Przekształcenie Fouriera:

x j=

∫

−∞

∞

x te

−

j t

dt

Odwrotne przekształcenie Fouriera:

x t= 1

2 

∫

−∞

∞

x je

j 

d

Całka Fouriera jest miarą zawartości oscylacji o pulsacji ω w funkcji x(t)

Warunkiem istnienie transformaty Fouriera jest spełnienie przez x(t)
warunków Dirichleta

1)

∫

−∞

∞

∣

xt

∣

dt∞

2) x(t) posiada skończone wartości maksimów i minimów w każdym
skończonym przedziale

3) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości w każdym skończonym
przedziale

Własności:
liniowość:

ax tbyt ⇔aX j bY j

symetria:

X  jt⇐ 2 x−

skalowanie: xat ⇐

1
a

X





a



przesunięcie w dziedzinie czasu:

x t−t

0

⇐

e

−

j

0

x j

przesunięcie w dziedzinie częstotliwości:

e

±

j

0

x



t

⇐

X



j

±

0



modulacja rzeczywista: x tcos 

0

t⇐ 1

2

[

x −

0



x 

0

]

x tsin 

0

t⇐

−

j

2

[

x −

0

−

x 

0

]

iloczyn sygnałów:

z t=x t yt ⇐ x j 

z  j= 1

2 

∫

−∞

∞

X  Y j − dx

splot sygnałów:

Z j= X j Y  j

pochodna sygnałów:

d

n

xt 

dt

n

⇐

j

n

x j

całka sygnału

∫

−∞

t

xd ⇐ 1

j

X  j x 0

korelacja sygnału:

z t= X j Y

*



j

równość parsevala:

∫

−∞

∞

∣

xt 

2

∣

dt= 1

2

∫

− ∞

∞

∣

x j 

2

∣

d 

Transformata Z jest odpowiednikiem transformaty Laplace'a stosowanym
do opisu i analizy układów dyskretnych.

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu f*(t) jest nazywane
przekształcenie postaci:

Z[f*(t)] = Z[f(kT)] = F(z)

i określane jest wzorem:

Fz =

∫

n=0

∞

f kT z

−

k

Własności:
liniowość: x

1

[

n]

z

X

1

[

z] obszar zbieżności Rx

1

x

2

[

n]

z

X

2

[

z]

obszar zbieżności Rx

1

ax

1

[

n

]

bx

2

[

n

]

2

aX

1

[

z

]

bX

2

[

z

]

przejście w czasie

mnożenie w szereg wykładniczy
różniczkowanie X(z)
sprzęrzenie szeregu zespolonego:

x

*

[

n

] 

z

X

*

[

z

*

]

odwrócenie czasu: x

*

[−

n]

z

X

*

[

1

z

*

]

splot ciągów: x

1

[

n

]⋅

x

2

[

n

]

z

X

1

[

z

]⋅

X

2

[

z

]

Obliczanie transformaty Z: wiecej na 131 slajdzie

1) bezposrednio ze wzoru X z =

∑

n=n

1

n

2

b

n

z

−

n

2) metoda długiego dzielenia wielomianów

X z =

22z

−

1



z

−

2

1

z

−

1

3) metoda rozkładu na ułamki proste

X z =

22z

−

1



z

−

2

1

z

−

1

=

1

x

−

1



z

−

1



1

z

−

1



1

1

x

−

1

=

1

z

−

1



1

1

z

−

1

...∣

z∣1

4) metoda residułów

Jeżeli X(z) jest funkcją wymierną wówczas

x n=

∑

k



k

gdzie 

k

to residua funkcji

Fz =z

n−1

X z



k

=

z−p

k



z

n− 1

X z/z=pk -

dla bieguna pojedynczego 

k

=

1

m−1

⋅

d

m −1

dz

m− 1

[



z−pk 

m

Fz 

]

- dla

bieguna m-krotnego to

X z = 2



2z

−

1



z

−

2

1

z

−

1

=

2z

2



2z1

z

2



z

=

2z

2



2z1

z 1z 

Fz =z

n−1

2z

2



2z1

z 1z

=

z

n



2z

2



2z1

z

2



1

z

n>2 jeden biegun

pojedynczy p1=-1 n=1 dwa bieguny pojedyncze p1=-1 p2=0, n=0 dwa
bieguny p1=-1(pojedynczy) p2=0 (podwojny)

Charakterystyka FFT,obliczanie FFT:

Szybka transformata Fouriera (ang. FFT od fast Fourier transformation) to
algorytm liczenia dyskretnej transformaty Fouriera oraz transformaty do niej

odwrotnej.
Najpopularniejszą wersją FFT jest FFT o podstawie 2. Jest to bardzo

efektywna operacja, jednak wektor próbek wejściowych (spróbkowany
sygnał) musi mieć długość N = 2k, gdzie k to pewna liczba naturalna. Wynik

otrzymuje się na drodze schematycznych przekształceń, opartych o tak zwane
struktury motylkowe. Dyskretna transformata Fouriera (DFT z ang. discrete

Fourier transformation) jest transformatą Fouriera wyznaczoną dla sygnału
próbkowanego, a więc dyskretnego.

DFT przekształca skończony ciąg próbek sygnału



a

0

,a

1

,... a

N−1



a

i

∈

R w ciąg harmonicznych



A

0

, A

1

,... A

N−1



A

i

∈

C zgodnie ze wzorem:

A

n

=

∑

k= 0

N−1

a

k

w

N

−

km

... 0

nN−1...w

N

=

e

i

2 

N

gdzie:i - jednostka

urojona, n - numer harmonicznej, k - numer próbki sygnału, ak - wartość

próbki sygnału, N - liczba próbek.