OCENA NIEPEWNOŚCI WYNIKU POMIARU 

Wprowadzenie 

Wszelkie pomiary można podzielić na techniczne oraz dokładne. W 

pomiarach technicznych stosuje się metody już wypróbowane, których 
błędy są zbadane i wiadomo  jest, że błędy przypadkowe są znacznie 
mniejsze od systematycznych. Ponieważ błędem dominującym jest błąd 
systematyczny, wykonuje się na ogół jeden pomiar wielkości i - po usu-
nięciu ewentualnych błędów metody - określa się jego dokładność za-
zwyczaj przez wyznaczenie błędu granicznego systematycznego. 
  W pomiarach dokładnych głównym błędem jest błąd przypadkowy. 
Błędy systematyczne natomiast powinny być eliminowane przez: 
•  dobór odpowiedniej metody pomiarowej i przyrządów, 

•  staranne zabezpieczenie układu przed wpływem wszelkich czynników 

zewnętrznych, 

•  stosowanie poprawek umożliwiających usunięcie błędów metody i 

błędów wskazań przyrządów. 

 Mimo 

staranności wykonania pomiaru pozostają  błędy powodowane 

ograniczoną dokładnością wyznaczania poprawek oraz błędy, których 
przyczyny powstawania obserwator nie zna. Poprawka nie może być 
wyznaczona bezbłędnie, ponieważ przyrząd wzorcowy ma również błąd, 
który podczas wzorcowania zostaje dodatkowo zwiększony o błąd przy-
padkowy. Natomiast w prawidłowo wykonanym pomiarze wartości błę-
dów systematycznych o nieznanych przyczynach powstawania powinny 
być o rząd mniejsze od błędów przypadkowych, a więc nie powinny w 
istotny sposób wpływać na wynik pomiaru. 
 Pozostałości błędów systematycznych oraz błędy przypadkowe po-
winny znaleźć odzwierciedlenie w zdefiniowanej niżej całkowitej niepew-
ności pomiaru.  

4.2.1 Liczbowe miary i klasyfikacja niepewności pomiaru 

Niepewność  u pomiaru  jest parametrem pozwalającym na wyzna-

czenie granic przedziału zawierającego z założonym prawdopodobień-
stwem nieznaną wartość rzeczywistą (prawdziwą) mierzonej wielkości. 
Zakłada się,  że niepewność całkowita ma zawsze wielokrotność  k

σ

 

(gdzie 

σ

 jest odchyleniem standardowym całej populacji) lub kS (S - jest 

estymatorem 

σ

 określonym na podstawie otrzymanych wyników z próby 

należącej do populacji).  

Rozróżnia się następujące pojęcia: 

 

 

2

•  niepewność standardową   
 

σ

=

u

                    (4.1) 

 
•  niepewność standardową łączną (złożoną) 

 

l

n

i

i

l

u

σ

σ

=

=

∑

=1

2

                 (4.2) 

 

•  niepewność całkowitą (rozszerzoną) 
 

( )

l

c

u

k

u

⋅

=

α

                  (4.3) 

 

gdzie mnożnik k(

α

) jest wartością zmiennej standaryzowanej, dobieraną 

ze względu na założone prawdopodobieństwo dla określonego rozkładu. 

 Niepewność pomiaru może zawierać wiele składowych niepewności. 
Niektóre z nich można wyznaczyć na podstawie otrzymanego rozrzutu 
wyników serii pomiarów. Inne, na przykład niepewności wynikające z 
niedoskonałości aparatury pomiarowej, ocenia się na podstawie odchy-
leń standardowych, obliczonych na podstawie przewidywanych rozkła-
dów prawdopodobieństwa. 

 W 

 

świetle najnowszych ustaleń organizacji międzynarodowych zaj-

mujących się pomiarami niepewność została podzielona na dwa typy:  
•  typ A - niepewność wyznaczana metodami statystycznymi, 

•  typ B - niepewność wyznaczana innymi metodami. 
 Można przyjąć, że niepewność typu A odpowiada niepewności powo-
dowanej efektami przypadkowym a niepewność typu B niepewności po-
wodowanej efektami systematycznymi. Przy określaniu niepewności ty-
pu A nie ma istotnych problemów. Na ogół wykonuje się serię pomiarów 
i wyznacza estymator (ocenę) odchylenia standardowego. 

 Oszacowanie 

niepewności typu B metodami statystycznymi nie jest 

łatwe, ponieważ nie dysponujemy serią wyników pomiarów. Ocena ta 
opiera się na innych mniej obiektywnych metodach, które zostaną omó-
wione niżej. 

 

 

 

3

4.2.2. Ocena niepewności całkowitej (rozszerzonej) typu A 

4.2.2.1. Pomiary bezpośrednie 

Niepewność standardową typu A oceniamy na podstawie serii n wy-

ników pomiarów, w których uwzględniono wszystkie poprawki. W tym 
celu określamy: 
•  wartość średnią z wyników (estymator wartości prawdziwej x) 
 

∑

=

=

n

i

i

x

n

x

1

1

                    (4.4) 

 

•  odchylenie standardowe wartości średniej, uważane za niepewność 

standardową typu A 

 

(

)

∑

=

−

−

=

=

n

i

i

x

A

x

x

n

n

S

u

1

2

)

1

(

1

      (4.5) 

 

Niepewność całkowitą typu A określa się według wzoru 
 

A

A

Ac

u

k

u

⋅

=

)

(

α

                  (4.6) 

 

 Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny i znamy odchylenie 
standardowe 

σ

 tego rozkładu albo jeżeli dysponujemy liczną serią wyni-

ków (przyjmuje się obecnie n > 30), to mnożnik k

A

(

α

) przyjmuje wartości 

zmiennej standaryzowanej Z, odczytanej z tablic rozkładu normalnego 
dla określonego prawdopodobieństwa 

α

 nazywanego poziomem ufności. 

Wybrane, najczęściej stosowane wartości mnożnika  k

A

(

α

)=z

α

 dla okre-

ślonego poziomu 

α

 zebrano w tablicy 4.1. 

 

Tablica 4.1. Rozkład normalny Gaussa 

 (wartości z

α

 w funkcji prawdopodobieństwa 

α) 

α 

0,6827

0,90 0,95 0,9545

0,99 0,9973

z

 α

 

1,000 1,645 1,960

2,000 2,576

3,000 

 

  Jeśli rozkładem zmiennej losowej X jest rozkład normalny i nie znamy 
parametrów tego rozkładu, a próba jest mało liczna (w praktyce n   30), 
to współczynnik  k

≤

A

(

α

) przyjmuje wartości zmiennej standaryzowanej t 

Studenta i odczytujemy go z tablic rozkładu Studenta dla założonego 

 

 

 

4

prawdopodobieństwa 

α

 albo q=1-

α

 oraz dla liczby stopni swobody  

m=n-1. W tablicy 4.2. zebrano wybrane wartości t. 

 
Końcowy wynik pomiaru zapisujemy w postaci 

 

Ac

u

x

x

±

=

 dla 

α

=... 

       (4.7) 

 

Jeżeli po zastosowaniu wszystkich znanych poprawek stwierdzimy, że 
błędu poprawek nie możemy zaniedbać, oceniamy niepewność standar-
dową poprawki u

p

, która w zależności od sytuacji może być niepewno-

ścią typu A lub niepewnością typu B i obliczamy niepewność standardo-
wą łączną 
 

2

2

p

A

l

u

u

u

+

=

                  (4.8) 

 
Ocena niepewności całkowitej może być przeprowadzona wg zależności 
(4.3). Dobór współczynnika k(

α

) zostanie omówiony w rozdz. 4.2.4. 

 
 

Tablica 4.2. Rozkład Studenta 

(wartości t w funkcji liczby stopni swobody  m. 
i prawdopodobieństwa 

α) 

 

t 

m\

α

 

0,6827 0,90  0,95 0,9545 0,99 0,9973 

1  1,84  6,31  12,71 13,97 63,66 235,80 
2 1,32 2,92 4,30 4,53 9.92 19,21 
3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22 
4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 6,62 
5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,51 
6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 4,90 
7 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,53 
8 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,28 
9 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,09 

10 1,06 1,81 2,23 2,28 3,17 3,96 
11 1,05 1,80 2,20 2,25 3,11 3,85 
12 1,04 1,78 2,18 2,23 3,05 3,76 
13 1,04 1,77 2,16 2,21 3,01 3,69 
14 1,03 1,76 2,14 2,20 2,98 3,64 
15 1,03 1,75 2,13 2,18 2,95 3,59 

 

 

 

5

16 1,03 1,75 2,12 2,17 2,92 3,54 
17 1,03 1,74 2,11 2,16 2,90 3,51 
18 1,03 1,73 2,10 2,15 2,88 3,48 
19 1,03 1,73 2,09 2,14 2,86 3,45 
20 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85 3,42 
25 1,02 1,71 2,06 2,11 2,79 3,33 
30 1,02 1,70 2,04 2,09 2,75 3,27 
35 1,01 1,70 2,03 2,07 2,72 3,23 
40 1,01 1,68 2,02 2,06 2,70 3,20 
45 1,01 1,68 2,01 2,06 2,69 3,18 
50 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 3,16 

100 1,005 1,660 1,0984 2,025 2,626 3,077 

∞

 

1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 3,000 

 
4.2.2.2. Pomiary pośrednie 

W pomiarach pośrednich mierzona wielkość Y jest funkcją J wielkości 

X

j

 mierzonych bezpośrednio 

 

Y = f(X

1

,X

2

,...,X

J

)                 (4.9) 

Dla każdej wielkości X

j 

wykonujemy serię n pomiarów i na jej podstawie 

obliczamy wartość średnią 

j

x

 i niepewność standardową u

Aj

 zgodnie z 

(4.4), (4.5). Następnie obliczamy: 
•  wartość średnią wyniku jako 
 

)

,...,

,

(

2

1

J

x

x

x

f

y

=

              (4.10) 

 

•  niepewność standardową dla średniej 

y

 

 

∑

=

⋅













=

J

j

Aj

j

y

A

u

X

Y

u

1

2

2

∂

∂

            (4.11) 

 

Należy pamiętać,  że określenie niepewności wg (4.11) jest słuszne je-
dynie wtedy, gdy 
•  liniowość funkcji (4.9) jest wystarczająco dobra, że nie musimy 

uwzględniać wyrazów wyższych rzędów szeregu Taylora, 

•  wyniki x

1

, x

2

,...,x

J

 (a także ich oceny 

J

x

x

x

,...,

,

2

1

) są wzajemnie nie-

zależne. 

 

 

 

6

W przypadku nie spełnienia powyższych warunków analiza niepewności 
komplikuje się. 
 
  Pozostaje jeszcze oszacowanie niepewności całkowitej. Jeśli speł-
nione są warunki do zastosowania rozkładu normalnego (np., gdy n

 

> 

30), to do oceny niepewności całkowitej stosujemy k

A

(

α

)=z

α

 gdy nato-

miast próby są mało liczne (n

 

≤

 30), to stosuje się - dla założonego 

prawdopodobieństwa 

α

 rozkład Studenta o efektywnej liczbie stopni 

swobody liczonej wg zależności Welcha-Satterthwaite’a 

∑

⋅

=

=

























J

j

Aj

j

j

y

A

e

u

X

Y

m

u

m

1

4

4

4

1

∂

∂

                                   (3.18) 

W której m

j

=n

j

-1

 

jest j-tą liczbą stopni ( dla wielkości X

j 

). Jeśli m

e

 nie jest 

liczbą naturalną, to zaokrąglamy ją do najbliższej naturalnej zawsze w 
dół. 

4.2.3. Ocena niepewności typu B 

Niepewność wyniku pomiaru typu B określa się przy zastosowaniu jed-
nego z dwóch rozkładów prawdopodobieństwa: rozkładu normalnego lub 
rozkładu jednostajnego (równomiernego).  

 Z 

rozkładu normalnego korzysta się zazwyczaj w przypadku, gdy z 

jakichkolwiek wiarygodnych źródeł, na przykład  świadectwa kalibracji, 
znana jest całkowita niepewność typu B 
 

B

B

Bc

u

k

u

⋅

=

)

(

α

                  (4.13) 

 

najczęściej określona dla tzw. trzysigmowego przedziału ufności, czyli 
dla poziomu ufności 

α

 = 0,9973. Wówczas standardowa niepewność ty-

pu B jest równa 
 

)

(

α

B

Bc

B

k

u

u

=

                    (4.14) 

 

  Najczęstszą sytuacją, z jaką mamy do czynienia w praktyce pomia-
rowej, jest konieczność oceny niepewności standardowej typu B wynika-
jącej z błędów aparatury pomiarowej. Zwykle jedyną dostępną informa-

 

 

 

 

7

cją o błędzie aparatury pomiarowej jest wartość graniczna błędu 

∆

g

, 

określona najczęściej za pomocą wskaźnika klasy przyrządu analogo-
wego lub podana w postaci błędu podstawowego przyrządu cyfrowego. 
Niepewność standardową typu B określa się wówczas przy założeniu, 
że rozkład błędu jest jednostajny w przedziale 

±∆

g

 zgodnie ze wzorem 

 

3

g

B

u

∆

=

                  (4.15) 

 

Wtedy niepewność całkowitą wyznaczamy zgodnie z zależnością 
 

B

B

Bc

u

k

u

⋅

=

)

(

α

              (4.16) 

 

Można wykazać,  że dla przyjętego poziomu ufności 

α

 współczynnik 

α

α

⋅

= 3

)

(

B

k

.  

 Ocena 

niepewności standardowej typu B za pomocą powyższej pro-

cedury występuje w praktyce rzadko. Na ogół poprzestajemy na ocenie 
niepewności granicznej, równej błędowi granicznemu wnoszonemu 
przez przyrząd pomiarowy.  

4.5. Literatura  

4.1.Międzynarodowy słownik podstawowych i ogólnych terminów metro-

logii. Główny Urząd Miar 1996. 

4.2. Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik. Główny Urząd Miar 

1999. 

4.3. Turzeniecka D.: Ocena niepewności wyniku pomiarów. Wydawnic-

two Politechniki Poznańskiej. Poznań 1997.