Dr inż. Janusz Dębiński

Wytrzymałość materiałów

−

zadania sprawdzające

−

przewodnik do

zadań

3. Analiza płaskiego stanu naprężenia

3.1. Zadania 1

−

16

Stan naprężenia w punkcie opisujemy za pomocą tablicy nazywanej tensorem naprężenia. Ma ona na-

stępującą postać

σ

=

[

σ

X

0

τ

XZ

0

0

0

τ

ZX

0

σ

Z

]

,

(3.1)

gdzie na głównej przekątnej znajdują się naprężenia normalne, a pozostałe dwa miejsca zajmują naprężenia
styczne, które spełniają zależność

τ

XZ

=

τ

ZX

.

(3.2)

Graficzną interpretację tensora (3.1) znajdziemy w punkcie 2.5 przewodnika do „Stanu naprężenia w prze-
kroju pręta”.

3.2. Zadania 17

−

32

Dodatnie naprężenie główne jest naprężeniem rozciągającym, czyli ma zwrot od boku elementarnego

kwadratu. Kąt nachylenia osi głównych jest dodatni, jeżeli kręci on od osi Z w kierunku osi X, a ujemny
jeżeli kręci przeciwnie. Dodatni kąt nachylenia osi głównych możemy zobaczyć na rysunku 3.1a, natomiast
ujemny kąt widzimy na rysunku 3.1b.

X

gl

X

gl

Z

gl

Z

gl

X

Z

X

Z

α

gl

> 0

α

gl

< 0

a)

b)

Rys. 3.1. Naprężenia główne w płaskim stanie naprężenia. a) dodatni kąt nachylenia osi głównych, b) ujemny kąt

nachylenia osi głównych

Dr inż. Janusz Dębiński

BNS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zadania sprawdzające

−

przewodnik do zadań

−

Analiza płaskiego ...

2

3.3. Zadania 33

−

34

Czyste ścinanie jest szczególnym przypadkiem stanu naprężenia. Występuje ono w środku ciężkości

przekroju pręta, w którym działa siła poprzeczna oraz moment zginający. Jak widzimy na rysunku 3.2 przy
czystym ścinaniu działają tylko naprężenia styczne. Naprężenia główne przy czystym ścinaniu:

•

są nachylone pod kątem 45

O

w stosunku do czystego ścinania

•

ich wartości bezwzględne są równe wartości bezwzględnej naprężenia stycznego

•

jedno z naprężeń głównych jest rozciągające, a drugie ściskające.

Aby wyznaczyć, które naprężenie jest rozciągające, a które ściskające, posłużymy się mechanizmem wi -
docznym na rysunku 3.2. W mechanizmie tym:

•

utwierdzamy lewą krawędź

•

wprowadzamy w każdym narożniku przegub

−

mechanizm ma jeden stopień swobody

•

przemieszczamy prawy bok mechanizmu zgodnie z kierunkiem odpowiedniego naprężenia stycz-
nego

−

rysunek 3.2

•

przekątna mechanizmu, która uległa wydłużeniu określa nam kierunek głównego naprężenia rozcią-
gającego

−

kolor czerwony

•

przekątna mechanizmu, która uległa skróceniu określa nam kierunek głównego naprężenia ściska-
jącego

−

kolor niebieski.

Na rysunku 3.2 widzimy naprężenia główne w obu przypadkach czystego ścinania.

X

Z

τ

X

Z

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

a)

b)

τ

τ

τ

τ

Rys. 3.2. Naprężenia główne przy czystym ścinaniu. a) dodatnie naprężenie styczne, b) ujemne naprężenie styczne

3.4. Zadania 35

−

38

Aby narysować graficznie stany naprężenia w pięciu punktach na wysokości przekroju należy zastoso-

wać ich wykresy. Przykładowe wykresy możemy zobaczyć na rysunku 3.3. Jak widać na nim moment
zginający M rozciąga górną część przekroju, a ściska dolną. Wobec tego w punktach numer 1 i 2 naprężenie
normalne

σ

X

jest dodatnie, w punktach numer 4 i 5 ujemne, a w punkcie numer 3 wynosi zero. Jak wiadomo

naprężenia styczne

τ

XZ

mają ten sam zwrot co siła poprzeczna T. Jeżeli siła ta ma zwrot zgodny ze zwrotem

osi Z, naprężenia styczne

τ

XZ

w całym przekroju są dodatnie. Przy sile poprzecznej działającej do góry na-

prężenia styczne są ujemne. Elementarne kwadraty w punktach od numeru 1 do 5 widzimy na rysunku 3.4.

3.5. Zadania 39

−

46

Naprężenia główne działające w dowolnym punkcie przekroju pręta oznaczamy jako naprężenia uporząd-

kowane, zgodnie w zasadami:

Dr inż. Janusz Dębiński

BNS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zadania sprawdzające

−

przewodnik do zadań

−

Analiza płaskiego ...

3

X

M

Z=Z

gl

T

1

3

5

2

4

σ

X

τ

XZ

Rys. 3.3. Wykresy naprężeń normalnego

σ

X

i stycznego

τ

XZ

X

M

Z=Z

gl

T

X

Z

σ

X

σ

X

1

X

Z

σ

X

σ

X

τ

XZ

τ

XZ

2

X

Z

σ

X

σ

X

τ

XZ

τ

XZ

4

X

Z

τ

XZ

τ

XZ

3

X

Z

σ

X

σ

X

5

1

3

5

2

4

Rys. 3.4. Stany naprężenia w punktach na wysokości przekroju

•

główne naprężenie rozciągające oznaczamy indeksem 1

•

główne naprężenie ściskające oznaczamy indeksem 2.

Procedura wyznaczania kierunków naprężeń głównych w trzech punktach na wysokości przekroju pręta
składa się z następujących kroków:

•

określenie punktu, w którym mamy do czynienia z osiowym rozciąganiem lub osiowym ściskanie

−

na rysunku 3.5 jest to punkt numer 3

−

naprężenia w tym stanie są już naprężeniami głównymi

•

określenie punktu, gdzie mamy czyste ścianie

−

na rysunku 3.5 jest to punkt numer 1

−

musimy

zastosować procedurę opisaną w punkcie 3.3 niniejszego opracowania

•

określamy, które z naprężeń głównych występuje w osiowym rozciąganiu (ściskaniu) oraz czystym
ścinaniu

−

na rysunku 3.5 jest to naprężenie główne ściskające

•

w punkcie pośrednim

−

na rysunku 3.5 jest to punkt numer 2

−

kierunek tego naprężenia zawiera się

pomiędzy 0

O

a 45

O

•

rysujemy odpowiednie naprężenie główne

−

na rysunku 3.6 jest to główne naprężenie ściskające

•

rysujemy elementarny kwadrat

−

rysunek 3.6

Dr inż. Janusz Dębiński

BNS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zadania sprawdzające

−

przewodnik do zadań

−

Analiza płaskiego ...

4

X

Z

τ

XZ

τ

XZ

τ

XZ

σ

2

σ

2

σ

1

σ

1

45

o

1

X

Z

σ

X

σ

X

τ

XZ

2

X

Z

σ

X

σ

X

3

1

σ

2

σ

2

3

Rys. 3.5. Naprężenia główne przy osiowym ściskaniu i czystym ścinaniu

X

Z

τ

XZ

τ

XZ

X

Z

σ

X

σ

X

τ

XZ

τ

XZ

X

Z

σ

X

σ

2

σ

2

σ

2

σ

2

σ

1

σ

1

σ

2

σ

2

σ

1

σ

1

1

2

3

1

3

2

σ

X

Rys. 3.6. Naprężenia główne w trzech punktach na wysokości przekroju pręta

•

rysujemy drugie naprężenie główne

−

na rysunku 3.6 jest to główne naprężenie rozciągające.

Jak widać na rysunku 3.6 naprężenia główne ściskające oraz rozciągające w punktach od 1 do 3 obracają się
zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Dr inż. Janusz Dębiński

BNS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zadania sprawdzające

−

przewodnik do zadań

−

Analiza płaskiego ...

5

3.6. Zadania 47

−

52

Przy działaniu naprężenia normalnego

σ

X

lub

σ

Z

elementarny kwadrat doznaje tylko odkształceń linio-

wych, czyli jego boki wydłużają się lub skracają, a kąty pomiędzy jego bokami pozostają kątami prostymi.
Wartość bezwzględna wydłużenia lub skrócenia boku równoległego do naprężenia normalnego jest około
trzykrotnie większa niż wartość bezwzględna skrócenia lub wydłużenia boku prostopadłego do tego na-
prężenia. Deformacje elementarnego kwadratu dla naprężenia normalnego

σ

X

możemy zobaczyć na rysunku

3.7, a dla naprężenia normalnego

σ

Z

na rysunku 3.8.

Z

σ

σ

Z

X

Z

σ

σ

X

Z

a)

b)

∆

dx

∆

dz

∆

dx

∆

dz

│

∆

dx│≈ 3∙│

∆

dz│

│

∆

dx│≈ 3∙│

∆

dz│

X

X

Rys. 3.7. Deformacja elementarnego kwadratu przy działaniu naprężenia normalnego

σ

X

. a) naprężenie normalne

dodatnie, b) naprężenie normalne ujemne

X

Z

σ

X

Z

a)

∆

dx

∆

d

z

σ

│

∆

dz│≈ 3∙│

∆

dx│

X

Z

σ

X

Z

b)

∆

dx

∆

d

z

σ

│

∆

dz│≈ 3∙│

∆

dx│

Rys. 3.8. Deformacja elementarnego kwadratu przy działaniu naprężenia normalnego

σ

Z

. a) naprężenie normalne

dodatnie, b) naprężenie normalne ujemne

W przypadku działania naprężenia stycznego

τ

XZ

czyli czystego ścinania, elementarny kwadrat dozna

odkształceń postaciowych. Długości boków kwadratu pozostaną niezmienne. Zmienią się tylko kąty pomię-
dzy bokami. Aby wyznaczyć postać zdeformowaną elementarnego kwadratu, musimy wyznaczyć przekątną
rozciąganą i ściskaną. Posłużymy się przy tym metodą opisaną w punkcie 3.3 niniejszego opracowania. Jak
widać na rysunku 3.9 elementarny kwadrat zamieni się w romb.

Dr inż. Janusz Dębiński

BNS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zadania sprawdzające

−

przewodnik do zadań

−

Analiza płaskiego ...

6

X

Z

τ

τ

τ

τ

X

Z

X

Z

τ

τ

τ

τ

X

Z

a)

b)

Rys. 3.9. Deformacja elementarnego kwadratu przy działaniu naprężenia stycznego

τ

XZ

. a) naprężenie styczne

dodatnie, b) naprężenie styczne ujemne

3.7. Zadania 53

−

364

Stan naprężenia możemy przedstawić graficzne na elementarnym sześcianie. Możemy w nim wskazać:

•

ścianki dodatnie

−

ścianki widoczne z punktu o wszystkich współrzędnych dodatnich

−

ścianki czer-

wone na rysunku 3.10

•

ścianki ujemne

−

pozostałe ścianki elementarnego sześcianu

−

ścianka niebieska na rysunku 3.10.

Y

X

Z

Y

X

Z

a)

b)

σ

X

τ

XZ

τ

XY

τ

ZX

=

τ

XZ

τ

YX

=

τ

XY

Rys. 3.10. Elementarny sześcian. a) ścianki dodatnie i ujemne, b) dodatnie naprężenia działające w punkcie

Każdą ze ścianek elementarnego sześcianu określa oś układu współrzędnych XYZ prostopadła do tej ścian -
ki. Naprężenia:

•

normalne

σ

X

−

prostopadłe do ścianki określanej przez oś X

•

styczne

τ

XY

−

działa na ściance określanej przez oś X (pierwszy indeks) i ma kierunek osi Y (drugi

indeks)

•

styczne

τ

XZ

−

działa na ściance określanej przez oś X (pierwszy indeks) i ma kierunek osi Z (drugi

indeks)

•

styczne

τ

YX

−

działa na ściance określanej przez oś Y (pierwszy indeks) i ma kierunek osi X (drugi

indeks)

•

styczne

τ

ZX

−

działa na ściance określanej przez oś Z (pierwszy indeks) i ma kierunek osi X (drugi

indeks).

Dr inż. Janusz Dębiński

BNS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zadania sprawdzające

−

przewodnik do zadań

−

Analiza płaskiego ...

7

Naprężenia styczne, które są prostopadłe do tej samej krawędzi elementarnego sześcianu są sobie równe.
Możemy więc wykorzystać równość (3.2), ponadto możemy zapisać, że

τ

XY

=

τ

YX

.

(3.3)

Na koniec pozostaje nam tylko ustalenie znaków naprężeń normalnego oraz stycznych od działania siły po -
przecznej oraz momentu zginającego. Możemy się przy tym posłużyć metodami opisanymi w punkcie 2.6
przewodnika „Stan naprężenia w przekroju pręta”. Rysując graficzną interpretację stanu naprężenia musimy
pamiętać o tym, że:

•

dodatnie naprężenie na ściance dodatniej ma zwrot zgodny z odpowiednią osią układu współrzęd-
nych

•

dodatnie naprężenie na ściance ujemnej ma zwrot przeciwny do zwrotu odpowiedniej osi układu
współrzędnych

•

dla ujemnych naprężeń stosujemy przeciwne zasady.

Dr inż. Janusz Dębiński

BNS-I