Niwelacja
trygonometryczna
wykłady z przedmiotu
„Geodezja i kartografia”
Dr hab. inż. Andrzej Kobryń
Niwelacja
trygonometryczna
wykłady z przedmiotu
„Geodezja i kartografia”
Dr hab. inż. Andrzej Kobryń
Najważniejsze metody pomiarów
wysokościowych
niwelacja geometryczna
niwelacja trygonometryczna
Ogólna charakterystyka niwelacji
trygonometrycznej
Mankamenty (do niedawna):
niewystarczająca dokładność (na poziomie centymetrów i decymetrów)
wpływ refrakcji pionowej
niedokładny pomiar kątów pionowych
Zalety:
przydatność przy trudnych warunkach pomiaru
duże różnice wysokości mierzonymi punktami
przeszkody terenowe lub trudna dostępność mierzonych punktów
Przesłanki wzrostu znaczenia:
poznanie natury zjawiska refrakcji i ograniczenie jej wpływu na dokładność pomiaru
rozwój techniki komputerowej
postęp w konstrukcji elektronicznego sprzętu pomiarowego
zwiększenie dokładności sprzętu
automatyzacja procesu pomiaru i automatyczna rejestracja wyników
efektywne przetwarzanie wyników
nowe pola zastosowań (pomiary inżynierskie)
Różnica wysokości pomierzona metodą
niwelacji trygonometrycznej
wzór przybliżony
(przy krótszych odległościach,
mniejszych wysokościach
punktów ponad poziom
odniesienia oraz mniejszych
kątach nachylenia celowej)
wzór ścisły
s
R
d
k
d
i
H
H
h
st
pkt
pkt
st
2
1
tan
2
.
.
s
d
R
k
d
R
H
i
h
st
pkt
st
2
2
.
.
cos
1
2
1
tan
1
Wpływ krzywizny
z tw.sinusów w trójkącie ABA’
z sumy kątów trójkąta ABO
stąd
g
100
sin
2
/
sin
'
d
h
B
A
cos
cos
)
2
/
sin(
2
/
cos
sin
cos
2
/
sin
'
d
d
h
B
A
Wpływ krzywizny (c.d.)
ponieważ kąt
jest bardzo
mały w stosunku do kąta
,
więc:
uwzględniając powyższe,
otrzymamy:
ponieważ można przyjąć:
więc ostatecznie (*)
wpływ krzywizny
cos
cos
1
2
/
cos
2
/
2
/
sin
R
d /
R
d
krz
2
2
.
2
tan
'
d
d
h
B
A
R
d
d
h
B
A
2
tan
2
'
Wpływ refrakcji
w rzeczywistości gęstość atmosfery
zmienia się w sposób ciągły, a
promień świetlny ma kształt krzywej
(tzw. krzywej refrakcyjnej) zbliżonej
do łuku kołowego, skierowanego
wypukłością ku górze
współczynnik refrakcji:
kąt refrakcji:
z rysunku wynika:
ponieważ:
więc:
właściwy kąt pionowy:
'
/ R
R
k
'
'
'
2
R
d
R
k
R
'
1
R
d
k
2
R
d
k
2
'
Wpływ refrakcji (c.d.)
wzór na przewyższenie (*) z
uwzględnieniem powyższego:
po rozwinięciu funkcji tangens w szereg
Taylora
przy założeniu małej wartości kąta
stąd ostatecznie:
wpływ refrakcji
...
cos
1
2
tan
2
tan
2
R
d
k
R
d
k
R
d
k
R
d
k
2
tan
2
tan
R
d
k
ref
2
2
.
R
d
R
d
k
d
h
B
A
2
2
tan
2
'
R
d
k
d
R
d
R
d
k
d
h
B
A
2
1
tan
2
2
tan
2
2
2
'
Charakterystyka refrakcji pionowej
zależność refrakcji od nieraz bardzo zmiennych parametrów
atmosferycznych
trudna uchwytność
(większe długości celowych, urozmaicona rzeźba terenu, zmienne
zacienienie wzdłuż przebiegu celowej)
zmienność wartości współczynnika refrakcji
(specyfika obiektu, zmienność war. atmosferycznych)
przykładowo (sąsiedztwo zapory wodnej) dla temperatur od 0 do
22
o
C, odległości od 151 do 280 m)
współczynnik refrakcji od -1.08 do +0.69
skrócenie długości celowych
(warunki typowe, tj. K=0.13 i celowe do 380 m)
błąd z tytułu pominięcia refrakcji i krzywizny Ziemi nie większy
niż 1 cm
Charakterystyka refrakcji pionowej (c.d.)
dopuszczalność pominięcia wpływu refrakcji pionowej i
kulistości Ziemi
maksymalne długości celowych (dla różnych wartości
współczynnika refrakcji, kątów pionowych i odległości)
m
h
0.3 mm
1 mm
3 mm
5 mm
k
=0
g
=30
g
=0
g
=30
g
=0
g
=30
g
=0
g
=30
g
0.5
87.4
83.1
159.7
151.8
276.5
262.5
357.0
339.5
0.0
61.8
55.1
112.9
100.6
195.5
174.2
252.4
224.9
-0.5
50.4
44.1
92.2
80.5
159.6
139.4
206.1
180.0
-1.0
43.7
37.8
79.8
56.9
138.2
119.6
178.5
154.4
sposoby wyznaczania współczynnika refrakcji
pomiar parametrów atmosferycznych
synchroniczne pomiary dwustronne
pomiar znanej różnicy wysokości
Wyznaczanie współczynnika refrakcji
na podstawie parametrów
atmosferycznych
tzw. całkowity współczynnik refrakcji (wzór
Brocksa)
n -
ilość równych odcinków, na jakie
zostaje podzielona cała celowa
i - numer odcinka liczony od punktu
obserwacyjnego
-
tzw. cząstkowe współczynniki refrakcji
określone na podstawie pomiaru
parametrów atmosferycznych (ciśnienie,
temperatura, pionowy gradient
temperatury)
i
i
n
i
i
i
n
n
K
1
2
)
1
2
2
(
1
Współczynnik refrakcji na podstawie
parametrów atmosferycznych
wzory na cząstkowe współczynniki refrakcji
Izotow-Pellinen
Jordan
Brocks
Angus-Leppan
efekty realizacji poszczególnych wzorów
warunki: T=20
o
C=293.2
o
K=68
o
F
, P=760 mm Hg =1013.25 mbar
dT/dh=-0.1
o
C/m
Izotow-Pellinen:
-0.389
Jordan:
-0.391
Brocks:
-0.390
Angus-Leppan:
-0.387
cos
d
d
0342
.
0
8
.
668
2
h
T
T
P
)
d
d
39
.
29
1
(
)
1
(
1
760
2325
.
0
2
h
T
T
P
h
T
T
P
d
d
2925
.
0
1
19
.
17
2
h
T
T
P
R
d
d
0187
.
0
)
460
(
141
2
Współczynnik refrakcji na podstawie
parametrów atmosferycznych (c.d.)
Uwagi ogólne
profil terenu a całkowity współczynnik refrakcji
dominujący wpływ wartości współczynników cząstkowych z odcinków
położonych najbliżej stanowiska
praktyczne aspekty określania współczynnika refrakcji:
niemożliwe ścisłe wyznaczenie cząstkowych współczynników refrakcji
wzdłuż celowej
wykorzystanie parametrów atmosferycznych pomierzonych na stanowisku
pomiarowym
praktyczne aspekty określania gradientu temperatury:
niemożliwość pomiaru bezpośredniego
wykorzystanie różnicy temperatur pomierzonych na odpowiednich
wysokościach względem podłoża
dobór odpowiedniej funkcji do obliczenia temperatury jako funkcji
odległości od podłoża gruntowego)
Wyznaczanie współczynnika refrakcji
na podstawie synchronicznych
obserwacji dwustronnych
nie zawsze możliwe wykonanie
pomiaru (
gdy tylko jeden z końców
określonej celowej można brać
pod uwagę jako stanowisko
pomiarowe
)
wysokie koszty odpowiedniego
oprzyrządowania (
praktycznie
niemożliwe uniknięcie czasowego
przesunięcia między pomiarami
dwustronnymi
)
tzw. pomiary quasi-synchroniczne
(niecałkowita eliminacja wpływ
refrakcji)
większy wpływ refrakcji w
porównaniu z synchronicznym
pomiarem dwustronnym
(recepta to skrócenie długości
celowych)
Pomiar synchroniczny
współczynnik refrakcji
)
(
180
1
B
A
d
R
k
Wyznaczanie współczynnika
refrakcji na podstawie znanej
różnicy wysokości
Wyznaczanie współczynnika refrakcji
na podstawie znanej różnicy
wysokości
przydatność w pomiarach trudno dostępnych punktów
wykorzystanie wartości kąta pionowego skorygowanej o wartość
poprawki z tytułu refrakcji pionowej
poprawka z tytułu refrakcji
lub
przy czym
gdzie:
d
par.
-
odległość mierzonego punktu od stanowiska (określona
paralaktycznie na podstawie kątów
1
i
2
pomierzonych do końców
bazy pionowej b)
d -
odległość j.w. pomierzona bezpośrednio lub pośrednio
)
cos
(cos
)
(
cos
cos
2
4
1
4
2
2
4
1
2
1
p
p
d
d
d
b
)
cos
(cos
)
(
cos
cos
2
4
1
4
2
2
2
1
4
2
p
p
d
d
d
b
)
sin(
cos
cos
2
1
2
1
b
d
p
Sprzęt pomiarowy
tachimetry elektroniczne
automatyzacja pomiaru
koncentracja wszystkich funkcji związanych z pomiarem i rejestracją
danych
kontrola wyników i lokalizowanie błędów
zbędność redukcji jak dla nasadek dalmierczych
uproszczona konstrukcja znaków pomiarowych
(w porównaniu z systemami dwuosiowymi)
sprzęt pomiarowy najwyższej klasy
(wysoka dokładność pomiaru kątów pionowych)
dokładność wybranych teodolitów, dalmierzy i tachimetrów elektronicznych
Sprzęt
Błąd kierunku/ kąta pionowego
Błąd odległości
Leica T2002
1.5
cc
/0.5”
-
Leica T3000
1.5
cc
/0.5”
Leica DI 2002
-
1 mm + 1ppm
Leica DI 3000S
-
3 mm + 1ppm
Leica DI 1600
-
3 mm + 2ppm
Leica TC 2002
1.5
cc
/0.5”
1 mm + 1ppm
Zeiss Elta 2
2
cc
/0.6”
2 mm + 2 ppm
Sprzęt pomiarowy (c.d.)
specjalne znaki pomiarowe
kilka tarcz pionowo jedna nad drugą
Aspekty praktyczne
doskonalenie konstrukcji tachimetrów
odpowiednie kształtowanie łat i znaków pomiarowych
5 znaczków i ta sama liczba pryzmatów na łacie pomiarowej
4 znaczki i pryzmat umieszczone na pionowej bazie
3 znaczki na pionowej bazie połączonej z przyrządem
Aspekty praktyczne (c.d.)
wnioski z pomiarów doświadczalnych
niemożliwe osiągnięcie dokładności precyzyjnej
niwelacji geometrycznej
(ograniczona dokładność celowania - powyżej 0.9
cc
)
niekontrolowane zmiany stałych dodawania dalmierza
porównanie dokładności niwelacji trygonometrycznej i
precyzyjnej niwelacji geometrycznej
Odcinek
Długość [km]
Różnica wysokości
[m]
Tachimetr
m
geom.
[mm]
m
tryg.
[mm]
I
4.3
720
TC 2000
1.5
2.5
II
21.9
230
TC 2000
0.5
1.4
III
6.2
130
TC 2000
0.5
3.0
IV
6.2
130
TC 1600
0.5
2.8
V
5.1
580
TC 2000
2.0
2.1
Aspekty praktyczne (c.d.)
możliwości zwiększenia dokładności
użycie automatycznych tachimetrów
motoryczne sterowanie
automatyczne celowanie do tarcz i pomiar
zwiększenie dokładności określenia współczynnika refrakcji
dyspersometr (użycie przy celowych do 250 m)
dwubarwne źródło światła (podczerwień i błękit, długości fali 864 nm
i 432 nm)
specjalny system detekcyjny
zintegrowana z lunetą optyka z włókien szklanych
podstawa wyznaczenia całkowitego współczynnika refrakcji to kąt
dyspersji (różnica kątów refrakcji dla fal o różnych długościach)
całkowity współczynnik refrakcji z błędem poniżej 0.1
(w warunkach stabilnej refrakcji)
wymuszone ustawienie wysokościowe
(gwarancja stałej wysokości osi obrotu)
Możliwe obszary zastosowań
niwelacji trygonometrycznej
Możliwe obszary zastosowań
niwelacji trygonometrycznej
badania przemieszczeń i odkształceń oraz pomiary
inwentaryzacyjne i kontrolne trudno dostępnych budowli i obiektów
inżynierskich (
np. pokazanych na poprzednim slajdzie
)
badania przemieszczeń i odkształceń na terenach osuwisk
zakładanie osnów geodezyjnych na terenach górzystych
Ciąg niwelacji trygonometrycznej
różnica wysokości między punktami A i B
p
n
w
n
p
w
p
w
AB
h
...
2
2
1
1
Pomiar punktu niedostępnego (I)
obiekt jest dostępny do pomiaru odległości
wysokość obiektu to różnica przewyższeń
B
A
B
A
B
A
d
d
d
h
h
w
tan
tan
tan
tan
Pomiar punktu niedostępnego (II)
obiekt jest dostępny, lecz nie ma warunków do zmierzenia
odległości d
odległość obiektu od stanowiska
wysokość obiektu
B
C
d
l
tan
tan
B
C
l
d
tan
tan
B
C
B
A
l
w
tan
tan
tan
tan
Pomiar punktu niedostępnego (III)
obiekt jest niedostępny
na stanowisku I
na stanowisku II
stąd:
ostatecznie
oraz wysokość obiektu:
B
A
d
w
'
tan
'
tan
B
A
a
d
w
'
'
tan
'
'
tan
B
A
B
A
a
d
d
'
'
tan
'
'
tan
'
tan
'
tan
B
A
B
A
B
A
a
d
'
tan
'
tan
'
'
tan
'
'
tan
'
'
tan
'
'
tan
B
A
B
A
B
A
B
A
a
w
'
tan
'
tan
'
'
tan
'
'
tan
'
'
tan
'
'
tan
'
tan
'
tan
Pomiar punktu niedostępnego (IV)
celem jest wyznaczenie bezwzględnych wysokości punktów
z pomiaru na dwóch różnych wysokościach horyzontu
stąd odległość d
w rezultacie
– możliwość dwukrotnego wyznaczenia wysokości
A
I
rp
A
d
w
H
H
'
tan
.
A
II
rp
A
a
d
w
H
H
'
'
tan
.
A
A
A
I
II
a
w
w
d
'
'
tan
'
tan
'
'
tan
Pomiar punktu niedostępnego (V)
na podstawie tw. Sinusów
wysokość punktu P
lub
sin
sin
sin
BP
AP
d
d
b
A
AP
A
A
P
d
i
H
H
tan
B
BP
B
B
P
d
i
H
H
tan
Pomiar punktów niedostępnych
Pomiar punktów nieodstępnych (c.d.)
długość bazy b z pomiaru lub ze współrzędnych
odległości punktów A i B (z tw. sinusów) od stanowisk I i II
oraz:
wysokości punktów nieodstępnych
2
2
II
I
II
I
y
x
b
A
A
A
b
A
I
sin
sin
B
B
B
b
B
I
sin
sin
A
A
A
b
A
II
sin
sin
B
B
B
b
B
II
sin
sin
A
I
I
St
A
A
I
i
H
H
'
tan
'
.
B
I
I
St
B
B
I
i
H
H
'
tan
'
.
A
II
II
St
A
A
II
i
H
H
'
'
tan
'
'
.
B
II
II
St
B
B
II
i
H
H
'
'
tan
'
'
.
Pomiar punktów nieodstępnych (c.d.)
możliwość dwukrotnego
wyznaczenia różnicy
wysokości punktów
niedostępnych (kontrola)
A
B
B
A
A
I
B
I
h
'
tan
'
tan
'
A
B
B
A
A
II
B
II
h
'
'
tan
'
'
tan
'
'