Probabilistyka i statystyka – zadania z kolokwium, grupa trzecia (2010.11.02)
1. Dane są 3 urny. W pierwszej jest 1 kula biała i 5 czarnych. W drugiej 3 kule białe i 3 czarne. W
trzeciej 2 kule białe i 4 czarne. Rzucamy kostką. Jeżeli wypadnie liczba parzysta losujemy jedną kulę z
1 urny. Jeżeli 1, jedną kulę z drugiej urny. W przeciwnym wypadku z trzeciej. Wiemy, że wylosowano
białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano kulę z 3 urny.
=
3
6
∗
1
6
+
1
6
∗
3
6
+
2
6
∗
2
6
=
3 + 3 + 4
36
=
10
36
=
5
18
| =
4
36
10
36
=
4
10
=
2
5
2. Mamy n kul białych i 3 czarne. Losujemy bez zwracania 2 kule. Jakie jest
dla >
.
Ω =
=
+ 3!
2 + 1!
=
+ 2 + 3
2
̿ =
=
!
2 − 2!
=
− 1
2
=
− 1
+ 2 + 3 >
1
2
2 − 1 − + 2 + 3 > 0
2
− 2 −
− 5 − 6 > 0
− 7 − 6 > 0
Δ = 49 + 24 = 73; √Δ = √73
=
7 + √73
2
≅ 7,77
=
7 − √73
2
< 0
Dla
≥ 8
3. Mamy zbiór
(1, … ,7*. Losujemy bez zwracania aż do wylosowania liczby pierwszej (razem z 1).
Jeżeli wylosujemy ją za pierwszym razem – wygrywamy 10 zł, za drugim – 5 zł, za trzecim razem –
tracimy 50 złotych
Oblicz rozkład zmiennej losowej. Wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe,
dystrybuantę
Pierwsze:
(1,2,3,5,7*, Niepierwsze: (4,6*
+
,
−50
5
10
-
,
1
21
5
21
15
21
=
5
7
=
15
21
=
2
7
∗
5
6
=
5
21
=
2
7
∗
1
6
=
1
21
=
15
21
+
5
21
+
1
21
= 1
./ = −
50
21
+
25
21
+
150
21
=
125
21
012+ = ./
− ./
012+ =
4125
21
−
15625
441
=
86625
441
−
15625
441
=
71000
441
= 160,99
./
=
2500
21
+
125
21
+
1500
21
=
4125
21
3 = 4012+ = 4160,99
56 =
7
8
9
8
:
0, 6 ≤ −50
1
21
, −50 < 6 ≤ 5
6
21
, < 5 < 6 ≤ 10
1, 6 > 10
<
Rysunku nie chce mi się rysować
4. Punktowy wykres Poissona
= 1000, - = 0,001, = = 0,1,2,3,4
> = ∗ - = 1
?
= @
AB
∗
>
?
=!
C
=
1
@
∗
1
1
=
1
@
= 0,368
=
1
@
∗
1
1
=
1
@
= 0,368
=
1
@
∗
1
2!
=
1
2@
= 0,184
=
1
@
∗
1
3!
=
1
6@
= 0,061
D
=
1
@
∗
1
4!
=
1
24
@ = 0,015
5. Teoria
1) Własności dystrybuanty
- niemalejąca
- lewostronnie ciągła
-
lim
H→AJ
56 = 0 , lim
H→J
56 = 1
2) Aksjomaty wg Kołom agorowa
-
0 ≤ .
Prawdopodobieństwo zdarzenia
. jest liczbą rzeczywistą większą lub równą 0.
-
Ω = 1
Prawdopodobieństwo jest miarą skończoną
-
.
∪ .
∪ … = Σ
,
.
,
Prawdopodobieństwo zdarzenia, które jest sumą rozłącznych zdarzeń, obliczamy jako sumę
prawdopodobieństw tych zdarzeń.
3) Wzór na wariancję
012+ =
NOP
.Q/ − ./
R
012+ = ./
− ./
Autor: shenlon (
http://shenlon.eu
)