2013-04-03
1
EKONOMETRIA II
Wykład 5 Weryfikacja założeń KMNK
Dorota Perło
Wydział Ekonomii i Zarządzania, Uniwersytet w Białymstoku
2
Weryfikacja
modelu
Weryfikacja
merytoryczna
Interpretacja ocen
parametrów modelu
Sprawdzenie
sensowno
ś
ci
znaków ocen
parametrów modelu
Weryfikacja
statystyczna
Badanie stopnia
zgodno
ś
ci modelu z
danymi
empirycznymi
Badanie jako
ś
ci
ocen parametrów
strukturalnych
Badanie rozkładu
odchyle
ń
losowych
2013-04-03
2
3
Badanie rozkładu odchyle
ń
losowych
Trafno
ść
doboru
postaci analitycznej
modelu
Test serii
Test White’a
Normalno
ść
składnika
losowego
Test Shapiro-Wilka
Test zgodno
ś
ci
Jarque’a-Bery
Autokorelacja
składnika losowego
Test Durbina-Watsona
Test mno
ż
nika
Lagrange’a
Heteroskedastyczno
ść
składnika losowego
Test Harrisona-
McCabe’a
Test White’a
Trafność doboru postaci analitycznej modelu
Punktem wyjścia jest sprawdzenie, czy model liniowy poprawnie
opisuje zależność pomiędzy zmienną objaśnianą a zmiennymi
objaśniającymi.
4
Test serii
Test White’a
,
1
0
2
2
1
1
0
∑
=
ξ
+
α
+
α
=
ξ
+
α
+
+
α
+
α
+
α
=
k
j
i
ji
j
i
ki
k
i
i
i
x
x
x
x
y
K
2013-04-03
3
Test serii
Punktem wyjścia jest ciąg reszt.
Rozróżniamy w nim dwa rodzaje
elementów:
reszty dodatnie i
reszty ujemne, reszty równe zero
pomijamy.
5
Obserwacja
Składniki resztowe
1
0,16787116
2
0,559748215
3
1,815755165
4
0,743710025
5
2,149981766
6
0,900438857
7
0,363248207
8
-0,509076864
9
-0,049781849
10
0,859882088
11
0,421425634
12
-0,062153733
13
-0,798335669
14
-2,888755159
15
-2,652929139
16
-1,982270413
17
-0,711050207
18
1,030370297
19
0,828895714
20
-0,186974095
Test serii
Serią
nazywamy
każdy
podciąg
jednakowych
elementów,
który
poprzedzony
jest
i
po
którym następuje element
różny
od
elementów
podciągu
6
Obserwacja
Składniki resztowe
a lub b
serie
1
0,16787116
a
1
2
0,559748215
a
3
1,815755165
a
4
0,743710025
a
5
2,149981766
a
6
0,900438857
a
7
0,363248207
a
8
-0,509076864
b
2
9
-0,049781849
b
10
0,859882088
a
3
11
0,421425634
a
12
-0,062153733
b
4
13
-0,798335669
b
14
-2,888755159
b
15
-2,652929139
b
16
-1,982270413
b
17
-0,711050207
b
18
1,030370297
a
5
19
0,828895714
a
20
-0,186974095
b
6
2013-04-03
4
Test serii
Jeżeli model jest modelem z jedną zmienną objaśniającą to
porządkujemy reszty w kolejności odpowiadającej rosnącym
wartościom zmiennej objaśniającej
7
Nr
zakładu
Koszty
jednostkowe
(tys. zł)
Wielko
ść
produkcji
(tys. szt.)
t
y
t
x
t
1
5,8
10
2
8
3,6
3
6,1
4,1
4
15
40
5
8,5
20
6
12
35
7
5
5
8
9,1
26
9
5,6
8
10
9,8
30
11
9
3
12
10
32
13
6,2
15
14
6,7
18
15
16
41
t
t
x
y
2
,
0
87
,
4
ˆ
+
=
Test serii
8
Nr
zakładu
Koszty
jednostkowe
(tys. zł)
Wielko
ść
produkcji
(tys. szt.)
Składniki
resztowe
t
y
t
x
t
e
t
1
5,8
10
-1,122996694
2
8
3,6
2,394077346
3
6,1
4,1
0,391180937
4
15
40
1,903218744
5
8,5
20
-0,480924881
6
12
35
-0,067817162
7
5
5
-0,8940326
8
9,1
26
-1,115681793
9
5,6
8
-0,911411056
10
9,8
30
-1,238853068
11
9
3
3,517553038
12
10
32
-1,450438706
13
6,2
15
-1,751960787
14
6,7
18
-1,869339243
15
16
41
2,697425926
Nr
zakładu
Koszty
jednostkowe
(tys. zł)
Wielko
ść
produkcji
(tys. szt.)
Uporz
ą
dkowane
reszty
t
y
t
x
t
e
(t)
1
9
3
3,517553038
2
8
3,6
2,394077346
3
6,1
4,1
0,391180937
4
5
5
-0,8940326
5
5,6
8
-0,911411056
6
5,8
10
-1,122996694
7
6,2
15
-1,751960787
8
6,7
18
-1,869339243
9
8,5
20
-0,480924881
10
9,1
26
-1,115681793
11
9,8
30
-1,238853068
12
10
32
-1,450438706
13
12
35
-0,067817162
14
15
40
1,903218744
15
16
41
2,697425926
2013-04-03
5
Jeżeli weryfikowany model jest modelem o wielu zmiennych
objaśniających, a dane statystyczne stanowią szeregi czasowe, to
porządkujemy reszty według numerów okresów obserwacji
W przypadku weryfikacji modelu o wielu zmiennych objaśniających
z danymi statystycznymi w postaci danych przekrojowych reszty
można
uporządkować
według
rosnących
wartości
wybranej
zmiennej objaśniającej
Po uporządkowaniu ciągu reszt resztom dodatnim przypisujemy
symbol A, a resztom ujemnym – symbol B
Test serii
9
H
0
: oszacowany model ekonometryczny jest liniowy
H
A
: oszacowany model ekonometryczny nie jest liniowy
W oszacowanym ciągu symboli A i B obliczamy liczbę serii r.
Test serii
10
Obserwacja
Składniki
resztowe
a lub b
serie
1
0,16787116
a
1
2
0,559748215
a
3
1,815755165
a
4
0,743710025
a
5
2,149981766
a
6
0,900438857
a
7
0,363248207
a
8
-0,509076864
b
2
9
-0,049781849
b
10
0,859882088
a
3
11
0,421425634
a
12
-0,062153733
b
4
13
-0,798335669
b
14
-2,888755159
b
15
-2,652929139
b
16
-1,982270413
b
17
-0,711050207
b
18
1,030370297
a
5
19
0,828895714
a
20
-0,186974095
b
6
Liczba symboli A n
1
= 11
Liczba symboli B n
2
= 9
Liczba serii r = 6
2013-04-03
6
Krytyczna liczba serii r* zależy od przyjętego poziomu istotności
α
, liczby symboli A w ciągu reszt – n
1
i liczby symboli B w ciągu
reszt – n
2
.
Test serii
11
Wartości krytyczne testu serii
12
α
αα
α
=0,05
n
1
n
2
2 3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13 14
15 16 17 18
19
20
2
3
4
2
5
2
2
3
6
2
3
3
3
7
2
3 3 4
4
8
2 2 3 3 4
4 5
9
2 2
3 4 4
5 5
6
10
2 3
3
4
5
5
6
6
6
11
2 3
3
4
5
5
6
6
7
7
12
2 3
4
4
5
6
6
7
7
8
8
13
2 3
4
4
5
6
6
7
8
8
9
9
14
2 3
4
5
5
6
7 7
8
8
9
9 10
15
2 3
4
5
6
6
7
8
8
9
9 10 10
11
16
2 3
4
5
6
6
7
8
8
9 10 10 11
11 11
17
2 3
4
5
6
7
7
8
9
9 10 10 I1
11 12 12
18
2 3
4
5
6
7
8
8
9
10 10 11 1I
12 12 13 13
19
2 3
4
5
6
7
8
8
9
10 10 11 12
12 13 13 14
14
20
2 3
4
5
6
7
8
9
9
10 11 11 12
12 13 13 14
14
15
α
α
=
≤
)
(
2
1
,
,
n
n
k
k
P
2013-04-03
7
Podjęcie decyzji weryfikacyjnej
Jeżeli r ≤ r*, to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy
alternatywnej
Jeżeli r
>>>>
r*, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o
liniowej
zależności
zmiennej
objaśnianej
od
zmiennych
objaśniających
Test serii
13
Liczba symboli A n
1
= 11
Liczba symboli B n
2
= 9
Liczba serii r = 6, r* = 6
Koszty
jednostkowe
w tys. zł
Wielkość produkcji
w tys. szt.
14
Wykres punktowy
2013-04-03
8
Koszty
jednostkowe
w tys. zł
Wielkość produkcji
w tys. szt.
15
Wykres punktowy z liniową funkcją trendu
Jeżeli liczba reszt dodatnich n
1
i ujemnych n
2
przekracza 20, to
wraz ze wzrostem liczby n
1
i n
2
rozkład liczby serii dąży do
rozkładu normalnego
Wówczas do oceny losowości ciągu reszt można wykorzystać
statystykę:
Test serii
16
Gdzie:
r – liczba serii,
E(r) – średnia,
σ
r
– odchylenie standardowe.
r
r
E
r
Z
σ
−
=
)
(
Statystyka Z ma asymptotyczny rozkład normalny N(0, 1)
)
1
(
)
(
)
2
(
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
−
+
+
−
−
=
σ
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
r
1
2
)
(
2
1
2
1
+
+
=
n
n
n
n
r
E
2013-04-03
9
Test oparty na mnożnikach Lagrange’a
H
0
: zależność liniowa
H
A
: zależność nieliniowa - logarytmiczna
Model podstawowy:
Test White’a
nieliniowości (logarytmy)
17
i
ki
k
i
i
i
x
x
x
y
ξ
+
α
+
+
α
+
α
+
α
=
K
2
2
1
1
0
Model pomocniczy:
i
ki
k
i
i
ki
k
i
i
i
x
x
x
x
x
x
e
ε
+
γ
+
+
γ
+
γ
+
β
+
+
β
+
β
+
β
=
ln
ln
ln
2
2
1
1
2
2
1
1
0
K
K
Statystyka T*R
2
, gdzie:
T oznacza liczbę obserwacji,
R
2
współczynnik determinacji równania pomocniczego
ma rozkład
χ
2
z k stopniami swobody dla ustalonego poziomu
istotności.
Jeżeli T*R
2
>
χχχχ
2222
, to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść
hipotezy alternatywnej. Model może być nieliniowy.
Jeżeli T*R
2
<
χχχχ
2222
, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
zerowej o liniowej zależności zmiennej objaśnianej od zmiennych
objaśniających.
Test White’a
nieliniowości (logarytmy)
18
2013-04-03
10
Test oparty na mnożnikach Lagrange’a
H
0
: zależność liniowa
H
A
: zależność nieliniowa - kwadratowa
Model podstawowy:
Test White’a
nieliniowości (kwadraty)
19
i
ki
k
i
i
i
x
x
x
y
ξ
+
α
+
+
α
+
α
+
α
=
K
2
2
1
1
0
Model pomocniczy:
i
ki
k
i
i
ki
k
i
i
i
x
x
x
x
x
x
e
ε
+
γ
+
+
γ
+
γ
+
β
+
+
β
+
β
+
β
=
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
0
K
K
H
0
: zależność liniowa
H
A
: zależność nieliniowa – kwadraty i sześciany teoretycznych
wartości y
Model podstawowy:
Test nieliniowości
(specyfikacji Ramsey’s RESET)
20
i
ki
k
i
i
i
x
x
x
y
ξ
+
α
+
+
α
+
α
+
α
=
K
2
2
1
1
0
Model pomocniczy:
i
i
i
ki
k
i
i
i
y
y
x
x
x
y
ε
+
γ
+
γ
+
β
+
+
β
+
β
+
β
=
3
2
2
1
2
2
1
1
0
ˆ
ˆ
K
2013-04-03
11
Statystyka F:
RSS
1
– suma kwadratów reszt modelu podstawowego,
RSS
2
– suma kwadratów reszt modelu pomocniczego.
Statystyka F ma rozkład F-Snedecora o parametrach
γ
, 2, n-k-1
Jeżeli wartość statystyki F jest większa od wartości krytycznej to
należy odrzucić H
0
Jeżeli wartość statystyki F jest mniejsza lub równa wartości
krytycznej to nie ma podstaw do odrzucenia H
0
21
Test nieliniowości
(specyfikacji Ramsey’s RESET)
)
3
/(
2
/
)
(
2
2
1
−
−
−
=
k
n
RSS
RSS
RSS
F
Badanie autokorelacji składnika losowego
Autokorelacja odchyleń losowych oznacza liniową zależność
między odchyleniami losowymi z różnych jednostek czasu.
Miarą siły i kierunku autokorelacji odchyleń losowych
ξ
t
z okresu
t i odchyleń losowych
ξ
t-1
z okresu t-1 jest współczynnik korelacji:
)
,
(
1
t
t
−−−−
====
ξξξξ
ξξξξ
ρρρρ
ρρρρ
Przyczyny występowania zjawiska autokorelacji składnika
losowego w modelu:
1.
natura procesów gospodarczych,
2.
niepoprawna postać analityczna modelu,
3.
niepełny zestaw zmiennych objaśniających.
22
2013-04-03
12
proces autokorelacji I-o rz
ę
du
Autokorelacja składnika losowego
23
W klasycznym modelu:
( )
I
ξ
2
2
σ
=
D
Niech
t
1
t
t
t
η
+
ρξ
=
ξ
−
∧
, gdzie
1
<
ρ
0
E
t
t
=
η
∧
i
oraz
( )
I
η
2
2
η
σ
=
D
=
ξ
∧
t
2
t
D
(
)
=
η
+
ρξ
−
t
1
t
2
D
(
)
0
;
cov
t
i
t
,...
1
i
t
=
η
ξ
−
=
∧
∧
i
(
)
=
η
+
ρξ
−
t
2
1
t
2
D
D
=
η
+
ξ
ρ
=
−
t
2
1
t
2
2
D
D
=
σ
+
σ
ρ
η
2
2
2
2
σ
0
2
2
2
2
σ
=
σ
+
σ
ρ
η
2
2
2
1
1
η
σ
ρ
−
=
σ
(
)
=
ξ
ξ
−
=
=
∧
∧
i
t
t
,...
1
,
0
i
T
,...,
1
t
;
cov
(
)
=
ξ
η
+
ρξ
−
−
i
t
t
1
t
;
cov
(
)
(
)
=
ξ
η
+
η
+
ρξ
ρ
=
−
−
−
i
t
t
1
t
2
t
;
cov
(
)
=
ξ
η
+
ρη
+
ξ
ρ
=
−
−
−
i
t
t
1
t
2
t
2
;
cov
(
)
(
)
=
ξ
η
+
ρη
+
η
+
ρξ
ρ
=
−
−
−
−
i
t
t
1
t
2
t
3
t
2
;
cov
(
)
=
ξ
η
+
ρη
+
η
ρ
+
ξ
ρ
=
−
−
−
−
i
t
t
1
t
2
t
2
3
t
3
;
cov
=
ξ
η
ρ
+
ξ
ρ
=
−
−
−
=
−
∑
i
t
j
t
1
i
0
j
j
i
t
i
;
cov
(
)
=
ξ
η
ρ
+
ξ
ξ
ρ
=
−
−
=
−
−
−
∑
i
t
1
i
0
j
j
t
j
i
t
i
t
i
;
cov
;
cov
(
)
(
)
=
ξ
η
ρ
+
ξ
ξ
ρ
=
∑
−
=
−
−
−
−
1
i
0
j
i
t
j
t
j
i
t
i
t
i
;
cov
;
cov
(
)
=
ξ
η
ρ
+
σ
ρ
=
∑
−
=
−
−
1
i
0
j
i
t
j
t
j
2
i
;
cov
i
2
ρ
σ
( )
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
σ
=
−
−
−
−
1
1
1
2
T
1
T
2
T
1
T
2
2
L
M
L
M
M
L
L
ξ
D
24
2013-04-03
13
(
)
ρ
σ
=
ξ
ξ
−
=
∧
2
1
t
t
T
,...,
1
t
;
cov
(
)
1
t
t
1
t
t
T
,...,
1
t
D
D
;
cov
−
−
=
ξ
ξ
ξ
ξ
=
ρ
∧
współczynnik korelacji liniowej
Pearsona
estymator nieobciążony
współczynnika
ρ
∑
∑
∑
=
−
=
=
−
=
ρ
T
2
t
2
1
t
T
2
t
2
t
T
2
t
1
t
t
e
e
e
e
ˆ
25
Do weryfikacji hipotezy o braku autokorelacji odchyleń
losowych
ξ
t
i
ξ
t-1
:
H
0
:
ρ
=0
H
A
:
ρ≠
0
służy test Durbina-Watsona. Sprawdzianem tej hipotezy jest
statystyka:
Test Durbina-Watsona
(
)
∑
∑
=
=
−
−
=
T
1
t
2
t
T
2
t
2
1
t
t
e
e
e
d
(
)
ρ
−
≈
ˆ
1
2
d
W przypadku
dużej liczebności prób
26
2013-04-03
14
Test Durbina-Watsona
0
d
L
d
U
4-d
U
4-d
L
0
>
ρ
???
???
0
=
ρ
0
<
ρ
4
Wartość statystyki d zawarta jest w przedziale [0,4]. Zatem, jeżeli:
0
====
∧∧∧∧
ρρρρ
to d = 2
1
====
∧∧∧∧
ρρρρ
to d = 0
1
−−−−
====
∧∧∧∧
ρρρρ
to d = 4
27
Test Durbina-Watsona
0
d
L
d
U
4-d
U
0
>
ρ
???
0
=
ρ
Weryfikując hipotezy: H
0
:
ρ
= 0
H
A
:
ρ
> 0
dla ustalonego poziomu istotności
α
oraz parametrów n i k podane są
dwie wartości d
l
i d
u
wyznaczające obszar odrzuceń i obszar przyjęć
dla H
0
.
Kryteria podejmowania decyzji są następujące:
d ≤ d
l
H
0
odrzucamy
d
l
< d < d
u
nie podejmujemy żadnej decyzji
d
≥
d
u
nie mamy podstaw do odrzucenia H
0
28
2013-04-03
15
Test Durbina-Watsona
4-d
U
4-d
L
???
0
=
ρ
0
<
ρ
4
dla ustalonego poziomu istotności
α
oraz parametrów n i k podane są
dwie wartości d
l
i d
u
wyznaczające obszar odrzuceń i obszar przyjęć
dla H
0
.
Kryteria podejmowania decyzji są następujące:
d
≥
4 – d
l
H
0
odrzucamy
4- d
u
< d < 4 – d
l
nie podejmujemy żadnej decyzji
d ≤ 4 – d
u
nie mamy podstaw do odrzucenia H
0
Gdy weryfikujemy hipotezę : H
0
:
ρ
= 0
H
A
:
ρ
< 0,
Testu D-W nie należy stosować, jeżeli w modelu w roli zmiennej objaśniającej występuje
opóźniona zmienna objaśniana. Do weryfikacji hipotezy o braku autokorelacji w takim
przypadku można zastosować np. test mnożnika Lagrange’a.
29
Test mnożnika Lagrange’a
szacujemy model
t
tk
k
1
t
1
0
t
x
...
x
y
ξ
+
α
+
+
α
+
α
=
obliczamy reszty e
t
(t = 1,...,T)
(
)
tk
k
1
t
1
0
t
t
x
ˆ
...
x
ˆ
ˆ
y
e
α
+
+
α
+
α
−
=
szacujemy model pomocniczy (t = 2,...,T)
t
1
t
1
k
tk
k
1
t
1
0
t
e
x
...
x
e
ζ
+
β
+
β
+
+
β
+
β
=
−
+
obliczamy R
2
tego modelu
stawiamy hipotezy:
0
:
H
0
=
ρ
0
:
H
0
≠
ρ
30
T
0
T
>
>>
np.,
df
z
1
~
TR
2
2
χ
α
30
2013-04-03
16
Badanie normalności rozkładu
Test Shapiro-Wilka
Do weryfikowania hipotezy o normalności rozkładu
odchyleń losowych służy między innymi test Shapiro-
Wilka
H
0
: rozkład odchyleń losowych modelu jest normalny
H
A
: rozkład odchyleń losowych modelu nie jest normalny
Procedura testu Shapiro-Wilka jest następująca:
1. Porządkuje się reszty według wartości niemalejących
tak, że otrzymuje się ciąg reszt e(1), e(2), ..., e(n).
31
2. Oblicza się wartość statystyki
∑
∑
=
=
+
−
+
−
−
−
=
n
1
t
2
t
2
n/2
1
t
(t)
1)
t
(n
1
t
n
)
(
)
(
W
e
e
e
e
a
gdzie:
n/2 – część całkowita liczby n/2
a
n-t+1
– współczynniki Shapiro-Wilka
Badanie normalności rozkładu
Test Shapiro-Wilka
32
2013-04-03
17
33
WSPÓŁCZYNNIKI
DLA
TESTU
SHAPIRO-WILKA
i \ n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0,7071
0,7071
0,6872
0,6646
0,6431
0,6431
0,6052
0,5888
0,5739
2
-
0,0000
0,1677
0,2413
0,2806
0,3031
0,3164
0,3244
0,3291
3
-
-
-
0,0000
0,0875
0,1401
0,1743
0,1976
0,2141
4
-
-
-
-
-
0,0000
0,0561
0,0947
0,1224
5
-
-
-
-
-
-
-
0,0000
0,0399
i \ n
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
0,5601
0,5475
0,5359
0,5251
0,5150
0,5056
0,4968
0,4886
0,4808
0,4734
2
0,3315
0,3325
0,3325
0,3318
0,3306
0,3290
0,3273
0,3253
0,3232
0,3211
3
0,2260
0,2347
0,2412
0,2460
0,2495
0,2521
0,2540
0,2553
0,2561
0,2565
4
0,1429
0,1586
0,1707
0,1802
0,1878
0,1939
0,1988
0,2027
0,2059
0,2085
5
0,0695
0,0922
0,1099
0,1240
0,1353
0,1447
0,1524
0,1587
0,1641
0,1686
6
0,0000
0,0303
0,0539
0,0727
0,0880
0,1005
0,1109
0,1197
0,1271
0,1334
7
-
-
0,0000
0,0240
0,0433
0,0593
0,0725
0,0837
0,0932
0,1013
8
-
-
-
-
0,0000
0,0196
0,0359
0,0496
0,0612
0,0711
9
-
-
-
-
-
-
0,0000
0,0163
0,0303
0,0422
10
-
-
-
-
-
-
-
-
0,0000
0,0140
34
WSPÓŁCZYNNIKI
DLA
TESTU
SHAPIRO-WILKA
i \ n
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
0,4643
0,4590
0,4542
0,4493
0,4450
0,4407
0,4366
0,4328
0,4291
0,4254
2
0,3185
0,3156
0,3126
0,3098
0,3069
0,3043
0,3018
0,2992
0,2968
0,2944
3
0,2578
0,2571
0,2563
0,2554
0,2543
0,2533
0,2522
0,2510
0,2499
0,2487
4
0,2119
0,2131
0,2139
0,2145
0,2148
0,2151
0,2152
0,2151
0,2150
0,2148
5
0,1736
0,1764
0,1787
0,1807
0,1822
0,1836
0,1848
0,1857
0,1864
0,1870
6
0,1399
0,1443
0,1480
0,1512
0,1539
0,1563
0,1584
0,1601
0,1616
0,1630
7
0,1092
0,1150
0,1201
0,1245
0,1283
0,1316
0,1346
0,1372
0,1395
0,1415
8
0,0804
0,0878
0,0941
0,0997
0,1046
0,1089
0,1128
0,1162
0,1192
0,1219
9
0,0530
0,0618
0,0696
0,0764
0,0823
0,0876
0,0923
0,0965
0,1002
0,1036
10
0,0263
0,0368
0,0459
0,0539
0,0610
0,0672
0,0728
0,0778
0,0822
0,0862
11
0,0000
0,0122
0,0228
0,0321
0,0403
0,0476
0,0540
0,0598
0,0650
0,0697
12
-
-
0,0000
0,0107
0,0200
0,0284
0,0358
0,0424
0,0483
0,0537
13
-
-
-
-
0,0000
0,0094
0,0178
0,0253
0,0320
0,0381
14
-
-
-
-
-
-
0,0000
0,0084
0,0159
0,0227
15
-
-
-
-
-
-
-
-
0,0000
0,0076
2013-04-03
18
3. Z tablic testu Shapiro-Wilka dla przyjętego poziomu istotności
α
odczytuje się wartość krytyczną W*
4. Jeżeli W
≥
W*, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
mówiącej, że rozkład odchyleń losowych jest normalny
Jeżeli W<W*, hipotezę zerową należy odrzucić na rzecz hipotezy
alternatywnej, co oznacza, ze rozkład odchyleń losowych nie jest
normalny
Badanie normalności rozkładu
Test Shapiro-Wilka
35
36
WARTOŚCI KRYTYCZNE DLA TESTU SHAPIRO-WILKA
γγγγ
n
0,01
0,02
0,05
0,10
3
0,753
0,756
0,767
0,789
4
0,687
0,707
0,748
0,792
5
0,686
0,715
0,762
0,806
6
0,713
0,743
0,788
0,826
7
0,730
0,760
0,803
0,838
8
0,749
0,778
0,818
0,851
9
0,764
0,791
0,829
0,859
10
0,781
0,806
0,842
0,869
11
0,792
0,817
0,850
0,876
12
0,805
0,828
0,859
0,883
13
0,814
0,837
0,866
0,889
14
0,825
0,846
0,874
0,895
15
0,835
0,855
0,881
0,901
16
0,844
0,863
0,887
0,906
17
0,851
0,869
0,892
0,910
18
0,858
0,874
0,897
0,914
19
0,863
0,879
0,901
0,917
20
0,868
0,884
0,905
0,920
21
0,873
0,888
0,908
0,923
22
0,878
0,892
0,911
0,926
23
0,881
0,895
0,914
0,928
24
0,884
0,898
0,916
0,930
25
0,888
0,901
0,918
0,931
26
0,891
0,904
0,920
0,933
27
0,894
0,906
0,923
0,935
28
0,896
0,908
0,924
0,936
29
0,898
0,910
0,926
0,937
30
0,900
0,912
0,927
0,939
2013-04-03
19
Ocena normalności rozkładu składnika resztowego odbywa się
przez wykorzystanie testu zgodności Jarque’a-Bery
H
0
: rozkład odchyleń losowych modelu jest normalny
H
A
: rozkład odchyleń losowych modelu nie jest normalny
Wartość statystyki JB wylicza się ze wzoru:
gdzie: S- miara skośności, K- kurtoza
Statystyka JB ma rozkład χ
2
z dwoma stopniami swobody
2
2
4
K
µ
µ
=
2
3
2
3
S
µ
µ
=
37
−
+
=
24
)
3
(
6
JB
2
2
K
S
n
Badanie normalności rozkładu
Test zgodności Jarque’a-Bery
38
Jeżeli JB
≥
χ
2
hipotezę zerową należy odrzucić na rzecz hipotezy
alternatywnej, co oznacza, ze rozkład odchyleń losowych nie
jest normalny
Jeżeli JB< χ
2
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
mówiącej, że rozkład odchyleń losowych jest normalny
Wykorzystanie testu J-B z uwagi na asymptotyczną zbieżność
do rozkładu chi-kwadrat jest możliwe jedynie dla dużych prób.
Badanie normalności rozkładu
Test zgodności Jarque’a-Bery
2013-04-03
20
Badanie heteroskedastyczności rozkładu
Test Harrisona-McCabe’a
model
t
k
1
i
ti
i
0
t
x
y
ξ
+
α
+
α
=
∑
=
T
2
1
2
0
D
...
D
:
H
ξ
=
=
ξ
s
2
t
2
s
t
s
,
t
A
D
D
:
H
ξ
≠
ξ
≠
∨
homoskedastyczność
heteroskedastyczność
szacujemy model
t
k
1
i
ti
i
0
t
e
x
ˆ
ˆ
y
+
α
+
α
=
∑
=
wyznaczamy m (1<m<T) arbitralnie, np.
(
)
(
)
1
T
T
5
.
0
m
−
=
0.5
przy monotonicznych e
lub m t.że e
1
<...< e
m
>...> e
T
lub e
1
>...> e
m
<...< e
T
39
obliczamy
∑
∑
=
=
=
T
1
t
2
t
m
1
t
2
t
e
e
b
wyznaczamy punkty krytyczne F
1
i F
2
rozkładu F z
(T-m;m-(k+1))
(T-m-(k+1);m)
df
α
α
F
1
F
2
40
2013-04-03
21
(
)
(
)
1
1
L
1
k
m
F
m
T
1
b
−
+
−
−
+
=
(
)
(
)
1
2
U
m
F
1
k
m
T
1
b
−
+
−
−
+
=
obliczamy
kryterium podejmowania decyzji (wartość b)
0
H
Heteroskedastyczność
0
H
homoskedastyczność
b
L
b
U
???
obszar nierozstrzygalności
41
Jeżeli np. k = 3, to model ma postać:
t
3
3
2
2
1
1
0
t
x
x
x
y
ξ
+
α
+
α
+
α
+
α
=
T
2
1
2
0
D
...
D
:
H
ξ
=
=
ξ
s
2
t
2
s
t
s
,
t
A
D
D
:
H
ξ
≠
ξ
≠
∨
homoskedastyczność
heteroskedastyczność
Statystyka LM = TR
2
∼ χ
2
k+1-1,
α
, gdzie k - liczba stopni swobody
związana z liczbą parametrów (
β
0
,
β
1
,...,
β
k
) do oszacowania –1
42
Test White’a na heteroskedastyczność reszt
Równanie pomocnicze przyjmuje postać:
σ
t
2
=
β
0
+
β
1
x
1t
+
β
2
x
2t
+
β
3
x
3t
+
β
4
x
1t
2
+
β
5
x
1t
x
2t
+
β
6
x
1t
x
3t
+
β
7
x
2t
2
+
β
8
x
2t
x
3t
+
β
9
x
3t
2
+
η
t
2013-04-03
22
43
Jeżeli TR
2
≥
χ
2
hipotezę zerową należy odrzucić na rzecz
hipotezy alternatywnej, co oznacza heteroskedastyczność reszt
Jeżeli TR
2
< χ
2
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
mówiącej, że rozkład reszt jest homoskedastyczny
Wykorzystanie testu White’a z uwagi na asymptotyczną
zbieżność do rozkładu chi-kwadrat jest możliwe jedynie dla
dużych prób T>30.
Test White’a na heteroskedastyczność reszt
1.
Test Durbina-Watsona stosuje si
ę
do weryfikacji hipotezy
mówi
ą
cej o:
a)
normalnym rozkładzie składnika losowego;
b)
homoskedastyczno
ś
ci;
c)
nieskorelowaniu składników losowych mi
ę
dzy sob
ą
;
d)
braku autokorelacji rz
ę
du 1-ego składników losowych.
Przykładowe pytania testowe
2013-04-03
23
2.
Test mno
ż
nika Lagrange’a stosuje si
ę
do weryfikacji hipotezy
mówi
ą
cej o:
a)
normalnym rozkładzie składnika losowego;
b)
homoskedastyczno
ś
ci;
c)
braku autokorelacji składników losowych;
d)
liniowej zale
ż
no
ś
ci zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych.
Przykładowe pytania testowe
3.
Test Harrisona-McCabe’a stosuje si
ę
do weryfikacji hipotezy
mówi
ą
cej o:
a)
normalnym rozkładzie składnika losowego;
b)
homoskedastyczno
ś
ci;
c)
braku autokorelacji składników losowych;
d)
liniowej zale
ż
no
ś
ci zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych.
Przykładowe pytania testowe
2013-04-03
24
4.
Test Shapiro-Wilka stosuje si
ę
do weryfikacji hipotezy
mówi
ą
cej o:
a)
normalnym rozkładzie składnika losowego;
b)
homoskedastyczno
ś
ci;
c)
braku autokorelacji składników losowych;
d)
liniowej zale
ż
no
ś
ci zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych.
Przykładowe pytania testowe
5.
Test Jarque’a-Bery stosuje si
ę
do weryfikacji hipotezy
mówi
ą
cej o:
a)
normalnym rozkładzie składnika losowego;
b)
homoskedastyczno
ś
ci;
c)
braku autokorelacji składników losowych;
d)
liniowej zale
ż
no
ś
ci zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych.
Przykładowe pytania testowe