Przekształcenie Fouriera:
x j=
∫
−∞
∞
x te
−
j t
dt
Odwrotne przekształcenie Fouriera:
x t= 1
2
∫
−∞
∞
x je
j
d
Całka Fouriera jest miarą zawartości oscylacji o pulsacji ω w funkcji x(t)
Warunkiem istnienie transformaty Fouriera jest spełnienie przez x(t)
warunków Dirichleta
1)
∫
−∞
∞
∣
xt
∣
dt∞
2) x(t) posiada skończone wartości maksimów i minimów w każdym
skończonym przedziale
3) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości w każdym skończonym
przedziale
Własności:
liniowość:
ax tbyt ⇔aX j bY j
symetria:
X jt⇐ 2 x−
skalowanie: xat ⇐
1
a
X
a
przesunięcie w dziedzinie czasu:
x t−t
0
⇐
e
−
j
0
x j
przesunięcie w dziedzinie częstotliwości:
e
±
j
0
x
t
⇐
X
j
±
0
modulacja rzeczywista: x tcos
0
t⇐ 1
2
[
x −
0
x
0
]
x tsin
0
t⇐
−
j
2
[
x −
0
−
x
0
]
iloczyn sygnałów:
z t=x t yt ⇐ x j
z j= 1
2
∫
−∞
∞
X Y j − dx
splot sygnałów:
Z j= X j Y j
pochodna sygnałów:
d
n
xt
dt
n
⇐
j
n
x j
całka sygnału
∫
−∞
t
xd ⇐ 1
j
X j x 0
korelacja sygnału:
z t= X j Y
*
j
równość parsevala:
∫
−∞
∞
∣
xt
2
∣
dt= 1
2
∫
− ∞
∞
∣
x j
2
∣
d
Transformata Z jest odpowiednikiem transformaty Laplace'a stosowanym
do opisu i analizy układów dyskretnych.
Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu f*(t) jest nazywane
przekształcenie postaci:
Z[f*(t)] = Z[f(kT)] = F(z)
i określane jest wzorem:
Fz =
∫
n=0
∞
f kT z
−
k
Własności:
liniowość: x
1
[
n]
z
X
1
[
z] obszar zbieżności Rx
1
x
2
[
n]
z
X
2
[
z]
obszar zbieżności Rx
1
ax
1
[
n
]
bx
2
[
n
]
2
aX
1
[
z
]
bX
2
[
z
]
przejście w czasie
mnożenie w szereg wykładniczy
różniczkowanie X(z)
sprzęrzenie szeregu zespolonego:
x
*
[
n
]
z
X
*
[
z
*
]
odwrócenie czasu: x
*
[−
n]
z
X
*
[
1
z
*
]
splot ciągów: x
1
[
n
]⋅
x
2
[
n
]
z
X
1
[
z
]⋅
X
2
[
z
]
Obliczanie transformaty Z: wiecej na 131 slajdzie
1) bezposrednio ze wzoru X z =
∑
n=n
1
n
2
b
n
z
−
n
2) metoda długiego dzielenia wielomianów
X z =
22z
−
1
z
−
2
1
z
−
1
3) metoda rozkładu na ułamki proste
X z =
22z
−
1
z
−
2
1
z
−
1
=
1
x
−
1
z
−
1
1
z
−
1
1
1
x
−
1
=
1
z
−
1
1
1
z
−
1
...∣
z∣1
4) metoda residułów
Jeżeli X(z) jest funkcją wymierną wówczas
x n=
∑
k
k
gdzie
k
to residua funkcji
Fz =z
n−1
X z
k
=
z−p
k
z
n− 1
X z/z=pk -
dla bieguna pojedynczego
k
=
1
m−1
⋅
d
m −1
dz
m− 1
[
z−pk
m
Fz
]
- dla
bieguna m-krotnego to
X z = 2
2z
−
1
z
−
2
1
z
−
1
=
2z
2
2z1
z
2
z
=
2z
2
2z1
z 1z
Fz =z
n−1
2z
2
2z1
z 1z
=
z
n
2z
2
2z1
z
2
1
z
n>2 jeden biegun
pojedynczy p1=-1 n=1 dwa bieguny pojedyncze p1=-1 p2=0, n=0 dwa
bieguny p1=-1(pojedynczy) p2=0 (podwojny)
Charakterystyka FFT,obliczanie FFT:
Szybka transformata Fouriera (ang. FFT od fast Fourier transformation) to
algorytm liczenia dyskretnej transformaty Fouriera oraz transformaty do niej
odwrotnej.
Najpopularniejszą wersją FFT jest FFT o podstawie 2. Jest to bardzo
efektywna operacja, jednak wektor próbek wejściowych (spróbkowany
sygnał) musi mieć długość N = 2k, gdzie k to pewna liczba naturalna. Wynik
otrzymuje się na drodze schematycznych przekształceń, opartych o tak zwane
struktury motylkowe. Dyskretna transformata Fouriera (DFT z ang. discrete
Fourier transformation) jest transformatą Fouriera wyznaczoną dla sygnału
próbkowanego, a więc dyskretnego.
DFT przekształca skończony ciąg próbek sygnału
a
0
,a
1
,... a
N−1
a
i
∈
R w ciąg harmonicznych
A
0
, A
1
,... A
N−1
A
i
∈
C zgodnie ze wzorem:
A
n
=
∑
k= 0
N−1
a
k
w
N
−
km
... 0
nN−1...w
N
=
e
i
2
N
gdzie:i - jednostka
urojona, n - numer harmonicznej, k - numer próbki sygnału, ak - wartość
próbki sygnału, N - liczba próbek.