MLR2x str. 327

MLR2x str. 328

WIEL

OK

ĄT

Y

PODOBNE

WIELOKĄTY PODOBNE

A

Z prawej strony przedstawiony jest spinacz na-
turalnej wielkości. Poniżej ten sam spinacz (lub
jego fragment) przedstawiono w różnych ska-
lach. Zmierz długości odpowiednich odcinków
i oblicz te skale.

Jeśli daną figurę

F powiększymy lub pomniejszymy w pewnej skali, to

otrzymamy figurę podobną do figury

F. Figury pozostaną podobne, gdy

jedną z nich przekształcimy przez symetrię, przesunięcie lub inną izome-
trię. O figurach podobnych możemy powiedzieć, że mają taki sam kształt,
a różnią się wielkością. Na poniższych rysunkach przedstawiono dwie pary
figur podobnych.

W figurach podobnych dla każdej pary odpowiadających sobie odcinków
stosunek ich długości jest taki sam. Liczbę równą temu stosunkowi nazy-
wamy skalą podobieństwa.

Figury

F i F



na rysunku poniżej są podobne. Odcinkowi AB w figurze

F

odpowiada w figurze

F



odcinek A



B



. Zatem figura

F



jest podobna do

figury

F w skali k =

|A



B



|

|AB|

.

|A



B



|

|AB|

=

|C



D



|

|CD|

=

|E



F



|

|EF|

328

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 329

Na ogół nie jest łatwo stwierdzić, czy dwie figury są podobne, zwłaszcza
gdy mają nieregularne kształty. Z kolei aby stwierdzić, czy podobne są
wielokąty, wystarczy skorzystać z następującej własności:

Dwa wielokąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa wa-
runki:

•

Kąty jednego wielokąta mają takie same miary jak odpowiednie kąty
drugiego wielokąta.

•

Stosunki długości boków jednego wielokąta do długości odpowiednich bo-
ków drugiego wielokąta są takie same.

W wielokątach narysowanych obok odpo-
wiednie kąty mają takie same miary, a sto-
sunki długości odpowiednich boków są
takie same. Wynika stąd, że wielokąty te
są podobne.

Stosunek długości któregokolwiek boku
wielokąta

F



do odpowiadającego mu bo-

ku wielokąta

F jest równy skali podobień-

stwa. Wielokąt

F



jest zatem podobny do

wielokąta

F w skali k =

a



a

(oczywiście tak-

że k =

b



b

, k =

c



c

itd.).

Zauważ, że wielokąt

F jest podobny do wielokąta F



w skali

a
a



, czyli

1
k

.

B

Narysowane pięciokąty są podobne.
Znajdź miarę kąta α oraz skalę po-
dobieństwa i długość boku a.

C

Dwa z pięciokątów

F

1

,

F

2

, . . . ,

F

6

są podobne do pięciokąta

F. Które?

WIELOKĄTY PODOBNE

329

MLR2x str. 330

e

a

=

f

b

=

g

c

=

h
d

Wielokąty

F i F



na rysunku obok są po-

dobne. Łatwo zauważyć, że z równości:

e

a

=

f

b

wynika równość:

a
b

=

e
f

Podobnie można wykazać, że zachodzą inne proporcje, na przykład:

a

c

=

e

g

b

c

=

f

g

c

d

=

g
h

Możemy więc powiedzieć, że stosunek długości dwóch boków wielokąta

F

jest równy stosunkowi długości odpowiadających im boków wielokąta

F



.

Taką własność mają dowolne dwa wielokąty podobne.

ZADANIA

1.

a) Odcinek A



B



jest podobny do odcinka AB w skali 5. Jaką długość ma odcinek

A



B



, jeśli odcinek AB ma długość 2?

b) Kąt α



jest podobny do kąta α w skali 3. Kąt α ma miarę 30

◦

. Jaką miarę ma

kąt α



?

c) Trójkąt K



L



M



jest podobny do trójkąta KLM w skali

1
3

. Jaki obwód ma trój-

kąt KLM, jeśli obwód trójkąta K



L



M



jest równy 60?

2.

Figury przedstawione na rysunku są podobne. W jakiej skali większa z figur jest

podobna do mniejszej?

3.

Narysowane wielokąty są podobne. Znajdź brakujące wyrazy proporcji.

f

a

=

?

b

a

?

=

c
e

a

c

=

?
?

d

e

=

?
?

z

s

=

x

?

p

?

=

t

y

p

r

=

?
?

w

y

=

?
?

330

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 331

4.

Trójkąty przedstawione na rysunku są podobne. Oblicz długość boku a.

5.

Wielokąty przedstawione na rysunku są podobne. Oblicz długość boku a oraz

miary kątów α i β.

6.

Uzasadnij, dlaczego figury przedstawione na rysunku nie są podobne.

7.

Które z poniższych zdań są prawdziwe?

a) Jeśli stosunki długości dwóch sąsiednich boków dwóch prostokątów są równe,
to prostokąty te są podobne.

b) Dowolne dwa kwadraty są podobne.
c) Dwa trapezy prostokątne o takim samym kącie ostrym są podobne.
d) Jeśli jeden kąt rombu jest równy kątowi innego rombu, to romby te są podobne.
e) Jeśli długości przekątnych jednego równoległoboku są proporcjonalne do dłu-
gości przekątnych drugiego równoległoboku, to równoległoboki te są podobne.

8.

a) Wielokąt

F

1

jest podobny do wielokąta

F

2

w skali 2, a wielokąt

F

2

jest

podobny do wielokąta

F

3

w skali 7. W jakiej skali wielokąt

F

1

jest podobny do

wielokąta

F

3

?

b) Wielokąt

F

1

jest podobny do wielokąta

F

2

w skali 5 i jest podobny do wielokąta

F

3

w skali 3. W jakiej skali wielokąt

F

2

jest podobny

do wielokąta

F

3

?

9.

Trapez ABCF na rysunku obok jest podobny

do trapezu FCDE. Oblicz długość odcinka ED.

WIELOKĄTY PODOBNE

331

MLR2x str. 332

10.

Równoległobok ABCD na rysunku obok ma bo-

ki długości 4 i 6. Prosta EF odcina równoległobok
AEFD, podobny do równoległoboku ABCD. Znajdź
długość odcinka AE.

11.

a) Z prostokąta odcięto kwadrat (zob. rysunek

obok) i otrzymano prostokąt podobny do tego pro-
stokąta. Oblicz stosunek długości boków prostokąta.

b) Papier produkuje się w prostokątnych arkuszach. Wymiary arkusza dobrane są
tak, że po złożeniu go na pół (równolegle do krótszego boku) otrzymujemy prosto-
kąt podobny do całego arkusza. Jaki jest stosunek długości boków arkusza papieru?

12.

Na rysunku obok trójkąty ABC i CBD są po-

dobne. Boki trójkąta CBD mają długości

|CD| = 2,

|DB| = 3, |BC| = 4. Znajdź długości boków AB i AC.

13.

Na rysunku obok punkt F jest środkiem odcin-

ka BC. Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta ADE.
Znajdź skalę tego podobieństwa.

TEST

T1.

Do prostokąta o wymiarach 3 cm

×12 mm jest podobny prostokąt o wymiarach:

A. 6 cm

× 6 mm

B. 12 cm

× 3 m

C. 12 cm

× 3 mm

D. 2 m

× 5 m

T2.

Pięciokąty przedstawione na

rysunku są podobne. Która z po-
niższych równości nie jest praw-
dziwa?

A.

|UW | = 4

B.

| ABC| = 90

◦

C.

|XW | = 1

D.

|BC| = 9

T3.

Trapez ABCD (zob. rysunek) jest podobny

do trapezu EFGH. Obwód trapezu EFGH wy-
nosi 36 cm. Obwód trapezu ABCD jest równy:

A. 42 cm

B. 48 cm

C. 64 cm

D. 72 cm

332

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 333

JEDNO

KŁ

ADNOŚĆ

JEDNOKŁADNOŚĆ

W jednym z poprzednich działów tego podręcznika omawialiśmy przykła-
dy różnych przekształceń geometrycznych (m.in. symetrie, przesunięcie).
Omówimy teraz kolejne ważne przekształcenie geometryczne — jedno-
kładność.

Na każdym z poniższych rysunków figura

F



jest obrazem figury

F w jed-

nokładności o środku S i skali k.

Gdy skala jednokładności jest dodatnia, obrazem punktu P jest punkt P



leżący na półprostej SP . Natomiast gdy skala jest ujemna, obrazem punk-
tu P jest punkt P



leżący na prostej P S, ale po przeciwnej stronie punktu S

niż punkt P . Ponadto, niezależnie od tego, czy skala jest dodatnia, czy
ujemna, musi zachodzić równość

|SP



| = |k| · |SP|. Taki sposób określa-

nia jednokładności jest dosyć skomplikowany. Dużo łatwiej opisuje się to
przekształcenie za pomocą wektorów.

A

Narysuj dowolny trójkąt. Oznacz jego wierzchołki literami A, B, C. Zaznacz
dowolny punkt S na zewnątrz trójkąta ABC, a natępnie znajdź takie punkty
A



, B



i C



, by:

−

−−−

→

SA



= 2

−−−

→

SA

−−−

→

SB



= 2

−−

→

SB

−

−−−

→

SC



= 2

−−−

→

SC

J

k

S

(P ) = P



⇐⇒

−−−

→

SP



= k

·

−−

→

SP

Niech S będzie dowolnym punktem płasz-
czyzny i niech k będzie dowolną liczbą
różną od zera. Jednokładność o środku S
i skali k określamy w następujący sposób:
Obrazem dowolnego punktu P jest taki
punkt P



, dla którego zachodzi równość:

−−−

→

SP



= k

·

−−

→

SP

JEDNOKŁADNOŚĆ

333

MLR2x str. 334

Jednokładność o środku S i skali k oznaczamy symbolem J

k

S

. Zauważ, że

obrazem punktu S w jednokładności o środku S jest ten sam punkt.

Uwaga. Jeśli jedna z figur jest obrazem drugiej w pewnej jednokładności o skali
różnej od 0, to mówimy, że figury te są jednokładne.

B

Narysuj w zeszycie trójkąt ABC i punkt S,
położone tak jak na rysunku obok, a na-
stępnie przekształć trójkąt ABC przez jed-
nokładność o środku S i skali:

1.

k = 2

2.

k =

1
2

3.

k = −

1
2

4.

k = −

3
2

C

Czworokąt A



B



C



D



jest obrazem czworokąta ABCD w jednokładności o środ-

ku w jednym z zaznaczonych punktów. Wskaż środek jednokładności i określ
jej skalę. Znajdź na rysunku dowolne odcinki równoległe i oblicz stosunek ich
długości.

D

Narysuj dowolny odcinek AB, a następnie zaznacz dowolny punkt S. Znajdź
obraz odcinka AB w jednokładności o środku S i skali:

1.

k = 1

2.

k = −1

3.

k =

1
2

4.

k = −6

Łatwo zauważyć, że gdy skala jednokładności jest równa 1, to obrazem
dowolnego odcinka jest ten sam odcinek. Natomiast gdy skala jednokład-
ności jest równa −1, to obrazem danego odcinka jest odcinek o tej samej
długości równoległy do danego.

J

2

S

(AB) = A

1

B

1

J

−1

S

(AB) = A

2

B

2

J

−

3
2

S

(AB) = A

3

B

3

W pozostałych przypadkach (gdy k

= 1 i k = −1) odcinki jednokładne różnią

się długością, ale zawsze są równoległe.

334

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 335

Uwaga. Możemy powiedzieć, że jednokładność o skali k = 1 jest przekształceniem
tożsamościowym (obrazem każdego punktu jest ten sam punkt). Zauważ też,
że jednokładność o środku S i skali k = −1 to takie samo przekształcenie, jak
symetria środkowa o środku S.

Oto ważna własność jednokładności:

Obrazem odcinka o długości

a w jed-

nokładności o skali

k jest odcinek do

niego równoległy o długości

|k|·|AB|.

Dowód
Niech S, A, A



, B i B



będą takimi punktami, że J

k

S

(AB) = A



B



. Pokażemy, że

−

−−−−

→

A



B



= k

·

−−−

→

AB .

Z określenia jednokładności wynika, że:
−

−−−

→

SA



= k

·

−

−−

→

SA oraz

−−−

→

SB



= k

·

−−

→

SB

Z własności działań na wektorach otrzymujemy:

−

−−−−

→

A



B



=

−

−−−

→

A



S +

−−−

→

SB



= k

·

−

−−

→

AS + k

·

−−

→

SB =

= k

· (

−−−

→

AS +

−−

→

SB ) = k

·

−−−

→

AB

−−−

→

SA



=

k ·

−−

→

SA , więc

−−−

→

A



S = k ·

−−

→

AS

Z równości

−

−−−−

→

A



B



= k

·

−−−

→

AB wynika, że odcinki A



B



i AB są równoległe oraz że

zachodzi równość

|A



B



| = |k|·|AB|.

Z udowodnionej własności wynika, że jednokładność o skali k to takie
przekształcenie, w którym:

obrazem prostej jest prosta do niej równoległa,

obrazem kąta jest kąt o takiej samej mierze,

obrazem danego wielokąta jest wielokąt o takich samych kątach, a boki
tego wielokąta są proporcjonalne do boków danego wielokąta; możemy
powiedzieć, że są

|k| razy dłuższe (lub krótsze) od odpowiednich boków

danego wielokąta.

ZADANIA

1.

Narysuj dowolny prostokąt, a następnie przekształć go przez jednokładność

o środku leżącym:

a) wewnątrz prostokąta i skali k = 2,
b) w punkcie przecięcia przekątnych prostokąta i skali k = −

1
2

,

c) w jednym z wierzchołków prostokąta i skali k = −

3
2

.

JEDNOKŁADNOŚĆ

335

MLR2x str. 336

2.

Figura na rysunku obok zbudowana zo-

stała z trójkątów równobocznych. Zastąp
znaki zapytania odpowiednimi symbolami
figur lub liczbami oznaczającymi skalę jed-
nokładności.

a) J

3

O

(N) = ? J

−2

S

(T X) = ?

J

−

1
2

N

(ΔLNB) = ?

b) J

3

A

(?) = S

J

1
2

R

(?) = MS

J

−2

T

(?) = ΔHT K

c) J

?

M

(L) = O J

?

G

(AF) = XK J

?

I

(ΔQSG) = ΔEDK

3.

a) Narysuj dwa odcinki równoległe o różnych długościach i znajdź środek jedno-

kładności przekształcającej jeden z tych odcinków w drugi.

Uwaga. Są dwa takie punkty.

b) Narysuj dwa przecinające się okręgi o różnych średnicach. Wyznacz środek jed-
nokładności przekształcającej jeden z tych okręgów w drugi.

c) Narysuj dowolny okrąg oraz dowolny trójkąt leżący na zewnątrz tego okrę-
gu. Opisz, w jaki sposób można znaleźć trójkąt jednokładny do danego trójkąta
o wierzchołkach leżących na danym okręgu.

4.

Czy istnieje figura, której obrazem w jednokładności o skali k

= 1 i k = −1 jest

ta sama figura? Czy istnieje taka figura, która jest ograniczona (zawarta w jakimś kole)?

5.

Obrazem odcinka MN w jednokładności o środku M i skali −5 jest odci-

nek M



N



. Jaka jest skala jednokładności, w której obrazem odcinka NM jest

odcinek NN



?

6.

Na dwóch rysunkach przedstawiono parę figur, z których jedna jest obrazem

drugiej w pewnej jednokładności. Wskaż te rysunki.

7.

Narysowane prostokąty są jednokładne. Oblicz ich obwody.

336

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 337

8.

a) Narysuj dowolny trójkąt, a następnie skon-

struuj kwadrat, którego wszystkie wierzchołki leżą
na bokach tego trójkąta.

Wskazówka. Zacznij od narysowania dowolnego kwadra-
tu, którego trzy wierzchołki leżą na bokach trójkąta.

b) Narysuj dowolny trójkąt i skonstruuj taki trójkąt równoboczny, którego wierz-
chołki leżą na bokach danego trójkąta (każdy z wierzchołków na innym boku).

9.

Punkt P przekształcono przez jednokładność o środku S i skali k. Znajdź współ-

rzędne otrzymanego punktu, gdy:

a) P = (−2, 1), S = (0, 0), k = 3

d) P = (1, 0), S = (−10, 2), k = −

1
4

b) P = (−10, −5), S = (0, 0), k = −

2
3

e) P = (5, 1), S = (−100, −200), k = −10

c) P = (5, 7), S = (1, 2), k = 2

f) P = (a + 5, b − 1), S = (a, b), k = 3

10.

Punkt P



jest obrazem punktu P w jednokładności o środku S.

a) Jaka jest skala jednokładności, jeśli P = (2, 5), P



= (7, 10) i S = (−2, 1)?

b) Jakie współrzędne ma punkt S, jeśli P = (10, −2), P



= (−5, −3) i k = −

1
3

?

11.

Odcinek o końcach w punktach A = (−2, 0), B = (−3, 4) przekształcono przez

jednokładność i otrzymano odcinek o końcach w punktach (1, 0) i



7
4

, −3



. Znajdź

współrzędne środka oraz skalę tej jednokładności.

Uwaga. Zadanie to ma dwa rozwiązania.

TEST

T1.

Obrazami punktów A, B i C w jednokładności o skali −3 są odpowiednio punk-

ty A’, B’ i C’. Które z poniższych zdań jest fałszywe?

A.

|A



B



| = 3 |AB|

B. Odcinek BC jest równoległy do odcinka B



C



.

C.

|AC|

|A



C



|

=

1
3

D. Obwód trójkąta ABC jest 3 razy dłuższy od obwodu trójkąta A



B



C



.

T2.

Obrazem punktu (4, −1) w jednokładności o środku (−2, 1) i skali

1
2

jest punkt

o współrzędnych:

A. (1, 0)

B. (−1, 4)

C. (−8, 3)

D. (6, −3)

T3.

W jednokładności o środku (4, −2) obrazem punktu (−4, −6) jest punkt (8, 0).

Skala tej jednokładności jest równa:

A. 2

B.

1
2

C. −

1
2

D. −4

JEDNOKŁADNOŚĆ

337

MLR2x str. 338

IEŃSTW

A

TR

Ó

JK

ĄT

ÓW

.

CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW.
TWIERDZENIE TALESA

A

1.

Narysuj dwa czworokąty, w których odpowiednie boki są proporcjonalne,

ale które nie są podobne.

2.

Narysuj dwa czworokąty, które mają odpowiednie kąty równe, ale które nie

są podobne.

3.

Narysuj dowolny trójkąt ABC, a następnie narysuj trójkąt, który ma takie

same kąty jak trójkąt ABC, ale boki – innej długości. Sprawdź, czy boki tych
dwóch trójkątów są proporcjonalne.

4.

Narysuj dowolny trójkąt KLM, a następnie skonstruuj trójkąt, który ma

wszystkie boki 2 razy dłuższe od boków trójkąta KLM. Sprawdź, czy oba te
trójkąty mają równe kąty.

Gdy rysujemy czworokąt podobny do danego czworokąta, to musimy za-
dbać zarówno o to, aby miary odpowiednich kątów były równe, jak i o to,
aby odpowiednie boki były proporcjonalne. Można bowiem podać przy-
kłady czworokątów, których boki są proporcjonalne, a kąty nie są równe,
a także przykłady czworokątów, których kąty są równe, a boki nie są pro-
porcjonalne.

W wypadku trójkątów jest nieco inaczej. Sprawdzenie obu warunków po-
dobieństwa wielokątów nie jest konieczne, gdyż jeśli dwa trójkąty mają
proporcjonalne boki, to na pewno mają takie same kąty, a także gdy kąty
dwóch trójkątów są równe, to na pewno ich boki są proporcjonalne. Mówią
o tym własności zwane cechami podobieństwa trójkątów.

Uwaga. Przy dowodzeniu cech podobieństwa trójkątów będziemy korzystać
z własności trójkątów, zwanych cechami przystawania:

Jeśli dwa trójkąty mają równe boki, to są przystające.

Jeśli dwa trójkąty mają bok o tej samej długości i odpowiednie kąty przylega-
jące do tego boku w tych trójkątach są równe, to trójkąty te są przystające.

Jeśli dwa boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie
boki drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami mają jednakowe miary, to
trójkąty są przystające.

CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW

a



a

= b



b

= c



c

Cecha bbb (bok–bok–bok)

Jeśli długości boków jednego trój-
kąta są proporcjonalne do długo-
ści odpowiednich boków drugiego
trójkąta, to trójkąty te są podobne.

338

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 339

Dowód

Załóżmy, że trójkąt ABC ma boki długości a, b i c, trójkąt A



B



C



ma boki

długości a



, b



i c



oraz

a



a

=

b



b

=

c



c

.

Przekształćmy trójkąt ABC
przez jednokładność o skali
k =

a



a

(i dowolnie wybra-

nym środku).

Otrzymany w ten sposób trójkąt A

1

B

1

C

1

ma boki długości ka, kb i kc. Ponie-

waż ka = a



, kb = b



i kc = c



, więc trójkąt A

1

B

1

C

1

ma boki o takich samych

długościach jak trójkąt A



B



C



, zatem jest do niego przystający. Wynika stąd,

że trójkąt A



B



C



jest podobny do trójkąta ABC.

B

Który z narysowanych trójkątów jest podobny do trójkąta ABC?

Cecha kk (kąt–kąt)

Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są
równe odpowiednim kątom drugie-
go trójkąta, to trójkąty te są po-
dobne.

Dowód
Załóżmy, że trójkąty ABC i A



B



C



mają równe kąty: α =

| CAB| = | C



A



B



|

i β =

| ABC| = | A



B



C



|.

Przekształćmy trójkąt ABC
przez jednokładność o skali
k =

|A



B



|

|AB|

(i dowolnie wybra-

nym środku).

Otrzymany w ten sposób trójkąt A

1

B

1

C

1

ma dwa kąty równe α i β (

| C

1

A

1

B

1

| =

= α i

| A

1

B

1

C

1

| = β) oraz bok o długości |A



B



|, gdyż |A

1

B

1

| = k · |AB| =

=

|A



B



|

|AB|

· |AB| = |A



B



|. Zatem trójkąty A

1

B

1

C

1

i A



B



C



mają dwa kąty równe

i w obu tych trójkątach boki, do których przylegają równe kąty, są tej samej
długości. Są to więc trójkąty przystające. Wynika stąd, że trójkąt A



B



C



jest

podobny do trójkąta ABC.

CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW. TWIERDZENIE TALESA

339

MLR2x str. 340

Cecha bkb (bok–kąt–bok)

Jeśli długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości
odpowiednich boków drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami w obu
trójkątach są równe, to trójkąty te są podobne.

Dowód

Załóżmy, że dla trójkątów ABC i A



B



C



zachodzą równości:

| ACB| = | A



C



B



| = γ

|A



C



|

|AC|

=

|B



C



|

|BC|

Przekształćmy trójkąt ABC
przez jednokładność o skali
k =

|A



C



|

|AC|

(i dowolnie wybra-

nym środku).

Otrzymany trójkąt A

1

B

1

C

1

ma boki o długościach

|A

1

C

1

| = k · |AC| = |A



C



|

oraz

|B

1

C

1

| = k · |BC| = |B



C



|, a kąt między tymi bokami jest równy γ

(

| A

1

C

1

B

1

| = | ACB| = γ). Dwa boki trójkąta A

1

B

1

C

1

mają więc takie sa-

me długości jak odpowiednie boki trójkąta A



B



C



i kąt między tymi bokami

w obu trójkątach jest taki sam. Trójkąty te są zatem przystające. Wynika stąd,
że trójkąt A



B



C



jest podobny do trójkąta ABC.

C

Czy narysowane trójkąty są podobne?

D

Który z narysowanych trójkątów jest podobny do trójkąta ABC?

340

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 341

Aby stwierdzić, czy dwa trójkąty są podobne, wystarczy skorzystać z jednej
z cech podobieństwa trójkątów. Cechy podobieństwa trójkątów przydają
się przy rozwiązywaniu rozmaitych problemów geometrycznych (dotyczą-
cych nie tylko trójkątów).

P

W trapezie

ABCD ramiona mają długości |AD| = 5 i |BC| = 3, przekątna BD ma

długość 6, a kąty 

BAD i  CBD są równe. Oblicz obwód tego trapezu.

Sporządzamy rysunek pomocniczy.

|  BAD| = |  CBD|

Równość wynika z treści zadania.

|  ABD| = |  BDC|

Kąty 

ABD i  BDC są naprzemianległe.

Δ

ABD jest podobny do ΔBDC (cecha kk).

Zatem:

|AB|

|BD|

=

|AD|

|BC|

i

|BD|

|DC|

=

|AD|

|BC|

|BD| = 6, |AD| = 5, |BC| = 3

Stąd:

|AB|

6

=

5
3

i

6

|DC|

=

5
3

|AB| = 10

i

|DC| = 3,6

Obwód =

|AB| + |BC| + |CD| + |DA| = 10 + 3 + 3,6 + 5 = 21,6

Odp. Obwód trapezu wynosi 21,6.

Z cechami podobieństwa trójkątów związane są: twierdzenie Talesa oraz
twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.

Twierdzenie Talesa

Jeżeli dwie proste równoległe przecinają oba ramiona pewnego kąta,
to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są
proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Zatem jeśli proste równoległe l i m przeci-
nają ramiona kąta o wierzchołku O w punk-
tach A, B, A



i B



tak, że punkty A i A



leżą

na jednym ramieniu, a punkty B i B



— na

drugim ramieniu kąta (zob. rysunek obok),
to zachodzi proporcja:

|OA|

|OB|

=

|OA



|

|OB



|

CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW. TWIERDZENIE TALESA

341

MLR2x str. 342

Dowód

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.

Zauważmy, że trójkąty ABB



i ABA



ma-

ją wspólny bok AB, a z równoległości pro-
stych AB i A



B



wynika, że wysokości opusz-

czone z wierzchołków A



i B



mają równe

długości. Zatem pola trójkątów ABB



i ABA



są równe.

Pole trójkąta OAB



jest sumą pól trójkątów OAB i ABB



, a pole trójkąta OA



B

jest sumą pól trójkątów OAB i ABA



. Zatem trójkąty OAB



i OA



B mają równe

pola.

Trójkąty OAB i OA



B mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B.

Zatem stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości boków OA i OA



.

Podobnie stosunek pól trójkątów OAB i OAB



jest równy stosunkowi boków

OB i OB



.

Z równości

P

ΔOAB

P

ΔOA B

=

|OA|

|OA



|

,

P

ΔOAB

P

ΔOAB

=

|OB|

|OB



|

i P

ΔOA



B

= P

ΔOAB



wynika proporcja

|OA|

|OA



|

=

|OB|

|OB



|

, a po jej przekształceniu otrzymamy

|OA|

|OB|

=

|OA



|

|OB



|

.

Jeśli długości odcinków oznaczymy tak jak
na rysunku obok, to z twierdzenia Talesa
otrzymujemy:

e

a

=

e + f

a + b

a

e

=

b

f

Drugą z tych proporcji można otrzymać, prze-
kształcając pierwszą proporcję.

Z podobieństwa odpowiednich trójkątów wynikają też inne proporcje, na
przykład:

d

c

=

a + b

a

d

c

=

e + f

e

c

a

=

d

a + b

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Jeśli na jednym ramieniu kąta o wierzchoł-
ku O wybierzemy punkty A i B, a na drugim
ramieniu punkty C i D w taki sposób, że za-
chodzi proporcja:

|OA|

|OC|

=

|OB|

|OD|

,

to proste AC i BD są równoległe.

342

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 343

Dowód

Załóżmy, że punkty A i B leżą na jednym ramieniu kąta o wierzchołku O,

a punkty C i D leżą na jego drugim ramieniu oraz

|OA|

|OC|

=

|OB|

|OD|

.

Jeśli przez punkt B poprowadzimy prostą równoległą do prostej AC i przetnie

ona ramię kąta w punkcie B



, to

|OA|

|OC|

=

|OB|

|OB



|

, co wynika z twierdzenia Talesa.

Z tej równości oraz z założenia

|OA|

|OC|

=

|OB|

|OD|

wynika, że

|OB



| = |OD|, zatem

B



= D, czyli prosta BD jest równoległa do prostej AC.

ZADANIA

1.

Czy z informacji podanych na rysunku wynika, że trójkąty są podobne?

2.

Uzasadnij, że zacieniowany trójkąt jest podobny do trójkąta ABC. Znajdź skalę

podobieństwa.

CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW. TWIERDZENIE TALESA

343

MLR2x str. 344

3.

Uzasadnij, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta DAC. Znajdź skalę tego

podobieństwa.

4.

Wykaż, że wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona z wierzchołka kąta pro-

stego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty do niego podobne. Znajdź skale tych
podobieństw, gdy trójkąt ma boki długości 3, 4 i 5.

5.

Narysuj prostokąt, a następnie podziel go na:

a) trzy trójkąty podobne,

b) pięć trójkątów podobnych.

6.

Na rysunku obok punkt P jest punktem przecię-

cia okręgu o średnicy AB z bokiem DC prostokąta
ABCD. Wykaż, że trójkąt ADP jest podobny do trój-
kąta BP A i do trójkąta P CB.

7.

Wykaż, że trójkąt DCS na rysunku obok jest po-

dobny do trójkąta ABC. Znajdź skalę podobieństwa.

8.

Znajdź na rysunku obok trzy trójkąty podobne

do trójkąta ADC.

9.

Proste k, l, m są równoległe. Znajdź długość odcinka x.

344

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 345

10.

Proste m i n na rysunku obok są

równoległe. Wykaż, że:

|AC|.|OD| = |BD|.|OC|

11.

Popatrz na rysunek obok. Znajdź

brakujące wyrazy proporcji.

a)

a
b

=

a + c

?

c)

d

b + d

=

?
?

b)

e

b

=

f
?

d)

a

c

=

?
?

12.

W trójkącie ABC dane są

|AC| = |BC| = a oraz

|AB| = b. Prosta równoległa do ramienia AC przeci-
na boki trójkąta w punktach D i E w taki sposób, że
|CE| = |BD|. Oblicz obwód trójkąta DBE.

13.

Podczas całkowitego zaćmienia Słońca Księżyc niemal całkowicie zasłania tar-

czę słoneczną. Korzystając z poniższych danych, oblicz średnicę Słońca.

14.

Jeśli osoba stanie w odległości 4 m od okna

w mieszkaniu pewnego budynku, zobaczy fragment
budynku naprzeciwko, przedstawiony na rysunku.
Przyjmując, że jedna kondygnacja ma 3 m wysoko-
ści, oblicz, jaka jest odległość między budynkami.

15.

a) Korzystając z danych na rysun-

ku, oblicz, jak wysoko znajduje się ko-
niec huśtawki, gdy drugi koniec jej bel-
ki dotyka ziemi.

b) Jak zmieni się największa wysokość, na którą wznosi się koniec huśtawki, gdy
wydłużymy lub skrócimy belkę huśtawki, a punkt podparcia ciągle będzie w środku
i nie zmieni się jego wysokość?

CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW. TWIERDZENIE TALESA

345

MLR2x str. 346

ciekawostka

Perspektywa w malarstwie to sposób
uzyskiwania wrażenia trójwymiarowości
na płaskim rysunku. Opiera się on na
wrażeniu pozornego zmniejszania się
przedmiotów wraz z oddalaniem się ich
od obserwatora i na złudzeniu zbieżno-
ści linii biegnących ku horyzontowi.

Zasady perspektywy znano już w staro-
żytności, ale z różnych przyczyn nie sto-
sowano ich w ciągu wielu wieków. Przy-
wrócił je w malarstwie włoski architekt
i rzeźbiarz Filippo Brunelleschi (czyt.
brunelleski) na początku XV wieku.

Rysunek poniżej przedstawia rząd słu-
pów narysowany zgodnie z regułami
perspektywy. W rzeczywistości słupy te
mają równe wysokości i są rozstawione
w takich samych odstępach. Według za-
sad perspektywy trapezy ABDC, CDF E,
EF HG itd. są podobne.

16.

Przeczytaj

ciekawostkę.

Rysunek

obok został wykonany zgodnie z regu-
łami perspektywy. Kolumny przedsta-
wione na rysunku w rzeczywistości ma-
ją równe wysokości. Liczby na rysunku
oznaczają długości narysowanych od-
cinków w milimetrach.

a) Uzasadnij, że w rzeczywistości odległość między kolumnami RP i T S jest inna
niż między kolumnami T S i W U.

b) Przypuśćmy, że przed kolumną oznaczoną na rysunku RP w tej samej linii stoi
jeszcze jedna kolumna o tej samej wysokości, ale jej odległość (w rzeczywistości)
od kolumny RP jest taka sama jak odległość między kolumnami RP i T S. Jaką
wysokość powinien mieć odcinek przedstawiający tę kolumnę na rysunku?

17.

Na szczeblach drabiny położono

poziomo deski jak na rysunku obok.

a) Wskaż pięć trójkątów podobnych do
trójkąta ABM.

b) Wyjaśnij, dlaczego trapezy FGHI
i EFIJ nie są podobne.

c) Wskaż dwa trapezy podobne do tra-
pezu BCLM oraz trapez podobny do
trapezu BDKM.

346

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 347

ciekawostka

Prototypem aparatu fotograficznego jest
szczelne pudełko z małym otworkiem
w jednej ze ścian. Światło wpadające
przez ten otwór rzuca na przeciwległą
ścianę (ekran) odwrócony obraz przed-
miotu stojącego przed otworem.

Takie urządzenie nazwano camera ob-
scura (czyt. kamera obskura), czyli „ciem-
na komnata”, i rzeczywiście niekiedy mia-
ło ono rozmiary pokoju.

18.

Przeczytaj ciekawostkę. Załóżmy, że odległość między otworem a ekranem

w camera obscura wynosi 30 cm.

a) W jakiej odległości od budynku o wysokości 15 m należy umieścić to urządzenie,
aby obraz budynku na ekranie miał 10 cm wysokości?

b) Jak wysoki jest pomnik, którego obraz uzyskany za pomocą camera obscura
z odległości 20 m ma wysokość 12 cm?

19.

Uderzona bila potoczyła się z punktu A i po odbiciu od dwóch band zatrzy-

mała się w punkcie B. W jakich odległościach od narożnika C bila odbiła się od
band?

20.

Wykaż, że trójkąty zaznaczone na rysunku obok

są podobne do trójkąta ABC. Dla każdego z tych
trójkątów oblicz, w jakiej skali jest on podobny do
trójkąta ABC.

CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW. TWIERDZENIE TALESA

347

MLR2x str. 348

21.

Na rysunku obok litery oznaczają długości za-

znaczonych odcinków. Wykaż, że zachodzi równość:

1
a

+

1
b

=

1
c

Uwaga. Liczba 2c nazywana jest średnią harmoniczną
liczb a i b.

22.

a) Wykaż, że czworokąty przedsta-

wione na rysunku obok są podobne.

b) Rysunek ten ilustruje pewną cechę
podobieństwa czworokątów. Sformułuj
tę cechę.

TEST

T1.

Poniżej podano pewne informacje o trójkątach ABC i KLM. W którym przy-

padku można stwierdzić, że te trójkąty są podobne?

A.

|AB| = 8, |BC| = 6 oraz |KL| = 4, |KM| = 3

B.

|AB| = 8, | ABC| = 40

◦

oraz

|KL| = 4, | KLM| = 40

◦

C.

| ABC| = 80

◦

,

| ACB| = 40

◦

oraz

| KLM| = 80

◦

,

| LKM| = 60

◦

D.

|AB| = 8, |BC| = 6, | ABC| = 40

◦

oraz

|KL| = 4, |LM| = 3, | LKM| = 40

◦

T2.

Proste BE, CD i FG są równoległe,

|AE| = 12, |ED| = 8, |EB| = 6, |FG| = 2

i

|BC| = 6. Która z poniższych długości odcinków jest błędna?

A.

|AB| = 9

B.

|CD| = 10

C.

|AG| = 5

D.

|AF| = 3

T3.

Które z prostych na rysunku są równoległe?

A. a i b

B. b i d

C. a i d

D. b i c

348

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 349

LA

FI

G

U

R

PODOBNY

CH

POLA FIGUR PODOBNYCH

A

1.

Figury

F i F



na rysunku obok są podob-

ne. Jaka jest skala podobieństwa figury

F



do figury

F? Ile kratek mieści się w figurze

F, a ile w figurze F



? Jaki jest stosunek pola

figury

F



do pola figury

F?

2.

Narysuj figurę podobną do figury

F w ska-

li k = 3. Ile razy pole figury, którą narysowa-
łeś, jest większe od pola figury

F?

Wiemy już, że stosunek długości odpowiednich boków wielokątów podob-
nych jest równy skali podobieństwa. Istnieje także ścisła zależność między
polami tych figur.

B

1.

Jakie jest pole kwadratu podobnego w skali k do kwadratu o boku a?

2.

Bok trójkąta ma długość a, zaś wysokość poprowadzona do tego boku ma

długość h. Jakie jest pole trójkąta podobnego do tego trójkąta w skali k?

3.

Jakie pole ma figura podobna w skali k do sześciokąta foremnego o boku a?

Rozwiązując ćwiczenie B, można zauważyć, że stosunek pól prostokątów
podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Z ćwiczenia wynika
także, że stosunek pól trójkątów podobnych oraz sześciokątów foremnych
podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Taka równość za-
chodzi dla dowolnych figur podobnych.

Stosunek pól figur podobnych jest równy
kwadratowi skali podobieństwa.

Inaczej mówiąc, jeżeli figura

F



jest podob-

na do figury

F w skali k i pole figury F

jest równe P

F

, to pole figury

F



jest równe

k

2

· P

F

, czyli:

P

F



= k

2

· P

F

C

Figury

F i F



są podobne. Ustal, w jakiej skali figura

F



jest podobna do

figury

F, jeśli:

1.

pole figury

F



jest 9 razy większe od pola figury

F,

2.

pole figury

F



jest 2 razy większe od pola figury

F,

3.

pole figury

F



jest 4 razy mniejsze od pola figury

F?

D

Figury

F

1

i

F

2

są podobne. Pole figury

F

1

wynosi 7, a pole figury

F

2

jest

równe 63. Jaki obwód ma figura

F

1

, jeśli figura

F

2

ma obwód 100?

POLA FIGUR PODOBNYCH

349

MLR2x str. 350

P

Trójkąt

ABC przecięto prostą równoległą do boku AB w ten sposób, że otrzyma-

no mniejszy trójkąt i trapez o podstawach długości 7 i 10. Trójkąt

ABC ma pole

równe 100. Jakie jest pole otrzymanego trapezu?

Sporządzamy rysunek pomocniczy.

Trójkąty

DEC i ABC są podobne.

Z równoległości odcinków

AB i DE wynika,

że

|  ABC| = |  DEC| i |  BAC| = |  EDC|,

czyli trójkąty są podobne (cecha kk).

k =

|DE|

|AB|

=

7

10

Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta

DEC

do trójkąta

ABC.

P

1

=

k

2

· P =



7

10



2

· 100 = 49

P

2

=

P − P

1

= 100 − 49 = 51

Odp. Trapez ma pole równe 51.

ZADANIA

1.

Figury

F

1

i

F

2

przedstawione na rysunku są podobne.

a) Pole figury

F

1

wynosi 8. Oblicz pole

figury

F

2

.

c) Pole figury

F

1

jest 5 razy większe od

pola figury

F

2

. Oblicz długość boku a.

b) Pole figury

F

1

wynosi 21. Oblicz po-

le figury

F

2

.

d) Pole figury

F

1

wynosi 15, a pole fi-

gury

F

2

jest równe 20. Oblicz długość

boku x.

350

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 351

2.

Znajdź skalę podobieństwa narysowanych figur — mniejszej do większej.

3.

Poniżej narysowano trójkąt, romb i trapez. W każdym z wielokątów zaznaczono

wielokąt do niego podobny. Oblicz pola zacieniowanych figur.

4.

W trójkącie o polu P przez środki dwóch boków poprowadzono prostą. Oblicz

pola figur, na jakie prosta ta podzieliła trójkąt.

5.

Poniżej są narysowane trzy jednakowe sześciokąty foremne o polu 16. W każ-

dym z tych sześciokątów zaznaczono mniejszy sześciokąt foremny. (Na pierwszym
rysunku wierzchołki mniejszego sześciokąta są środkami boków większego). Oblicz
pola tych sześciokątów.

6.

Czworokąt ABCD na rysunku obok

jest trapezem. Oblicz pola trójkątów
ABE, DEC, AED i BCE.

7.

W trapezie ABCD podstawy mają długości:

|AB| = a i |CD| = b. Punkt E

jest punktem przecięcia przekątnych trapezu. Oblicz stosunek pól trójkątów ABE
i CDE oraz stosunek pól trójkątów AED i ABE.

POLA FIGUR PODOBNYCH

351

MLR2x str. 352

8.

Punkt M jest środkiem boku CD równoległobo-

ku ABCD. Jaką część pola równoległoboku stanowi
pole trójkąta ABN?

9.

Przekątna AC prostokąta ABCD jest bokiem po-

dobnego do niego prostokąta ACFE. Pole części
wspólnej tych prostokątów stanowi 40 % pola pro-
stokąta AEFC. Znajdź stosunek długości boków pro-
stokąta ABCD.

10.

Trapez podzielono dwiema liniami równoległy-

mi do podstaw na trzy figury, z których każda jest
podobna do dwóch pozostałych. Dane są pola S

1

i S

3

. Znajdź pole S

2

.

11.

Punkty B, C i D są współliniowe.

Wykaż, że pole P trójkąta ACE jest rów-
ne średniej geometrycznej pól P

1

i P

2

trójkątów ABC i ECD, tzn. P =



P

1

· P

2

.

ciekawostka

Twierdzenie Pitagorasa można sformułować w na-
stępujący sposób:

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbu-
dowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Twierdzenie to można uogólnić, zastępując kwadra-
ty odpowiednimi figurami podobnymi:

Jeśli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy
trzy figury podobne, to suma pól figur zbudowa-
nych na przyprostokątnych jest równa polu figury
zbudowanej na przeciwprostokątnej.

P

F

1

+ P

F

2

= P

F

3

12.

Uzasadnij uogólnione twierdzenie Pitagorasa podane w ciekawostce.

352

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 353

13.

Na bokach trójkąta prostokątnego zbu-

dowano trójkąty równoboczne w sposób
przedstawiony na rysunku. Pole najwięk-
szego z tych trójkątów jest równe 60, a naj-
mniejszego 15. Jakie jest pole trzeciego
z tych trójkątów równobocznych?

14.

Na bokach trójkąta prostokątnego ABC

zbudowano trójkąty prostokątne podobne
do niego (zob. rysunek). Pole trójkąta rów-
nobocznego AEF jest równe 9

√

3. Oblicz

pole trójkąta ABC.

TEST

T1.

Wielkość (wysokość) czcionki mierzona jest w punktach. Słowo „figura” napi-

sano poniżej czcionką o wielkości 12 punktów (napis po lewej stronie). Napis po
prawej stronie powstał przez powiększenie poprzedniego do wielkości 16 punktów.

figura

figura

Ile razy więcej tuszu zużyto na wydrukowanie drugiego z tych słów niż na wydru-
kowanie pierwszego?

A.

4
3

razy

B.

16

9

razy

C. 2 razy

D. 3 razy

T2.

Na dwóch planach tego samego terenu, jednym w skali 1 : 100, a drugim w ska-

li 1 : 500, pokolorowano te same obiekty. Na planie w skali 1 : 100 pokolorowane
obiekty zajmują powierzchnię 50 cm

2

. Jakie jest pole powierzchni obiektów poko-

lorowanych na planie w skali 1 : 500?

A. 2 cm

2

B. 250 cm

2

C. 10 cm

2

D. 1250 cm

2

T3.

Zdjęcie o wymiarach 12 cm

× 15 cm przedstawia samochód. Samochód na tym

zdjęciu zajmuje powierzchnię 54 cm

2

. Na powiększeniu tego zdjęcia samochód zaj-

muje powierzchnię 96 cm

2

. Jakie są wymiary powiększonego zdjęcia?

A. 15 cm

× 18,75 cm

B. 16 cm

× 20 cm

C. 24 cm

× 30 cm

D. 27 cm

× 33,75 cm

POLA FIGUR PODOBNYCH

353

MLR2x str. 354

POWTÓRZENIE

1.

Wielokąt

F

1

jest podobny do wielo-

kąta

F

2

w skali k.

a)

Jaki obwód ma wielokąt

F

1

, jeśli

wielokąt

F

2

ma obwód 30?

b)

Jakie pole ma wielokąt

F

2

, jeśli pole

wielokąta

F

1

jest równe 3?

2.

Prostokąt o bokach długości 1 i 3

rozcięto na dwa prostokąty podobne.
W jakiej skali jeden z tych prostokątów
jest podobny do drugiego?

3.

a)

W jakiej skali wykres funkcji

y =

1
3

sin 3x jest podobny do wykresu

funkcji y = sin x?

b)

Zapisz wzór funkcji, której wykres

jest podobny w skali 5 do wykresu
funkcji y = cos x.

4.

Trójkąt A



B



C



otrzymano w wyni-

ku przekształcenia trójkąta ABC przez
jednokładność o skali k = −

1
2

i środku

w punkcie A. Obrazem trójkąta A



B



C



w jednokładności o skali 3 i środ-
ku w punkcie C



jest trójkąt A



B



C



.

Jaka jest skala i gdzie leży środek jed-
nokładności, która przekształca trój-
kąt ABC w trójkąt A



B



C



?

5.

a)

Jakie

współrzędne

ma

obraz

punktu P = (−3, −2) przekształconego
przez jednokładność o środku w punk-
cie S = (1, −2) i skali 5?

b)

Znajdź współrzędne środka jedno-

kładności i jej skalę, jeśli obrazem od-
cinka o końcach A = (−1, 2) i B = (5, 5)
jest odcinek o końcach A



= (2, −1) oraz

B



= (0, −2).

6.

Wykres funkcji y = sin x przekształ-

cono przez jednokładność o skali k
i środku leżącym w początku układu
współrzędnych. Zapisz wzór funkcji,
której wykres otrzymano, jeśli:

a)

k = 5

b)

k =

1
3

c)

k = −2

7.

Uzasadnij, że narysowane poniżej

trójkąty są podobne. Oblicz długości
boków a i b.

8.

Trójkąty narysowane poniżej są po-

dobne. Oblicz długość boku x oraz
stosunek pól tych trójkątów.

9.

Ustal, czy na podstawie poniższych

danych można stwierdzić, że trójkąty
ABC i UV W są podobne.

a)

|AB| = 9, |BC| = 6, |AC| = 5,
|VW | =

5
3

,

|UW | = 2, |UV| = 3

b)

|BC| = 10, |AC| = 15, | ACB| = 70

◦

,

|UW | = 5, |VW | = 3, | VWU| = 70

◦

c)

| ABC| = 35

◦

,

| BCA| = 70

◦

,

| WVU| = 35

◦

,

| UW V| = 75

◦

10.

Oblicz, w jakiej skali trójkąt ACD

jest podobny do trójkąta ABC, a w ja-
kiej — do trójkąta DBC.

354

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 355

11.

Jeden z kątów ostrych pewnego

trójkąta prostokątnego ma miarę α.
Wysokość opuszczona z wierzchołka
kąta prostego tego trójkąta dzieli go
na dwa trójkąty do niego podobne. Dla
każdego z tych trójkątów ustal, w ja-
kiej skali jest on podobny do dużego
trójkąta.

12.

Proste k, l i m na poniższym ry-

sunku są równoległe. Oblicz długości
odcinków a, b i c.

13.

Oblicz wysokość budynku,

wykorzystując informacje
przedstawione na
rysunku.

14.

Uzasadnij, że zacieniowany

trójkąt jest podobny do
trójkąta ABC. Znajdź
skalę podobieństwa.

15.

W trapezie ABCD, który nie jest

równoległobokiem, boki AB i CD są
równoległe. Przekątna BD dzieli ten
trapez na dwa trójkąty podobne. Wia-
domo, że

|AB| = 10, |BD| = 8 i |AD| = 5.

Oblicz obwód trapezu.

16.

Pewne dwa wielokąty są podobne.

Wiadomo, że jeden z nich ma pole
2 razy większe, a obwód o 10 większy
od drugiego wielokąta. Znajdź obwody
tych wielokątów.

17.

Figura

F

2

jest podobna do figury

F

1

w skali k. Figura

F

3

także jest po-

dobna do figury

F

1

, a jej obwód jest

równy sumie obwodów figur

F

1

i

F

2

.

Ile razy pole figury

F

3

jest większe od

sumy pól figur

F

1

i

F

2

?

ZAGADKA

Na rysunku przedstawiono
pewne pojęcie matematycz-
ne (można je znaleźć w tym
rozdziale). Jakie to pojęcie?

FIGURY PODOBNE

355

PRACA BADAWCZA

MLR2x str. 356

FRAKTALE

Figura przedstawiona na rysunku obok
to tzw. drzewko Pitagorasa. Nazwę swą
zawdzięcza temu, że jej fragmenty ilu-
strują twierdzenie Pitagorasa.

Na rysunkach obok są przedstawione
trzy etapy powstawania drzewka Pita-
gorasa. Figura początkowa jest zbudo-
wana z kwadratu i trójkąta prostokąt-
nego. W kolejnych etapach dorysowuje
się figury do niej podobne.

A.

Przyjmijmy, że pierwsza figura składa się z kwadratu o boku długości 5 i trójką-

ta prostokątnego o przyprostokątnych 3 i 4. Znajdź na drugim rysunku dwie figury,
które są podobne do pierwszej figury. Określ dla każdej z nich skalę podobieństwa.

Na drzewku Pitagorasa (u góry strony) zaznaczona jest gałązka. Zauważ, że jest
ona figurą podobną do figury, jaką otrzymano w trzecim etapie. Gdybyśmy kon-
tynuowali rysowanie drzewka, to na pewnym etapie gałązka ta rozrosłaby się tak,
że byłaby figurą podobną do drzewka, które widać u góry strony. Gdybyśmy mogli
kontynuować rysowanie drzewka w nieskończoność, to w rezultacie otrzymalibyś-
my „drzewo”, którego „gałązki” są podobne do całego drzewa.

Figury, które powstają w podobny sposób, nazywamy fraktalami. Każdy fraktal ma
tę własność, że pewne jego fragmenty są podobne do całego fraktala. Pojęcie frakta-
la wprowadził Benoit Mandelbrot (czyt. Benua Mandelbro) — matematyk urodzony
w Warszawie. Zainspirowały go obserwacje natury — płatków śniegu, konturów gór,
wirów wodnych.

Czasami mała zmiana reguły rysowania
fraktala powoduje duże zmiany w jego
wyglądzie. Na rysunku obok przedsta-
wiono inną wersję drzewka Pitagorasa.

B.

a) Porównaj to drzewko z drzew-

kiem narysowanym u góry strony. Jakie
reguły przyjęto przy jego rysowaniu?

b) Narysuj jeszcze inną wersję drzew-
ka Pitagorasa, zaczynając w pierwszym
etapie od kwadratu i trójkąta prosto-
kątnego równoramiennego.

c) Wzorując się na drzewku Pitagorasa, narysuj kolejny fragment — tym razem
rozpocznij od kwadratu i figury innej niż trójkąt (np. trapezu prostokątnego).

356

FIGURY PODOBNE

MLR2x str. 357

Fraktale można tworzyć na różne sposoby. Jednym z bardzo znanych fraktali jest
figura zwana dywanem Sierpińskiego. Na poniższych rysunkach zostały przedsta-
wione cztery kolejne etapy powstawania dywanu Sierpińskiego oraz dwóch innych
znanych fraktali.

Dywan Sierpińskiego

Płatek Kocha

Smok

C.

Narysuj trójkąt równoboczny i podziel go na 4 jednakowe trójkąty równobocz-

ne (łącząc środki boków). Zamaluj środkowy trójkąt. Następnie każdy z pozostałych
trójkątów podziel na 4 jednakowe trójkąty równoboczne i zamaluj środkowy. Po-
wtórz te czynności. Kontynuując te czynności w nieskończoność, otrzymalibyśmy
inny rodzaj dywanu Sierpińskiego.

D.

Dla każdego z powyższych fraktali znajdź w figurach narysowanych w eta-

pach II i III fragment, który jest podobny do figury narysowanej w etapie I. Oblicz
w każdym wypadku skalę podobieństwa.

Co dalej?

1. Wymyśl swój sposób tworzenia fraktala.

2. Podobnie jak fraktale, na płaszczyźnie, moż-
na budować fraktale trójwymiarowe. Opisz, jak
mogłyby wyglądać w kolejnych etapach prze-
strzenne odpowiedniki dywanu Sierpińskiego
i płatka Kocha.

PRACA BADAWCZA

357