Egzamin pisemny z matematyki
Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 2, r.ak. 2006/2007
ZADANIA
Zad.Z1 [8p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 1]
îÅ‚ Å‚Å‚
4 -1 -1
ïÅ‚ śł
Sprawdzić, że  = 1 jest wartością własną macierzy A = -1 2 -1 a następnie
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 -1 4
wyznaczyć zbiór wszystkich wektorów własnych tej macierzy, które odpowiadają wartości własnej
 = 1 .
Zad.Z2 [8p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 2]

x2 y2
Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = 5 1 - - w jej dziedzinie
4 9
naturalnej (sporzadzić rysunek dziedziny).
Zad.Z3 [8p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 3]
Obliczyć moment bezwładności względem osi OZ bryły jednorodnej o gęstości (x, y, z) = 0
ograniczonej paraboloidą z = 2x2 + 2y2 i płaszczyzną z = 8 (sporządzić rysunek bryły).
Zad.Z4 [8p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 4]
Korzystając z metody przewidywań rozwiązać równanie: y + y = sin x .
Zad.Z5 [8p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 5]
ex
W przedziale (0, +") wyznaczyć całkę ogólną równania y - 2y + y = .
x
Max. 40 pkt
TEORIA
Zad.T1 [3p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 1]
Podaj co najmniej trzy własności iloczynu wektorowego.
Zad.T2 [3p+3p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 1 i 2]
x-3 y z+1 x-2 y+1 z
a) Wykażać, że proste l1 : = = i l2 : = = są skośne.
4 3 3
"3 4 2
b) Znalez
ć kąt jaki tworzy płaszczyzna -x + y + 2z - 5 = 0 z płaszczyzną OYZ.
Zad.T3 [3p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 2]
Napisać wzory na różniczkę zupełną funkcji f(x, y) pierwszego i drugiego rzędu.
Zad.T4 [3p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 3]
Obliczyć pochodną w punkcie (1, 1) funkcji uwikłanej y = y(x) określonej równaniem:
x2y + xy2 - 2 = 0.
Zad.T5 [2p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 3]
Równanie różniczkowe y + y(y )3 = 0 sprowadzić do równania rzędu pierwszego.
Zad.T6 [3p - rozwiÄ…zanie piszemy na stronie 4]
Podać definicję liniowej niezależności w przedziale I układu trzech funkcji f1(x), f2(x), f3(x).
Max. 20 pkt