http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/

fizyka1.html

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I

4. Nieinercjalne układy odniesienia

INERCJALNE UKŁADY ODNIESIENIA



Układy inercjalne (inercyjne)

-

układy, do których odnosi się I zasada

dynamiki Newtona: przyspieszenie odosobnionego punktu materialnego

równe

jest 0 gdy nie

działa na nie żadna siła.



Wniosek: Dwa inercjalne

układy odniesienia mogą się poruszać względem

siebie tylko ruchem

postępowym jednostajnym prostoliniowym (na razie bez

dowodu).



Rozpatrzymy dwa

układy odniesienia, z których jeden (x,y,z) uważamy za

nieruchomy, podczas gdy drugi

(x’,y’,z’) porusza się ruchem postępowym z

prędkością v.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Założenie:
W chwili t=0

początki obu układów

oraz ich osie

się pokrywają.

TRANSFORMACJE GALILEUSZA

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Związek między położeniem punktu materialnego w obu układach:

(w układzie kartezjańskim: układ trzech równań)

Są to tzw. transformacje (przekształcenia) Galileusza.

Uzupełniamy je jeszcze równaniem:



Związki między prędkościami i przyspieszeniami:

Stąd również:

Równania Newtona dla punktu materialnego (i układów punktów materialnych)
są jednakowe we wszystkich inercjalnych układach odniesienia – są to tzw.
niezmienniki przekształcenia Galileusza.



Mechaniczna zasada względności (zasada względności Galileusza):

Jednostajny prostoliniowy ruch układu jako całości nie ma wpływu na bieg
zachodzących procesów mechanicznych.

t

u

r

r











'

'

t

t



u

v

v











'

'

a

a







'

F

F







NIEINERCJALNE UKŁADY ODNIESIENIA

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Ziemia nie jest układem inercjalnym. Wykonuje ruch

obrotowy wokół swej osi a ponadto obiega Słońce po elipsie.



W pewnych przypadkach można zaniedbać efekty nieinercjalności

układu odniesienia, związanego z Ziemią (np. ze względu na duży okres
obiegu wokół Słońca, można traktować ruch Ziemi po orbicie
wokółsłonecznej jako postępowy, jednostajny).



Istnieją jednak zjawiska, które można wytłumaczyć tylko wtedy, gdy

przestanie się zaniedbywać „odstępstwa od inercjalności” układu:
•obrót płaszczyzny wahań wahadła (wahadło Foucault);
•odchylanie się na wschód ciał swobodnie spadających;
•podmywanie jednego z brzegów rzek płynących wzdłuż południków;
•„skręcenie” kierunku wiatrów w niżach i wyżach na obu półkulach.

KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Rozpatrzmy ruch punktu materialnego M względem dwóch kartezjańskich

układów współrzędnych:

•x, y, z – inercjalny; przyjmiemy, że jest nieruchomy;
ruch ciała względem tego układu nazwiemy ruchem bezwzględnym;
•x’, y’, z’ – nieinercjalny, porusza się dowolnie
względem pierwszego układu; ruch ciała względem
tego układu nazywamy ruchem względnym.



Położenie punktu M w układzie inercjalnym

wyrażone przez położenie w układzie nieinercjalnym:

'

ˆ

'

'

ˆ

'

'

ˆ

'

'

0

0

k

z

j

y

i

x

r

r

r

r























Biorąc pod uwagę zależność między wektorami i

:

możemy napisać:

gdzie to

prędkość ruchu postępowego ruchomego układu współrzędnych.

KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Prędkość punktu M względem nieruchomego (inercyjnego) układu

współrzędnych nazywamy prędkością bezwzględną:

k

dt

dz

j

dt

dy

i

dt

dx

dt

r

d

v

ˆ

ˆ

ˆ













r



'

r



dt

r

d

v

dt

r

d

dt

r

d

dt

r

d

v

'

'

0

0























0

v



'

0

r

r

r













Ostatni człon w równaniu, wiążącym prędkości w obu układach, jest równy:

gdzie

oznacza prędkość kątową.

KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Układ nieinercjalny może się poruszać zarówno z prędkością postępową

(zmiany w

wartościach x’, y’ i z’) jak i obrotową (zmiany położenia wersorów

w czasie), więc:

'

ˆ

,

'

ˆ

,

'

ˆ

k

j

i







































dt

k

d

z

dt

j

d

y

dt

i

d

x

k

dt

dz

j

dt

dy

i

dt

dx

v

v

'

ˆ

'

'

ˆ

'

'

ˆ

'

'

ˆ

'

'

ˆ

'

'

ˆ

'

0







Prędkość punktu M względem ruchomego układu współrzędnych – prędkość

względna punktu M:

'

ˆ

'

'

ˆ

'

'

ˆ

'

k

dt

dz

j

dt

dy

i

dt

dx

v

w









'

'

ˆ

'

'

ˆ

'

'

ˆ

'

r

dt

k

d

z

dt

j

d

y

dt

i

d

x































KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Możemy więc ostatecznie napisać równanie, wiążące ruch punktu w obu

układach jako:

gdzie nazywana jest prędkością unoszenia punktu M – wyraża bowiem
prędkość bezwzględną tego punktu układu ruchomego, przez który w
danym momencie przechodzi rozpatrywany punkt M.

w

u

w

v

v

v

r

v

v



























'

0



u

v



KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Podobnie jak w przypadku prędkości, należy znaleźć zależności

pomiędzy przyspieszeniami w obu układach.



Przyspieszenie bezwzględne punktu M to przyspieszenie względem

(nieruchomego) inercjalnego układu odniesienia xyz:

dt

v

d

a









Różniczkując wyrażenie na prędkość, otrzymujemy:

gdzie

- to przyspieszenie ruchu postępowego układu nieinercjalnego;

- to przyspieszenie kątowe ruchu obrotowego tego układu.

dt

v

d

dt

r

d

r

dt

d

dt

v

d

a

w



























'

'

0





0

0

a

dt

v

d

















dt

d

albo inaczej:

gdzie:

to przyspieszenie unoszenia (analogicznie jak prędkośc);

to przyspieszenie Coriolisa

KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Pamiętając, że:

oraz uwzględniając, że:

gdzie:

- to przyspieszenie względne punktu M (czyli w układzie x’y’z’)

możemy ostatecznie otrzymać:

w

v

r

dt

r

d















'

'



w

w

w

a

v

dt

v

d

















w

a







w

w

a

v

r

r

a

a















































2

'

'

0

w

C

u

a

a

a

a



















'

'

0

r

r

a

a

u

































w

C

v

a













2

KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



W przypadku układów inercjalnych, mamy:

a więc również:

i ostatecznie związki między wielkościami w obu układach upraszczają się do:

oraz

czyli transformacji Galileusza.

0

0



a



0







0







0

v

v

u







0



C

a



0



u

a



w

v

v

v











0

w

a

a









W przypadku, gdy układ ruchomy porusza się tylko ruchem postępowym (a

więc nie jest inercjalny, ale się nie obraca!), mamy:

oraz

w

v

v

v











0

dt

v

d

a

a

a

a

w

w



















0

0

DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Zasady Newtona nie spełniają się w nieinercjalnych

układach odniesienia!

Przyspieszenie punktu materialnego względem nieinercjalnego układu
odniesienia nie jest bowiem równe stosunkowi wypadkowej wszystkich
sił, jakimi inne ciała działają na ten punkt, do masy tego punktu:

Zasady Newtona spełnione są bowiem dla przyspieszenia w układzie

inercjalnym:

m

F

a

w







m

F

a







DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Wyraźmy przyspieszenie względne w układzie nieinercjalnym poprzez

przyspieszenie bezwzględne oraz przyspieszenie unoszenia i Coriolisa:

C

u

w

a

a

a

a

















Możemy sformułować poprawnie II zasadę dynamiki Newtona jako:

gdzie:

- to siła bezwładności unoszenia;

- to siła bezwładności Coriolisa.

C

u

w

F

F

F

a

m















u

u

a

m

F









C

C

a

m

F









DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Siły bezwładności rzeczywiście działają na punkt materialny w

układzie nieinercjalnym;



Można je mierzyć (np. wagą sprężynową);



Ale nie sposób związać ich z żadnymi ciałami, od których mogłyby

pochodzić!



Dlatego nie można do nich stosować III zasady dynamiki Newtona.



Siły bezwładności są więc dla każdego ciała układu siłami zewnętrznymi.

Dlatego:

W nieinercjalnych układach odniesienia nie mają zastosowania zasady

zachowania pędu, momentu pędu i energii.

NIEZWYKLE WAŻNE

2-2=4

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Przypadek I:

Układ porusza się ruchem postępowym z przyspieszeniem

0

0



a



W tym przypadku:

przyspieszenie unoszenia:

przyspieszenie Coriolisa:

Na ciało działa więc tylko:

- siła bezwładności unoszenia:

Przykład: winda wznosząca się lub opadająca ruchem jednostajnie
przyspieszonym

w

kierunku

pionowym

(nie

uwzględniamy ruchu

obrotowego Ziemi). Zawiesimy w niej

ciało o masie m na dynamometrze

(wadze

sprężynowej).

0

a

a

u







0



C

a



0

a

m

F

u











Obserwator nieruchomy:

- Na ciało działają dwie siły przeciwnie skierowane: ciężar ciała

oraz reakcja

dynamometru

. Wypadkowa tych sił nadaje ciału przyspieszenie

. Z II zasady

dynamiki:

A siła, która działa na dynamometr (i którą on wobec tego wskaże):

SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

0

a



T



g



R



P



g

m

P







R



0

a



R

g

m

a

m











0





0

a

g

m

R

T

















g

m

P

a











Jeśli uwolnimy ciało, będzie się ono poruszać pod działaniem
własnego ciężaru, czyli spadać swobodnie z przyspieszeniem:

SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

0

a



g



T



R



P



u

F





Obserwator ruchomy (w windzie):

„ciało jest nieruchome, więc działające na niego siły się równoważą”

gdzie:

jest

siłą bezwładności (unoszenia), której istnienie obserwator czuje wszak również na

sobie!

Biorąc pod uwagę kierunki tych sił i ich wartości:

a

stąd, jak poprzednio, siła, która działa na dynamometr:

u

F



0







u

F

R

P







0

0







a

m

R

g

m











0

a

g

m

R

T

















Jeśli uwolnimy ciało, będzie się ono poruszać pod działaniem dwóch sił: oraz i uzyska
przyspieszenie:

P



u

F



0

a

g

m

F

P

a

u

w





















Przypadek II:

Układ obraca się jednostajnie z prędkością kątową

i porusza się ruchem

jednostajnym ze stałą prędkością

.

SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

0





0

v



W tym przypadku:

przyspieszenie unoszenia:

przyspieszenie Coriolisa:





'

r

a

u



















w

C

v

a













2

Na ciało działają więc następujące siły bezwładności:

- siła bezwładności unoszenia:

liczbowo równa:

i skierowana od osi obrotu na zewnątrz – nazywana

siłą odśrodkową bezwładności;

- siła bezwładności Coriolisa:

skierowana prostopadle do płaszczyzny, wyznaczonej przez

i

.





'

r

m

a

m

F

u

u































2

m

F







w

C

v

m

F













2





w

v



SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Siła odśrodkowa bezwładności

związana jest z obrotem poruszającego się układu.



Przykłady zastosowań:

- pompy odśrodkowe;
- separatory (np. centryfuga w analizie medycznej);
- odśrodkowy regulator Watta;



Ale też – konieczność równoważenia sił odśrodkowych przy

projektowaniu szybko wirujących (i o dużych masach, a ściślej: dużych
momentach bezwładności!) części maszyn.



Siła odśrodkowa bezwładności może też stanowić „namiastkę” siły

grawitacyjnego przyciągania Ziemi w statkach (stacjach) kosmicznych.

SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Siła Coriolisa

związana jest z ruchem postępowym ciał w układzie obracającym się

.



Przykład:

Ziemia jako obracający się, nieinercjalny układ odniesienia (ruch dobowy, z zachodu na
wschód, z okresem 24 godziny).

E

W

N

S

h

Swobodny spadek ciała z wieży: następuje
odchylenie miejsca upadku względem pionu,
wyznaczonego przez siły grawitacji, o pewną
wielkość



, największą na równiku, zerową

na biegunie.





w

v



C

F



SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Obserwator nieruchomy (inercjalny):

Siła przyciągania ziemskiego

nadaje ciału przyspieszenie, skierowane do

środka Ziemi. Jest ona prostopadła do prędkości początkowej ciała

(w ruchu

obrotowym), więc nie zmienia wartości tej prędkości. Tymczasem podstawa wieży
ma mniejszą prędkość liniową

(bo ma tę samą prędkość kątową):

E

W



0

v



1

v



P



P



1

v



0

v







h

R

h

R

v

v

















0

1

i dlatego ciało spadnie na Ziemię na

wschód od wierzchołka wieży.

SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Obserwator ruchomy (nieinercjalny):

Na ciało działają siły: przyciągania ziemskiego , siła odśrodkowa i siła

Coriolisa . Siły i powodowałyby pionowe spadanie, ale siła Coriolisa ,

prostopadła do kierunku prędkości początkowej spadania, powoduje ruch ciała po

paraboli i przesunięcie punktu upadku na wschód.

v

E

W

P



u

F



C

F



P



u

F



u

F



C

F



C

F



P



SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Podobieństwo

istniejące

pomiędzy

siłami

bezwładności

i

siłami

grawitacyjnymi:

obie

są

proporcjonalne do mas punktów materialnych i nadają
im jednakowe przyspieszenie względne.

Wobec tego działanie sił bezwładności na punkt
materialny można zastąpić działaniem równoważnego
im pola ciążenia!

SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Zasada równoważności ruchu:

Ruch ciała względem nieinercjalnego układu odniesienia jest
równoważny jego ruchowi względem układu inercyjnego. Ten ruch
zachodzi pod wpływem wszystkich ciał rzeczywiście współdziałających
z danym ciałem a także pod wpływem jakiegoś dopełniającego pola
ciążenia.

Nie

jest

to

stwierdzenie

identyczności

sił

bezwładności

i

grawitacyjnych! (Zmiany pola „równoważnego” powinny rozchodzić się
w przestrzeni z prędkością nieskończenie wielką).