Analiza 2

Z

7

1. Obliczyć w punktach osobliwych residuum funkcji

a)

f(z) =

2

2

)

1

(

−

z

z

,

b) f(z) =

1

1

2

+

+

z

z

,

c) f(z) =

z

z cos

1

2

d)

f(z) =

)

4

)(

1

(

2

2

−

−

z

z

z

,

e) f(z) =

)

1

(

2

2

+

z

z

e

z

.

2.

Obliczyć res

∞

f(z), jeżeli

a)

f(z) =

)

1

(

3

2

+

z

z

z

,

b) f(z) =

)

1

(

2

2

+

z

z

e

z

,

c) f(z) = (z – 3)

2

e

1/z

.

3. Obliczyć residua

a) res

0

3

cos

1

z

z

−

,

b) res

1

N

n

z

e

n

z

∈

−

,

)

1

(

,

c) res

0

(

6

)

2

z

z

+

.

4. Obliczyć

∫

K

dz

z

f )

(

, jeżeli K = K(0;2) jest okręgiem dodatnio skierowanym względem

wnętrza oraz

a)

f(z) =

)

1

(

2

2

+

z

z

e

z

, b) f(z) = z

4

cos

z

1

, c) f(z) =

1

4

3

−

z

z

, d) f(z) =

2

)

1

)(

3

(

z

z

z

−

+

.

5. Obliczyć całki niewłaściwe

a)

dx

x

x

∫

+ ∞

∞

−

+

1

2

cos

2

, b)

dx

x

x

∫

+ ∞

∞

−

+

4

cos

2

2

, c)

dx

x

x

x

∫

+ ∞

∞

−

+

−

2

2

sin

2

, d)

dx

x

x

x

∫

+ ∞

∞

−

+

−

2

2

cos

2

.

6.

Wiadomo, że

.

2

π

=

∫

+ ∞

∞

−

−

dx

e

x

Obliczyć

∫

+ ∞

∞

−

−

xdx

e

x

2

cos

2

, całkując funkcję f(z) =

2

z

e

−

po skier.dodatnio względem wnętrza brzegu prostokąta o wierzchołkach: z

1

= -R,

z

2

= R, z

3

= R + j, z

4

= -R + j, R > 1 ( a następnie przechodząc do granicy przy R

)

+ ∞

→

.

Odp.

1. a) 2, b) (1-j)/2, -(1-j)/2, c) 0, (-1)

k+1

/(

π

/2 + k

π

)

2

dla k = ...-2,-1,0,+1,+2,...

d) -1/6, -1/6, 1/6, 1/6, e) 1, je

j

/2, -je

-j

/2.

2. a) 0,

b) sin1-1, c) -37/6.

3. a)

2

1

,

b)

,

)!

1

(

−

n

e

c) 12.

4. a) 2

π

j/(1-sin1),

b) 0,

c) 2

π

j, d) 3

π

j/8.

5. a)

π

e

-2

,

b)

π

(1+e

-4

)/4,

c) (

π

sin1)/e, d) (

π

cos1)/e.

6.

e

π

.