Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
1/32
Wybrane zagadnienia
z Mechaniki Płynów
Wojciech Sobieski
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski
Wydział Nauk Technicznych
Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn
10-957 Olsztyn, ul. M. Oczapowskiego 11.
tel.: (89) 5-23-32-40
fax: (89) 5-23-32-55
wojciech.sobieski@uwm.edu.pl
Niniejszy dokument moŜe być dowolnie kopiowany, udostępniany
rozprowadzany w wersji oryginalnej. Autor nie zezwala na zmianę treści
dokumentu ani na jego modyfikacje.
Olsztyn 2001
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
2/32
S P I S T R E Ś C I
1.
PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O PŁYNACH...................................................... 3
2.
PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI PŁYNÓW.......................................................... 6
3.
NAPÓR HYDROSTATYCZNY ................................................................................. 8
4.
PŁYWANIE CIAŁ .................................................................................................... 10
5.
PRAWO EULERA .................................................................................................... 11
6.
PRAWO PASCALA .................................................................................................. 12
7.
RÓWNANIE EULERA W HYDROSTATYCE....................................................... 13
8.
KINEMATYCZNY WARUNEK CIĄGŁOŚCI RUCHU PŁYNU ŚCIŚLIWEGO W
PRZEPŁYWACH NIEUSTALONYCH........................................................................... 15
9.
RÓWNANIE BERNOULIEGO ................................................................................ 18
10.
RÓWNANIE NAVIERA-STOCKES’A ................................................................... 19
11.
RUCH ELEMENTU PŁYNU ................................................................................... 27
12.
GRADIENT SKALARA ........................................................................................... 31
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
3/32
1.
PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O PŁYNACH
Dwóm stanom materii – cieczom i gazom - moŜna przypisać cechy płynności i ciągłości.
JeŜeli w określonych warunkach cechy te są moŜliwe do zaakceptowania, to zarówno
ciecz jak i gaz będziemy nazywali płynami.
Z punktu widzenia molekularnej teorii budowy materii zarówno ciecz jak i gaz jest
zbiorowiskiem chaotycznie poruszających się molekuł, pomiędzy cieczą a gazem istnieją
jednak pewne róŜnice (rys. 1.).
Rys. 1. Ruch molekuł w cieczy (z lewej) i w gazie (z prawej).
Ciecz – ruch molekuł jest ruchem drgającym dookoła średniego połoŜenia oraz ruchem
przeskoku molekuł w coraz to nowe miejsce „Ŝycia osiadłego”
τ
0
. Przyjmijmy, Ŝe średnia
droga przeskoku wynosi l
0
.
Gaz – ruch molekuł jest ruchem chaotycznym, bez moŜliwości „Ŝycia osiadłego”.
W ruchu chaotycznym molekuły zderzają się, zmieniając w ten sposób swoją prędkość.
Drogi pomiędzy kolejnymi zderzeniami są róŜne – jednak średnia droga l
0
pomiędzy
kolejnymi zderzeniami jest znacznie dłuŜsza od średniej drogi przeskoku w stanie
ciekłym.
Charakterystyczne wymiary liniowe odnoszące się do molekuł moŜna zdefiniować
następująco:
dla stanu ciekłego
dla stanu gazowego
•
wymiar
charakteryzujący
wielkość
molekuły
•
ś
rednia odległość między molekułami
•
ś
rednia amplituda drgań
•
ś
rednia droga przeskoku
•
wymiar
charakteryzujący
wielkość
molekuły
•
ś
rednia odległość między molekułami
•
ś
rednia droga swobodna
Inne cechy
•
zachowuje kształt naczynia
•
mało ściśliwy
•
nie zachowuje kształtu
•
bardzo ściśliwy
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
4/32
Płynność. Gdy czas działania t siły odkształcającej jest bardzo długi w porównaniu z
czasem Ŝycia osiadłego
τ
0
, wtedy odkształcenie jest moŜliwe dzięki wymuszonej przez tę
siłę zmianie układu molekuł w przestrzeni. MoŜna się spodziewać proporcjonalności
między działającą siłą a odkształceniem – nawet mała siła odkształcająca wywołuje
skończoną prędkość odkształcenia. JeŜeli czas działania siły jest porównywalny bądź teŜ
krótszy od Ŝycia osiadłego molekuł, nie zdąŜą się one dostosować do sił deformujących
(zjawisko takie zachodzi np. podczas szybkiego odkształcania smoły -
τ
0
≈
1 s – ulega
ona wówczas pękaniu, jak ciało stałe).
Proporcjonalność pomiędzy prędkością odkształcenia (płynięciem) a siłą odkształcającą
jest cechą określoną jako płynność. Z powyŜszego rozumowania wynika ograniczenie tej
cechy. JeŜeli
0
τ
t
>>1,
to cieczom moŜna przypisać cechę płynności. JeŜeli zaś
0
τ
t
<1,
to mamy sytuację podobną do tej, jaka panuje w ciele stałym.
Jest rzeczą oczywistą, Ŝe w gazach, dla których
τ
0
= 0, cecha płynności nie ulega
ograniczeniom.
Ciągłość. Jest to cecha oznaczająca moŜliwość traktowania materii jako ośrodka
wypełniającego przestrzeń w sposób ciągły. Jest to moŜliwe tylko wtedy, gdy wymiary
liniowe L ciał opływanych cieczą lub gazem są znacznie większe od l
0
. Tak więc i tu
pojawia się ograniczenie tej cechy. JeŜeli
0
l
L
>>1,
to cieczom i gazom moŜna przypisać cechę ciągłości. JeŜeli zaś
0
l
L
<1,
to załoŜenie ciągłości nie stanowi dobrego modelu fizycznego.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
5/32
PoniewaŜ wartość l
0
jest znacznie większa dla gazów, moŜna oczekiwać naruszenia tej
cechy przede wszystkim w gazach. Istotnie, gazy rozrzedzone dla wymiarów ciał
porównywalnych z l
0
nie mogą być rozpatrywane jako ośrodek ciągły.
Liczba Knudsena. Aby ocenić stopień zgodności przyjętego modelu płynu (ciągły -
nieciągły) wprowadzono parametr zwany liczbą Knudsena
L
l
Kn
0
=
.
Dla liczb Knudsena < 0,01 przyjmuje się model ośrodka ciągłego.
Płyn doskonały (idealny) – płyn, który jest nieściśliwy, nielepki, nie ulega
rozszerzalności termicznej, nie „poddaje się” rozciąganiu, ściskaniu, ścinaniu.
Płyn rzeczywisty – powyŜsze załoŜenia nie obowiązują.
Modele płynów. W zaleŜności od związków pomiędzy prędkością deformacji a
napręŜeniami stycznymi, przyjmuje się róŜne modele płynów rzeczywistych:
płyn Newtona
– płyn, w którym napręŜenie styczne jest proporcjonalne do
prędkości deformacji (woda. powietrze, olej, benzyna, itp)
płyn Binghama
– płyn, w którym napręŜenie styczne jest niejednorodną funkcją
deformacji (pasty, zaprawy)
płyn pseudoplastyczny – płyn, w którym napręŜenie styczne maleje wraz z prędkością
deformacji (ciekły kauczuk, roztwory mydlane)
płyn tiksotropowy
– płyn, w którym przy stałej prędkości deformacji, napręŜenia
styczne maleją w czasie (farby, lakiery)
płyn Hooke’a
– płyn, który ulega tylko odkształceniu objętościowemu (???)
płyn z pamięcią
– ??? (farma emulsyjna)
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
6/32
2.
PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI PŁYNÓW
1. Ciśnienie.
dA
dP
A
P
p
A
=
∆
∆
=
→
∆
0
lim
2
m
N
2. Gęstość.
dV
dm
V
m
V
=
∆
∆
=
→
∆
0
lim
ρ
3
m
kg
ρ =
m
V
3. CięŜar właściwy.
dV
dG
V
G
V
=
∆
∆
=
→
∆
0
lim
γ
3
m
N
γ =
G
V
γ ρ
= ⋅
g
4. Objętość właściwa.
ρ
1
v
=
kg
m
3
5. Rozszerzalność objętościowa.
dT
dV
V
1
⋅
=
α
1
K
T
1
0
T
∆
+
=
α
ρ
ρ
(
)
T
V
V
∆
+
=
α
1
1
2
T
V
V
1
∆
=
∆
α
6. Ściśliwość.
dp
dV
V
1
B
⋅
−
=
N
m
2
p
B
1
0
p
∆
−
=
ρ
ρ
(
)
p
B
1
V
V
1
2
∆
−
=
p
B
V
V
1
∆
−
=
∆
7. Lepkość dynamiczna.
dn
dV
⋅
−
=
µ
τ
dT = ±
τ
.
dA
⋅
=
s
m
kg
µ
1P
g
cm s
=
⋅
8. Lepkość kinematyczna.
ρ
µ
ν
=
=
s
m
2
υ
=
s
cm
St
2
1
9. Równanie stanu (tylko dla gazów idealnych).
mRT
pV
=
lub
RT
p
ρ
=
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
7/32
Oznaczenia symboli:
P – siła
G - cięŜar
m - masa
V - objętość (prędkość w punkcie 7)
v - objętość właściwa
µ
- dynamiczny współczynnik lepkości (czasami oznacza się
η
)
ν
−
współczynnik lepkości kinematycznej
P - Poise – jednostka lepkości ( jednostka mniejsza 1cP = 1P
.
10
-2
)
St – Stockes - jednostka lepkości ( jednostka mniejsza 1cSt = 1St
.
10
-2
)
B - współczynnik ściśliwości (
B=1/E)
E - moduł Younga
R - indywidualna stała gazowa
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
8/32
3.
NAPÓR HYDROSTATYCZNY
Siła naporu hydrostatycznego, wywieranego przez ciecz na płaską ścianę o dowolnym
konturze wynosi
P =
ρ
·g·
z dA
A
⋅
∫
.
( 1 )
WyraŜenie
z dA
A
⋅
∫
jest momentem statycznym, zatem
z dA
A
⋅
∫
= z
s
·A,
gdzie z
s
oznacza głębokość zanurzenia środka geometrycznego ściany o polu
powierzchni równym A. Wobec tego napór cieczy na dowolną figurę płaską moŜna
wyrazić następującym wzorem:
P =
ρ
·g·z
s
·A =
γ
·z
s
·A.
( 2 )
JeŜeli na ciecz działa dodatkowo ciśnienie p., to
P = (p +
γ
·z
s
)·A
( 3 )
Współrzędne połoŜenia środka naporu, tj. punktu C, w którym przyłoŜony jest wektor
siły naporu, działającej na rozpatrywany wycinek ściany o polu powierzchni równym A,
wyznaczamy z następujących zaleŜności:
x
c
=
xy
s
I
A y
⋅
y
c
=
x
s
I
A y
⋅
= y
s
+
0
x
I
A y
s
⋅
( 4 )
z
c
= z
s
+
0
x
I
A z
s
⋅
·sin
2
α
y
s
, z
s
- współrzędne środka cięŜkości,
I
x
- moment bezwładności względem osi x,
I
xy
- moment dewiacyjny względem osi x i y,
I
xo
- moment bezwładności względem osi x
0
przechodzącej przez środek cięŜkości S.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
9/32
x
0
x
x
s
x
c
y
y
y
s
y
c
dA
s
c
z
A
z
z
s
z
c
P
dP
α
x
Dla ściany prostopadłej do zwierciadła cieczy
α = 90
°
z
c
= z
s
+
0
x
I
A z
s
⋅
( 5 )
Ze wzorów ( 4 ) i ( 5 ) wynika, Ŝe środek naporu znajduje się zawsze poniŜej środka
cięŜkości. Punkty C i S pokrywają się tylko wówczas, gdy A jest wycinkiem ściany
płaskiej, równoległej do zwierciadła cieczy.
Wypadkowy napór hydrostatyczny cieczy na ściankę zakrzywioną
P =
x
z
P
P
2
2
+
Składowa pozioma P
x
równa jest parciu wywieranemu na rzut powierzchni zakrzywionej
na płaszczyznę prostopadłą do rozpatrywanego kierunku. Linia działania składowej
poziomej przechodzi przez środek naporu rzutu rozwaŜanej powierzchni.
Składowa pionowa naporu P
z
równowaŜona jest cięŜarem „bryły ciekłej” ograniczonej
rozpatrywaną powierzchnią zakrzywioną i tworzącymi pionowymi, które łączą jej kontur
ze zwierciadłem cieczy. Kierunek działania naporu pionowego przechodzi przez środek
cięŜkości rozpatrywanej „bryły”. NatęŜenie składowej pionowej P
z
nie zaleŜy przy tym
od tego, czy nad ścianą zakrzywioną wznosi się aŜ do zwierciadła realny słup cieczy, czy
teŜ nie.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
10/32
4.
PŁYWANIE CIAŁ
Stateczność określa się na podstawie tzw. wysokości metacentrycznej z następujących
zaleŜności:
a
V
I
m
z
x
x
±
=
- stateczność względem osi x,
a
V
I
m
z
y
y
±
=
- stateczność względem osi y.
gdzie
V
z
- objętość zanurzona,
I
x
, I
y
- momenty bezwładności pola przekroju pływania względem osi x i y,
a
- odległość między środkiem cięŜkości ciała i środkiem wyporu (ujemna wartość a
występuje wówczas, gdy środek cięŜkości znajduje się powyŜej środka wyporu).
Do badania stateczności bierze się ten kierunek, dla którego wartość momentu
bezwładności jest mniejsza.
m > 0 - stateczność stała,
m < 0 - stateczność chwiejna,
m = 0 - stateczność obojętna.
x
y
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
11/32
5.
PRAWO EULERA
Prawo Eulera - wartość ciśnienia nie zaleŜy od orientacji (połoŜenia) elementu
powierzchniowego, do którego „wektor” ciśnienia jest prostopadły.
P
x
z
y
p
x
p
y
p
z.
α
β
γ
dx
dz
dy
dAx
dAz
dAy
Aby układ był w stanie równowagi:
p
x
.
dAx - p
.
dA
.
cos
α
= 0
p
y
.
dA
y
- p
.
dA
.
cos
β
= 0
(1)
p
z
.
dA
z
- p
.
dA
.
cos
γ
= 0
poniewaŜ
dA
.
cos
α
= dA
x
dA
.
cos
β
= dA
y
dA
.
cos
γ
= dA
z
równanie (1) otrzyma postać
p
x
.
dAx - p
.
dA
x
= 0
p
y
.
dA
y
- p
.
dA
y
= 0
(2)
p
z
.
dA
z
- p
.
dA
z
= 0
po uproszczeniu zaś
p
x
= p
p
y
= p
(3 )
p
z
= p
czyli
p
x
= p
y
= p
z
= p.
(4)
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
12/32
6.
PRAWO PASCALA
Prawo Pascala - jeŜeli na płyn działają tylko siły powierzchniowe, to ciśnienie w kaŜdym
punkcie płynu jest takie samo
1
.
P
1
P
2
α
2
α
1
z
dA
1
dA
2
dA
Aby układ był w stanie równowagi:
iz
P
∑
=
0
czyli
1
1
1
2
2
2
0
p dA
p dA
⋅
⋅
− ⋅
⋅
=
cos
cos
α
α
(1)
poniewaŜ
1
1
dA
dA
⋅
=
cos
α
2
2
dA
dA
⋅
=
cos
α
więc
1
2
0
p dA
p dA
⋅
− ⋅
=
1
2
0
p
p
− =
(2 )
Ogólnie zaś
1
2
p
p
p
n
=
= =
K
.
(3)
1
Prawo to nie uwzględnia ciśnienia słupa cieczy.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
13/32
7.
RÓWNANIE EULERA W HYDROSTATYCE
Pełna postać równania Eulera:
∂
∂
Vx
t
+
∂
∂
Vx
x
·Vx +
∂
∂
Vx
y
·Vy +
∂
∂
Vx
z
·Vz = X -
1
ρ
·
∂
p
dx
∂
∂
Vy
t
+
∂
∂
Vy
x
·Vx +
∂
∂
Vy
y
·Vy +
∂
∂
Vy
z
·Vz = Y -
1
ρ
·
∂
p
dy
(1)
∂
∂
Vz
t
+
∂
∂
Vz
x
·Vx +
∂
∂
Vz
y
·Vy +
∂
∂
Vz
z
·Vz = Z -
1
ρ
·
∂
p
dz
JeŜeli element płynu jest w stanie spoczynku, to w równaniu Eulera nie ma członu
prędkości, przyjmie ono postać
X -
1
ρ
·
∂
p
dx
= 0
Y -
1
ρ
·
∂
p
dy
= 0
(2)
Z -
1
ρ
·
∂
p
dz
= 0
Lub we współrzędnych cylindrycznych
q
r
-
1
ρ
·
∂
∂
p
r
= 0
q
ϑ
-
1
ρ
·
∂
∂ϑ
p
r
⋅
= 0
(3)
q
z
-
1
ρ
·
∂
∂
p
z
= 0
Zapis wektorowy równania ( 1.1 ) ma postać
r
F
gradp
= ⋅
1
ρ
(4)
Równanie ( 1.1 ) moŜna przekształcić do innej postaci
X =
1
ρ
·
∂
p
dx
/·dx
Y =
1
ρ
·
∂
p
dy
/·dy
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
14/32
Z =
1
ρ
·
∂
p
dz
/·dz
X·dx =
1
ρ
·
∂
p
dx
·dx
Y·dy =
1
ρ
·
∂
p
dy
·dy
(5)
Z·dz =
1
ρ
·
∂
p
dz
·dz
Dodając stronami równania ( 1.4 ) otrzymamy
X·dx + Y·dy + Z·dz =
1
ρ
·(
∂
p
dx
·dx +
∂
p
dy
·dy +
∂
p
dz
·dz)
gdzie P = f(x, y, z)
dp =
∂
p
dx
·dx +
∂
p
dy
·dy +
∂
p
dz
·dz
więc
X·dx + Y·dy + Z·dz =
1
ρ
·dp
(6)
Równanie ( 1.4 ) stanowi drugą postać równania hydrodynamiki Eulera.
Dla powierzchni ekwipotencjalnej dp = 0 wówczas
X·dx + Y·dy + Z·dz = 0
(7)
Równanie ( 1.4 ) moŜna zapisać w układzie współrzędnych cylindrycznych
q
r
·dr + q
ϑ
·r·d
ϑ
+ q
z
·dz =
1
ρ
·dp
(8)
Równanie powierzchni ekwipotencjalnej we współrzędnych cylindrycznych
q
r
·dr + q
ϑ
·d
ϑ
+ q
z
·dz = 0.
(9)
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
15/32
8.
KINEMATYCZNY WARUNEK CIĄGŁOŚCI RUCHU PŁYNU
ŚCIŚLIWEGO W PRZEPŁYWACH NIEUSTALONYCH
Przyjmijmy kontrolną objętość dx
.
dy
.
dz w układzie kartezjańskim, przez którą przepływa
strumień płynu ściśliwego o gęstości
ρ
. W przypadku ruchu ustalonego, strumień masy
wpływający do objętości (zgodnie z warunkiem stałości ilości materii) musi być równy
strumieniowi wypływającemu, rozpatrywanemu w tej samej jednostce czasu (zerowy
przyrost
masy).
W układzie nie mogą występować chwilowe lokalne zagęszczenia lub rozrzedzenia masy
(lokalne kompresje i ekspansje) – zjawisko takie stanowi właściwość przepływów
nieustalonych.
Rys. 1. Strumienie wpływający i wypływający do objętości dx
.
dy
.
dz w kierunku x
(w celu zwiększenia czytelności rysunku strumienie na kierunkach y i z nie są opisane).
W przypadku ruchu ustalonego całkowity przyrost masy płynu przepływającego przez
powierzchnie ograniczające objętość kontrolną dx
.
dy
.
dz moŜna zapisać jako
( )
( )
( )
=
∂
∂
+
−
+
+
∂
∂
+
−
+
+
∂
∂
+
−
0
dxdydt
dz
z
V
V
dxdydt
V
dxdzdt
dy
y
V
V
dxdzdt
V
dydzdt
dx
x
V
V
dydzdt
V
z
z
z
y
y
y
x
x
x
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
.
(1)
Po uproszczeniu otrzymamy
( )
( )
( )
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
dxdydzdt
z
V
dxdydzdt
y
V
dxdydzdt
x
V
z
y
x
ρ
ρ
ρ
,
(2)
x
z
y
ρ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Vx dy dx dt
(
)
ρ
∂ ρ
∂
∂
⋅
+
⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅
Vx
Vx
x
x
dy dx dt
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
16/32
W przypadku przepływu nieustalonego, w obszarze objętości kontrolnej, w czasie dt,
mogą pojawić się zmiany gęstości wywołane ściśliwością płynu. Konsekwencją tego
będzie niezerowa wartość przyrostu masy w obszarze rozpatrywanej objętości kontrolnej.
Ustalając, Ŝe strumień masy wypływającej z objętości ma znak dodatni (podczas
ekspansji), zaś wpływającej znak ujemny (podczas kompresji), przyrost ten będzie równy
-
t
∂
∂
ρ
dxdydzdt. Formuła (2) przyjmie wówczas postać
( )
( )
( )
dxdydzdt
t
dxdydzdt
z
V
dxdydzdt
y
V
dxdydzdt
x
V
z
y
x
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
ρ
ρ
ρ
.
(3)
W odniesieniu do jednostki objętości i czasu otrzymamy
( )
( )
( )
t
z
V
y
V
x
V
z
y
x
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
ρ
ρ
ρ
,
(4)
Lewa strona powyŜszego wyraŜenia stanowi dywergencję strumienia masy
V
s
ρ
,
równanie (4) moŜna więc zapisać wektorowo
( )
0
=
+
∂
∂
V
div
t
r
ρ
ρ
,
(5)
lub w ogólnej postaci kartezjańskiej jako
( )
0
=
∂
∂
+
∂
∂
i
V
i
t
ρ
ρ
,
gdzie i = x, y, z.
(6)
Rozwijając dalej równanie (5) otrzymamy
( )
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
+
+
∂
∂
=
+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
z
w
y
v
x
u
t
V
div
grad
V
t
V
div
t
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
r
r
r
.
(7)
Wobec tego, iŜ
t
x
u
∂
∂
=
,
t
y
v
∂
∂
=
,
t
z
w
∂
∂
=
,
(8)
pierwsze cztery człony równania stanowią pochodną zupełną (substancjonalną) gęstości
względem czasu, a suma pochodnych cząstkowych w nawiasie – dywergencję wektora
prędkości, otrzymamy
0
=
+
V
div
dt
dp
r
ρ
.
(9)
Jest to inna forma równania ciągłości w najogólniejszym przypadku ruchu nieustalonego
płynu ściśliwego.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
17/32
Przypadki równania ciągłości:
- ruch nieustalony płynu ściśliwego
( )
0
=
+
∂
∂
V
div
t
r
ρ
ρ
;
(10)
- ruch ustalony płynu ściśliwego
( )
0
=
V
div
r
ρ
;
(11)
- ruch ustalony płynu nieściśliwego
0
=
V
div
r
.
(12)
Warto zwrócić uwagę, iŜ warunek (12) oznacza niezmienność objętości.
Równanie ciągłości obowiązuje zarówno dla płynów nielepkich jak i lepkich.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
18/32
9.
RÓWNANIE BERNOULIEGO
RozwaŜmy przepływ przez kanał o zmiennym przekroju elementu płynu o stałej masie m
i objętości V. Przez c oznaczmy prędkość średnią elementu płynu.
Całkowita energia zawarta w płynie nie moŜe ulec zmianie, mamy więc
const
E
E
E
cakowita
=
=
=
2
1
.
(1)
W układzie jak na rysunku mamy trzy rodzaje energii:
- energię kinetyczną
2
2
mc
;
- energię potencjalną
mgh
;
- energię ciśnienia
pV
.
Dla połoŜeń 1 i 2 moŜemy więc zapisać
V
p
mgh
mc
V
p
mgh
mc
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
+
+
=
+
+
.
(2)
Równanie (2) moŜna przekształcić do postaci
m
V
p
gh
c
m
V
p
gh
c
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
+
+
=
+
+
a następnie
g
V
m
p
h
g
c
g
V
m
p
h
g
c
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
+
+
=
+
+
.
(3)
Uwzględniając, Ŝe
ρ
=
V
m
a
γ
ρ
=
g
otrzymamy
γ
γ
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
p
h
g
c
p
h
g
c
+
+
=
+
+
(4)
lub ogólnie
.
2
2
const
p
h
g
c
=
+
+
γ
(5)
Wzór (5) stanowi najbardziej znaną postać równania Bernouliego.
c
c
h
h
p
p
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
19/32
10.
RÓWNANIE NAVIERA-STOCKES’A
Przyjmijmy kontrolną objętość dx
.
dy
.
dz w układzie kartezjańskim, przez którą przepływa
strumień płynu ściśliwego o gęstości
ρ
i lepkości
µ
.
z
x
y
P
P
P
P
P
x
dx
+
⋅
∂
∂
P
P
y
dy
+
⋅
∂
∂
P
P
z
dz
+
⋅
∂
∂
Fx
Fy
Fz
Bx
By
Bz
Na element płynu działają następujące siły:
1.
Siły wywołane ciśnieniem
P
x
=
dxdydz
x
p
dydz
dx
x
p
p
p
∂
∂
−
=
∂
∂
−
−
P
y
=
dxdydz
y
p
dxdz
dy
y
p
p
p
∂
∂
−
=
∂
∂
−
−
(1)
P
z
=
dxdydz
z
p
dxdy
dz
z
p
p
p
∂
∂
−
=
∂
∂
−
−
2.
Siły masowe
dxdydz
X
Xdm
F
x
ρ
=
=
dxdydz
Y
Ydm
F
y
ρ
=
=
(2)
dxdydz
Z
Zdm
F
z
ρ
=
=
3.
Siły bezwładności – przy załoŜeniu, Ŝe element porusza się zgodnie z kierunkami osi
układu, wartość sił bezwładności będą miały znak ujemny
B
x
=
dxdydz
dt
dVx
dm
dt
dVx
ρ
−
=
−
B
y
=
dxdydz
dt
dVy
dm
dt
dVy
ρ
−
=
−
(3)
B
z
=
dxdydz
dt
dVz
dm
dt
dVz
ρ
−
=
−
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
20/32
4.
Siły styczne – w znakowaniu pierwszy symbol oznacza oś, do której jest prostopadły
dany element powierzchni, drugi zaś kierunek składowej napręŜeń
dxdy
dz
z
dxdz
dy
y
dydz
dx
x
p
p
p
zx
zx
zx
yx
yx
yx
xx
xx
xx
∂
∂
+
+
−
+
∂
∂
+
+
−
+
∂
∂
−
−
τ
τ
τ
τ
τ
τ
dxdy
dz
z
dxdz
dy
y
p
p
p
dydz
dx
x
zy
zy
zy
yy
yy
yy
xy
xy
xy
∂
∂
+
+
−
+
∂
∂
−
−
+
∂
∂
+
+
−
τ
τ
τ
τ
τ
τ
(4)
dxdy
dz
z
p
p
p
dxdz
dy
y
dydz
dx
x
zz
zz
zz
yz
yz
yz
xz
xz
xz
∂
∂
−
−
−
+
∂
∂
+
+
−
+
∂
∂
+
+
−
τ
τ
τ
τ
τ
τ
po uproszczeniu
dxdydz
z
y
x
p
zx
yx
xx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
τ
τ
dxdydz
z
y
p
x
zy
yy
xy
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
τ
τ
(5)
dxdydz
z
p
y
x
zz
yz
xz
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
τ
τ
Aby element płynu był w równowadze
ix
P
∑
= P
x
+ F
x
+ B
x
= 0
iy
P
∑
= P
y
+ F
y
+ B
y
= 0
(6)
iz
P
∑
= P
z
+ F
z
+ B
z
= 0
więc
dxdydz
x
p
∂
∂
−
+
dxdydz
X
ρ
-
dxdydz
dt
dVx
ρ
+
dxdydz
z
y
x
p
zx
yx
xx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
τ
τ
= 0
dxdydz
y
p
∂
∂
−
+
dxdydz
Y
ρ
-
dxdydz
dt
dVy
ρ
+
dxdydz
z
y
p
x
zy
yy
xy
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
τ
τ
= 0
(7)
dxdydz
z
p
∂
∂
−
+
dxdydz
Z
ρ
-
dxdydz
dt
dVz
ρ
+
dxdydz
z
p
y
x
zz
yz
xz
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
τ
τ
= 0
PoniewaŜ wektor
(
)
t
z
y
x
V
V
,
,
,
r
r
=
, to kaŜda ze składowych wektora
V
r
teŜ jest funkcją tych
samych zmiennych:
(
)
t
z
y
x
V
V
x
x
,
,
,
r
r
=
,
(
)
t
z
y
x
V
V
y
y
,
,
,
r
r
=
,
(
)
t
z
y
x
V
V
z
z
,
,
,
r
r
=
(8)
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
21/32
Funkcje te są ciągłe i róŜniczkowalne, moŜna więc róŜniczkę zupełną przedstawić w
postaci sumy róŜniczek cząstkowych:
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dt
t
V
dV
x
x
x
x
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dt
t
V
dV
y
y
y
y
y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
(9)
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dt
t
V
dV
z
z
z
z
z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
lub (po podzieleniu przez dt)
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
t
V
dt
dV
x
x
x
x
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
t
V
dt
dV
y
y
y
y
y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
(9)
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
t
V
dt
dV
z
z
z
z
z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
PoniewaŜ
x
V
dt
dx
=
,
y
V
dt
dy
=
,
z
V
dt
dz
=
(10)
więc
z
x
y
x
x
x
x
x
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
dt
dV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
z
y
y
y
x
y
y
y
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
dt
dV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
(11)
z
z
y
z
x
z
z
z
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
dt
dV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Wzór (11) przedstawia tzw. pochodne zupełne (substancjonalne) eulerowskiej metody
analizy lokalnej, składające się z dwu części: pochodnej lokalnej reprezentującej zmiany,
jakie zachodzą z upływem czasu dt w danym punkcie pola prędkości (w przepływach
ustalonych pochodna ta jest równa zeru) oraz pochodnej konwekcyjnej, obrazującej
zmiany, jakie zachodzą przy przesunięciu w czasie dt elementu płynu z punktu x, y, z do
nieskończenie blisko połoŜonego punktu x+dx, y+dy, z+dz.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
22/32
ZaleŜność (11) podstawiamy do równania (7)
dxdydz
x
p
∂
∂
−
+
dxdydz
X
ρ
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
z
x
y
x
x
x
x
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
dxdydz
ρ
+
dxdydz
z
y
x
p
zx
yx
xx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
τ
τ
=0
dxdydz
y
p
∂
∂
−
+
dxdydz
Y
ρ
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
z
y
y
y
x
y
y
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
dxdydz
ρ
+
dxdydz
z
y
p
x
zy
yy
xy
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
τ
τ
= 0
dxdydz
z
p
∂
∂
−
+
dxdydz
Z
ρ
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
z
z
y
z
x
z
z
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
dxdydz
ρ
+
dxdydz
z
p
y
x
zz
yz
xz
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
τ
τ
= 0
Po odniesieniu do jednostki objętości (dzieląc przez dxdydz) otrzymamy
x
p
∂
∂
−
+
ρ
X
ρ
ρ
ρ
ρ
z
x
y
x
x
x
x
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
z
y
x
p
zx
yx
xx
τ
τ
= 0
y
p
∂
∂
−
+
ρ
Y
ρ
ρ
ρ
ρ
z
y
y
y
x
y
y
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
z
y
p
x
zy
yy
xy
τ
τ
= 0
(13)
z
p
∂
∂
−
+
ρ
Z
ρ
ρ
ρ
ρ
z
z
y
z
x
z
z
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
z
p
y
x
zz
yz
xz
τ
τ
= 0
lub przekształcając (przenosząc i dzieląc przez (–1))
ρ
ρ
ρ
ρ
z
x
y
x
x
x
x
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
x
p
∂
∂
+
=
z
y
x
p
zx
yx
xx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
τ
τ
+
ρ
X
ρ
ρ
ρ
ρ
z
y
y
y
x
y
y
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
y
p
∂
∂
+
=
z
y
p
x
zy
yy
xy
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
τ
τ
+
ρ
Y
(14)
ρ
ρ
ρ
ρ
z
z
y
z
x
z
z
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
p
∂
∂
+
=
z
p
y
x
zz
yz
xz
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
τ
τ
+
ρ
Z
Dla płynu ściśliwego gęstość
ρ
nie jest stałe, musi więc wejść pod znak róŜniczki
( ) (
)
(
)
(
)
z
V
V
y
V
V
x
V
V
t
V
z
x
y
x
x
x
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
ρ
ρ
ρ
x
p
∂
∂
+
=
z
y
x
p
zx
yx
xx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
τ
τ
+
ρ
X
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
23/32
( ) (
) (
) (
)
z
V
V
y
V
V
x
V
V
t
V
z
y
y
y
x
y
y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
ρ
ρ
ρ
y
p
∂
∂
+
=
z
y
p
x
zy
yy
xy
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
τ
τ
+
ρ
Y
(15)
(
) (
)
(
)
(
)
z
V
V
y
V
V
x
V
V
t
V
z
z
y
z
x
z
z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
ρ
ρ
ρ
z
p
∂
∂
+
=
z
p
y
x
zz
yz
xz
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
τ
τ
+
ρ
Z
Przyjmując odpowiednio, Ŝe
X = b
x
,
Y = b
y
,
Z = b
z
(16)
oraz
p
xx
=
τ
xx,
p
yy
=
τ
yy
,
p
zz
=
τ
zz
(17)
powyŜsze równania moŜna zapisać symbolicznie w postaci skróconej
i
c
ij
ij
j
i
i
b
j
p
V
V
j
V
t
ρ
τ
δ
ρ
ρ
+
∂
∂
=
+
∂
∂
+
∂
∂
)
(
)
(
)
(
(18)
gdzie i, j = x, y, z (dla jednego równania i jest stałe, zaś j przyjmuje wartości x, y, z).
W postaci wektorowej równanie (16) przyjmie postać
b
div
)
I
p
V
V
div(
V
t
cakowite
r
t
t
r
r
r
ρ
τ
ρ
ρ
∂
∂
+
=
+
⊗
+
)
(
)
(
.
(19)
MoŜna wykazać, Ŝe w istocie stan napięcia w kaŜdym punkcie przestrzeni wypełnionej
płynem lepkim określony jest liczbową wartością, nie dziewięciu, a sześciu napręŜeń.
Równanie momentów względem osi x ma następującą postać (kierunek dodatni od osi y
do z)
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=
∂
∂
+
−
+
∂
∂
+
−
−
∂
∂
+
+
−
∂
∂
+
+
+
∂
∂
+
+
−
∂
∂
+
−
dxdydz
dz
z
dy
dxdy
p
dy
dxdy
dz
z
p
p
dxdzdy
dy
y
dz
dxdz
p
dz
dxdz
dy
y
p
p
dy
dydz
dx
x
dy
dydz
dz
dydz
dx
x
dz
dydz
zy
zy
zz
zz
zz
yz
yz
yy
yy
yy
xz
xz
xz
xy
xy
xy
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
(20)
Po uproszczeniu i pominięciu małych czwartego rzędu
(
)
0
=
−
dxdydz
zy
yz
τ
τ
skąd
0
=
−
zy
yz
τ
τ
.
(21)
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
24/32
Podobnie
0
=
−
xz
zx
τ
τ
,
0
=
−
yx
xy
τ
τ
.
Tak więc napręŜenia styczne zbieŜne na tej samej krawędzi są sobie równe (istnieje
symetria napręŜeń stycznych).
Podstawowym
załoŜeniem,
pozwalającym
związać
ilościowo
stan
napręŜeń
powierzchniowych z polem prędkości, jest załoŜenie proporcjonalności tych napręŜeń do
odkształceń. Wzór podany przez Newtona na napręŜenie styczne w przypadku przepływu
płaskiego stanowi najprostsze sformułowanie tego załoŜenia
n
V
∂
∂
=
µ
τ
.
(22)
Współczynnik proporcjonalności
µ
wskazuje, jak duŜy będzie przyrost prędkości na
kierunku n, w jednostce czasu dt, w warstwach płynu oddalonych od siebie o odległość
dn (rys. 1.).
Rys. 1. Odkształcenie kątowe elementu płynu.
Wartość
n
V
∂
∂
stanowi prędkość odkształcenia kątowego elementu dnds. NapręŜenia
powierzchniowe styczne mogą wystąpić tylko w przypadku odkształceń kątowych
elementu płynu.
dn
n
V
V
∂
∂
+
dndt
n
V
∂
∂
V
s
n
ds
d
dt
n
V
∂
∂
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
25/32
Rys. 2. Odkształcenia elementu płynu w układzie kartezjańskim na ściance dxdy.
W układzie kartezjańskim zaleŜności te przyjmą następującą formę (rys. 2):
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
x
V
z
V
z
V
y
V
y
V
x
V
z
x
xz
zx
y
z
zy
yz
x
y
yx
xy
µ
τ
τ
µ
τ
τ
µ
τ
τ
,
(23)
według której moŜna obliczyć pochodne cząstkowe poszczególnych składowych
napręŜeń
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
z
V
x
x
V
x
z
y
V
z
z
V
z
x
y
V
x
x
V
x
x
z
xz
z
y
zy
x
y
xy
2
2
2
2
2
2
µ
τ
µ
τ
µ
τ
,
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
=
∂
∂
z
x
V
z
z
V
z
y
z
V
y
y
V
y
y
x
V
y
y
V
y
z
x
zx
y
z
yz
y
x
yx
2
2
2
2
2
2
µ
τ
µ
τ
µ
τ
.
(24)
Do dalszych rozwaŜań wykorzystane będzie równanie (14) z uwzględnieniem warunku
(17)
dt
y
V
d
x
∂
∂
=
β
dt
x
V
d
y
∂
∂
=
α
x
y
ττττ
y
ττττ
x
ττττ
yx
+d
ττττ
y
ττττ
xy
+d
ττττ
x
y
V
x
V
dt
d
d
x
y
∂
∂
+
∂
∂
=
+
β
α
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
26/32
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
τ
τ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
τ
τ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
τ
τ
ρ
ρ
ρ
ρ
Z
z
p
y
x
z
p
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
Y
z
y
p
x
y
p
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
X
z
y
x
p
x
p
V
z
V
V
y
V
V
x
V
t
V
zz
yz
xz
z
z
y
z
x
z
z
zy
yy
xy
z
y
y
y
x
y
y
zx
yx
xx
z
x
y
x
x
x
x
(25)
lub krócej jako
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
z
p
y
x
Z
z
p
dt
dV
z
y
p
x
Y
y
p
dt
dV
z
y
x
p
X
x
p
dt
dV
zz
yz
xz
z
zy
yy
xy
y
zx
yx
xx
x
τ
τ
ρ
ρ
τ
τ
ρ
ρ
τ
τ
ρ
ρ
(26)
Po podstawieniu odpowiednich róŜniczek cząstkowych wg zaleŜności (24) otrzymamy
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
z
p
y
z
V
y
y
V
x
z
V
x
x
V
Z
z
p
dt
dV
z
y
V
z
z
V
y
p
x
y
V
x
x
V
Y
y
p
dt
dV
z
x
V
z
z
V
y
x
V
y
y
V
x
p
X
x
p
dt
dV
zz
y
z
x
z
z
z
y
yy
x
y
y
z
x
y
x
xx
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
µ
µ
ρ
ρ
µ
µ
ρ
ρ
µ
µ
ρ
ρ
Po przekształceniach
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
y
z
V
y
y
V
x
z
V
x
x
V
z
p
Z
z
p
dt
dV
z
y
V
z
z
V
x
y
V
x
x
V
y
p
Y
y
p
dt
dV
z
x
V
z
z
V
y
x
V
y
y
V
x
p
X
x
p
dt
dV
y
z
x
z
zz
z
z
y
x
y
yy
y
z
x
y
x
xx
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
µ
ρ
ρ
µ
ρ
ρ
µ
ρ
ρ
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
27/32
11.
RUCH ELEMENTU PŁYNU
Rozpatrzmy element płynu pozostający w ruchu, jak poglądowo pokazuje to rysunek.
Sytuacja pokazana jest w chwili ustalonej t
0
. Stąd wewnątrz elementu odległości od
punktu 0 (dowolnie obrany punkt) oznaczone będą symbolem
r
∂
. Punkt 0 nazwiemy
biegunem. Punkt A jest dowolnym punktem wewnątrz elementu, róŜnym od bieguna.
Mamy więc relację:
r
r
r
A
∂
+
=
0
.
(1)
JeŜeli powyŜszy związek zróŜniczkujemy względem czasu, to otrzymamy
( )
dt
r
d
dt
dr
dt
dr
A
∂
+
=
0
(2)
Relację tę moŜna zapisać
( )
dt
r
d
u
u
A
∂
+
=
0
(3)
Z drugiej strony, wektor prędkości w punkcie A moŜe być zapisany jako
u
u
u
A
∂
+
=
0
.
(4)
Stąd wynika, iŜ
( )
u
dt
r
d
∂
=
∂
.
(5)
Związek między wektorami
∂
u i
∂
r moŜna zapisać jako
r
r
u
u
∂
∂
∂
=
∂
.
(6)
Podstawiając powyŜszą zaleŜność do wzoru (4) otrzymamy
r
r
u
u
u
A
∂
∂
∂
+
=
0
(7)
∂
u
u
0
u
0
r
0
r
A
0
A
∂
r
u
A
t
0
x
y
z
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
28/32
Tensor
∂
u/
∂
r moŜna przedstawić w postaci dwóch tensorów – symetrycznego D
i niesymetrycznego A - poprzez następujące przekształcenie:
+
∂
∂
+
−
∂
∂
=
∂
∂
gradu
r
u
gradu
r
u
r
u
2
1
2
1
(8)
lub
D
A
r
u
+
=
∂
∂
(9)
gdzie
−
∂
∂
=
gradu
r
u
A
2
1
(10)
+
∂
∂
=
gradu
r
u
D
2
1
(11)
PoniewaŜ
uk
uj
ui
u
∂
+
∂
+
∂
=
∂
,
(12)
zk
yj
xi
r
∂
+
∂
+
∂
=
∂
.
mamy więc
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
z
u
y
u
x
u
z
u
y
u
x
u
z
u
y
u
x
u
r
u
z
z
z
y
y
y
x
x
x
(13)
Gradient u moŜna otrzymać jako wynik iloczynu diadycznego gradientu i wektora u:
(
)
k
u
j
u
i
u
k
z
j
y
i
x
gradu
z
y
x
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
,
(14)
skąd po wykonaniu działań otrzymamy
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
z
u
z
u
z
u
y
u
y
u
y
u
x
u
x
u
x
u
gradu
z
y
x
z
y
x
z
y
x
.
(15)
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
29/32
Na podstawie wzorów (12) i (15) moŜna obliczyć składowe tensorów A i D:
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
=
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
z
u
y
u
x
u
z
u
z
u
y
u
y
u
x
u
x
u
z
u
y
u
x
u
A
y
z
z
x
y
z
x
y
z
x
x
y
(16)
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
z
u
y
u
z
u
x
u
z
u
y
u
z
u
y
u
x
u
y
u
x
u
z
u
x
u
y
u
x
u
D
z
z
y
z
x
z
y
y
y
x
z
x
y
x
x
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(17)
Po uwzględnieniu rozbicia tensora
∂
u/
∂
r wzór (7) otrzyma ostateczną postać
r
D
r
A
u
u
A
∂
+
∂
+
=
0
0
0
(18)
gdzie wszystkie pochodne w tensorach A i D są wyznaczane dla punktu 0, co zostało
oznaczone indeksami A
0
i D
0
.
Wzór (18) stanowi zapis pierwszego twierdzeniu Helmholtza, które mówi, Ŝe prędkość
dowolnego punktu elementu płynu składa się z trzech prędkości:
- prędkości postępowej punktu obranego za biegun u
0
;
- prędkości obrotowej dookoła osi przechodzącej przez biegun z prędkością kątową
ω
0
, której wektor wyznacza oś obrotu;
- prędkości deformacji elementu płynu D
0
∂
r.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
30/32
Składowe tensora A stanowią wartości prędkości kątowych
ω
względem osi x, y, z
−
−
−
=
0
0
0
x
y
x
z
y
z
A
ϖ
ϖ
ϖ
ω
ω
ϖ
Tensor deformacji D moŜna rozłoŜyć na dwa tensory – tensor deformacji liniowych oraz
tensor deformacji kątowych:
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
0
0
y
u
z
u
x
u
z
u
y
u
z
u
x
u
y
u
x
u
z
u
x
u
y
u
z
u
y
u
x
u
D
z
y
z
x
z
y
y
x
z
x
y
x
z
y
x
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
31/32
12.
GRADIENT SKALARA
W polu skalarnym L = F(x,y,z,t), w załoŜeniu, Ŝe funkcja F jest ciągła i mająca pochodną
we wszystkich punktach pola, istnieją zawsze pewne powierzchnie (dla pola ustalonego
zawsze te same, dla pola nieustalonego – w danej chwili t) określone równaniem L =
F(x,y,z) = const, na których wartość danego skalara jest stała. Mogą to być powierzchnie
równych ciśnień, temperatur, gęstości, itd.
Istnieje pewna wielkość stanowiąca nowe pole, zaleŜne od danego pola skalarnego,
charakteryzująca zmienność skalara przy przejściu od jednej powierzchni stałej jego
wartości L = C
1
do sąsiedniej L = C
2
.
Najkrótszą drogą przejścia od pewnego punktu A powierzchni L = C
1
do powierzchni L
= C
2
jest odcinek normalnej
n
r
, poprowadzonej w punkcie A, zawarty między tymi
dwiema powierzchniami. WyraŜenie
dn
dL
AB
C
C
AB
=
−
→
1
2
)
lim
(1)
określa wielkość zwaną gradientem skalara. Gradient skalara jest wektorem, którego
kierunek w kaŜdym punkcie określa orientację elementu powierzchni L = const
obejmującego dany punkt. Wektor ten jest skierowany zgodnie z normalną
odpowiedniego elementu powierzchni L = const. Dodatni zwrot gradientu skalara
przyjmuje się zazwyczaj w stronę rosnących wartości skalara.
A
B
dn
L = C
1
L = C
2
C
ds
β
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
32/32
Nowy wektor oznaczmy literą G
n
dn
dF
z
y
x
gradF
n
dn
dL
gradL
G
r
r
r
=
=
=
=
)
,
,
(
(2)
Wartość pochodnej
dn
dF
dn
dL
=
stanowi tutaj moduł gradientu G.
W polu ustalonym lub w danej chwili t w polu nieustalonym
dz
z
F
dy
y
F
dx
x
F
dF
dL
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
.
(3)
JeŜeli dx, dy, dz oznaczają składowe dowolnego przesunięcia ds z danej powierzchni
L = C
1
do powierzchni L = C
2
(na przykład od punktu A do C, jeŜeli AC
→
0), to
β
cos
ds
dL
dn
dL
G
=
=
(4)
skąd
β
cos
G
ds
dL
=
,
(5)
β
cos
Gds
dL
=
.
(6)
Wzory (4-6) dowodzą, Ŝe róŜnica wartości pomiędzy dwiema powierzchniami o stałej
wartości pola L, nie zaleŜy od połoŜenia punktów na tych powierzchniach, a tylko od
odległości tych powierzchni.