Probabilistyka i statystyka – zadania z kolokwium, grupa trzecia (2010.11.02)

1. Dane są 3 urny. W pierwszej jest 1 kula biała i 5 czarnych. W drugiej 3 kule białe i 3 czarne. W

trzeciej 2 kule białe i 4 czarne. Rzucamy kostką. Jeżeli wypadnie liczba parzysta losujemy jedną kulę z

1 urny. Jeżeli 1, jedną kulę z drugiej urny. W przeciwnym wypadku z trzeciej. Wiemy, że wylosowano

białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano kulę z 3 urny.

 =

3
6

∗

1
6

+

1
6

∗

3
6

+

2
6

∗

2
6

=

3 + 3 + 4

36

=

10
36

=

5

18





| =

4

36

10

36

=

4

10

=

2
5

2. Mamy n kul białych i 3 czarne. Losujemy bez zwracania 2 kule. Jakie jest

 dla
 >




.

Ω = 





=

 + 3!

2 + 1!

=

 + 2 + 3

2

̿ = 





=

!

2 − 2!

=

 − 1

2

 =

 − 1

 + 2 + 3 >

1
2

2 − 1 −  + 2 + 3 > 0

2



− 2 − 



− 5 − 6 > 0





− 7 − 6 > 0

Δ = 49 + 24 = 73; √Δ = √73





=

7 + √73

2

≅ 7,77





=

7 − √73

2

< 0

Dla

 ≥ 8

3. Mamy zbiór

(1, … ,7*. Losujemy bez zwracania aż do wylosowania liczby pierwszej (razem z 1).

Jeżeli wylosujemy ją za pierwszym razem – wygrywamy 10 zł, za drugim – 5 zł, za trzecim razem –

tracimy 50 złotych

Oblicz rozkład zmiennej losowej. Wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe,

dystrybuantę

Pierwsze:

(1,2,3,5,7*, Niepierwsze: (4,6*

+

,

−50

5

10

-

,

1

21

5

21

15
21





 =

5
7

=

15
21





 =

2
7

∗

5
6

=

5

21





 =

2
7

∗

1
6

=

1

21

 =

15
21

+

5

21

+

1

21

= 1

./ = −

50
21

+

25
21

+

150

21

=

125

21

012+ = ./



 − ./



012+ =

4125

21

−

15625

441

=

86625

441

−

15625

441

=

71000

441

= 160,99

./



 =

2500

21

+

125

21

+

1500

21

=

4125

21

3 = 4012+ = 4160,99

56 =

7

8

9

8

:

0, 6 ≤ −50

1

21

, −50 < 6 ≤ 5

6

21

, < 5 < 6 ≤ 10

1, 6 > 10

<

Rysunku nie chce mi się rysować

4. Punktowy wykres Poissona

 = 1000, - = 0,001, = = 0,1,2,3,4

> =  ∗ - = 1

?

= @

AB

∗

>

?

=!

C

=

1
@

∗

1
1

=

1
@

= 0,368



=

1
@

∗

1
1

=

1
@

= 0,368



=

1
@

∗

1

2!

=

1

2@

= 0,184



=

1
@

∗

1

3!

=

1

6@

= 0,061

D

=

1
@

∗

1

4!

=

1

24

@ = 0,015

5. Teoria

1) Własności dystrybuanty

- niemalejąca

- lewostronnie ciągła

-

lim

H→AJ

56 = 0 , lim

H→J

56 = 1

2) Aksjomaty wg Kołom agorowa

-

0 ≤
.

Prawdopodobieństwo zdarzenia

. jest liczbą rzeczywistą większą lub równą 0.

-

Ω = 1

Prawdopodobieństwo jest miarą skończoną

-

.



∪ .



∪ …  = Σ

,

.

,



Prawdopodobieństwo zdarzenia, które jest sumą rozłącznych zdarzeń, obliczamy jako sumę

prawdopodobieństw tych zdarzeń.

3) Wzór na wariancję

012+ =

NOP

.Q/ − ./



R

012+ = ./



 − ./



Autor: shenlon (

http://shenlon.eu

)