PODSTAWY INFORMATYCZNYCH SYSTEMÓW ZARZ
DZANIA
Matematyczne Modelowanie Systemów
SYSTEM - pewna całość wyodrębniona z całości, która nas otacza, w której współdziałają
wyodrębnione części składowe. Funkcjonowanie systemu zależy od funkcji części składowych.
OTOCZENIE
WY
WE
SYSTEM
Teoria i technika systemów zajmują się wspólnymi problemami, metodami i technikami
dotyczącymi opisu własności i sposobów rozwiązywania zadań, których przedmiotem są systemy
o różnej naturze.
W szczególności teoria systemów zajmuje się:
kreowaniem modeli i modelowaniem
identyfikacjÄ… i rozpoznawaniem
sterowaniem (kierowaniem, zarzÄ…dzaniem)
Cele budowy systemów:
Opis i wyjaśnienie mechanizmu działania systemu
Przewidywanie zachowania się systemu w przyszłości i przy różnych warunkach oddziaływania na
system
Wybór właściwych oddziaływań wejściowych spełniających określone warunki
Części składowe systemu:
komponenty elementy podsystemy
człony działy obiekty
bloki moduły
Uwaga! System może być jednoelementowy.
System - przykłady:
energetyczny informacyjny ekonomiczny
elektrociepłowni monitorujący nawigacji
bukmacherski alarmowy bankowy
telefoniczny operacyjny
System elektrociepłowni:
z
ródło wody
urzÄ…dzenia do podgrzewania
...
System przesyłania informacji:
z
ródła informacji
nadajniki
media transmisyjne
antena
odbiornik
...
Identyfikacja i rozpoznawanie:
warunki deterministyczne
warunki probabilistyczne
!Stabilność - ważna cecha w sterowaniu systemu/układu !
zakłócenia
Zadanie syntezy, kierowania, podejmowania decyzji:
y * = a u + a u
1 11 1 12 2
WE
WY
y * = a u + a u
2 21 1 22 2
u * = ?; u * = ?
1 2
u1 y1
u2 y2
Sposoby opisu systemu:
słowny, formalny, analityczny, symboliczny, schematy blokowe, grafy czynności itp., system
przetwarzania danych - komputer
Kreowanie modeli (modelowanie):
1 model dokładny
2 budowa modelu
3 model arbitralny
MODELOWANIE SYSTEMÓW
Wiedza eksperymentalna
eksperyment - teoria - model: czynny lub bierny (bez wpływu zewnętrznego)
IDENTYFIKACJA - działania mające na celu wyznaczenie modelu matematycznego danego
obiektu, zjawiska lub systemu na podstawie wiedzy o jego zachowaniu
OBIEKT IDENTYFIKACJI - proces, dla którego ustala się model, czyli zależność zmiennych  u
od  y
Zmienne wejściowe/wyjściowe
WYMAGANIE - poprawność modelu, czyli jego adekwatność do zachowania się obiektu -
przybliżenie rzeczywistości
Czemu nie jesteśmy w stanie dokładnie opisać obiekt rzeczywisty?
Ze względu na nieskończoną ilość czynników wpływowych...
Schemat procesu, Ogólny schemat procesu identyfikacji
Etapy procesu indentyfikacji:
Wybór struktury modelu (klasy modelu) na podstawie dostępnej wiedzy o zachowaniu się obiektu
Ustalenie planu eksperymentu (bierny lub czynny)
Przeprowadzenie eksperymentu - pomiary
Przetworzenie wyników pomiarów...
Klasa modeli:
Określenie klasy modelu - wybór ogólnego wyrażenia matematycznego
Przykład klas należących do klasy modeli wielomianowych y = ą ur
Algorytm identyfikacji określa jak powinny być przetwarzane uzyskane pomiary, aby otrzymać
przybliżone wartości współczynników modelu.
 Wyliczenie wartości liczbowych...
MODELE: deterministyczne, probabilistyczne
Niech dla obiektu jednowymiarowego łączny rozkład u i y będzie normalny:
f(u,y) = [1/(2Ä„)] e{-[(x2-2xy+2y2)/2]}
Stąd= [1/(2Ą)] +"e{-[(x2-2xy+2y2)/2]}dy = [1/( 2 Ćą )] e {-[u2/4]}
ćą
oraz f (y|u) = f(u,y) / f (u) = (1 / ) e {- [y - u/2]2}
x
y u ćą
Mamy zatem:
Åš*(u) = = (1 / ) +"ye {-[-y - u/2]2dy = u/2
x
ćą
Najlepszy model jest więc liniowy
Q = E (Y - Y)2 -> Q* = Ã2*
Jest to ogólna prawidłowość, można bowiem pokazać, żę jeśli f (y|u) jest gęstością
y
wielowymiarowego rozkładu normalnego, to funkcja regresji jest liniowa.
Rozpatrzmy przypadek:
Åš(u,a) = aTu + b
lub Åš(u,a) = b + aTu + uTQu
Q - macierz symetryczna
Ś(u,a) = a Ć (u) + a Ć (u) + ... + a Ć (u)
1 1 2 2 y y
Q = +" +" [y - Åš(u,a)]2 f (y|u) f (u) dudy = Ã2 + +" [E (y|u) - Åš(u,a)]2 f (u)du
r u y y u u u y
Zależność między regresją I a regresją II rodzaju
ROZPOZNAWANIE SYSTEMÓW
Rozpoznawanie: zaliczenie obiektu do jednej z klas na podstawie zaobserwowanych (zmierzonych)
cech obiektu
Przykłady:
 Diagnostyka medyczna
Obiekt - pacjent (symptomy, objawy)
klasa - nr choroby
 Diagnostyka techniczna
Obiekt - samochód, klasa - rodzaj usterki
 Diagnostyka informatyczna
Obiekt - wirus komputerowy, klasa - kategoria wirusa
Cecha - mierzalny atrybut obiektu
Wektor cech - przechowuje cechy w uporządkowany sposób (d liczb)
Przestrzeń cech - zbiór wszystkich możliwych wartości wektora cech
Algorytm rozpoznania - (klasyfikator, reguła decyzyjna) - odwzorowuje wektor cech w numer klasy
Rodzaje cech:
Ciągłe (temperatura, napięcie)
Dyskretne (liczba procesów)
Binarne (występowanie bólu)
Jednowymiarowe (ciśnienie śródoczne)
Wielowymiarowe (matryca pikseli obrazu)
Własności obszarów decyzyjnych:
(i) (i)
1 Obiekt nie może należeć do 2 różnych obszarów jednoczeÅ›nie D )" D = Õ
x x
2 Każdy obiekt należy do jakiegoś obszaru
Algorytm rozpoznawania z uczeniem
Algorytm - najbliższy sąsiad (NN)
Estymatory nieparametryczne (Parzena)
podejście Bayesa
Systemy wspomagania podejmowania decyzji
Podejmowanie dycyzji:
Dane: Model systemu
Pożądana wartość WY
Zbiór możliwych decyzji V
Szukane: Wartość WE, taka że na WY uzyskamy pożądaną wartość
...
SYSTEMY ZA
OŻONE
Przykład - zbiór elementów
Typy struktur złożonych:
szeregowe/kaskadowe ( cascade )
równoległa ( parallel )
ze sprzężeniem zwrotnym ( feedback )
mieszane ( mixed )
Wyznaczanie transmitancji wypadkowych liniowych układów jednowymiarowych
1. Transmitancja wypadkowa zespołu członów połączonych szeregowo (łańcuchowo)
2. Transmitancja wypadkowa zespołu członów połączonych równolegle
3. Transmitancja wypadkowa układu ze sprzężeniem zwrotnym
4. Zmiana położenia węzłów sumacyjnych i rozgałęz
nych
4.1 przeniesienie węzła symacyjnego z wejścia elementu na jego wyjście
4.2 przeniesienie węzła sumacyjnego z wyjścia elementu na jego wejście
4.3 przeniesienie węzła rozgałęzionego z wejścia elementu na jego wyjście
4.4 przeniesienie węzła rozgałęzionego z wyjścia elementu na jego wejście
4.5 zamiana miejsc węzłów sąsiadujących ze sobą
G2
+
y
x x
u
G1 G3
-
G3
w
+
+
u y
K
x
DYNAMIKA SYSTEMÓW
SYSTEMY: DYNAMICZNE, STATYCZNE
Własności dynamiczne systemów wynikają z działania następujących ogólnych ZASAD
FIZYCZNYCH:
przy ograniczonych wydajnościach z
ródeł każda nie nieskończenie mała zmiana stanu
energetycznego lub materiałowego wymaga pewnego czasu (bezwładność - inercja)
każde skończone przemieszczenie się w przestrzeni zjawiska materialnego wymaga pewnego czasu
(opóz
nienie)
CZA
ON INERCYJNY
Równanie różniczkowe wejście - wyjście:
Ty + y = ku
k - współczynnik wzmocnienia określony jako stosunek odpowiedzi y do wymuszenia u w stanie
ustalonym
T - stała czasowa
Charakterystyka skokowa:
h(t) = k( 1 -exp (-t/T)1(t)
Odpowiedz
impulsowa:
g(t) = k/T exp (-t/T) 1(t)
Transmitancja: G(s) = k / (1 +sT)
SYSTEMY DYNAMICZNE
Ogólny, uniwersalny podział systemów:
statyczne:
wyjście systemu w każdej chwili zależy tylko od wejścia w tej chwili
 nie pamięta histori
y(t) = f (Ä…f
, u(t))
dynamiczne:
 pamięta historię
Każdy obiekt dynamiczny charakteryzuje jego stan
Opis systemu: opis zmian stanu systemu w zależności od...
Istnieją 3 główne analityczne metody opisu:
równanie różniczkowe Ty + y = ku
funkcje przejścia (transmitancja) K(s) = Y(s) / U(s) = k/ (1 + sT)
opis w przestrzeni stanów x = -(1/T)x + (k/T)u; y=x
System dyskretny to taki, który zmienia się lub może być obserwowany w dyskretnych chwilach
czasu.
*systemy ciągłe/dyskretne