Analiza funkcjonalna

Wykªad 2

Przestrzenie unormowane i przestrzenie metryczne.

(

Wykªad skrócony do 1h wskutek godzin dzieka«skich.)

Przestrzenie unormowane

Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡.

Denicja 1. Funkcja V 3 ¯v 7→ k¯vk ∈ [0, ∞) jest norm¡ na V , gdy speªnia warunki:

1. k¯vk = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ¯v = ¯0,

2. ka · ¯vk = |a| · k¯vk dla ka»dego ¯v ∈ V i ka»dej liczby a ∈ K,

3. k¯v + ¯wk ≤ k¯vk + k¯wk dla dowolnych ¯v, ¯w ∈ V (nierówno±¢ trójk¡ta).

Fakt 1 (Proste wªasno±ci normy).

1. | k¯vk − k¯wk | ≤ k¯v − ¯wk

2. kP

n
i=1

¯

v

i

k ≤

P

n
i=1

k¯

v

i

k

Denicja 2. Par¦ (V, k·k), gdzie V jest przestrzeni¡ liniow¡, a k·k okre±lon¡ na niej norm¡,

nazywamy przestrzeni¡ unormowan¡.

W R

n

deniowali±my norm¦ wektora ¯v = (v

1

, ..., v

n

)

wzorem

k¯

vk = k¯vk

2

=

q

v

2

1

+ ... + v

2

n

.

Ale mo»na inaczej:

k¯

vk

∞

= max{|v

1

|, ..., |v

n

|}

k¯

vk

1

=

n

X

i=1

|v

i

|

lub ogólniej

k¯

vk

p

=

n

X

i=1

|v

i

|

p

!

1/p

.

Czy te normy s¡ znacznie od siebie ró»ne, czy te» maj¡ wspólne cechy?

Denicja 3. Niech k·k

1

, k·k

2

b¦d¡ normami na przestrzeni liniowej V . Mówimy, »e normy

te s¡ równowa»ne, gdy istniej¡ staªe dodatnie c i C takie, »e

c k¯

vk

1

≤ k¯

vk

2

≤ C k¯

vk

1

.

Mo»na pokaza¢, »e powy»sze normy na R

n

sa równowa»ne (na ¢wiczeniach).

Przykªady przestrzeni unormowanych

1. dla (x

n

) ∈ c

00

deniujemy k(x

n

)k = max

n∈N

|x

n

|

,

2. dla (x

n

) ∈ l

∞

(w szczególno±ci dla x ∈ c

0

) deniujemy k(x

n

)k

∞

= sup

n∈N

|x

n

|

,

3. dla (x

n

) ∈ l

1

deniujemy k(x

n

)k

1

=

P

∞
n=1

|x

n

|

,

4. dla (x

n

) ∈ l

p

, p > 1 (!) deniujemy k(x

n

)k

p

= (

P

∞
n=1

|x

n

|

p

)

1/p

,

1

5. dla f ∈ C

R

([0, 1])

deniujemy kfk

∞

= sup

x∈[0,1]

|f (x)| = max

x∈[0,1]

|f (x)|

,

6. dla f ∈ C

1

R

([0, 1])

deniujemy kfk = max

x∈[0,1]

|f (x)| + max

x∈[0,1]

|f

0

(x)|

,

7. dla f ∈ L

∞

(µ)

deniujemy kfk

∞

= essup

x∈X

|f (x)|

,

8. dla f ∈ L

1

(µ)

deniujemy kfk

1

=

R |f | dµ

,

9. dla f ∈ L

p

(µ)

, p > 1 (!), deniujemy kfk

p

=

R |f |

p

dµ

1/p

.

Nie zawsze wykazywanie, »e funkcja jest norm¡ jest proste. W przestrzeniach l

p

i L

p

(µ)

potrzebujemy poni»szych narz¦dzi.

2