Tomasz Kowalski

Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych

Wykład 9

GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI - lista zadań

1. Obliczyć następujące granice:

a)

, b)

)

1

2

(

lim

2

2







x

x

x

3

arctg

lim

2

3

x

x

x



, c)

3

5

lim

2

2









x

x

x

, d)

1

1

lim

2

2

0









x

x

x

, e)

x

x

e

x

x



sin

1

4

lim

2

2









.

2. Obliczyć następujące granice:

a)

1

2

3

lim

2

1











x

x

x

x

, b)

8

2

6

lim

2

2

2











x

x

x

x

x

, c)

3

27

lim

3

3









x

x

x

, d)

4

3

1

1

1

lim

x

x

x







, e)

6

2

3

lim

2

2

3

2













x

x

x

x

x

x

.

3. Sporządzić wykres funkcji, a następnie określić w jakich punktach funkcja nie jest ciągła:

a)

b)

















0

dla

,

0

dla

2

)

(

2

x

x

x

x

x

f

x





















1

dla

0

,

1

dla

1

2

3

)

(

2

x

x

x

x

x

x

f

4. Na podstawie wykresu znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji

)

(x

f

y



na przedziale I:

a)

2

;

1

,

3

)

(











I

x

x

f

, b)

,

5

4

)

(

2







x

x

x

f

3

;

0



I

, c)

4

;

0

,

4

)

(

2









I

x

x

x

f

.

5. Posługując się wykresami odpowiednich funkcji podać wartości granic:
a)

x

x

tg

lim

2







,

b)

x

x

tg

lim

2







c)

0

lim ln

x

x





, d)

x

x

2

1

log

lim

0



.

6. Obliczyć następujące granice niewłaściwe:

a)

2

2

1

)

3

4

(

5

lim









x

x

x

x

, b)

2

2

1

)

2

(

1

lim











x

x

x

x

, c)

3

5

lim

2

3









x

x

x

,

d)

3

5

lim

2

3









x

x

x

,

e)

4

1

lim

2

2

-







x

x

, f)

4

1

lim

2

2

+







x

x

, g)

x

x

x

x

2

5

lim

2

2











,

h)

x

x

x

x

2

5

lim

2

2











.

Granica i ciągłość funkcji – lista zadań

2

Odpowiedzi

1. a) 7 , b)



3 , c)

 , d)  , e)

9.

9

1

2. a) 1, b)

6

5

, c) 27, d)

4

3

 , e)

5

2

 .

3. a) f nie jest ciągła w punkcie

, b) f nie jest ciągła w punkcie

0



x

1



x

.

-1

1

2

3

4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

O

-3 -2 -1

1 2 3

-1

1

2

3

4

5

x

y

O

4.
a) b) c)

1 2 3 4

1

2

3

4

5

x

y

O

4

1

2

3

4

1

2

3

4

5

x

y

O

2

( )

4

5

f x

x

x







5

-2 -1

1 2

3

1

2

3

4

5

x

y

O

M



2

( )

4

f x

x

x

  

5. a)

, b)

, c)











 , d)

.





6. a)

, b)



 , c)







 , d)

, e)







 , f) 

 g) 

 , h) 

 .

4

M



M



( ) 3

f x

x

 

1

m



1

m



0

m

