- 1 -

6. MODELE ZACISKOWE UKŁADÓW ELEKTRYCZNCH

6.1.

WIELOBIEGUNNIKI I ICH MODELE MATEMATYCZNE

Wielobiegunnikiem – zgodnie z klasyfikację elementów obwodu elek-

trycznego przeprowadzoną na podstawie kryterium liczby połączeń ele-
mentu z otoczeniem (liczba zacisków, końcówek, biegunów) - nazywamy
element, którego liczba zacisków jest większa od 2 (m>2).

Z każdym zaciskiem wielobiegunnika związana jest para wielkości

elektrycznych: I

k

oraz U

k

)., gdzie k oznacza kolejny numer bieguna (zaci-

sku).

Napięcia zacisków wielobiegunnika odnosimy (określamy) względem

dowolnie wybranego (nieokreślonego - w sensie niezdeterminowanego a
priorii) zacisku odniesienia, usytuowanego w przestrzeni otaczającej wie-
lobiegunnik. Sposób oznaczenia wielkości elektrycznych, zaciskowych m-
biegunnika przedstawia rys.6.1.

m

1

2

m

3

zacisk
odniesienia

I

1

I

2

I

3

I

m

U

1

U

2

U

3

U

m

Rys. 6.1.

Stan elektryczny wielobiegunnika jest jednoznacznie określony jeśli

znane są wektory prądów i napięć zaciskowych definiowane w sposób na-
stępujący:

[

]

T

m

I

I

I

,....,

,

2

1

=

I

-

macierz kolumnowa prądów zaciskowych

(6.1)

[

]

T

m

U

U

U

,....,

,

2

1

=

U

- macierz kolumnowa napięć zaciskowych

(6.2)

- 2 -

Postulat 1.

Prądy zaciskowe każdego wielobiegunnika (traktowanego

jako uogólniony węzeł elektryczny) spełniają – zgodnie z
PPK – równanie:

∑

=

=

=

m

k

k

k

I

1

0

(6.3)

Postulat 2.

W każdym wielobiegunniku LINIOWYM, każdy prąd zaci-

skowy I

k

jest funkcją liniową wszystkich napięć występują-

cych pomiędzy wszystkimi parami zacisków wielobiegun-
nika, a zatem wszystkich napięć zaciskowych Ui dla
i=1,2,...,m:

[ ]

m

k

m

i

i

L

k

U

f

I

,...,

2

,

1

,...,

2

,

1

=

=

=

(6.4)

Postulat 2, w którym utożsamio-
no zależność funkcyjną od na-
pięć międzyzaciskowych z za-
leżnością od napięć zacisko-
wych wyjaśnia rys.6.2, na któ-
rym widnieje inny zacisk odnie-
sienia O'.

m

1

2

m

3

I

1

I

2

I

3

I

m

U

1

U

2

U

3

U

m

U

0

O’

U

1

’

U

2

’

Rys. 6.2.

Nowy wektor napięć zaciskowych spełnia zależność:

[

] [

]

[

] [

]

0

0

0

0

2

1

0

0

2

0

1

2

1

,...,

,

,...,

,

,...,

,

'

,...,

'

,

'

'

U

U

U

+

=

+

=

=

+

+

+

=

=

T

T

m

T

m

T

m

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

Napięcie między dowolną parą zacisków wielobiegunnika (np. między

k oraz l) wyniesie:
wg rys. 6.1.

U

kl

=U

k

-U

l

wg rys. 6.2.

U

kl

’=U

k

’-U

l

’=(U

k

+U

0

)-(U

l

+U

0

)=U

k

-U

l

=U

kl

- 3 -

6.2.

MACIERZ ADMITANCYJNA m-biegunnika

Zakładamy, że wielobiegunnik nie jest układem zdegenerowanym,

tzn. żadna para zacisków nie jest zwarta.

Drugi z postulatów sformułowanych pozwala na przedstawienie

związku (6.4) w postaci m równań algebraicznych linowych:





















+

+

+

+

=

⋅

⋅

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

0

2

2

1

1

0
2

2

2

22

1

21

2

0

1

1

2

12

1

11

1

...

...

...

m

m

mm

m

m

m

m

m

m

m

I

U

y

U

y

U

y

I

I

U

y

U

y

U

y

I

I

U

y

U

y

U

y

I

(6.5)

Gdzie prąd I

k

0

nazywany prądem zerowym jest szczególnym przypadkiem

prądu I

k

a mianowicie

0

...

0

2

1

=

=

=

=

≡

m

U

U

U

k

k

I

I

(6.6)

to znaczy, że prąd I

k

0

jest prądem k-tego

zacisku wielobiegunnika, gdy wszystkie
zaciski wielobiegunnika są połączone
bezpośrednio z węzłem odniesienia -
rys.6.3.

Zatem wektor prądów zerowych

[

]

T

m

I

I

I

0

0
2

0

1

0

,...,

,

=

I

(6.7)

posiada, zgodnie z postulatem 1, następu-
jącą właściwość (wynikającą z (6.5), po

m

1

2

m

3

I

1

I

2

I

3

I

m

0

0

0

0

Rys. 6.3.

założeniu zerowych wartości napięć zaciskowych: U

k

=0, k=1,2,...,m):

0

1

0

=

∑

=

=

m

k

k

k

I

(6.8)

- 4 -

Analizując wektor prądów zerowych można wyodrębnić dwa przypadki:

1.

I

0

= 0

(6.9)

Macierz prądów zerowych jest macierzą zerową, tzn. po zwarciu

wszystkich zacisków wielobiegunnika wszystkie prądy zerowe przyj-
mują wartość zerową. Wielobiegunnik spełniający warunek (6.9) na-
zywamy

WIELOBIEGUNNIKIEM

NIEGENERUJ

ĄCYM

.

Oznacza to, że w wewnętrznej strukturze wielobiegunnika nie wy-

stępują nieskompensowane źródła energii i wielobiegunnik zachowuje
się jak układ pasywny.

2.

I

0

≠≠≠≠

0

(6.10)

Macierz prądów zerowych nie jest macierzą zerową, tzn. co naj-

mniej dwa elementy tej macierzy są różne od zera - równanie (6.8).
Wielobiegunnik

spełniający

powyższy

warunek

nazywamy

WIELOBIEGUNNIKIEM

SAMOGENERUJ

ĄCYM

.

Oznacza to, że w wewnętrznej strukturze wielobiegunnika wystę-

pują nieskompensowane źródła energii i wielobiegunnik zachowuje
się jak układ aktywny.

Występujące w równaniach (6.5) współczynniki y

kl

mają wymiar ad-

mitancji. Macierz tych współczynników (o wymiarze m

×

m

) oznaczamy

symbolem

Y





































⋅

⋅

=

mm

m

m

m

m

y

y

y

y

y

y

y

y

y

,

...

,

,

,

...

,

,

,

...

,

,

2

1

21

22

21

1

12

11

Y

(6.11)

i nazywamy

ADMITANCYJN

Ą MACIERZĄ NIEOKREŚLONĄ

WIELOBIEGUNNIKA

.

- 5 -

W oparciu o (6.1), (6.2), (6.7) i (6.11) można zapisać równania (6.5) w po-
staci macierzowej

I = Y

⋅

U + I

0

(6.12)

dla wielobiegunnika samogenerującego, bądź uwzględniając (6.9), w po-
staci

I = Y

⋅

U

(6.13)

dla wielobiegunnika niegenerującego.

Układ równań 6.5 pozwala na określenie dowolnego elementu macie-

rzy admitancyjnej.

Np. element y

11

wyniesie:

0

...

1

0

1

1

11

2

=

=

=

−

=

m

U

U

U

I

I

y

ilustruje to rys.6.4.

m

1

2

m

3

I

1

Rys. 6.4.

U

1

Zatem dowolny element y

ij

określony jest związkiem:

j

k

m

k

U

j

i

i

ij

k

U

I

I

y

≠

=

=

−

=

,...,

2

,

1

0

0

(6.14)

UWAGA:

•

suma wszystkich elementów każdej kolumny macierzy admitancyj-
nej nieokreślonej jest równa zeru.

•

suma wszystkich elementów każdego wiersza macierzy admitancyj-
nej nieokreślonej jest równa zeru.

- 6 -

6.3. CZWÓRNIKI ELEKTRYCZNE

6.3.1. WIELOBIEGUNNIK A WIELOWROTNIK I CZWÓRNIK

Definicja1.

Jeśli: wielobiegunnik posiada parzystą liczbę zacisków (tzn.

m=2n) zgru-

powanych w

n par

i dla każdej pary zacisków zachodzi związek (

warunek regularności

)

k

k

I

I

−

=

'

(6.15)

to: - każdą tak określoną parę zacisków nazywamy "bramą", "wrotami";

- napięcie na bramie określone jest odpowiednią różnicą napięć zaci-

skowych tworzących tę bramę;

- wielobiegunnik nazywamy wówczas WIELOWROTNIKIEM bądź

WIELOBRAMNIKIEM.

Definicja 2.

Czwórnikiem (dwubramnikiem, dwuwrotnikiem) nazywamy
wielowrotnik, dla którego 2n=4, czyli n=2.

Wyodrębnienie z klasy wielobiegunników wielowrotników a z ich zbioru
czwórników ilustruje rys.6.5.

m= n

2

1

n

I

1

I

1’

I

n’

I

n

U

10

U

1’0

U

n’0

U

n0

1’

n’

0

U

1

2n

I

1

I

1’

I

n

I

n’

U

1

U

n

I

1

I

1’

U

1

I

2

I

2’

n=2

U

2

...

...

U

n

Rys.6.5.

- 7 -

Każdy wielowrotnik a zatem i czwórnik można opisać wektorem napięć i
prądów związanych z jego wrotami i tak:

dla wielowrotnika

[

]

T

n

I

I

I

,....,

,

2

1

=

I

,

[

]

T

n

U

U

U

,....,

,

2

1

=

U

(6.16)

dla czwórnika

[

]

T

I

I

2

1

,

=

I

,

[

]

T

U

U

2

1

,

=

U

(6.17)

Przyjęte założenia pozwalają przedstawić czwórnik jak na rys.6.6.

I

1

U

1

I

2

SLS

U

2

Rys.6.6.

Granicznymi stanami pracy ka

żdej z bram są:

•

stan jałowy

– gdy prąd danej bramy jest równy zeru

(I

1

=0 lub I

2

=0)

•

stan zwarcia

– gdy napięcie danej bramy jest równe zeru

(U

1

=0 lub U

2

=0)

6.3.2. PODSTAWOWE RÓWNANIA CZWÓRNIKA

Równaniami czwórnika nazywamy zależności wiążące ze sobą wiel-

kości charakteryzujące warunki jego pracy, a więc prąd i napięcie wej-
ś

ciowe ( I

1

, U

1

) oraz wyjściowe (I

2

, U

2

).

Ze względu na to, którą dwójkę z czterech wielkości elektrycznych

wrót czwórnika przyjmiemy jako zmienne niezależne możemy sformuło-
wać

sze

ść związków liniowych pomiędzy tymi wielkościami.

- 8 -

1. RÓWNANIA ADMITANCYJNE CZWÓRNIKA

Przyjmujemy, że wielkościami niezależnymi są napięcia: pierwotne

U

1

oraz wtórne U

2

. Odpowiada to następującemu sposobowi pobudzenia

czwórnika

I

1

U

1

I

2

CZWÓRNIK

U

2

1

1’

2

2’

I

11

U

1

I

21

CZWÓRNIK

1

1’

CZWÓRNIK

U

2

2

2’

I

12

I

22

=

+







+

=

+

=

22

21

2

12

11

1

I

I

I

I

I

I

gdzie:

1

11

11

U

y

I

=

2

12

12

U

y

I

=

1

21

21

U

y

I

=

2

22

22

U

y

I

=

Zatem równania admitancyjne czwórnika otrzymuje si

ę jako:

- 9 -









+

=

+

=

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

U

y

U

y

I

U

y

U

y

I

(6.18)

lub w postaci macierzowej













⋅

=













⋅













=













2

1

2

1

22

21

12

11

2

1

U

U

U

U

y

y

y

y

I

I

Y

(6.19)

gdzie

Y nazywamy macierzą admitancyjną czwórnika.

Model obwodowy czwórnika dla równań (6.18) przedstawia rys.6.7.

I

1

U

1

I

2

U

2

y

11

y

12

U

2

y

22

y

21

U

1

Rys.6.7.

Elementami macierzy admitancyjnej są w ogólnym przypadku liczby ze-
spolone - można je wyznaczyć z układu równań 6.18 w granicznych sta-
nach pracy czwórnika:















−

=

−

=

=

=

zwarciowa

wyj

ś

ciowa

admitancja

zwarciowa

wej

ś

ciowa

admitancja

0

2

2

22

0

1

1

11

1

2

U

U

U

I

y

U

I

y

zwarcia

stanu

napi

ę

ciowe

-

pr

ą

dowo

cje

transmitan















=

=

=

=

0

1

2

21

0

2

1

12

2

1

U

U

U

I

y

U

I

y

- 10 -

2. RÓWNANIA IMPEDANCYJNE CZWÓRNIKA







+

=

+

=

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

I

z

I

z

U

I

z

I

z

U

(6.20)

lub w postaci macierzowej













⋅

=













⋅













=













2

1

2

1

22

21

12

11

2

1

I

I

I

I

z

z

z

z

U

U

Z

(6.21)

gdzie

Z nazywamy macierzą impedancyjną czwórnika.

Model obwodowy czwórnika dla równań (6.20) przedstawia rys.6.8.

I

1

U

1

I

2

U

2

z

11

z

12

I

2

z

22

z

21

I

1

Rys.6.8.

Elementami macierzy impedancyjnej są w ogólnym przypadku liczby ze-
spolone mające wymiar impedancji [

Ω

]. Można je wyznaczyć z równań

6.20 analogicznie jak poprzednio:

10

0

1

1

11

2

z

I

U

z

I

=

=

=

impedancja wejściowa-jałowa, tzn. impedancja
"widziana" od strony bramy wejściowej przy
rozwartej (stan jałowy) bramie wyjściowej.

20

0

2

2

22

1

z

I

U

z

I

=

=

=

impedancja wyjściowa-jałowa, tzn. impedancja
"widziana" od strony bramy wyjściowej przy
rozwartej (stan jałowy) bramie wejściowej.

0

2

1

12

1

=

=

I

I

U

z

0

1

2

21

2

=

=

I

I

U

z

odpowiednie transmitancje napięciowo-prądowe
stanu jałowego, np.: z

12

- stosunek napięcia na

rozwartej bramie wejściowej do prądu bramy
wyjściowej, do której dołączony jest sygnał wy-
muszający (następuje transmisja sygnału przez
czwórnik od wyjścia do wejścia).

- 11 -

3. RÓWNANIA ŁA

ŃCUCHOWE CZWÓRNIKA

Równaniami łańcuchowymi opisujemy czwórnik wówczas, gdy znana

jest para wielkości elektrycznych związanych z bramą wtórną a poszuku-
jemy wielkości elektrycznych związanych z drugą bramą.

Czyli znamy [

U

2

,

I

2

] a poszukujemy wielkości [

U

1

,

I

1

] wówczas:

(

)

(

)







−

+

=

−

+

=

2

22

2

21

1

2

12

2

11

1

I

a

U

a

I

I

a

U

a

U

(6.22)

lub w postaci macierzowej













−

⋅

=













−

⋅













=













2

2

2

2

22

21

12

11

1

1

I

U

I

U

a

a

a

a

I

U

A

(6.23)

gdzie

A nazywamy macierzą łańcuchową czwórnika

a jej elementy para-

metrami łańcuchowymi czwórnika.

0

2

1

11

2

=

=

I

U

U

a

Parametr bezwymiarowy będący odwrotno-
ś

cią transmitancji napięciowej czwórnika w

stanie rozwarcia strony wtórnej.

0

2

1

12

2

=

−

=

U

I

U

a

Parametr posiadający wymiar impedancji,
będący odwrotnością transmitancji prądo-
wo-napięciowej w stanie zwarcia strony
wtórnej.

0

2

1

21

2

=

=

I

U

I

a

Parametr posiadający wymiar admitancji,
będący odwrotnością transmitancji napię-
ciowo-prądowej w stanie rozwarcia strony
wtórnej.

0

2

1

22

2

=

−

=

U

I

I

a

Parametr bezwymiarowy będący odwrotno-
ś

cią transmitancji prądowej czwórnika w

stanie zwarcia strony wtórnej.

- 12 -

4. RÓWNANIA ŁA

ŃCUCHOWE ODWROTNE

Jeśli znane są wielkości [

U

1

,

I

1

] a poszukujemy [

U

2

,

I

2

], to równania typu

(6.22) przyjmują postać

( )

( )







−

+

=

−

+

=

1

22

1

21

2

1

12

1

11

2

I

b

U

b

I

I

b

U

b

U

(6.24)

lub w postaci macierzowej













−

⋅

=













−

⋅













=













1

1

1

1

22

21

12

11

2

2

I

U

I

U

b

b

b

b

I

U

B

(6.25)

gdzie

B nazywamy macierzą łańcuchową odwrotną czwórnika.

0

1

2

11

1

=

=

I

U

U

b

Parametr bezwymiarowy będący transmi-
tancją napięciową czwórnika w stanie roz-
warcia strony pierwotnej.

0

1

2

12

1

=

−

=

U

I

U

b

Parametr posiadający wymiar impedancji,
równy transmitancji napięciowo-prądowej
w stanie zwarcia strony pierwotnej.

0

1

2

21

1

=

=

I

U

I

b

Parametr posiadający wymiar admitancji,
będący transmitancją prądowo-napięciową
w stanie rozwarcia strony pierwotnej.

0

1

2

22

1

=

−

=

U

I

I

b

Parametr bezwymiarowy równy transmi-
tancji prądowej czwórnika w stanie zwarcia
strony pierwotnej.

- 13 -

5. RÓWNANIA HYBRYDOWE

(szeregowo-równoległe)

Jeżeli napięcie wejściowe U

1

oraz prąd wyjściowy I

2

uzależnimy od I

1

oraz

U

2

, to otrzymamy równania hybrydowe czwórnika:







+

=

+

=

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

U

h

I

h

I

U

h

I

h

U

(6.26)

lub w postaci macierzowej













⋅

=













⋅













=













2

1

2

1

22

21

12

11

2

1

U

I

U

I

h

h

h

h

I

U

H

(6.27)

gdzie

H nazywamy macierzą hybrydową czwórnika.

Model obwodowy czwórnika dla równań (6.26) przedstawia rys.6.9.

I

1

U

1

h

11

h

12

U

2

I

2

U

2

h

22

h

21

I

1

Rys.6.9.

0

1

1

11

2

=

=

U

I

U

h

Impedancja strony pierwotnej czwórnika w
stanie zwarcia strony wtórnej.

0

2

1

12

1

=

=

I

U

U

h

Parametr bezwymiarowy będący odwrotno-
ś

cią transmitancji napięciowej czwórnika w

stanie rozwarcia strony pierwotnej.

0

1

2

21

2

=

=

U

I

I

h

Parametr bezwymiarowy równy transmi-
tancji prądowej czwórnika w stanie zwarcia
strony wtórnej.

0

2

2

22

1

=

=

I

U

I

h

Admitancja strony wtórnej czwórnika w
stanie rozwarcia strony pierwotnej.

- 14 -

6. RÓWNANIA HYBRYDOWE ODWROTNE

(równoległo-szeregowe)









+

=

+

=

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

I

g

U

g

U

I

g

U

g

I

(6.28)

lub w postaci macierzowej













⋅

=













⋅













=













2

1

2

1

22

21

12

11

2

1

I

U

I

U

g

g

g

g

U

I

G

(6.29)

gdzie

G nazywamy macierzą hybrydową odwrotną czwórnika.

Równaniom (6.28) odpowiada model obwodowy czwórnika przedstawiony
na rys.6.10.

I

1

U

1

g

11

g

12

I

2

I

2

U

2

g

22

g

21

U

1

Rys.6.10.

0

1

1

11

2

=

=

I

U

I

g

Admitancja strony pierwotnej czwórnika w
stanie rozwarcia strony wtórnej.

0

2

1

12

1

=

=

U

I

I

g

Parametr bezwymiarowy będący odwrotno-
ś

cią transmitancji prądowej czwórnika w

stanie zwarcia strony pierwotnej.

0

1

2

21

2

=

=

I

U

U

g

Parametr bezwymiarowy równy transmi-
tancji napięciowej czwórnika w stanie roz-
warcia strony wtórnej.

0

2

2

22

1

=

=

U

I

U

g

Impedancja strony wtórnej czwórnika w
stanie zwarcia strony pierwotnej.

- 15 -

PRZYKŁAD 1:

Wyznaczy

ć

parametry ła

ń

cuchowe czwórnika.

Z

1

U

1

Z

3

Z

2

U

2

I

1

I

2

Dane:

Z

1

=j10

Ω

,

Z

2

=5

Ω

,

Z

3

=j10

Ω

.

Równania łańcuchowe (6.22):











−

+

=

−

+

=

)

(

)

(

2

22

2

21

1

2

12

2

11

1

I

a

U

a

I

I

a

U

a

U

Wprowadzamy

2

|

2

I

I

−

=

•

0

|

2

2

1

11

=

=

I

gdy

U

U

a

Z

1

U

1

Z

2

U

2

1

2

1

2

2

U

Z

Z

Z

U

+

=

[ ]

−

+

=

+

=

+

=

+

=

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

11

j

Z

Z

Z

Z

Z

U

Z

Z

Z

U

a

- 16 -

•

0

2

|

2

1

12

=

=

U

gdy

I

U

a

Z

1

U

1

Z

3

Z

2

I

1

I

2

|

z dzielnika prądu:













+

=













+

=

⇒

+

=

2

3

|

2

2

3

2

|

2

1

1

3

2

2

|

2

1

Z

Z

I

Z

Z

Z

I

I

I

Z

Z

Z

I













+

+

=

+

=

2

3

1

|

2

3

|

2

1

1

3

|

2

1

1

Z

Z

Z

I

Z

I

Z

I

Z

I

U

(

)

[ ]

Ω

20

20

1

2

3

1

3

1

|

2

2

3

1

|

2

3

|

2

12

j

Z

Z

Z

Z

Z

I

Z

Z

Z

I

Z

I

a

+

−

=

+

+

=













+

+

=

•

0

|

2

2

1

21

=

=

I

gdy

U

I

a

[ ]

S

Z

Z

I

I

a

2

,

0

1

2

2

1

1

21

=

=

=

Z

1

U

1

Z

2

U

2

I

1

2

1

2

Z

I

U

=

•

0

2

|

2

1

22

=

=

U

gdy

I

I

a

[ ]

−

+

=

+

=

+

=

2

1

1

2

3

1

3

2

2

1

22

j

Z

Z

I

Z

Z

Z

I

a