www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
F
UNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
-
DOWODY
Definicje
α
P=(x,y)
y
x
1
r
x
y
x
y
α
P=(x,y)
y
x
O
O
Definicja
Niech P
= (
x, y
)
b˛edzie takim punktem na okr˛egu jednostkowym x
2
+
y
2
=
1, ˙ze
półproste Ox i OP tworz ˛
a k ˛
at skierowany o mierze α
∈
R. Definiujemy wtedy
sin α
=
y
cos α
=
x
tg α
=
y
x
ctg α
=
x
y
.
Zdefiniowane wy ˙zej funkcje nazywamy
funkcjami trygonometrycznymi
.
Fakt 1
Niech P
= (
x, y
)
b˛edzie takim punktem na okr˛egu x
2
+
y
2
=
r
2
, ˙ze półproste Ox i
OP tworz ˛
a k ˛
at skierowany o mierze α
∈
R. Wtedy
sin α
=
y
r
cos α
=
x
r
tg α
=
y
x
ctg α
=
x
y
.
Dowód
Okr ˛
ag x
2
+
y
2
=
r
2
powstaje z okr˛egu x
2
+
y
2
=
1 przez jednokładno´s´c o ´srodku w punk-
cie O i skali r. Wystarczy teraz zauwa ˙zy´c, ˙ze stosunki długo´sci odcinków nie zmieniaj ˛
a
si˛e przy jednokładno´sci (bo długo´s´c ka ˙zdego odcinka zmienia si˛e jak mno ˙zenie przez r).
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Fakt 2
Je ˙zeli α jest k ˛
atem ostrym w trójk ˛
acie prostok ˛
atnym, to przy oznaczeniach z rysun-
ku,
sin α
=
a
c
cos α
=
b
c
tg α
=
a
b
ctg α
=
b
a
.
α
a
c
b
Dowód
c
x
y
α
P=(b,a)
a
b
O
Wystarczy w Fakcie 1 oznaczy´c r
=
c, x
=
b i y
=
a.
Proste to˙zsamo´sci
Twierdzenie 3
Dla dowolnego α
∈
R prawdziwa jest równo´s´c
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1.
To ˙zsamo´s´c t˛e nazywamy
jedynk ˛
a trygonometryczn ˛
a
.
Dowód
Współrz˛edne ka ˙zdego punktu P
= (
x, y
)
na okr˛egu jednostkowym spełniaj ˛
a równo´s´c (twier-
dzenie Pitagorasa)
x
2
+
y
2
=
1.
Je ˙zeli popatrzymy na definicje funkcji sinus i cosinus, to wida´c, ˙ze jest to dokładnie to, co
mieli´smy udowodni´c.
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Fakt 4
Dla dowolnego α
∈
R mamy
tg α
=
sin α
cos α
o ile cos α
6=
0
ctg α
=
cos α
sin α
o ile sin α
6=
0,
Dowód
Bezpo´srednio z definicji mamy
tg α
=
y
x
=
sin α
cos α
ctg α
=
x
y
=
cos α
sin α
.
Proste równania i nierówno´sci
Twierdzenie 5
sin α
=
0
⇐⇒
α
=
kπ
sin α
=
1
⇐⇒
α
=
π
2
+
2kπ
sin α
= −
1
⇐⇒
α
= −
π
2
+
2kπ
cos α
=
0
⇐⇒
α
=
π
2
+
kπ
cos α
=
1
⇐⇒
α
=
2kπ
cos α
= −
1
⇐⇒
α
= (
2k
+
1
)
π
tg α
=
0
⇐⇒
α
=
kπ
ctg α
=
0
⇐⇒
α
=
π
2
+
kπ.
gdzie k jest dowoln ˛
a liczba całkowit ˛
a.
Dowód
W ka ˙zdej z równowa ˙zno´sci patrzymy na okr ˛
ag jednostkowy i sprawdzamy dla jakich k ˛
atów
α
punkt P ma odpowiednie współrz˛edne.
Np. sin x
=
0 dla punktów, które maj ˛
a drug ˛
a współrz˛edn ˛
a zerow ˛
a, czyli s ˛
a na osi Ox.
Punkty te odpowiadaj ˛
a k ˛
atom α
=
kπ, k
∈
C
.
Podobnie uzasadniamy pozostałe równowa ˙zno´sci.
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Twierdzenie 6
sin x
>
0
⇐⇒
x
∈ (
0
+
2kπ, π
+
2kπ
)
cos x
>
0
⇐⇒
x
∈
−
π
2
+
2kπ,
π
2
+
2kπ
tg x
>
0
⇐⇒
x
∈
0
+
2kπ,
π
2
+
2kπ
∪
π
+
2kπ,
3π
2
+
2kπ
ctg x
>
0
⇐⇒
x
∈
0
+
2kπ,
π
2
+
2kπ
∪
π
+
2kπ,
3π
2
+
2kπ
.
Dowód
Jak zwykle patrzymy na obrazek z definicji funkcji trygonometrycznych i sprawdzamy ko-
lejno: kiedy druga współrz˛edna punktu P jest dodatnia, kiedy pierwsza współrz˛edna jest
dodatnia, oraz kiedy współrz˛edne maj ˛
a ten sam znak.
Okresowo´s´c
Twierdzenie 7
Funkcje sinus i cosinus s ˛
a okresowe. Okresem podstawowym tych funkcji jest licz-
ba 2π.
Dowód
To, ˙ze liczba 2π jest okresem jest oczywiste: k ˛
aty ró ˙zni ˛
ace si˛e o wielokrotno´s´c 2π odpowia-
daj ˛
a temu samemu punktowi P na okr˛egu jednostkowym.
Pozostało do wykazania, ˙ze jest to okres podstawowy, czyli ˙ze ˙zadna mniejsza liczba nie
jest okresem tych funkcji.
Przypu´s´cmy, ˙ze 0
<
T
<
2π jest okresem funkcji sin x, czyli dla dowolnego α
∈
R mamy
sin
(
α
+
T
) =
sin α.
Podstawiaj ˛
ac w tej równo´sci α
=
0 mamy sin T
=
0. Na mocy przyj˛etego zało ˙zenia 0
<
T
<
2π i Twierdzenia 5, mamy zatem T
=
π
. To jednak nie jest mo ˙zliwe, bo
sin
π
2
+
π
= −
1
6=
sin
π
2
=
1.
Podobnie post˛epujemy w przypadku funkcji cosinus. W równo´sci
cos
(
α
+
T
) =
cos α
podstawiamy α
=
0, co daje nam cos T
=
1. Jest sprzeczne z Twierdzeniem 5 (bo 0
<
T
<
2π).
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Twierdzenie 8
Funkcje tangens i cotangens s ˛
a okresowe. Okresem podstawowym tych funkcji jest
liczba π.
Dowód
Jest jasne, ˙ze liczba 2π jest okresem. To, ˙ze liczba π te ˙z jest okresem mo ˙zna zobaczy´c nast˛e-
puj ˛
aco. Patrzymy na obrazek z definicji funkcji trygonometrycznych.
α
P=(x,y)
y
x
1
P'=(-x,-y)
-y
-x
π
x
y
O
Dodanie k ˛
ata π do k ˛
ata α odpowiada obróceniu półprostej OP o 180
◦
. Mo ˙zna te ˙z my´sle´c, ˙ze
jest to odbicie punktu P wzgl˛edem ´srodka O pocz ˛
atku układu współrz˛ednych. W wyniku
takiej operacji współrz˛edne punktu P zmieni ˛
a znak na przeciwny. To jednak oznacza, ˙ze
funkcje tangens i cotangens nie zmieni ˛
a warto´sci.
Pozostało do wykazania, ˙ze jest to okres podstawowy. Załó ˙zmy, ˙ze 0
<
T
<
π
jest okre-
sem funkcji tangens, czyli dla dowolnego α
∈
R, α
6=
π
2
+
kπ mamy
tg
(
α
+
T
) =
tg α.
Wstawiaj ˛
ac α
=
0 mamy tg T
=
0. To jednak jest niemo ˙zliwe na mocy naszego zało ˙zenia
0
<
T
<
π
i Twierdzenia 5.
Podobnie uzasadniamy, ˙ze liczba π jest okresem podstawowym funkcji cotangens.
Twierdzenie 9
sin α
=
sin β
⇐⇒
β
=
α
+
2kπ
∨
β
=
π
−
α
+
2kπ
cos α
=
cos β
⇐⇒
β
=
α
+
2kπ
∨
β
= −
α
+
2kπ
tg α
=
tg β
⇐⇒
β
=
α
+
kπ
ctg α
=
ctg β
⇐⇒
β
=
α
+
kπ,
gdzie k oznacza dowoln ˛
a liczb˛e całkowita.
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Dowód
Je ˙zeli sin α
=
sin β, to odpowiadaj ˛
ace tym k ˛
atom punkty na okr˛egu jednostkowym maj ˛
a
tak ˛
a sam ˛
a drug ˛
a współrz˛edn ˛
a. Je ˙zeli te punkty si˛e pokrywaj ˛
a, to mamy β
=
α
+
2kπ. Je ˙zeli
natomiast s ˛
a dwa ró ˙zne punkty, to musz ˛
a le ˙ze´c symetrycznie wzgl˛edem osi Oy. To jednak
oznacza, ˙ze β
=
π
−
α
+
2kπ.
Podobnie uzasadniamy drug ˛
a równowa ˙zno´s´c.
Patrz ˛
ac na definicje funkcji trygonometrycznych łatwo zauwa ˙zy´c, ˙ze tangens jest rosn ˛
acy
w przedziałach
(−
π
2
+
2kπ,
π
2
+
2kπ
)
i
(
π
2
+
2kπ,
3π
2
+
2kπ
)
. Zatem na okr˛egu jednostkowym
s ˛
a co najwy ˙zej dwa punkty, dla których tangensy odpowiadaj ˛
acych k ˛
atów s ˛
a równe tg α. Z
drugiej strony, z okresowo´sci tangensa wiemy, ˙ze tg
(
α
+
π
) =
tg α. Zatem równo´s´c tg α
=
tg β oznacza, ˙ze α
=
β
+
2kπ (je ˙zeli odpowiadaj ˛
ace punkty si˛e pokrywaj ˛
a) lub β
=
π
+
α
+
2kπ (je ˙zeli punkty s ˛
a ró ˙zne). Oba warunki mo ˙zna krótko zapisa´c w postaci β
=
α
+
kπ.
Podobnie rozumujemy w przypadku cotangensa (lub korzystamy ze wzoru ctg α
=
1
tg α
).
Wzory redukcyjne
Twierdzenie 10
Niech zapis f unkcja oznacza jedn ˛
a funkcji trygonometrycznych, a zapis ko f unkcja,
niech b˛edzie odpowiadaj ˛
ac ˛
a kofunkcj ˛
a do f unkcji, według schematu
sin
↔
cos
tg
↔
ctg .
Wtedy dla dowolnego k
∈
C
mamy zale ˙zno´s´c
f unkcja
k
·
π
2
±
α
=
(
ε
·
f unkcja
(
α
)
je ˙zeli k jest parzyste
ε
·
ko f unkcja
(
α
)
je ˙zeli k jest nieparzyste,
gdzie ε jest znakiem wyra ˙zenia f unkcja k
·
π
2
±
α
po podstawieniu za α dowolne-
go k ˛
ata ostrego.
Dowód
Patrz ˛
ac ponownie na koło jednostkowe, łatwo zauwa ˙zy´c, ˙ze nast˛epuj ˛
ace operacje: dodanie
lub odj˛ecie k ˛
ata π do α, zamiana α na
−
α
, nie zmieniaj ˛
a warto´sci bezwzgl˛ednych współ-
rz˛ednych punktu P (czyli co najwy ˙zej zmieniaj ˛
a znaki współrz˛ednych tego punktu).
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
α
P=(x,y)
y
1
(-x,-y)
-x
π
-α
(x,-y)
α
P=(x,y)
y
x
1
(-y,x)
-x
-y
π/2
(y,-x)
x
-y
-π/2
x
y
To oznacza, ˙ze dodawanie/odejmowanie dowolnej wielokrotno´sci k ˛
ata π do argumentu
którejkolwiek funkcji trygonometrycznej nie zmienia warto´sci bezwzgl˛ednej tej funkcji (czy-
li co najwy ˙zej zmienia jej znak). Podobnie w przypadku zamiany k ˛
ata na k ˛
at przeciwny. W
szczególno´sci uzasadnili´smy równo´s´c
f unkcja
k
·
π
2
±
α
= ±
f unkcja
(
α
)
je ˙zeli k jest parzyste
Podobnie, łatwo sprawdzi´c na okr˛egu jednostkowym, ˙ze dodatnie/odj˛ecie do k ˛
ata α k ˛
ata
π
2
,
powoduje zamian˛e warto´sci bezwzgl˛ednych współrz˛ednych punktu P (czyli współrz˛edne
te zamieniaj ˛
a si˛e miejscami i ewentualnie zmieniaj ˛
a znaki). W poł ˛
aczeniu z uzasadnion ˛
a ju ˙z
niezmienniczo´sci ˛
a na dodawanie/odejmowanie wielokrotno´sci k ˛
ata π, oraz na zmian˛e k ˛
ata
na przeciwny, daje nam to
f unkcja
k
·
π
2
±
α
= ±
ko f unkcja
(
α
)
je ˙zeli k jest nieparzyste.
Pozostało ustali´c jaki powinien by´c znak z prawej strony tych wzorów. Aby to zrobi´c, wy-
starczy sprawdzi´c jakie s ˛
a znaki obu stron dla jednego dowolnie wybranego k ˛
ata. Je ˙zeli
wybierzemy k ˛
at ostry α, to zarówno f unkcja
(
α
)
jak i ko f unkcja
(
α
)
s ˛
a dodatnie i za ε trzeba
wzi ˛
a´c znak wyra ˙zenia f unkcja k
·
π
2
±
α
Funkcje sumy i ró˙znicy k ˛
atów
Twierdzenie 11
Dla dowolnych α, β
∈
R prawdziwe s ˛a wzory
sin
(
α
+
β
) =
sin α cos β
+
sin β cos α
cos
(
α
+
β
) =
cos α cos β
−
sin α sin β.
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Dowód
W dowodzie u ˙zyjemy rachunku wektorowego. Zacznijmy od narysowania w układzie współ-
rz˛ednych wektora jednostkowego
→
OP o pocz ˛
atku w punkcie O i tworz ˛
acego z osi ˛
a Ox k ˛
at
α
.
α
O
P
P'
R
β
α
O
P
R
α
cos( α)
sin( α)
cos( α)
-sin( α)
x
x'
x'
y'
y'
x
y
y
Wtedy P
= (
cos α, sin α
)
. Niech
→
OP
0
b˛edzie wektorem, który powstaje z
→
OP przez obrót
wzgl˛edem punktu O o k ˛
at β. Oczywi´scie
P
0
= (
cos
(
α
+
β
)
, sin
(
α
+
β
))
.
Spróbujemy teraz wyliczy´c współrz˛edne punktu P
0
w inny sposób.
Niech Ox
0
y
0
b˛edzie układem współrz˛ednych, który powstaje z Oxy przez obrót wzgl˛e-
dem punktu O o k ˛
at α. W szczególno´sci o´s Ox
0
jest wyznaczona przez wektor
→
OP
= [
cos α, sin α
]
.
W takim razie druga o´s jest wyznaczona przez wektor
→
OR, który jest prostopadły do
→
OP. Ła-
two odgadn ˛
a´c współrz˛edne tego wektora:
→
OR
= [−
sin α, cos α
]
(prawy obrazek).
W układzie współrz˛ednych Ox
0
y
0
wektor
→
OP
0
ma współrz˛edne
[
cos β, sin β
]
(bo tworzy
k ˛
at β z osi ˛
a Ox
0
), co nam daje nast˛epuj ˛
ace współrz˛edne w układzie Oxy.
→
OP
0
=
cos β
·
→
OP
+
sin β
·
→
OR
=
cos β
· [
cos α, sin α
] +
sin β
· [−
sin α, cos α
] =
= [
cos β cos α
−
sin β sin α, cos β sin α
+
sin β cos α
]
.
W poł ˛
aczeniu z wcze´sniej zauwa ˙zon ˛
a równo´sci ˛
a
→
OP
0
= [
cos
(
α
+
β
)
, sin
(
α
+
β
)]
daje to nam ˙z ˛
adane równo´sci.
Twierdzenie 12
Dla dowolnych α, β
∈
R prawdziwe s ˛a wzory
sin
(
α
−
β
) =
sin α cos β
−
sin β cos α
cos
(
α
−
β
) =
cos α cos β
+
sin α sin β.
Materiał pobrany z serwisu
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Dowód
Podstawiamy we wzorach z poprzedniego twierdzenia
−
β
zamiast β.
Twierdzenie 13
tg
(
α
+
β
) =
tg α
+
tg β
1
−
tg α tg β
tg
(
α
−
β
) =
tg α
−
tg β
1
+
tg α tg β
.
Dowód
Liczymy (korzystaj ˛
ac z Twierdzenia 11)
tg
(
α
+
β
) =
sin
(
α
+
β
)
cos
(
α
+
β
)
=
sin α cos β
+
sin β cos α
cos α cos β
−
sin α sin β
=
=
sin α cos β
+
sin β cos α
cos α cos β
cos α cos β
−
sin α sin β
cos α cos β
=
tg α
+
tg β
1
−
tg α tg β
.
Drugi wzór otrzymujemy z pierwszego podstawiaj ˛
ac
−
β
zamiast β.
Funkcje podwojonego k ˛
ata
Twierdzenie 14
sin 2α
=
2 sin α cos α
cos 2α
=
cos
2
α
−
sin
2
α
=
2 cos
2
α
−
1
=
1
−
2 sin
2
α
tg 2α
=
2 tg α
1
−
tg
2
α
Dowód
Pierwsze dwa wzory otrzymujemy podstawiaj ˛
ac β
=
α
w Twierdzeniu 11 oraz korzystaj ˛
ac
z jedynki trygonometrycznej. Trzeci wzór otrzymujemy bior ˛
ac α
=
β
w Twierdzeniu 13.
Twierdzenie 15
Je ˙zeli oznaczymy t
=
tg
α
2
to
sin α
=
2t
1
+
t
2
cos α
=
1
−
t
2
1
+
t
2
tg α
=
2t
1
−
t
2
.
Materiał pobrany z serwisu
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Dowód
Liczymy (korzystamy z Twierdzenia 14)
sin α
=
2 sin
α
2
cos
α
2
=
2 sin
α
2
cos
α
2
sin
2 α
2
+
cos
2 α
2
=
=
2 sin
α
2
cos
α
2
cos
2 α
2
sin
2 α
2
+
cos
2 α
2
cos
2 α
2
=
2 tg
α
2
tg
2 α
2
+
1
=
2t
t
2
+
1
.
Podobnie liczymy dla cosinusa.
cos α
=
cos
2
α
2
−
sin
2
α
2
=
cos
2 α
2
−
sin
2 α
2
sin
2 α
2
+
cos
2 α
2
=
=
cos
2 α
2
−
sin
2 α
2
cos
2 α
2
sin
2 α
2
+
cos
2 α
2
cos
2 α
2
=
1
−
tg
2 α
2
tg
2 α
2
+
1
=
1
−
t
2
t
2
+
1
.
Jeszcze wzór dla tangensa.
tg α
=
sin α
cos α
=
2t
1
+
t
2
1
−
t
2
1
+
t
2
=
2t
1
−
t
2
.
Sumy i ró˙znice funkcji
Twierdzenie 16
sin α
+
sin β
=
2 sin
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
cos α
+
cos β
=
2 cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
sin α
−
sin β
=
2 sin
α
−
β
2
cos
α
+
β
2
cos α
−
cos β
= −
2 sin
α
−
β
2
sin
α
+
β
2
.
Dowód
Je ˙zeli w pierwszym wzorze podstawimy
−
β
zamiast β, otrzymamy trzeci wzór. Podobnie,
podstawiaj ˛
ac π
−
β
w drugim wzorze, otrzymamy czwarty wzór. Wystarczy zatem udo-
wodni´c dwa pierwsze wzory.
Materiał pobrany z serwisu
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Liczymy (korzystamy z Twierdze ´n 11 i 12)
sin α
+
sin β
=
sin
α
+
β
2
+
α
−
β
2
+
sin
α
+
β
2
−
α
−
β
2
=
=
sin
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
+
sin
α
−
β
2
cos
α
+
β
2
+
+
sin
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
−
sin
α
−
β
2
cos
α
+
β
2
=
=
2 sin
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
.
Podobnie jest z drug ˛
a równo´sci ˛
a
cos α
+
cos β
=
cos
α
+
β
2
+
α
−
β
2
+
cos
α
+
β
2
−
α
−
β
2
=
=
cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
−
sin
α
−
β
2
sin
α
+
β
2
+
+
cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
+
sin
α
−
β
2
sin
α
+
β
2
=
=
2 cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
.
Warto´sci funkcji trygonometrycznych dla wybranych k ˛
atów.
Twierdzenie 17
k ˛
at
π
6
π
4
π
3
sinus
1
2
√
2
2
√
3
2
cosinus
√
3
2
√
2
2
1
2
Dowód
Zacznijmy od k ˛
ata
π
4
. Rysujemy połówk˛e kwadratu o boku 1.
1
1
2
π
4
1
1
3
π
3
π
6
2
1
2
Przek ˛
atna tego kwadratu ma długo´s´c
√
2, wi˛ec
sin
π
4
=
cos
π
4
=
1
√
2
=
√
2
2
.
Materiał pobrany z serwisu
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Aby uzasadni´c pozostałe równo´sci rysujemy trójk ˛
at równoboczny o boku 1. Z twierdzenia
Pitagorasa łatwo wyliczy´c, ˙ze wysoko´s´c tego trójk ˛
ata jest równa
√
3
2
. Daje to nam
sin
π
6
=
1
2
cos
π
6
=
√
3
2
sin
π
3
=
√
3
2
cos
π
3
=
1
2
.
Twierdzenie 18
cos
π
5
=
1
+
√
5
4
sin
π
5
=
p
10
−
2
√
5
4
Dowód
Korzystamy ze wzorów na sin 2α i cos 2α (Twierdzenie 14) oraz ze wzoru sin
(
π
−
α
) =
sin α.
sin
π
5
=
sin
4π
5
=
2 sin
2π
5
cos
2π
5
=
4 sin
π
5
cos
π
5
(
2 cos
2
π
5
−
1
)
sin
π
5
=
4 sin
π
5
cos
π
5
(
2 cos
2
π
5
−
1
)
/ : sin
π
5
1
=
4 cos
π
5
(
2 cos
2
π
5
−
1
)
.
Podstawiamy teraz t
=
cos
π
5
.
1
=
4t
(
2t
2
−
1
)
8t
3
−
4t
−
1
=
0.
Łatwo znale´z´c pierwiastek t
= −
1
2
tego równania. Dzielmy wi˛ec przez 2t
+
1.
8t
3
−
4t
−
1
= (
8t
3
+
4t
2
) − (
4t
2
+
2t
) − (
2t
+
1
) = (
2t
+
1
)(
4t
2
−
2t
−
1
)
.
Wiemy, ˙ze cos
π
5
jest dodatni, wi˛ec jest to dodatni pierwiastek równania kwadratowego w
nawiasie
4t
2
−
2t
−
1
=
0
∆
=
4
+
16
=
20
t
=
2
+
2
√
5
8
=
1
+
√
5
4
cos
π
5
=
1
+
√
5
4
.
Z jedynki trygonometrycznej wyliczamy
sin
π
5
=
r
1
−
cos
2
π
5
=
s
1
−
1
+
2
√
5
+
5
16
=
p
10
−
2
√
5
4
.
Materiał pobrany z serwisu
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Zadania
.info
Podoba Ci się ten poradnik?
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
T
IPS
& T
RICKS
1
Definicja funkcji trygonometrycznych przy pomocy okr˛egu jednostkowego jest bardzo wy-
godna, bo pozwala zdefiniowa´c te funkcje dla dowolnej warto´sci k ˛
ata. Jest ona równie ˙z
historycznie wcze´sniejsza od definicji u ˙zywaj ˛
acej trójk ˛
ata prostok ˛
atnego.
Z drugiej strony, definicja funkcji w trójk ˛
acie prostok ˛
atnym (Fakt 2) jest o wiele prostsza
i lepiej oddaje geometryczny charakter funkcji trygonometrycznych.
2
Zaznaczaj ˛
ac k ˛
aty w układzie współrz˛ednych zwykle rysowali´smy ostry k ˛
at α. Warto jed-
nak zada´c sobie trud i posprawdza´c, ˙ze rysuj ˛
ac k ˛
aty w innych ´cwiartkach nasze argumenty
pozostaj ˛
a bez zmian.
3
Jedynka trygonometryczna (Twierdzenie 3) jest dokładnie zapisem twierdzenia Pitagorasa –
szczególnie dobrze to wida´c patrz ˛
ac na definicje sinusa i cosinusa w trójk ˛
acie prostok ˛
atnym.
4
Twierdzenie 6 jest zwykle uczone w postaci formułki w pierwszej wszystkie s ˛
a dodatnie, w
drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.
5
Twierdzenie 7 na ogół pojawia si˛e w podr˛ecznikach w postaci liczba 2π jest okresem funk-
cji.... My wykazujemy jednak znacznie wi˛ecej: pokazujemy, ˙ze ˙zadna mniejsza liczba nie jest
okresem tych funkcji. Podobnie w przypadku Twierdzenia 8.
6
Nasz dowód Twierdzenia 9 nie jest w pełni precyzyjny, ale za to bardzo geometryczny.
Precyzyjny dowód mo ˙zna przeprowadzi´c u ˙zywaj ˛
ac wzorów na ró ˙znice funkcji trygonome-
trycznych (Twierdzenie 16).
7
Twierdzenie 10 zawiera najogólniejsz ˛
a posta´c wzorów redukcyjnych i pomimo swojego po-
zornego skomplikowania, jest to najlepszy sposób na zapami˛etanie wszystkich wzór reduk-
cyjnych na raz.
Wzór ten jest formalnym zapisaniem tego, ˙ze obracaj ˛
ac si˛e na okr˛egu co 90
◦
zamieniamy
współrz˛edne punktu ze sob ˛
a i zmieniamy znak jednej z nich. Gdy si˛e to dokładnie napisze
wyjdzie Twierdzenie 10.
Materiał pobrany z serwisu
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
8
Twierdzenie 11 jest zdecydowanie najwa ˙zniejszym twierdzeniem trygonometrii. Wszystkie
to ˙zsamo´sci trygonometryczne s ˛
a jego konsekwencjami: jedynk˛e otrzymujemy bior ˛
ac α
=
β
w wzorze na cos
(
α
−
β
)
, ka ˙zdy wzór redukcyjny jest tej postaci, wzory na sumy i ró ˙znice
funkcji s ˛
a konsekwencjami tych wzorów – Twierdzenie 16.
9
Przedstawiony dowód Twierdzenia 11 jest bardzo elegancki z kilku powodów. Przed wszyst-
kim, nie trzeba w nim nic zakłada´c o k ˛
atach α i β – w wi˛ekszo´sci innych dowodów tego
twierdzenia, dowodzi si˛e tych wzorów przy zało ˙zeniu 0
<
α
, β
<
π
2
, a potem przechodzi
si˛e do sytuacji ogólnej ze wzorów redukcyjnych. Przy naszym podej´sciu, wzory redukcyjne
mo ˙zemy traktowa´c jako wniosek z Twierdzenia 11.
Kolejn ˛
a zalet ˛
a tego dowodu jest to, ˙ze otrzymujemy oba wzory (na sinus sumy i cosinus
sumy) jednocze´snie. Wbrew pozorom, otrzymanie z jednego wzoru z drugiego jest do´s´c
podchwytliwe. Je ˙zeli np. umiemy udowodni´c wzór na sinus sumy dla k ˛
atów ostrych, to
nie ma prostego sposobu na wyprowadzenie st ˛
ad wzoru na cosinus sumy. Sztuczki w stylu
zamiana α na
π
2
+
α
wymagaj ˛
a znajomo´sci wzoru na sinus sumy dla k ˛
atów wi˛ekszych od
π
2
,
a tego wi˛ekszo´s´c innych dowodów nie daje.
10
O dowodzie Twierdzenia 11 nale ˙zy my´sle´c nast˛epuj ˛
aco. Uzasadnili´smy, ˙ze pomi˛edzy współ-
rz˛ednymi
(
x, y
)
w układzie Oxy, a współrz˛ednymi
(
x
0
, y
0
)
w układzie Ox
0
y
0
zachodzi zwi ˛
a-
zek
[
x, y
] =
x
0
·
→
OP
+
y
0
·
→
OR
= [
x
0
cos α
−
y
0
sin α, x
0
sin α
+
y
0
cos α
]
.
O wzorze tym nale ˙zy my´sle´c jak o wzorze na współrz˛edne punktu
(
x
0
, y
0
)
po obrocie o k ˛
at
α
. Je ˙zeli teraz do tego wzoru wstawimy punkt P
= (
cos β, sin β
)
to trzymamy współrz˛edne
punktu P
0
= (
cos
(
α
+
β
)
, sin
(
α
+
β
))
.
11
Wzory z Twierdzenia 11 maj ˛
a bardzo prost ˛
a interpretacj˛e geometryczn ˛
a w j˛ezyku twierdze-
nia sinusów. Zajmiemy si˛e tylko pierwszym wzorem.
Je ˙zeli trójk ˛
at o k ˛
atach α i β jest wpisany w okr ˛
ag o ´srednicy 1, to z twierdzenia sinusów
łatwo zauwa ˙zy´c, ˙ze jego boki maj ˛
a długo´sci sin α, sin β i sin
(
α
+
β
)
.
α
β
A
B
C
A
B
C
γ
sin α
D
β
α
sin β
sin (α+β)
sin α
sin β
Wtedy wzór na sinus sumy sprowadza si˛e do równo´sci BA
=
BD
+
DA, gdzie CD jest
wysoko´sci ˛
a opuszczon ˛
a na bok AB.
Po interpretacj˛e drugiego wzoru, jak i po inne dowody Twierdzenia 11 odsyłam czytel-
nika do
Materiał pobrany z serwisu
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
12
Twierdzenie 15 ma du ˙ze znaczenie teoretyczne, bo pokazuje, ˙ze wykonuj ˛
ac podstawienie z
jego tre´sci, mo ˙zna dowolne wyra ˙zenie z funkcjami trygonometrycznymi zamieni´c na wyra-
˙zenie bez funkcji trygonometrycznych (o ile wszystkie funkcje maj ˛
a tren sam argument!). W
praktyce jest to nagminnie stosowane w rachunku całkowym.
13
Twierdzenie 18 jest blisko zwi ˛
azane z geometri ˛
a pi˛eciok ˛
ata foremnego i ma prosty dowód
geometryczny –
14
W Twierdzeniach 17 i 18 wypisali´smy tylko warto´sci funkcji sinus i cosinus, ale wyliczenie
z nich warto´sci funkcji tangens i cotangens jest ju ˙z natychmiastowe.
15
Wyznaczone wzory na funkcje trygonometryczne k ˛
atów
π
3
,
π
4
,
π
5
,
π
6
s ˛
a blisko zwi ˛
azane z fak-
tem, ˙ze trójk ˛
at równoboczny, kwadrat, pi˛eciok ˛
at i sze´sciok ˛
at foremny mo ˙zna skonstruowa´c
przy pomocy cyrkla i linijki. Tymczasem mo ˙zna udowodni´c, ˙ze nie da si˛e skonstruowa´c
siedmiok ˛
ata foremnego, co wi ˛
a ˙ze si˛e tym, ˙ze nie ma wzorków na funkcje k ˛
ata
π
7
.
Co ciekawe, mo ˙zna skonstruowa´c 17-k ˛
at foremny, co oznacza, ˙ze s ˛
a wzorki na sin
π
17
i
cos
π
17
. Wzory te jednak s ˛
a do´s´c skomplikowane:
sin
π
17
=
s
2ε
2
−
2
√
2
q
34
+
6
√
17
+
√
2
(
√
17
−
1
)
ε
−
8
√
2ε
+
ε
8
cos
π
17
=
s
30
+
2
√
17
+
2
√
2
q
34
+
6
√
17
+
√
2
(
√
17
−
1
)
ε
−
8
√
2ε
+
ε
8
,
gdzie ε
=
p
17
+
√
17 i ε
=
p
17
−
√
17.
Wzorki te znał ju ˙z Gauss pod koniec XVIII wieku.
Materiał pobrany z serwisu
15
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ściąga matma funkcje trygonomertyczne
funkcje trygonometryczne I, Poziom rozszerzony
Wzory funkcji trygonometrycznych
funkcja trygonomczetryczna GE5VN7HOUAFV3BTLDU2WB6F33YC37MYVXEJVYEQ
Wykresy funkcji trygonometrycznej
FUNKCJA TRYGONOMETRYCZNA
Ca│ki funkcji trygonometrycznych
matematyka funkcja trygonometryczna
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
Funkcje trygonometryczne (2)
Funkcje trygonometryczne, Sprawdziany, Liceum, Matematyka
funkcje trygonometryczne
4 Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne
calkowanie funkcji trygonometrycznych
Funkcje trygonometryczne
więcej podobnych podstron