Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
Strategię tworzymy tak by:
⋅
=
⋅
+
⋅
=
+
D
PV
t
X
t
X
PV
X
X
t
t
t
t
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
,
1
1
,
1
1
,
1
1
,
1
gdzie
(
)
15
12
10
1000
a
a
a
PV
+
+
=
(
)
15
2
12
2
10
2
15
...
2
12
...
2
10
...
2
1000
v
v
v
v
v
v
v
v
v
D
PV
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
⋅
podstawiamy i wychodzi odpowiedź E) czyli
16748
,
18669
,
8
,
4
2
1
2
1
=
=
=
=
X
X
t
t
Zadanie 2
PoŜyczamy 100 z krótkiej sprzedaŜy akcji, będziemy musieli zwrócić cenę akcji po 6
miesiącach – ile zarobimy?
Zysk arbitraŜowy będzie jeŜeli zawsze zarobimy więcej niŜ cena akcji po 6 miesiącach
Inwestujemy 100:
X – cena akcji po 6 miesiącach
a – tyle inwestujemy w aktywa wolne od ryzyka
b – tyle inwestujemy w opcje kupna
c – tyle inwestujemy w opcje sprzedaŜy
a+b+c=100 gdzie a jest nieujemne b,c – mogą być ujemne
X
X
c
X
b
ae
ZYSK
−
−
+
−
+
=
⋅
)
0
;
95
max(
6
,
5
)
0
;
95
max(
4
,
11
5
,
0
07
,
0
95
.
<
X
I
X
X
c
ae
ZYSK
−
−
+
=
⋅
)
95
(
6
,
5
5
,
0
07
,
0
chcemy by ZYSK>0 i nzl od X
czyli
6
,
5
0
1
6
,
5
−
=
→
=
−
−
c
c
II tak samo dla X>95
4
,
11
0
1
4
,
11
)
95
(
4
,
11
5
,
0
07
,
0
=
→
=
−
→
−
−
+
=
⋅
b
b
X
X
b
ae
ZYSK
wtedy ZYSK(I)=ZYSK(II)=
95
5
,
0
07
,
0
−
⋅
ae
2
,
94
6
,
5
4
,
11
100
100
=
+
−
=
−
−
=
c
b
a
(
)
47
,
2
95
2
,
94
95
2
,
94
035
,
0
035
,
0
035
,
0
≈
−
=
⋅
−
=
−
−
e
e
e
ODP
Zadanie 3
{ }
Ω
=
→
≡
,
0
7
)
0
(
0
F
S
GDZIE
⊗
- zbiór pusty
1
F
jest generowane przez rozbicie
Ω
na zbiory
)
4
(
)
1
(
i
)
11
(
)
1
(
1
1
−
−
S
S
czyli na zbiory
{
} {
}
{
} {
}
{
}
4
3
2
1
1
4
3
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
w
w
w
w
F
w
w
w
w
Ω
⊗
=
→
czyli (i) TAK
dla
(
)
5
,
11
2
23
2
10
2
13
2
1
10
2
1
13
)
2
(
,
1
2
1
=
=
+
=
⋅
+
⋅
=
=
F
t
S
E
w
w
dla
(
)
4
2
1
2
2
1
6
)
2
(
,
1
4
3
=
⋅
+
⋅
=
=
F
t
S
E
w
w
czyli (ii) NIE (iii) TAK
(iv) chcemy, by
r
e
t
S
−
)
(
był martyngałem:
(
)
(
)
7
4
11
)
1
(
2
1
0
=
+
=
−
−
r
r
e
p
p
F
e
S
E
(
)
(
)
(
)
=
+
=
+
=
−
−
−
4
2
6
11
10
13
)
2
(
2
1
2
1
1
r
r
r
e
y
y
e
x
x
F
e
S
E
niezaleŜne układy równań:
=
+
=
+
1
7
4
11
.
2
1
2
1
p
p
e
p
p
I
r
=
+
=
+
1
11
10
13
.
2
1
2
1
x
x
e
x
x
II
r
=
+
=
+
1
4
2
6
.
2
1
2
1
y
y
e
y
y
III
r
rozwiązując I:
(
)
r
e
p
p
7
4
1
11
2
2
=
+
−
1
7
11
0
2
<
−
=
<
r
e
p
musi być z tego
11
97
,
4
7
11
ln
≈
<
r
II analogicznie:
11
2
11
83
,
1
11
13
ln
<
≈
<
r
czyli dla
11
2
>
r
nie istnieje miara martyngałowa
Zadanie 4
+
+
=
=
∫
∫
t
s
t
s
dw
w
s
dw
w
s
t
s
a
1
1
exp
)
,
(
exp
)
,
(
δ
[
]
∫
+
+
+
=
+
+
−
+
+
=
+
+
=
+
+
t
s
t
s
s
t
s
s
s
t
s
w
s
dw
w
s
2
1
1
ln
)
1
ln(
)
1
ln(
)
1
ln(
1
1
s
t
s
t
s
a
2
1
1
)
,
(
+
+
+
=
5
8
2
2
1
5
2
1
)
5
,
2
(
=
⋅
+
+
+
=
a
5
6
2
2
1
3
2
1
)
3
,
2
(
=
⋅
+
+
+
=
a
7
9
3
2
1
5
3
1
)
5
,
3
(
=
⋅
+
+
+
=
a
35
2
35
54
56
7
9
5
6
5
8
=
−
=
−
=
ODP
Zadanie 5
To, Ŝe u(s) znane i d(2) znane oznacza, Ŝe jeśli chcielibyśmy osiągnąć zysk arbitraŜowy to
tylko kupując obligację dwuletnią tzn po okresie 2
Badamy granicę w nieskończoności więc interesuje nas zachowanie:
)
,
2
(
)
2
,
0
(
∞
P
P
Wiemy:
(
)
(
)
2
,
0
1
,
0
2
2
2
,
0
1
,
0
)
,
2
(
1
)
,
2
(
1
−
−
−
=
+
→
+
=
T
T
T
T
e
T
R
T
R
e
e
I
Ale:
(
)(
)
(
)
1
2
)
(
1
,
1
)
,
2
(
1
)
2
(
1
,
1
−
−
−
=
+
−
T
T
T
d
T
R
d
Podstawiając z I:
(
)
(
)
1
2
,
0
1
,
0
)
(
1
,
1
)
2
(
1
,
1
−
−
−
=
−
T
T
T
d
e
d
(
)
)
(
1
,
1
)
2
(
1
,
1
1
2
,
0
1
1
,
0
1
1
T
d
e
e
d
T
T
T
T
−
=
−
−
−
−
−
(
)
0
1
,
1
1
2
,
0
exp
1
1
,
0
exp
)
2
(
1
,
1
1
,
1
)
(
1
,
0
1
)
1
,
0
exp(
1
1
1
≈
−
→
−
−
−
−
−
=
→
→
→
−
e
T
T
T
d
T
d
T
4
4 8
4
4 7
6
48
47
6
4
4 8
4
4 7
6
Zadanie 6
1
p
- prawdopodobieństwo wzrostu ceny akcji
2
p
- prawdopodobieństwo spadku ceny akcji
w(i) – numer węzła
c(i) – cena opcji w węźle i
z braku arbitraŜu mamy:
( )
( )
( )
−
=
−
=
→
=
+
⋅
=
+
12
1
2
12
1
1
2
1
12
1
2
1
05
,
1
3
10
6
23
6
17
05
,
1
3
10
1
05
,
1
40
34
46
p
p
p
p
p
p
wyceniamy od prawej strony:
c(18)=c(17)=c(20)=c(24)=51,70975-44=7,70975
c(16)=69,96025-44=25,96025
c(31)=c(30)=c(29)=c(28)=c(27)=c(26)=c(25)=c(23)=c(22)=c(21)=c(19)=0
[
]
( )
12
1
2
1
05
,
1
)
17
(
)
16
(
)
8
(
−
+
=
c
p
c
p
c
12
1
1
)
05
,
1
)(
18
(
)
9
(
−
=
c
p
c
12
1
1
)
05
,
1
)(
20
(
)
10
(
−
=
c
p
c
12
1
1
)
05
,
1
)(
24
(
)
12
(
−
=
c
p
c
0
)
15
(
)
14
(
)
13
(
)
11
(
=
=
=
=
c
c
c
c
[
]
12
1
2
1
)
05
,
1
(
)
9
(
)
8
(
)
4
(
−
+
=
c
p
c
p
c
12
1
1
)
05
,
1
)(
10
(
)
5
(
−
=
c
p
c
12
1
1
)
05
,
1
)(
12
(
)
6
(
−
=
c
p
c
c(7)=0
[
]
12
1
2
1
)
05
,
1
(
)
5
(
)
4
(
)
2
(
−
+
=
c
p
c
p
c
12
1
1
)
05
,
1
)(
6
(
)
3
(
−
=
c
p
c
[
]
=
+
+
=
+
=
−
−
−
−
12
2
2
1
12
2
2
1
2
1
12
1
2
12
1
1
)
05
,
1
)(
6
(
)
05
,
1
(
)
5
(
)
4
(
)
05
,
1
)(
3
(
)
05
,
1
)(
2
(
)
1
(
c
p
p
c
p
p
c
p
c
p
c
p
c
[
]
=
+
+
+
=
−
−
−
12
3
2
2
1
12
3
2
2
1
12
3
2
2
1
3
1
)
05
,
1
)(
12
(
)
05
,
1
)(
10
(
)
05
,
1
(
)
9
(
)
8
(
c
p
p
c
p
p
c
p
p
c
p
[
]
=
+
+
+
+
=
−
−
−
−
12
4
2
3
1
12
4
2
3
1
12
4
2
3
1
12
4
2
3
1
4
1
)
05
,
1
)(
24
(
)
05
,
1
)(
20
(
)
05
,
1
)(
18
(
)
05
,
1
(
)
17
(
)
16
(
c
p
p
c
p
p
c
p
p
c
p
p
c
p
[
]
8
,
3
)
05
,
1
(
70975
,
7
70975
,
7
70975
,
7
70975
,
7
96025
,
25
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
4
1
≈
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
−
p
p
p
p
p
p
p
p
p
Zadanie 7
09
,
0
;
10
10
07
,
0
;
10
07
,
1
1
2
1
300000
a
R
a
R
+
⋅
=
dług po 15 latach:
09
,
0
;
5
2
)
15
(
a
R
DL
⋅
=
08
,
0
;
10
3
)
15
(
100000
a
R
DL
⋅
=
+
odsetki spłacone w 7 i 14 racie:
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
=
09
,
0
;
10
3
07
,
0
;
3
09
,
0
;
10
4
07
,
0
;
4
2
07
,
1
1
1
2
07
,
1
1
1
1
)
7
(
a
R
a
R
a
R
a
R
R
OD
[
]
09
,
0
;
6
09
,
0
;
7
2
2
2
)
14
(
a
R
a
R
R
OD
⋅
−
⋅
−
=
09
,
0
09
,
1
1
1
07
,
1
1
2
07
,
0
07
,
1
1
1
1
300000
.
10
10
10
−
+
−
=
R
R
I
+
−
+
−
−
⋅
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
2
1
A
R
II
07
,
0
07
,
1
1
1
07
,
0
07
,
1
1
1
1
1
.
3
4
60
,
31621
09
,
0
09
,
1
1
1
07
,
1
1
09
,
0
09
,
1
1
1
07
,
1
1
09
,
0
09
,
1
1
1
09
,
0
09
,
1
1
1
1
2
10
3
10
4
6
7
=
−
+
−
−
−
+
−
−
+
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
1
B
R
10
10
10
07
,
1
1
1
07
,
0
09
,
0
09
,
1
1
1
07
,
1
1
2
300000
1
−
−
−
=
→
R
R
I
wstawiamy do II:
→
=
⋅
+
⋅
⋅
−
−
−
−
⋅
6
,
31621
2
2
09
,
0
09
,
1
1
1
07
,
1
1
07
,
1
1
1
07
,
0
07
,
1
1
1
07
,
0
300000
10
10
10
10
B
R
A
R
C
4
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
4
2
1
C
A
B
A
R
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=
→
10
07
,
1
1
1
07
,
0
300000
6
,
31621
2
obliczamy R3:
10
5
08
,
1
1
1
08
,
0
09
,
0
09
,
1
1
1
2
100000
3
−
−
+
=
R
R
108800
08
,
0
08
,
1
1
1
3
10
3
10
≈
−
−
⋅
=
R
R
ODP
Zadanie 8
15
15
15
1
,
1
1
1
10000
1
,
0
1
,
1
1
1
100000
−
=
→
−
=
=
R
R
Ra
spłacony kapitał w (K+1) racie = KAP
(
)
K
K
K
Rv
a
a
R
KAP
−
−
−
=
−
=
15
14
15
dług po wpłaceniu KAP:
K
K
K
Ra
Rv
Ra
KAP
DLUG
−
−
−
=
−
=
14
15
15
)
(
czyli po operacji będzie spłacał o 1 rok krócej
OD – odsetki bez dodatkowej wpłaty
KAP
OD
- odsetki gdy wpłacona dodatkowa kwota
OD=15R-100000
100000
14
15
−
+
=
−
K
KAP
Rv
R
OD
03
,
7014
100000
14
100000
15
15
=
+
−
−
−
−
K
Rv
R
R
03
,
7014
1
,
1
1
1
,
1
1
1
10000
1
,
1
1
1
140000
1
,
1
1
1
150000
15
15
15
15
=
−
−
−
−
−
−
K
03
,
7014
1
,
1
1
1
1
,
1
1
1
10000
15
15
=
−
−
−
K
10000
1
,
1
1
1
03
,
7014
1
,
1
1
1
15
15
−
=
−
−
K
10000
1
,
1
1
1
03
,
7014
1
1
,
1
15
15
−
−
=
−
K
−
−
=
−
10000
1
,
1
1
1
03
,
7014
1
ln
1
,
1
ln
)
15
(
15
K
7
15
1
,
1
ln
10000
1
,
1
1
1
03
,
7014
1
ln
15
≈
+
−
−
=
K
Zadanie 9
a – kwota na obligację
P – cena obligacji
N(I), N(II) – nominał
N(III) – kwota wypłacana dla obligacji III
3
20
1
3
)
(
)
05
,
1
(
2
05
,
0
2
)
(
)
05
,
1
(
1
)
(
20
20
15
N
v
v
N
III
P
N
a
N
II
P
N
I
P
=
−
=
+
⋅
=
=
(
)
( )
[
]
Ia
N
III
P
c
N
v
v
v
N
II
P
b
N
I
P
a
LICZ
3
)
(
)
05
,
1
(
2
20
20
...
2
2
05
,
0
)
(
05
,
1
1
1
15
)
(
20
20
2
15
+
+
+
+
+
+
=
MIAN=a+b+c=1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
−
−
⋅
+
=
3
20
05
,
0
05
,
1
3
2
2
05
,
0
2
20
1
20
2
05
,
0
1
)
05
,
1
(
)
05
,
1
(
1
15
2
20
20
20
21
20
15
15
N
cN
v
N
a
N
v
N
v
v
a
N
b
N
aN
LICZ
(
)
=
+
+
+
−
⋅
+
=
c
v
a
v
v
a
b
a
21
05
,
0
20
20
05
,
1
15
20
20
20
21
20
c
b
v
a
a
a
c
v
a
v
v
a
b
a
21
05
,
0
05
,
1
15
21
05
,
0
20
20
05
,
1
15
20
20
20
20
20
20
20
20
+
+
+
=
+
+
+
−
+
=
I poniewaŜ a+b+c=1 to LICZ=17,5
20
21
15
=
+
+
c
a
c
a
czyli
=
+
+
+
=
+
=
+
+
+
15
)
(
15
20
20
21
15
5
,
17
21
05
,
0
05
,
1
15
20
20
20
c
b
a
c
a
c
a
c
b
v
a
a
a
z II 15a=3c
=
+
+
=
+
+
+
15
15
15
3
5
,
17
21
05
,
0
05
,
1
3
20
20
20
c
b
c
c
b
v
a
a
c
z II 18c=15-15b
czyli:
5
,
17
05
,
0
05
,
1
20
20
20
20
20
=
+
+
−
b
v
a
a
b
%
36
05
,
0
05
,
1
20
5
,
2
20
20
20
≈
+
−
=
v
a
a
b
Zadanie 10
SPOSÓB I:
Na koniec kaŜdego roku mamy 0,1
Z II Funduszu mamy:
Na koniec 2 roku – 0,1*0,07
Na koniec i-tego roku : 0,1*(i-1)*0,07
WYPŁATA z III Funduszu:
(
)
0
12
13
12
13
08
,
1
14
...
08
,
1
2
08
,
1
07
,
0
1
,
0
07
,
0
14
1
,
0
...
08
,
1
07
,
0
2
1
,
0
08
,
1
07
,
0
1
,
0
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
(
)
(
)
08
,
0
14
08
,
0
1
08
,
1
08
,
1
14
08
,
0
1
08
,
1
08
,
1
14
08
,
1
1
08
,
1
1
08
,
1
14
08
,
1
...
08
,
1
08
,
1
)
1
08
,
1
(
08
,
1
14
...
08
,
1
2
08
,
1
08
,
1
14
...
08
,
1
2
08
,
1
2
14
14
14
13
14
13
14
12
13
−
−
=
−
−
=
−
−
−
=
−
+
+
+
=
−
⋅
+
+
⋅
+
=
⋅
+
+
⋅
+
=
I
I
I
I
(
)
−
−
⋅
+
⋅
+
=
08
,
0
14
08
,
0
1
08
,
1
08
,
1
07
,
0
1
,
0
1
,
0
15
1
)
(
2
14
I
WYPLATA
SPOSÓB II
Odsetki z Funduszu 1 na koniec 2 roku =
1
,
0
1
,
1
⋅
W Funduszu 1 zostaje: 1,1
Odsetki z Funduszu 1 na koniec 4 roku =
1
,
0
1
,
1
2
⋅
W Funduszu 1 zostaje
2
1
,
1
Itd.
Odsetki na koniec 14 roku z Funduszu 1 =
1
,
0
1
,
1
7
⋅
W Funduszu 1 zostaje:
7
1
,
1
Czyli z Funduszu 1 na koniec mamy
8
1
,
1
WYPŁATA Z II FUNDUSZU:
2
7
2
13
7
11
2
13
07
,
1
1
1
,
1
1
07
,
1
1
1
,
1
1
07
,
1
1
,
1
1
,
0
07
,
1
1
,
0
1
,
1
...
07
,
1
1
,
0
1
,
1
07
,
1
1
,
0
1
,
1
−
−
⋅
⋅
=
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
2
7
2
13
8
07
,
1
1
,
1
1
07
,
1
1
,
1
1
07
,
1
1
,
1
1
,
0
1
,
1
)
(
−
−
⋅
⋅
+
=
II
WYPLATA
[
]
1
)
(
1
15
1
−
=
I
WYPLATA
j
[
]
1
)
(
2
15
1
−
=
II
WYPLATA
j
%
5
,
0
%
45
,
0
1
2
≈
≈
−
j
j