T

o

– T

ot

)

.

θ

pow

+ T

ot

= ( 50 - 700)

.

0,81 + 700 = 173

o

C

Szukana różnica temperatur wynosi:

ΔT = T

pow

– T

s

= 173

– 154 = 19 K.

A.

Rozwiązanie dla nieograniczonego walca

Dla wyznaczonych wartości kryteriów Fo i Bi odczytujemy z nomogramu dla

osi walca (

s. 40

) :

Θ

os

( Fo = 10,3 ;

Bi = 0,018 ) = 0,70 (z dokładnością ok. 0,01).

.oraz dla powierzchni walca:
Θ

pow

( Fo = 10,3 ;

Bi = 0,018 ) = 0,67 (z dokładnością ok. 0,01).

Temperatura w osi walca :

T

os

= (T

o

– T

ot

)

.

θ

os

+ T

ot

= ( 50 - 700)

.

0,70 + 700 = 245

o

C

Dla powierzchni walca :
T

pow

= (T

o

– T

ot

)

.

θ

pow

+ T

ot

= ( 50 - 700)

.

0,67 + 700 = 264

o

C

Różnica temperatur dla walca wynosi:

ΔT = T

pow

– T

os

= 264

– 245 = 19 K.

.. **

Literatura do tematu 16

13. B.

Staniszewski : Wymiana ciepła .PWN. W-wa 1979.

14. S.

Wiśniewski, T. Wiśniewski : Wymiana ciepła. WNT. W-wa 1994, s. 97 –

106.

15.

W. Longa : Krzepnięcie odlewów. Wyd. Śląsk. Katowice 1985, s. 60 -78.

16.

W. Longa i in.: Stygnięcie i krzepnięcie odlewów. Skr. AGH nr 623. Kraków
1978, s. 8 -14, 35 - 50).

17. Materia

ły na stronie Katedry Inżynierii Proc. Odlewniczych, przedmiot: „

Termo

dynamika i technika cieplna …...” - ćwiczenia audytoryjne i

laboratoryjne.

Uwaga

: popr. .na s.8 (ALFA = 6,25)

16. Nomogramy pola temperatury nieograniczonego walca i

nieogranic

zinej płyty (38)

Przedstawion

e nomogramy opisują cztery przypadki pól temperatury

a)

bezwymiarową temperaturę powierzchni walca (K

x

= 1),

b)

bezwymiarową temperaturę osi walca (K

x

= 0),

c)

bezwymiarową temperaturę powierzchni płyty (Kx = 0),

d)

bezwymiarową temperaturę płaszczyzny symetrii płyty (K

x

= 0).

DODATEK A. Nomogram dla powierzchni walca ( K

x

= x/ R = 1)

DODATEK B. Nomogram dla osi walca (K

x

= x / R = 0)