3. PodTel-wykład-Modulacja Kąta

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.

MODULACJA K

W poprzednio omówionych rodzajach modulacji

informacja zawarta w sygnale

f(t

) jest

przekazywa

za pomoc

zmian amplitudy fali no

nej.

za pomoc

zmian amplitudy fali no

nej.

Sygnał moduluj

cy mo

e równie

oddziaływa

Sygnał moduluj

cy mo

e równie

oddziaływa

t fazowy fali no

nej. Mówimy wówczas o

t fazowy fali no

nej. Mówimy wówczas o

modulacji k

Funkcjonał modulacji ma w tym przypadku posta

m (t) = e

)

(2.70)

przy czym faza funkcjonału jest uzale

niona od

przy czym faza funkcjonału jest uzale

niona od

sygnału moduluj

cego

sygnału moduluj

cego

(t) =

[f (t )]



Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.

MODULACJA K

Przyjmuj

c harmoniczn

fal

Przyjmuj

c harmoniczn

fal

c (t) = A

zapiszemy równanie zespolonego sygnału

zmodulowanego

zgodnie z zale

(2.1)

zgodnie z zale

(2.1)

postaci

s (

t)=c(t

)

m(t

)= A

t +

(t)]

(2.71)

Jako reprezentacj

sygnału fizycznego przyjmiemy

Jako reprezentacj

sygnału fizycznego przyjmiemy

ęść

rzeczywist

wyra

enia (2.71)

ęść

rzeczywist

wyra

enia (2.71)

(2.72)

przy czym

(2.73)

faza sygnału zmodulowanego.



)

(

cos

)]

(

cos[

}

Re{

)

(

)]

(

[

)]

(

[

)

(

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.

MODULACJA K

Z zale

ci (2.72) wynika,

e w procesie modulacji

Z zale

ci (2.72) wynika,

e w procesie modulacji

nast

puje uzale

nienie fazy chwilowej

nast

puje uzale

nienie fazy chwilowej

(t) sinusoidalnej

fali no

nej od sygnału moduluj

cego.

fali no

nej od sygnału moduluj

cego.

Amplituda sygnału zmodulowanego pozostaje natomiast

stała.

Ze wzgl

du na zwi

zek mi

dzy chwilow

faz

i chwilow

Ze wzgl

du na zwi

zek mi

dzy chwilow

faz

i chwilow

pulsacj

sygnału

pulsacj

sygnału

(2.74)

przy modulacji k

ta nast

puje zawsze uzale

nienie

przy modulacji k

ta nast

puje zawsze uzale

nienie

chwilowej cz

stotliwo

ci sygnału zmodulowanego od

chwilowej cz

stotliwo

ci sygnału zmodulowanego od

sygnału moduluj

cego.

sygnału moduluj

cego.

Obliczaj

c pochodn

wzgl

dem czasu wyra

enia (2.73)

Obliczaj

c pochodn

wzgl

dem czasu wyra

enia (2.73)

otrzymujemy

( 2.75)



)

(

)

(

)]

(

[

)

(

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.

MODULACJA K

liwe jest dwojakie uzale

nienie fazy funkcjonału

liwe jest dwojakie uzale

nienie fazy funkcjonału

modulacji od sygnału moduluj

cego:

modulacji od sygnału moduluj

cego:

MODULACJA FAZY

(PM

Phase Modulation)

[f ( t)] =

f ( t )

( 2.76)

W tym przypadku chwilowa

faza sygnału zmodulowanego

zmienia si

proporcjonalnie do chwilowej warto

ci sygnału

zmienia si

proporcjonalnie do chwilowej warto

ci sygnału

moduluj

cego, st

d nazwa omawianego rodzaju modulacji.

moduluj

cego, st

d nazwa omawianego rodzaju modulacji.

stotliwo

ść

chwilowa sygnału zmodulowanego przy

stotliwo

ść

chwilowa sygnału zmodulowanego przy

modulacji fazy (PM ) zmienia si

proporcjonalnie do

modulacji fazy (PM ) zmienia si

proporcjonalnie do

pochodnej sygnału moduluj

cego:

pochodnej sygnału moduluj

cego:

(2.77)











)

(

)

(

)

(

)

(

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.

MODULACJA K



∫

∞

−

)

(

)]

(

[











∫

f(t)

)

(

)

(

MODULACJA CZĘSTOTLIWOŚCI

(FM

Frequency

Modulation

)

(2.78)

W tym przypadku chwilowa faza sygnału zmodulowanego

zmienia si

proporcjonalnie do całki z sygnału moduluj

cego,

zmienia si

proporcjonalnie do całki z sygnału moduluj

cego,

Chwilowa

stotliwo

ść

natomiast

stotliwo

ść

natomiast

proporcjonalnie do

sygnału moduluj

cego

sygnału moduluj

cego

, st

d nazwa rodzaju modulacji

, st

d nazwa rodzaju modulacji

( 2.79)

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

SCHEMATY FUNKCJONALNE MODULATORÓW

Na rysunku 2.33

przedstawiono pogl

dowo

przedstawiono pogl

dowo

bloki modulatorów

oraz



MODULATOR

Rys. 2.33

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

SCHEMATY FUNKCJONALNE MODULATORÓW

Z okre

lenia operacji

Z okre

lenia operacji

wykonywanych przez

modulatory wynika,

posługuj

c si

posługuj

c si

odpowiednio układami

ró

niczkuj

cymi i

ró

niczkuj

cymi i

całkuj

cymi mo

całkuj

cymi mo

otrzyma

sygnały

otrzyma

sygnały

pomoc

modulatora

pomoc

modulatora

odwrotnie (rys. 2.34).



Rys. 2.34

a) MODULACJA FM :

układ całkujący + modulator

b) MODULACJA PM :

układ róŜniczkujący + modulator

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.1. MODULACJA PM I FM POJEDYNCZYM

SYGNAŁEM HARMONICZNYM

Rozwa

my na pocz

tku modulacj

fazy

Rozwa

my na pocz

tku modulacj

fazy

Niech sygnał moduluj

cy ma posta

Niech sygnał moduluj

cy ma posta

f (t)= A

sin

(2.80)

Chwilow

faz

i cz

stotliwo

ść

sygnału PM otrzymujemy

Chwilow

faz

i cz

stotliwo

ść

sygnału PM otrzymujemy

podstawiaj

c wyra

enie (2.80) do wzorów (2.77)

podstawiaj

c wyra

enie (2.80) do wzorów (2.77)

(2.81)

przy czym:









∆

∆Φ

cos

)

(

sin

)

(









∆Φ

∆

∆Φ

osci

czestotliw

dewiacja

fazy

dewiacja

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.1. MODULACJA PM I FM POJEDYNCZYM

SYGNAŁEM HARMONICZNYM



)

sin

cos(

)

(

cos

)

(

∆Φ

Dewiacja fazy

∆Φ

i dewiacja cz

stotliwo

i dewiacja cz

stotliwo

∆

f maj

sens

f maj

sens

maksymalnych odchyłek tych wielko

wywołanych

sygnałem moduluj

cym

sygnałem moduluj

cym

od fazy i cz

stotliwo

od fazy i cz

stotliwo

niemodulowanej fali no

nej.

niemodulowanej fali no

nej.

Sygnał zmodulowany w rozpatrywanym przypadku wyra

wzorem

(2.82)

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

SYGNAŁ PM ZMODULOWANY FALĄ HARMONICZNĄ

Konstrukcj

przebiegu

czasowego sygnału

)

zmodulowanego

fazowo fal

harmoniczn

pokazano na rys.

2.35



Sygnał modulujący

Faza chwilowa

Pulsacja chwilowa

Sygnał zmodulowany

Rys. 2.35

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

INTERPRETACJA WEKTOROWA MODULACJI

Na rys. 2.36.

przedstawiono

ilustracj

wektorow

ilustracj

wektorow

modulacji PM.

Koniec wektora

reprezentuj

cego

reprezentuj

cego

amplitud

chwilow

amplitud

chwilow

sygnału

zmodulowanego

lizga si

po łuku

lizga si

po łuku

koła o promieniu A

t fazowy w

kra

cowych

kra

cowych

poło

eniach osi

poło

eniach osi

warto

ść

równ

warto

ść

równ

dewiacji fazy.



Rys. 2.36

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

W celu wyznaczenia widma sygnału zmodulowanego fazowo

pojedynczą falą harmoniczną zapiszemy wyraŜenie (2.82) w postaci

(2.83)

Drugi człon w nawiasie kwadratowym po prawej stronie wyraŜenia (

2.83) jest funkcją okresową i moŜe być rozwinięty w szereg Fouri

era

(2.84)

przy czym

(

∆Φ

)

funkcja

Bessela

rodzaju

tego

rzędu.

Podstawiając szereg (2.84) do wyraŜenia (2.83) otrzymuje się

(2.85)

WIDMO SYGNAŁU ZMODULOWANEGO



}

Re{

)

(

sin

∆Φ

∑

∞

−∞

∆Φ

sin

)

(

∑

∞

−∞

∆Φ

)

(

cos

)

(

)

(

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

Uwzględniając znaną zaleŜność

(

∆Φ

) = (

(

∆Φ

)

(2.86 )

moŜemy wyraŜenie na sygnał modulowany fazowo

(2.85) zapisać w

postaci:



WIDMO SYGNAŁU ZMODULOWANEGO

−

∆Φ

−

∆Φ

−

∆Φ

−

∆Φ

∑

∞

−∞

]

)

cos(

)

)[cos(

(

]

)

cos(

)

)[cos(

(

]

)

cos(

)

)[cos(

(

cos

)

(

)]

(

)

(

)[

(

)

(

(2.87)

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

Z równania (2.87) wynika, Ŝe widmo sygnału

zmodulowanego

składa się

teoretycznie

nieskończenie wielu prąŜków

rozmieszczonych

symetrycznie względem pulsacji fali

nośnej

Odległość między sąsiednimi prąŜkami jest równa pulsacji

fali modulującej

Amplitudy prąŜków są określone przez wartości odpowiednich

funkcji

Bessela

dla zadanej dewiacji fazy.

Z przebiegu funkcji

Bessela

(rys. 2.37) wynika, Ŝe praktycznie

występująca w widmie liczba prąŜków jest

ograniczona,

Dla kaŜdej wartości dewiacji fazy moŜna znaleźć takie

max

powyŜej którego wartości funkcji

Bessela

(

∆Φ

) są malejące.



WIDMO SYGNAŁU ZMODULOWANEGO

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

MoŜna określić pasmo częstotliwości, na

zewnątrz którego nie występują prąŜki o

amplitudach przekraczających ustalony

poziom (

. 0,05 lub 0,01 A

)

Praktyczna szerokość pasma częstotliwości

sygnału PM zaleŜy więc od dewiacji fazy

∆Φ

która określa liczbę par prąŜków N

uwzględnianych w widmie, oraz od odległości

między prąŜkami, czyli od częstotliwości

modulującej

Mamy więc

B = 2 N

(2.88)

Funkcje

Bessela

go rodzaju

PASMO B



Rys. 2.37

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

Jeśli przyjąć, Ŝe widmo sygnału PM jest określone przez

wszystkie prąŜki, których amplituda jest większa niŜ 5%

amplitudy fali nośnej przed modulacją, to między liczbą par

uwzględnionych prąŜków a dewiacją fazy zachodzi następująca

zaleŜność przybliŜona

(2.89)

Przykładowe widma sygnałów PM pokazano na rys. 2.38.

PASMO B SYGNAŁU ZMODULOWANEGO









∆Φ

≤

∆Φ

≤

∆Φ

≈

dla

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

WIDMO SYGNAŁU ZMODULOWANEGO

ZauwaŜmy, Ŝe dla

ustalonej dewiacji

fazy, szerokość

pasma sygnału PM

jest

proporcjonalna do

częstotliwości

sygnału

modulującego.



f=2,5 kHz, N = 7, B = 35 kHz

f = 10 kHz, N =7, B = 140 kHz

Rys. 2.38. Widma sygnałów PM dla stałej dewiacji fazy

∆Φ

= 5 rd

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

MODULACJA CZĘSTOTLIWOŚCI

Przejdźmy teraz do MODULACJI CZĘSTOTLIWOŚCI FM, przyjmując

sygnał modulujący w postaci

f (t) = A

cos

(2.90)

Podstawiając wyraŜenie (2.90) do wzorów (2.79) znajdujemy

fazę chwilową i pulsację chwilową sygnału zmodulowanego

przy modulacji FM

(2.91)

ZauwaŜmy, Ŝe wyraŜenia (2.91) są formalnie identyczne jak

wyraŜenia (2.81).

W przypadku modulacji częstotliwości jednak dewiacja

częstotliwości

∆

∆ω

jest ustalona

dewiacja fazy

∆Φ

∆ω

natomiast

zaleŜy od częstotliwości sygnału modulującego









∆

∆Φ

cos

)

(

sin

)

(

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

(2.92)

SYGNAŁ ZMODULOWANY

FALĄ HARMONICZNĄ

WyraŜenie na sygnał zmodulowany przyjmuje teraz postać

)

sin

cos(

)

(

cos

)

(

∆Φ

Z porównania wyraŜeń (2.92) i (2.82) wynika, te

przy modulacji harmonicznej fali nośnej

przebiegiem harmonicznym fazowo i

częstotliwościowo otrzymuje się identyczne

wyraŜenia na sygnały zmodulowane.

Rodzaj modulacji jedynie określa zaleŜność

występującej w tych wyraŜeniach dewiacji fazy

od parametrów sygnału modulującego.

Ponadto między sygnałami zmodulowanymi PM

i FM takim samym sygnałem występuje pewne

przesunięcie fazowe.

Dla uniknięcia tego przesunięcia przyjęto

sygnał modulujący

d) Sygnał zmodulowany

c) Faza chwilowa

b) Pulsacja chwilowa

a) Sygnał modulujący

Rys. 2.39







dla

cos

dla

sin

)

(

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

SYGNAŁ ZMODULOWANY

FALĄ HARMONICZNĄ

Wprowadźmy pojęcie

WSKAŹNIKA MODULACJI

, kt

zdefiniujemy jako

dewiacj

fazy

∆Φ

przy PM i

jako

Stosunek dewiacji

stotliwo

ci do

sto

tliwo

moduluj

cej dla FM:

Korzystając z pojęcia

wskaźnika modulacji

zapisa

wyra

enie na sygna

zmodulowany k

towo

(fazowo PM lub

stotliwo

ciowo FM)

pojedyncz

fal

harmoniczn











⋅















∆

∆Φ

dla

przy

wówczas

dla

gdy

dla

przy

cos

sin

)

(

)

sin

cos(

)

(

(2.93)

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

Z (2.93) wynika, Ŝe widmo sygnału zmodulowanego jest jednoznaczn

określone przez wskaźnik modulacji

Przy modulacji PM wska

nik modulacji

Przy modulacji PM wska

nik modulacji

nie zale

od cz

stotliwo

od cz

stotliwo

moduluj

cej

moduluj

cej

Widmo PM ma zawsze jednakowy kształt (amplitudy poszczególnych

ąŜ

ków widma maj

jednakowe warto

ci), a tylko zmienia si

ąŜ

ków widma maj

jednakowe warto

ci), a tylko zmienia si

rozmieszczenie pr

ąŜ

ków na osi cz

stotliwo

ci (jego szeroko

ść

rozmieszczenie pr

ąŜ

ków na osi cz

stotliwo

ci (jego szeroko

ść

proporcjonalnie do cz

stotliwo

ci sygnału moduluj

cego (rys. 2.3

proporcjonalnie do cz

stotliwo

ci sygnału moduluj

cego (rys. 2.3

8).

Przy modulacji FM wskaźnik modulacji jest odwrotnie proporcjonalny do
częstotliwości sygnału modulującego

β ∼

1/f

, wobec tego

Kształt widma FM zmienia się przy zmianie częstotliwości f

Liczba prąŜków w widmie wzrasta przy zmniejszaniu częstotliwości, ale
jednocześnie maleje odległość między prąŜkami, tak Ŝe w przybliŜeniu
szerokość pasma sygnału FM jest niezaleŜna od częstotliwości sygnału
modulującego (rys. 2.40).

WIDMO SYGNAŁU ZMODULOWANEGO



Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

Dokładniej szeroko

ść

pasma sygnału FM mo

na oszacowa

Dokładniej szeroko

ść

pasma sygnału FM mo

na oszacowa

na podstawie wyra

enia ( 2.89).

na podstawie wyra

enia ( 2.89).

Przyjmuj

c N

Przyjmuj

c N

≈

+ 1 otrzymujemy

reguł

Carsona

. norm obowi

zuj

cych w Polsce w radiofonii UKF

. norm obowi

zuj

cych w Polsce w radiofonii UKF

FM:

∆

f =

50 kHz

, maksymalna dewiacja cz

stotliwo

ci a

, maksymalna dewiacja cz

stotliwo

ci a

= 15 kHz

maksymalna cz

stotliwo

ci sygnału moduluj

cego,

maksymalna cz

stotliwo

ci sygnału moduluj

cego,

wobec tego szeroko

ść

pasma wymagana dla transmisji FM

wobec tego szeroko

ść

pasma wymagana dla transmisji FM

jest równa

≈

2 ( 50 + 15) =

130 kHz

PASMO SYGNAŁU ZMODULOWANEGO









∆

≈

gdy

)

(

lub

gdy

)

(

(2.94)

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

Okre

limy jeszcze moc sygnałów zmodulowanych przy modulacji k

Okre

limy jeszcze moc sygnałów zmodulowanych przy modulacji k

Zgodnie z twierdzeniem

Parsevala

, moc sygnału jest równa sumie

mocy jego harmonicznych.

Dla modulacji

mamy wi

(2.95)

Z teorii funkcji

Bessela

wiadomo,

dla wszystkich

warto

, zatem

Moc przebiegu zmodulowanego k

towo jest wi

c taka sama jak moc

Moc przebiegu zmodulowanego k

towo jest wi

c taka sama jak moc

niemodulowanej fali no

nej

niemodulowanej fali no

nej

= P

MOC SYGNAŁÓW ZMODULOWANYCH



∑

∫

∞

−∞

∞

−

)

(

)

(

)

(

∑

∞

−∞

)

(

)

(

(2.96)

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

Rozpatrzymy przypadek modulacji

M harmonicznej fali no

nej sum

M harmonicznej fali no

nej sum

M drga

harmonicznych o dowolnych pulsacjach i dowolnych

M drga

harmonicznych o dowolnych pulsacjach i dowolnych

amplitudach.

Faza funkcjonału modulacji FM ma w tym przypadku posta

przy czym

stkowy wska

nik modulacji.

stkowy wska

nik modulacji.

Sygnał zmodulowany FM wyra

a si

wzorem

Sygnał zmodulowany FM wyra

a si

wzorem

2.5.2. MODULACJA

M GRUP

FALOW



(2.97)

∑

∫

sin

)

(

)

(

}

Re{

]

sin

cos[

)

(

sin

∑

⋅

∑

(2.98)

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

dy czynnik po prawej stronie wyra

enia (2.98) mo

na rozło

dy czynnik po prawej stronie wyra

enia (2.98) mo

na rozło

w szereg

Fouriera

Podstawiaj

c szereg (2.99) do zale

ci (2.98) otrzymujemy wyra

Podstawiaj

c szereg (2.99) do zale

ci (2.98) otrzymujemy wyra

enie na

sygnał zmodulowany

Widmo sygnału zmodulowanego zawiera falę nośną, której amplituda

jest

wyznaczona przez iloczyn funkcji

Bessela

zerowego rzędu od wszystkich

cząstkowych wskaźników modulacji

(

ββββ

) J

(

ββββ

) . . . J

(

ββββ

)

oraz

Fale boczne usytuowane wzgl

dem fali no

nej w odst

pach wszystki

Fale boczne usytuowane wzgl

dem fali no

nej w odst

pach wszystki

liwych kombinacji pulsacji

ich harmonicznych.

Amplitudy fal bocznych są, wyznaczone przez iloczyny odpowiednic

h funkcji

Bessela

2.5.2. MODULACJA

M GRUP

FALOW

(2.99)

(2.100)

∑

∞

−∞

⋅

sin

)

(

}

)

(

{

)

(

∞

−∞

∑

⋅

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

Widmo ma postać bardzo skomplikowaną; przy modulacji kątowej w

przeciwieństwie do modulacji amplitudy, nie obowiązuje zasada

superpozycji w odniesieniu do widm sygnałów.

Modulacja

jest więc

modulacją nieliniową

Mechanizm tworzenia widma mo

na przedstawi

pogl

dowo w

Mechanizm tworzenia widma mo

na przedstawi

pogl

dowo w

nast

puj

cy sposób.

nast

puj

cy sposób.

ZałóŜmy, Ŝe najpierw modulujemy falę nośną pojedynczym sygnałem

harmonicznym. Otrzymujemy wówczas widmo określone wyraŜeniem

(2.87).

Widmo, w przypadku równoczesnej modulacji dwoma sygnałami

harmonicznymi, otrzymamy traktuj

c ka

ze składowych widma

harmonicznymi, otrzymamy traktuj

c ka

ze składowych widma

powstaj

cego przy modulacji pojedynczym przebiegiem jako fal

powstaj

cego przy modulacji pojedynczym przebiegiem jako fal

modulowan

towo drugim przebiegiem.

modulowan

towo drugim przebiegiem.

Widmo sumaryczne wynika wówczas z nałoŜenia się widm od

poszczególnych fal bocznych (rys. 2.41). Identyczny sposób rozum

owania

moŜemy zastosować do dalszych składników grupy falowej.

2.5.2. MODULACJA

M GRUP

FALOW



Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.2. WIDMO MODULACJI

M GRUP

FALOW

Rys. 2.41. Widmo sygnału

zmodulowanego grup

falow

a) Modulacja pojedyncz

fal

harmoniczn

b) Modulacja grup

falow

(



Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

Szczególne znaczenie praktyczne ma modulacja fali harmonicznej

sygnałem prostokątnym

Przy PM wyst

puje wówczas tzw. kluczowanie fazy

Przy PM wyst

puje wówczas tzw. kluczowanie fazy

PSK

(

Phase

Shift

Keying

)

W przypadku FM natomiast

kluczowanie cz

stotliwo

kluczowanie cz

stotliwo

FSK

(

Frequency

Shift

Keying

)

Obie metody stosuje si

na przykład w transmisji danych.

Obie metody stosuje si

na przykład w transmisji danych.

2.5.3. KLUCZOWANIE FAZY PSK

lub CZĘSTOTLIWOŚCI FSK



Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

W celu określenia widma sygnału PSK przedstawimy

funkcjonał modulacji w postaci szeregu Fouriera:

Podstawiając wyraŜenie (2.103) do wzoru (2.1) otrzymuje

my równanie zespolonego sygnału zmodulowanego

2.5.3.1 KLUCZOWANIE FAZY PSK

(2.103)



∫

∑

−

∞

−∞

⋅

]

)

(

[

)

(

czym

przy

)

(

∑

∞

−∞

⋅

)

(

PSK

)

(

(2.104)

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.3.1 KLUCZOWANIE FAZY PSK

Znalezienie widma sygnału

zmodulowanego sprowadza się

więc do wyznaczenia

współczynników

. Dla sygnału

PSK, którego konstrukcję

pokazano na rys. 2.42.

Współczynniki

wyraŜają się

zaleŜnościami:

(2.105)









∆Φ

sin

cos

a) Sygnał modulujący

b) Faza chwilowa

c) Pulsacja chwilowa

d) Sygnał zmodulowany

Rys. 2.42. Sygnał

PSK

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.3.1 WIDMO SYGNAŁU PSK

Sygnał zmodulowany w omawianym przypadku ma więc postać

(2.106)

...}

]

)

cos(

)

[cos(

sin

]

)

cos(

)

[cos(

sin

]

)

cos(

)

[cos(

sin

cos

{cos

)

(

PSK

−

∆Φ

−

∆Φ

−

∆Φ

Rys. 2.43. Widmo sygnału PSK

• W widmie sygnału PSK występują tylko
prąŜki boczne nieparzystych rzędów.

•

Amplitudy fali nośnej i fal bocznych

zaleŜą od dewiacji fazy (wskaźnika
kluczowania).

• W miarę zbliŜania się dewiacji fazy do

/2 maleje amplituda fali nośne j i rosną

amplitudy fal bocznych.

•

Dla

∆Φ

/2, gdy skok fazy wynosi

znika fala nośna (rys. 2.43). Wektory
składowych bocznych widma sygnału PSK
są w fazie z wektorem fali nośnej.

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

Sygnały FM moŜna generować bezpośrednio modulując częstotliwość

fali

nośnej (bezpośrednia FM) bądź teŜ

najpierw całkując sygnał modulujący, a następnie modulując nim f

azę

przebiegu nośnego (

POŚREDNIA FM.

rys. 2.34a).

POŚREDNIA FM

Podstawową zaletą pośredniej modulacji częstotliwości jest łatwo

ść

stabilizacji częstotliwości fali nośnej, na przykład za pomocą g

eneratora

kwarcowego.

Modulator FM z modulacją pośrednią składa się z układu całkujące

go i

modulatora fazy.

Sygnał modulowany fazowo PM moŜna otrzymać sumując sygnał

dwuwstęgowy bez fali nośnej

DSB

, otrzymany na wyjściu modulatora

zrównowaŜonego, z falą nośną przesuniętą w fazie o 90°.

Modulator działający na tej zasadzie jest nazywany modulatorem A

rmstronga

(rys. 2.46).

2.5.4. GENERACJA SYGNAŁÓW FM



Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.4. GENERACJA SYGNAŁÓW FM

Do fali nośnej o amplitudzie A

dodaje się składową prostopadłą o

wartości chwilowej (pA

cos

), b

wypadkow

ch wektor

reprezentuj

cych fale boczne. Faza chwilowa wektora wypadkowego

wyra

a si

wzorem

Rozwijaj

c praw

stron

wyra

enia (2.114) w szereg pot

gowy

otrzymujemy

Jak wida

, w w y r a

eniu na faz

chwilow

wyst

puje sygna

moduluj

oraz jego harmoniczne, powstaj

c zniekszta

cenia nieliniowe.

Wsp

czynnik zawarto

ci 3

harmonicznej h

≈

0,25 p

dla h

≤

3%, p=0,35, co dla f

=40 Hz odpowiada dewiacji

∆

f=90 Hz.

)

cos

(

arctg

)

(



(2.114)

−

cos

)

(

(2.115)

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.4. GENERACJA SYGNAŁÓW FM

Innym sposobem otrzymania sygnałów PM jest wykorzystanie wzmacni

acza

rezonansowego sterowanego źródłem prądowym, w którym do zacisków

obwodu rezonansowego dołącza się reaktancję o wartości sterowane

sygnałem modulującym (rys. 2. 48).

Kąt fazowy napięcia na wyjściu wzmacniacza wyraŜa się wzorem

(2.119)

przy czym:

pulsacja fali nośnej;

pulsacja rezonansowa obwodu; Q

dobroć obwodu.



)

(

arctg

⋅

−

Rys. 2.48. Modulator PM z obwodem rezonansowym

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.4. GENERACJA SYGNAŁÓW FM

Jeśli pulsacja fali nośnej jest zbliŜona do pulsacji rezonansowe

j obwodu

(

≈

1), to wyra

enie (2.119) mo

na sprowadzi

do postaci

(2.120)

w której

∆ω

rozstrojenie obwodu.

W charakterze elementu o zmiennej reaktancji moŜna uŜyć na przyk

ład

warikapu włączonego równolegle do obwodu rezonansowego, wówczas

(2.121)

przy czym

∆

zmiana pojemno

ci warikapu pod wpływem sygnału

zmiana pojemno

ci warikapu pod wpływem sygnału

moduluj

cego; C

moduluj

cego; C

wypadkowa pojemno

ść

w obwodzie rezonansowym

wypadkowa pojemno

ść

w obwodzie rezonansowym

dostrojonym do fali no

nej.

dostrojonym do fali no

nej.

Podstawiając wyraŜenie (2.121) do zaleŜności (2.120) otrzymujemy

(2.122)



)

(

arctg

⋅

∆

≈

∆

arctg

∆

−

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.4. GENERACJA SYGNAŁÓW FM

Jeśli zmiany pojemności warikapu

∆

C są proporcjonalne do sygnału

modulującego, to w omawianym modulatorze występują takie same

zniekształcenia nieliniowe, jak w modulatorze Armstronga.

Na ogół pojemność warikapu nie zaleŜy liniowo od sygnału moduluj

ącego, co jest

źródłem dodatkowych zniekształceń.

Opisane modulatory fazy pozwalają na generację sygnałów PM o mał

ej dewiacji

fazy.

Zwiększenie dewiacji fazy jest moŜliwe przez kaskadowe łączenie

modulatorów,

przy czym do wszystkich modulatorów doprowadza się ten sam sygna

modulujący.

Dewiacje fazy w tym przypadku sumują się, tak Ŝe zastosowanie N

modulator6w

fazowych w kaskadzie umoŜliwia uzyskanie sygnału o

krotnie

zwiększonej

dewiacji. Schemat trójkrotnego modulatora kaskadowego pokazano n

a rys. 2.49.



Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.4. GENERACJA SYGNAŁÓW FM

W tym układzie modulację fazy uzyskuje się w trójobwodowym filtr

ze pasmowym.

W kaŜdym obwodzie jako element sterowany włączono warikap.

Zmieniając polaryzację

warikapów

, zmienia się ich pojemność, a zatem i fazę fali nośnej.

W opisanym układzie moŜna uzyskać liniową modulację fazy w grani

cach

∆Φ

= ±180

bez

znacznej pasoŜytniczej modulacji amplitudy [44].



Rys. 2.49. Modulator PM z trójobwodowym filtrem pasmowym

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.4. GENERACJA SYGNAŁÓW FM

DuŜą dewiację fazy moŜna równieŜ uzyskać w układzie złoŜonym z m

odulatora połoŜenia

impulsów i filtru pasmowego (rys. 2.50).

Wystarcza bowiem wyfiltrować jedną z harmonicznych przebiegu

impulsowoego

modulowanym połoŜeniu (lub szerokości), aby otrzymać sygnał sinu

soidalny z modulacją

fazy (patrz p. 2.7.2).



Rys. 2.50.

Schemat blokowy modulatora fazy z wykorzystaniem modulatora poło

Ŝenia impulsów

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.4. GENERACJA SYGNAŁÓW FM

BEZPOŚREDNIA FM

Przy bezpośredniej modulacji częstotliwości sygnał modulujący od

działywa

wprost na częstotliwość fali nośnej.

Zwykle do tego celu wykorzystuje się oscylatory elektroniczne, w

których jeden z

elementów reaktancyjnych (L lub C), określających częstotliwość

obwodu

rezonansowego, jest zmieniany proporcjonalnie do sygnału moduluj

ącego f( t).

Jeśli L i C są odpowiednio indukcyjnością i pojemnością obwodu r

ezonansowego

oscylatora, to częstotliwość oscylacji w jest określona zaleŜnoś

cią

ZałóŜmy, Ŝe pojemność obwodu jest liniowo zaleŜna od sygnału mod

ulującego



(2.123)

)]

(

[

)

(

(2.124)

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.4. GENERACJA SYGNAŁÓW FM

Podstawiając zaleŜność (2.124) do wzoru (2.123) otrzymujemy

Jeśli (a

f(t

)/C

) <<1, to

przy czym:



(2.125)

(2.126)

)]

(

[

)

(

)]

(

[

−

≈

;

−

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.4. GENERACJA SYGNAŁÓW FM

Przebieg wyjściowy oscylatora jest oczywiście Ŝądanym sygnałem F

Podobnie moŜna wykazać, Ŝe utrzymując stałą wartość pojemności,

a zmieniając

indukcyjność w funkcji sygnału modulującego otrzymujemy równieŜ

sygnał FM.

Jako elementy reaktancyjne zaleŜne od sygnału modulującego wykor

zystuje się

zwykle półprzewodnik parametryczne (

warikapy

, waraktory).

Przykład modulatora FM z diodą parametryczną pokazano na rys. 2.

51.



Jako elementy o zmiennej reaktancji mogą
być równieŜ wykorzystane:
•

lampy elektronowe,

•

tranzystory,

•

cewki z rdzeniem magnetycznym o

zmiennym nasyceniu

, a takŜe

•

kondensatory lub cewki włączone w szereg

z opornikiem o zmiennej rezystancji

Rys. 2.51. Modulator częstotliwości z diodą parametryczną

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.5. DEMODULACJA SYGNAŁÓW FM

W celu odtworzenia sygnału modulującego

f(t

) z sygnału FM musimy zrealizować

układ, którego przebieg wyjściowy zmienia się liniowo ze zmianą

częstotliwości

sygnału wejściowego.

Detektory częstotliwości są zatem elementami czułymi na częstotl

iwość i są

równieŜ zwane DYSKRYMINATORAMI CZĘSTOTLIWOŚCI.



• Dwa jednakowe obwody rezonansowe są
odstrojone od częstotliwości środkowej

jeden o

∆ω

drugi o

∆ω

• W układzie tym następuje zamiana sygnału FM na
sygnał o modulowanej amplitudzie, który jest
następnie demodulowany za pomocą detektora
obwiedni.

charakterystyka (b)

Rys. 2.52. Dyskryminator częstotliwości Travis’a (a)

Dr W.J. Krzysztofik

4. Podstawy Telekomunikacji

2.5.5. DEMODULACJA SYGNAŁÓW FM

Inny rodzaj detektora częstotliwości, zwanego

DYSKRYMINATOREM FAZY

, pokazano na rys.

2.53.

W detektorze wykorzystuje się filtr pasmowy

złoŜony z dwóch sprzęŜonych obwodów

rezonansowych.

W przeciwieństwie do dyskryminatora

częstotliwości, obydwa obwody są dostrojone

do pulsacji środkowej

Do kaŜdej diody jest doprowadzone napięcie

z obwodu pierwotnego oraz po połowie

napięcia u

z obwodu wtórnego.

Przy częstotliwości rezonansowej napięcie u

jest przesunięte w fazie względem napięcia u

o 90°.

Jak wynika z wykresu wektorowego (rys.

2.53b) napięcia na obu diodach są, w tym

przypadku jednakowe i napięcie wyjściowe u

jest równe zeru.

Przy odstrojeniu (rys. 2.53c) napięcie na

jednej diodzie rośnie, a na drugiej maleje, tak

Ŝe na wyjściu dyskryminatora pojawia się

napięcie w przybliŜeniu proporcjonalne do

odstrojenia

∆ω



Rys. 2.53. Dyskryminator fazy (a)

b) wykres wektorowy dla

;

c) dla