2013-04-03

1

EKONOMETRIA II

Wykład 5 Weryfikacja założeń KMNK

Dorota Perło
Wydział Ekonomii i Zarządzania, Uniwersytet w Białymstoku

2

Weryfikacja

modelu

Weryfikacja

merytoryczna

Interpretacja ocen

parametrów modelu

Sprawdzenie
sensowno

ś

ci

znaków ocen

parametrów modelu

Weryfikacja

statystyczna

Badanie stopnia

zgodno

ś

ci modelu z

danymi

empirycznymi

Badanie jako

ś

ci

ocen parametrów

strukturalnych

Badanie rozkładu

odchyle

ń

losowych

2013-04-03

2

3

Badanie rozkładu odchyle

ń

losowych

Trafno

ść

doboru

postaci analitycznej

modelu

Test serii

Test White’a

Normalno

ść

składnika

losowego

Test Shapiro-Wilka

Test zgodno

ś

ci

Jarque’a-Bery

Autokorelacja

składnika losowego

Test Durbina-Watsona

Test mno

ż

nika

Lagrange’a

Heteroskedastyczno

ść

składnika losowego

Test Harrisona-

McCabe’a

Test White’a

Trafność doboru postaci analitycznej modelu

Punktem wyjścia jest sprawdzenie, czy model liniowy poprawnie
opisuje zależność pomiędzy zmienną objaśnianą a zmiennymi
objaśniającymi.

4

Test serii

Test White’a

,

1

0

2

2

1

1

0

∑

=

ξ

+

α

+

α

=

ξ

+

α

+

+

α

+

α

+

α

=

k

j

i

ji

j

i

ki

k

i

i

i

x

x

x

x

y

K

2013-04-03

3

Test serii

Punktem wyjścia jest ciąg reszt.
Rozróżniamy w nim dwa rodzaje
elementów:

reszty dodatnie i

reszty ujemne, reszty równe zero
pomijamy.

5

Obserwacja

Składniki resztowe

1

0,16787116

2

0,559748215

3

1,815755165

4

0,743710025

5

2,149981766

6

0,900438857

7

0,363248207

8

-0,509076864

9

-0,049781849

10

0,859882088

11

0,421425634

12

-0,062153733

13

-0,798335669

14

-2,888755159

15

-2,652929139

16

-1,982270413

17

-0,711050207

18

1,030370297

19

0,828895714

20

-0,186974095

Test serii

Serią

nazywamy

każdy

podciąg

jednakowych

elementów,

który

poprzedzony

jest

i

po

którym następuje element
różny

od

elementów

podciągu

6

Obserwacja

Składniki resztowe

a lub b

serie

1

0,16787116

a

1

2

0,559748215

a

3

1,815755165

a

4

0,743710025

a

5

2,149981766

a

6

0,900438857

a

7

0,363248207

a

8

-0,509076864

b

2

9

-0,049781849

b

10

0,859882088

a

3

11

0,421425634

a

12

-0,062153733

b

4

13

-0,798335669

b

14

-2,888755159

b

15

-2,652929139

b

16

-1,982270413

b

17

-0,711050207

b

18

1,030370297

a

5

19

0,828895714

a

20

-0,186974095

b

6

2013-04-03

4

Test serii

Jeżeli model jest modelem z jedną zmienną objaśniającą to
porządkujemy reszty w kolejności odpowiadającej rosnącym
wartościom zmiennej objaśniającej

7

Nr

zakładu

Koszty

jednostkowe

(tys. zł)

Wielko

ść

produkcji

(tys. szt.)

t

y

t

x

t

1

5,8

10

2

8

3,6

3

6,1

4,1

4

15

40

5

8,5

20

6

12

35

7

5

5

8

9,1

26

9

5,6

8

10

9,8

30

11

9

3

12

10

32

13

6,2

15

14

6,7

18

15

16

41

t

t

x

y

2

,

0

87

,

4

ˆ

+

=

Test serii

8

Nr

zakładu

Koszty

jednostkowe

(tys. zł)

Wielko

ść

produkcji

(tys. szt.)

Składniki

resztowe

t

y

t

x

t

e

t

1

5,8

10

-1,122996694

2

8

3,6

2,394077346

3

6,1

4,1

0,391180937

4

15

40

1,903218744

5

8,5

20

-0,480924881

6

12

35

-0,067817162

7

5

5

-0,8940326

8

9,1

26

-1,115681793

9

5,6

8

-0,911411056

10

9,8

30

-1,238853068

11

9

3

3,517553038

12

10

32

-1,450438706

13

6,2

15

-1,751960787

14

6,7

18

-1,869339243

15

16

41

2,697425926

Nr

zakładu

Koszty

jednostkowe

(tys. zł)

Wielko

ść

produkcji

(tys. szt.)

Uporz

ą

dkowane

reszty

t

y

t

x

t

e

(t)

1

9

3

3,517553038

2

8

3,6

2,394077346

3

6,1

4,1

0,391180937

4

5

5

-0,8940326

5

5,6

8

-0,911411056

6

5,8

10

-1,122996694

7

6,2

15

-1,751960787

8

6,7

18

-1,869339243

9

8,5

20

-0,480924881

10

9,1

26

-1,115681793

11

9,8

30

-1,238853068

12

10

32

-1,450438706

13

12

35

-0,067817162

14

15

40

1,903218744

15

16

41

2,697425926

2013-04-03

5

Jeżeli weryfikowany model jest modelem o wielu zmiennych
objaśniających, a dane statystyczne stanowią szeregi czasowe, to
porządkujemy reszty według numerów okresów obserwacji

W przypadku weryfikacji modelu o wielu zmiennych objaśniających
z danymi statystycznymi w postaci danych przekrojowych reszty
można

uporządkować

według

rosnących

wartości

wybranej

zmiennej objaśniającej

Po uporządkowaniu ciągu reszt resztom dodatnim przypisujemy
symbol A, a resztom ujemnym – symbol B

Test serii

9

H

0

: oszacowany model ekonometryczny jest liniowy

H

A

: oszacowany model ekonometryczny nie jest liniowy

W oszacowanym ciągu symboli A i B obliczamy liczbę serii r.

Test serii

10

Obserwacja

Składniki

resztowe

a lub b

serie

1

0,16787116

a

1

2

0,559748215

a

3

1,815755165

a

4

0,743710025

a

5

2,149981766

a

6

0,900438857

a

7

0,363248207

a

8

-0,509076864

b

2

9

-0,049781849

b

10

0,859882088

a

3

11

0,421425634

a

12

-0,062153733

b

4

13

-0,798335669

b

14

-2,888755159

b

15

-2,652929139

b

16

-1,982270413

b

17

-0,711050207

b

18

1,030370297

a

5

19

0,828895714

a

20

-0,186974095

b

6

Liczba symboli A n

1

= 11

Liczba symboli B n

2

= 9

Liczba serii r = 6

2013-04-03

6

Krytyczna liczba serii r* zależy od przyjętego poziomu istotności

α

, liczby symboli A w ciągu reszt – n

1

i liczby symboli B w ciągu

reszt – n

2

.

Test serii

11

Wartości krytyczne testu serii

12

α

αα

α

=0,05

n

1

n

2

2 3

4

5

6

7

8

9 10

11 12 13 14

15 16 17 18

19

20

2

3

4

2

5

2

2

3

6

2

3

3

3

7

2

3 3 4

4

8

2 2 3 3 4

4 5

9

2 2

3 4 4

5 5

6

10

2 3

3

4

5

5

6

6

6

11

2 3

3

4

5

5

6

6

7

7

12

2 3

4

4

5

6

6

7

7

8

8

13

2 3

4

4

5

6

6

7

8

8

9

9

14

2 3

4

5

5

6

7 7

8

8

9

9 10

15

2 3

4

5

6

6

7

8

8

9

9 10 10

11

16

2 3

4

5

6

6

7

8

8

9 10 10 11

11 11

17

2 3

4

5

6

7

7

8

9

9 10 10 I1

11 12 12

18

2 3

4

5

6

7

8

8

9

10 10 11 1I

12 12 13 13

19

2 3

4

5

6

7

8

8

9

10 10 11 12

12 13 13 14

14

20

2 3

4

5

6

7

8

9

9

10 11 11 12

12 13 13 14

14

15

α

α

=

≤

)

(

2

1

,

,

n

n

k

k

P

2013-04-03

7

Podjęcie decyzji weryfikacyjnej

Jeżeli r ≤ r*, to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy
alternatywnej

Jeżeli r

>>>>

r*, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o

liniowej

zależności

zmiennej

objaśnianej

od

zmiennych

objaśniających

Test serii

13

Liczba symboli A n

1

= 11

Liczba symboli B n

2

= 9

Liczba serii r = 6, r* = 6

Koszty

jednostkowe

w tys. zł

Wielkość produkcji

w tys. szt.

14

Wykres punktowy

2013-04-03

8

Koszty

jednostkowe

w tys. zł

Wielkość produkcji

w tys. szt.

15

Wykres punktowy z liniową funkcją trendu

Jeżeli liczba reszt dodatnich n

1

i ujemnych n

2

przekracza 20, to

wraz ze wzrostem liczby n

1

i n

2

rozkład liczby serii dąży do

rozkładu normalnego

Wówczas do oceny losowości ciągu reszt można wykorzystać
statystykę:

Test serii

16

Gdzie:
r – liczba serii,
E(r) – średnia,

σ

r

– odchylenie standardowe.

r

r

E

r

Z

σ

−

=

)

(

Statystyka Z ma asymptotyczny rozkład normalny N(0, 1)

)

1

(

)

(

)

2

(

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

−

+

+

−

−

=

σ

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

r

1

2

)

(

2

1

2

1

+

+

=

n

n

n

n

r

E

2013-04-03

9

Test oparty na mnożnikach Lagrange’a

H

0

: zależność liniowa

H

A

: zależność nieliniowa - logarytmiczna

Model podstawowy:

Test White’a

nieliniowości (logarytmy)

17

i

ki

k

i

i

i

x

x

x

y

ξ

+

α

+

+

α

+

α

+

α

=

K

2

2

1

1

0

Model pomocniczy:

i

ki

k

i

i

ki

k

i

i

i

x

x

x

x

x

x

e

ε

+

γ

+

+

γ

+

γ

+

β

+

+

β

+

β

+

β

=

ln

ln

ln

2

2

1

1

2

2

1

1

0

K

K

Statystyka T*R

2

, gdzie:

T oznacza liczbę obserwacji,
R

2

współczynnik determinacji równania pomocniczego

ma rozkład

χ

2

z k stopniami swobody dla ustalonego poziomu

istotności.

Jeżeli T*R

2

>

χχχχ

2222

, to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść

hipotezy alternatywnej. Model może być nieliniowy.

Jeżeli T*R

2

<

χχχχ

2222

, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

zerowej o liniowej zależności zmiennej objaśnianej od zmiennych
objaśniających.

Test White’a

nieliniowości (logarytmy)

18

2013-04-03

10

Test oparty na mnożnikach Lagrange’a

H

0

: zależność liniowa

H

A

: zależność nieliniowa - kwadratowa

Model podstawowy:

Test White’a

nieliniowości (kwadraty)

19

i

ki

k

i

i

i

x

x

x

y

ξ

+

α

+

+

α

+

α

+

α

=

K

2

2

1

1

0

Model pomocniczy:

i

ki

k

i

i

ki

k

i

i

i

x

x

x

x

x

x

e

ε

+

γ

+

+

γ

+

γ

+

β

+

+

β

+

β

+

β

=

2

2
2

2

2

1

1

2

2

1

1

0

K

K

H

0

: zależność liniowa

H

A

: zależność nieliniowa – kwadraty i sześciany teoretycznych

wartości y

Model podstawowy:

Test nieliniowości

(specyfikacji Ramsey’s RESET)

20

i

ki

k

i

i

i

x

x

x

y

ξ

+

α

+

+

α

+

α

+

α

=

K

2

2

1

1

0

Model pomocniczy:

i

i

i

ki

k

i

i

i

y

y

x

x

x

y

ε

+

γ

+

γ

+

β

+

+

β

+

β

+

β

=

3

2

2

1

2

2

1

1

0

ˆ

ˆ

K

2013-04-03

11

Statystyka F:

RSS

1

– suma kwadratów reszt modelu podstawowego,

RSS

2

– suma kwadratów reszt modelu pomocniczego.

Statystyka F ma rozkład F-Snedecora o parametrach

γ

, 2, n-k-1

Jeżeli wartość statystyki F jest większa od wartości krytycznej to
należy odrzucić H

0

Jeżeli wartość statystyki F jest mniejsza lub równa wartości
krytycznej to nie ma podstaw do odrzucenia H

0

21

Test nieliniowości

(specyfikacji Ramsey’s RESET)

)

3

/(

2

/

)

(

2

2

1

−

−

−

=

k

n

RSS

RSS

RSS

F

Badanie autokorelacji składnika losowego

Autokorelacja odchyleń losowych oznacza liniową zależność
między odchyleniami losowymi z różnych jednostek czasu.

Miarą siły i kierunku autokorelacji odchyleń losowych

ξ

t

z okresu

t i odchyleń losowych

ξ

t-1

z okresu t-1 jest współczynnik korelacji:

)

,

(

1

t

t

−−−−

====

ξξξξ

ξξξξ

ρρρρ

ρρρρ

Przyczyny występowania zjawiska autokorelacji składnika

losowego w modelu:

1.

natura procesów gospodarczych,

2.

niepoprawna postać analityczna modelu,

3.

niepełny zestaw zmiennych objaśniających.

22

2013-04-03

12

proces autokorelacji I-o rz

ę

du

Autokorelacja składnika losowego

23

W klasycznym modelu:

( )

I

ξ

2

2

σ

=

D

Niech

t

1

t

t

t

η

+

ρξ

=

ξ

−

∧

, gdzie

1

<

ρ

0

E

t

t

=

η

∧

i

oraz

( )

I

η

2

2

η

σ

=

D

=

ξ

∧

t

2

t

D

(

)

=

η

+

ρξ

−

t

1

t

2

D

(

)

0

;

cov

t

i

t

,...

1

i

t

=

η

ξ

−

=

∧

∧

i

(

)

=

η

+

ρξ

−

t

2

1

t

2

D

D

=

η

+

ξ

ρ

=

−

t

2

1

t

2

2

D

D

=

σ

+

σ

ρ

η

2

2

2

2

σ

0

2

2

2

2

σ

=

σ

+

σ

ρ

η

2

2

2

1

1

η

σ

ρ

−

=

σ

(

)

=

ξ

ξ

−

=

=

∧

∧

i

t

t

,...

1

,

0

i

T

,...,

1

t

;

cov

(

)

=

ξ

η

+

ρξ

−

−

i

t

t

1

t

;

cov

(

)

(

)

=

ξ

η

+

η

+

ρξ

ρ

=

−

−

−

i

t

t

1

t

2

t

;

cov

(

)

=

ξ

η

+

ρη

+

ξ

ρ

=

−

−

−

i

t

t

1

t

2

t

2

;

cov

(

)

(

)

=

ξ

η

+

ρη

+

η

+

ρξ

ρ

=

−

−

−

−

i

t

t

1

t

2

t

3

t

2

;

cov

(

)

=

ξ

η

+

ρη

+

η

ρ

+

ξ

ρ

=

−

−

−

−

i

t

t

1

t

2

t

2

3

t

3

;

cov

=















ξ

η

ρ

+

ξ

ρ

=

−

−

−

=

−

∑

i

t

j

t

1

i

0

j

j

i

t

i

;

cov

(

)

=















ξ

η

ρ

+

ξ

ξ

ρ

=

−

−

=

−

−

−

∑

i

t

1

i

0

j

j

t

j

i

t

i

t

i

;

cov

;

cov

(

)

(

)

=

ξ

η

ρ

+

ξ

ξ

ρ

=

∑

−

=

−

−

−

−

1

i

0

j

i

t

j

t

j

i

t

i

t

i

;

cov

;

cov

(

)

=

ξ

η

ρ

+

σ

ρ

=

∑

−

=

−

−

1

i

0

j

i

t

j

t

j

2

i

;

cov

i

2

ρ

σ

( )





























ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

σ

=

−

−

−

−

1

1

1

2

T

1

T

2

T

1

T

2

2

L

M

L

M

M

L

L

ξ

D

24

2013-04-03

13

(

)

ρ

σ

=

ξ

ξ

−

=

∧

2

1

t

t

T

,...,

1

t

;

cov

(

)

1

t

t

1

t

t

T

,...,

1

t

D

D

;

cov

−

−

=

ξ

ξ

ξ

ξ

=

ρ

∧

współczynnik korelacji liniowej

Pearsona

estymator nieobciążony

współczynnika

ρ

∑

∑

∑

=

−

=

=

−

=

ρ

T

2

t

2

1

t

T

2

t

2

t

T

2

t

1

t

t

e

e

e

e

ˆ

25

Do weryfikacji hipotezy o braku autokorelacji odchyleń
losowych

ξ

t

i

ξ

t-1

:

H

0

:

ρ

=0

H

A

:

ρ≠

0

służy test Durbina-Watsona. Sprawdzianem tej hipotezy jest
statystyka:

Test Durbina-Watsona

(

)

∑

∑

=

=

−

−

=

T

1

t

2

t

T

2

t

2

1

t

t

e

e

e

d

(

)

ρ

−

≈

ˆ

1

2

d

W przypadku
dużej liczebności prób

26

2013-04-03

14

Test Durbina-Watsona

0

d

L

d

U

4-d

U

4-d

L

0

>

ρ

???

???

0

=

ρ

0

<

ρ

4

Wartość statystyki d zawarta jest w przedziale [0,4]. Zatem, jeżeli:

0

====

∧∧∧∧

ρρρρ

to d = 2

1

====

∧∧∧∧

ρρρρ

to d = 0

1

−−−−

====

∧∧∧∧

ρρρρ

to d = 4

27

Test Durbina-Watsona

0

d

L

d

U

4-d

U

0

>

ρ

???

0

=

ρ

Weryfikując hipotezy: H

0

:

ρ

= 0

H

A

:

ρ

> 0

dla ustalonego poziomu istotności

α

oraz parametrów n i k podane są

dwie wartości d

l

i d

u

wyznaczające obszar odrzuceń i obszar przyjęć

dla H

0

.

Kryteria podejmowania decyzji są następujące:

d ≤ d

l

H

0

odrzucamy

d

l

< d < d

u

nie podejmujemy żadnej decyzji

d

≥

d

u

nie mamy podstaw do odrzucenia H

0

28

2013-04-03

15

Test Durbina-Watsona

4-d

U

4-d

L

???

0

=

ρ

0

<

ρ

4

dla ustalonego poziomu istotności

α

oraz parametrów n i k podane są

dwie wartości d

l

i d

u

wyznaczające obszar odrzuceń i obszar przyjęć

dla H

0

.

Kryteria podejmowania decyzji są następujące:

d

≥

4 – d

l

H

0

odrzucamy

4- d

u

< d < 4 – d

l

nie podejmujemy żadnej decyzji

d ≤ 4 – d

u

nie mamy podstaw do odrzucenia H

0

Gdy weryfikujemy hipotezę : H

0

:

ρ

= 0

H

A

:

ρ

< 0,

Testu D-W nie należy stosować, jeżeli w modelu w roli zmiennej objaśniającej występuje
opóźniona zmienna objaśniana. Do weryfikacji hipotezy o braku autokorelacji w takim
przypadku można zastosować np. test mnożnika Lagrange’a.

29

Test mnożnika Lagrange’a

szacujemy model

t

tk

k

1

t

1

0

t

x

...

x

y

ξ

+

α

+

+

α

+

α

=

obliczamy reszty e

t

(t = 1,...,T)

(

)

tk

k

1

t

1

0

t

t

x

ˆ

...

x

ˆ

ˆ

y

e

α

+

+

α

+

α

−

=

szacujemy model pomocniczy (t = 2,...,T)

t

1

t

1

k

tk

k

1

t

1

0

t

e

x

...

x

e

ζ

+

β

+

β

+

+

β

+

β

=

−

+

obliczamy R

2

tego modelu

stawiamy hipotezy:

0

:

H

0

=

ρ

0

:

H

0

≠

ρ

30

T

0

T

>

>>

np.,

df

z

1

~

TR

2

2

χ

α

30

2013-04-03

16

Badanie normalności rozkładu

Test Shapiro-Wilka

Do weryfikowania hipotezy o normalności rozkładu
odchyleń losowych służy między innymi test Shapiro-
Wilka

H

0

: rozkład odchyleń losowych modelu jest normalny

H

A

: rozkład odchyleń losowych modelu nie jest normalny

Procedura testu Shapiro-Wilka jest następująca:
1. Porządkuje się reszty według wartości niemalejących

tak, że otrzymuje się ciąg reszt e(1), e(2), ..., e(n).

31

2. Oblicza się wartość statystyki

∑

∑

=

=

+

−

+

−

−









−

=

n

1

t

2

t

2

n/2

1

t

(t)

1)

t

(n

1

t

n

)

(

)

(

W

e

e

e

e

a

gdzie:
n/2 – część całkowita liczby n/2
a

n-t+1

– współczynniki Shapiro-Wilka

Badanie normalności rozkładu

Test Shapiro-Wilka

32

2013-04-03

17

33

WSPÓŁCZYNNIKI

DLA

TESTU

SHAPIRO-WILKA

i \ n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

0,7071

0,7071

0,6872

0,6646

0,6431

0,6431

0,6052

0,5888

0,5739

2

-

0,0000

0,1677

0,2413

0,2806

0,3031

0,3164

0,3244

0,3291

3

-

-

-

0,0000

0,0875

0,1401

0,1743

0,1976

0,2141

4

-

-

-

-

-

0,0000

0,0561

0,0947

0,1224

5

-

-

-

-

-

-

-

0,0000

0,0399

i \ n

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

0,5601

0,5475

0,5359

0,5251

0,5150

0,5056

0,4968

0,4886

0,4808

0,4734

2

0,3315

0,3325

0,3325

0,3318

0,3306

0,3290

0,3273

0,3253

0,3232

0,3211

3

0,2260

0,2347

0,2412

0,2460

0,2495

0,2521

0,2540

0,2553

0,2561

0,2565

4

0,1429

0,1586

0,1707

0,1802

0,1878

0,1939

0,1988

0,2027

0,2059

0,2085

5

0,0695

0,0922

0,1099

0,1240

0,1353

0,1447

0,1524

0,1587

0,1641

0,1686

6

0,0000

0,0303

0,0539

0,0727

0,0880

0,1005

0,1109

0,1197

0,1271

0,1334

7

-

-

0,0000

0,0240

0,0433

0,0593

0,0725

0,0837

0,0932

0,1013

8

-

-

-

-

0,0000

0,0196

0,0359

0,0496

0,0612

0,0711

9

-

-

-

-

-

-

0,0000

0,0163

0,0303

0,0422

10

-

-

-

-

-

-

-

-

0,0000

0,0140

34

WSPÓŁCZYNNIKI

DLA

TESTU

SHAPIRO-WILKA

i \ n

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

1

0,4643

0,4590

0,4542

0,4493

0,4450

0,4407

0,4366

0,4328

0,4291

0,4254

2

0,3185

0,3156

0,3126

0,3098

0,3069

0,3043

0,3018

0,2992

0,2968

0,2944

3

0,2578

0,2571

0,2563

0,2554

0,2543

0,2533

0,2522

0,2510

0,2499

0,2487

4

0,2119

0,2131

0,2139

0,2145

0,2148

0,2151

0,2152

0,2151

0,2150

0,2148

5

0,1736

0,1764

0,1787

0,1807

0,1822

0,1836

0,1848

0,1857

0,1864

0,1870

6

0,1399

0,1443

0,1480

0,1512

0,1539

0,1563

0,1584

0,1601

0,1616

0,1630

7

0,1092

0,1150

0,1201

0,1245

0,1283

0,1316

0,1346

0,1372

0,1395

0,1415

8

0,0804

0,0878

0,0941

0,0997

0,1046

0,1089

0,1128

0,1162

0,1192

0,1219

9

0,0530

0,0618

0,0696

0,0764

0,0823

0,0876

0,0923

0,0965

0,1002

0,1036

10

0,0263

0,0368

0,0459

0,0539

0,0610

0,0672

0,0728

0,0778

0,0822

0,0862

11

0,0000

0,0122

0,0228

0,0321

0,0403

0,0476

0,0540

0,0598

0,0650

0,0697

12

-

-

0,0000

0,0107

0,0200

0,0284

0,0358

0,0424

0,0483

0,0537

13

-

-

-

-

0,0000

0,0094

0,0178

0,0253

0,0320

0,0381

14

-

-

-

-

-

-

0,0000

0,0084

0,0159

0,0227

15

-

-

-

-

-

-

-

-

0,0000

0,0076

2013-04-03

18

3. Z tablic testu Shapiro-Wilka dla przyjętego poziomu istotności

α

odczytuje się wartość krytyczną W*

4. Jeżeli W

≥

W*, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

mówiącej, że rozkład odchyleń losowych jest normalny
Jeżeli W<W*, hipotezę zerową należy odrzucić na rzecz hipotezy
alternatywnej, co oznacza, ze rozkład odchyleń losowych nie jest
normalny

Badanie normalności rozkładu

Test Shapiro-Wilka

35

36

WARTOŚCI KRYTYCZNE DLA TESTU SHAPIRO-WILKA

γγγγ

n

0,01

0,02

0,05

0,10

3

0,753

0,756

0,767

0,789

4

0,687

0,707

0,748

0,792

5

0,686

0,715

0,762

0,806

6

0,713

0,743

0,788

0,826

7

0,730

0,760

0,803

0,838

8

0,749

0,778

0,818

0,851

9

0,764

0,791

0,829

0,859

10

0,781

0,806

0,842

0,869

11

0,792

0,817

0,850

0,876

12

0,805

0,828

0,859

0,883

13

0,814

0,837

0,866

0,889

14

0,825

0,846

0,874

0,895

15

0,835

0,855

0,881

0,901

16

0,844

0,863

0,887

0,906

17

0,851

0,869

0,892

0,910

18

0,858

0,874

0,897

0,914

19

0,863

0,879

0,901

0,917

20

0,868

0,884

0,905

0,920

21

0,873

0,888

0,908

0,923

22

0,878

0,892

0,911

0,926

23

0,881

0,895

0,914

0,928

24

0,884

0,898

0,916

0,930

25

0,888

0,901

0,918

0,931

26

0,891

0,904

0,920

0,933

27

0,894

0,906

0,923

0,935

28

0,896

0,908

0,924

0,936

29

0,898

0,910

0,926

0,937

30

0,900

0,912

0,927

0,939

2013-04-03

19

Ocena normalności rozkładu składnika resztowego odbywa się
przez wykorzystanie testu zgodności Jarque’a-Bery

H

0

: rozkład odchyleń losowych modelu jest normalny

H

A

: rozkład odchyleń losowych modelu nie jest normalny

Wartość statystyki JB wylicza się ze wzoru:

gdzie: S- miara skośności, K- kurtoza

Statystyka JB ma rozkład χ

2

z dwoma stopniami swobody

2

2

4

K

µ

µ

=

2

3

2

3

S

µ

µ

=

37













−

+

=

24

)

3

(

6

JB

2

2

K

S

n

Badanie normalności rozkładu

Test zgodności Jarque’a-Bery

38

Jeżeli JB

≥

χ

2

hipotezę zerową należy odrzucić na rzecz hipotezy

alternatywnej, co oznacza, ze rozkład odchyleń losowych nie
jest normalny

Jeżeli JB< χ

2

nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

mówiącej, że rozkład odchyleń losowych jest normalny

Wykorzystanie testu J-B z uwagi na asymptotyczną zbieżność
do rozkładu chi-kwadrat jest możliwe jedynie dla dużych prób.

Badanie normalności rozkładu

Test zgodności Jarque’a-Bery

2013-04-03

20

Badanie heteroskedastyczności rozkładu

Test Harrisona-McCabe’a

model

t

k

1

i

ti

i

0

t

x

y

ξ

+

α

+

α

=

∑

=

T

2

1

2

0

D

...

D

:

H

ξ

=

=

ξ

s

2

t

2

s

t

s

,

t

A

D

D

:

H

ξ

≠

ξ

≠

∨

homoskedastyczność

heteroskedastyczność

szacujemy model

t

k

1

i

ti

i

0

t

e

x

ˆ

ˆ

y

+

α

+

α

=

∑

=

wyznaczamy m (1<m<T) arbitralnie, np.

(

)

(

)

1

T

T

5

.

0

m

−

=

0.5

przy monotonicznych e

lub m t.że e

1

<...< e

m

>...> e

T

lub e

1

>...> e

m

<...< e

T

39

obliczamy

∑

∑

=

=

=

T

1

t

2

t

m

1

t

2

t

e

e

b

wyznaczamy punkty krytyczne F

1

i F

2

rozkładu F z

(T-m;m-(k+1))

(T-m-(k+1);m)

df

α

α

F

1

F

2

40

2013-04-03

21

(

)

(

)

1

1

L

1

k

m

F

m

T

1

b

−













+

−

−

+

=

(

)

(

)

1

2

U

m

F

1

k

m

T

1

b

−













+

−

−

+

=

obliczamy

kryterium podejmowania decyzji (wartość b)

0

H

Heteroskedastyczność

0

H

homoskedastyczność

b

L

b

U

???

obszar nierozstrzygalności

41

Jeżeli np. k = 3, to model ma postać:

t

3

3

2

2

1

1

0

t

x

x

x

y

ξ

+

α

+

α

+

α

+

α

=

T

2

1

2

0

D

...

D

:

H

ξ

=

=

ξ

s

2

t

2

s

t

s

,

t

A

D

D

:

H

ξ

≠

ξ

≠

∨

homoskedastyczność

heteroskedastyczność

Statystyka LM = TR

2

∼ χ

2

k+1-1,

α

, gdzie k - liczba stopni swobody

związana z liczbą parametrów (

β

0

,

β

1

,...,

β

k

) do oszacowania –1

42

Test White’a na heteroskedastyczność reszt

Równanie pomocnicze przyjmuje postać:

σ

t

2

=

β

0

+

β

1

x

1t

+

β

2

x

2t

+

β

3

x

3t

+

β

4

x

1t

2

+

β

5

x

1t

x

2t

+

β

6

x

1t

x

3t

+

β

7

x

2t

2

+

β

8

x

2t

x

3t

+

β

9

x

3t

2

+

η

t

2013-04-03

22

43

Jeżeli TR

2

≥

χ

2

hipotezę zerową należy odrzucić na rzecz

hipotezy alternatywnej, co oznacza heteroskedastyczność reszt

Jeżeli TR

2

< χ

2

nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

mówiącej, że rozkład reszt jest homoskedastyczny

Wykorzystanie testu White’a z uwagi na asymptotyczną
zbieżność do rozkładu chi-kwadrat jest możliwe jedynie dla
dużych prób T>30.

Test White’a na heteroskedastyczność reszt

1.

Test Durbina-Watsona stosuje si

ę

do weryfikacji hipotezy

mówi

ą

cej o:

a)

normalnym rozkładzie składnika losowego;

b)

homoskedastyczno

ś

ci;

c)

nieskorelowaniu składników losowych mi

ę

dzy sob

ą

;

d)

braku autokorelacji rz

ę

du 1-ego składników losowych.

Przykładowe pytania testowe

2013-04-03

23

2.

Test mno

ż

nika Lagrange’a stosuje si

ę

do weryfikacji hipotezy

mówi

ą

cej o:

a)

normalnym rozkładzie składnika losowego;

b)

homoskedastyczno

ś

ci;

c)

braku autokorelacji składników losowych;

d)

liniowej zale

ż

no

ś

ci zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych.

Przykładowe pytania testowe

3.

Test Harrisona-McCabe’a stosuje si

ę

do weryfikacji hipotezy

mówi

ą

cej o:

a)

normalnym rozkładzie składnika losowego;

b)

homoskedastyczno

ś

ci;

c)

braku autokorelacji składników losowych;

d)

liniowej zale

ż

no

ś

ci zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych.

Przykładowe pytania testowe

2013-04-03

24

4.

Test Shapiro-Wilka stosuje si

ę

do weryfikacji hipotezy

mówi

ą

cej o:

a)

normalnym rozkładzie składnika losowego;

b)

homoskedastyczno

ś

ci;

c)

braku autokorelacji składników losowych;

d)

liniowej zale

ż

no

ś

ci zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych.

Przykładowe pytania testowe

5.

Test Jarque’a-Bery stosuje si

ę

do weryfikacji hipotezy

mówi

ą

cej o:

a)

normalnym rozkładzie składnika losowego;

b)

homoskedastyczno

ś

ci;

c)

braku autokorelacji składników losowych;

d)

liniowej zale

ż

no

ś

ci zmiennych obja

ś

niaj

ą

cych.

Przykładowe pytania testowe