Ruch obrotowy

Kinematyka bryły sztywnej

Bryła doskonale sztywna - odległości między dowolnymi dwoma
punktami są stałe.

Ruch postępowy bryły sztywnej

- dowolna prosta sztywno związana z

bryłą przemieszcza się równolegle do siebie samej.

Ruch obrotowy bryły sztywnej

- wszystkie punkty zakreślają okręgi o

ś

rodkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu. Oś obrotu jest

prostopadła do płaszczyzny tych okręgów.

Wszystkie

punkty

mają

jednakowe

prędkości

i

przyspieszenia. Równanie ruchu jest jednakowe dla
wszystkich punktów.

Punkty leżące w różnych odległościach
od osi obrotu mają różne prędkości
liniowe. Ich promienie zakreślają takie
same kąty w tym samym czasie

Analogie ruchu prostoliniowego i obrotowego

dx

dt

d

dt

θ

dv

dt

2

2

d x

d t

d

dt

ω

2

d

d 2

t

θ

przesunięcie x

kąt obrotu θ

prędkość liniowa v =

(chwilowa)

prędkość kątowa

ω

=

(chwilowa)

przyspieszenie liniowe

a =

=

przyspieszenie kątowe

α

=

=

Prędkość kątowa jest wektorem równym liczbowo

, skierowanym

wzdłuż osi obrotu o zwrocie określonym regułą śruby prawoskrętnej.

Jeśli

= const. to ruch

obrotowy jest jednostajny.
T - okres (czas pełnego obrotu)

f =

- częstotliwość

(ilość obrotów na sekundę)

Związek między prędkością liniową punktu i jego prędkością kątową :
W czasie T : droga liniowa 2

π

r ; droga kątowa 2

π

(

- promień wodzący).

prędkość punktu : V =

= 2

π

rf

V =

ω

r

= x

d

dt

θ

→

ω

1

T

→

r

2πr

T

→

v

→

ω

→

r

Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)

a

n

=

=

ω

2

r = 4

π

2

f

2

r

wektorowo :

=

-

ω

2

W ruchu obrotowym niejednostajnym

;

α

=

a

=

α

r

= x

W ruchu jednostajnym :

θ

=

θ

o

+

ω

t

(analogicznie do:

s = s

o

+ v t

w ruchu postępowym).

2

V

r

→

n

a

→

r

dV

dt

d

dt

r

=

ω

d

dt

ω

→

a

→

α

→

r

W ruchu jednostajnie zmiennym :

θ

=

θ

o

+

ω

o

t +

(analogicznie do s = s

o

+ v

o

t +

w ruchu postępowym).

ω

=

ω

o

+

α

t

(analogicznie do v = v

o

+ at w ruchu postępowym).

W ogólnym przypadku ruch bryły sztywnej może być bardzo złożony.
Każdy ruch złożony bryły sztywnej można przedstawić jako złożenie
ruchów postępowych i obrotowych.

α

2

2

t

2

2

t

a

Dynamika ruchu obrotowego

Moment bezwładności

Dla punktu materialnego

I = m r

2

Każdą bryłę można przedstawić jako złożenie różnych punktów
materialnych znajdujących się w różnych odległościach od osi obrotu.

I ≡

Dla ciągłego rozkładu masy I ≡

∆

i

i

i

m r

∑

2

2

r dm

∫

Przykłady

:

Obręcz, lub rura cienkościenna :

Cała masa w odległości r
od osi obrotu, więc I=mr

2

Dla pełnego krążka o masie M:

dm - masa w pierścieniu pomiędzy r i r+dr;
pole powierzchni pierścienia 2

π

rdr, więc

; dm = M

I =

dm

M

rdr

R

=

2

2

π

π

2

2

rdr

R

2

2

2

2

3

2

4

0

2

0

0

0

2

2

2

4

1

2

r dm

r M

rdr

R

M

R

r dr

M

R

r

M R

R

R

R

R

=

=

=

=

∫

∫

∫

Momenty bezwładności (względem pokazanych na

rysunkach osi) kilku często występujących ciał.

ml

12

2

Ciało

I

Obręcz lub pierścień

mR

2

Krążek lub walec

0.5 mR

2

Pręt wokół środka

Pręt wokół końca (*)

Pełna kula

mR

2

Czasza kulista

mR

2

Krążek wokół punktu na
obwodzie

mR

2

ml

3

2

2
5

2
3

3
2

Twierdzenie Steinera

(twierdzenie o osiach równoległych):

Moment bezwładności

I

względem dowolnej osi równa się sumie

momentu bezwładności

I

Ś

M

względem osi do niej równoległej i

przechodzącej przez środek masy i momentu bezwładności względem
danej osi liczonemu tak, jakby cała masa ciała była skupiona w środku
masy :

I = I

ŚM

+ M r

2

M - masa ciała
r - odległości osi obrotu od środka masy
Np. pręt o długości l przy obrocie wokół końca (*):

I

=

+m

=

+

=

ml

2

12

l

2

2











ml

2

12

ml

2

4

ml

2

3

Moment pędu

= x

= m

(pęd liniowy)

= m

x

L = m r V sin

α

= r p sin

α

V

⊥

= V sin

α

→

L

→

r

→

p

→

p

→

v

→

L

→

r

→

v

L = m r V

⊥

L = r p

⊥

r

⊥

= r sin

α

L = m r

⊥

V

L = r

⊥

p

r

⊥

- ramię pędu

Gdy

α

= 0, L = 0

Moment pędu układu punktów materialnych jest sumą
momentów pędu punktów względem tej samej osi obrotu

x

= (

x

) m

=

x

[ x(

x

)]m = m[

x(

x

)]=

Ponieważ :

⋅

= r

2

; ⊥

;

⋅

= 0

=m[

(

) -

(

)]

=m

r

2

= m r

2

= I

Moment pędu jest wektorem o tym samym kierunku i zwrocie co
wektor prędkości kątowej.

→

=

L

→

=

∑

i

i

n

L

1

→

=

L

→

r

→

p

→

r

→

v

→

v

→

ω

→

r

→

=

L

→

r

→

ω

→

r

→

r

→

ω

→

r

→

r

→

r

→

r

→

ω

→

r

→

ω

→

ω

→

r

→

r

→

r

→

r

→

ω

→

L

→

ω

→

ω

→

ω

Wpływ siły centralnej na moment pędu

≡

x

=

x

+ x

=

x

+ x



, czyli α=0 więc x

= 0



(gdyż

- siła centralna), czyli

x

= 0

= 0 więc = const

Ciało pod działaniem siły centralnej ma stały moment pędu.

→

L

→

r

→

p

d L

dt

→

d r

dt

→

→

p

→

r

d p

dt

→

→

v

→

p

→

r

→

F

→

v

→

p

→

v

p

→

→

F

→

r

→

F

→

F

→

r

d L

dt

→

→

L

→

F

Moment siły

≡

x

T = r F sin

α

→

T

→

r

→

F

r

⊥

= r sin

α

r

⊥

- ramię działania siły

F

⊥

= F sin

α

T = r

⊥

F

T = r F

⊥

Sformułujemy II-gą zasadę Newtona dla ruchu obrotowego:

=

x

=

x

+

x

=

=

x

+

x

→

L

→

r

→

p

d L

dt

→

d r

dt

→

→

p

→

r

d p

dt

→

→

v

→

p

→

r

→

wyp

F

.

x

=

x

(m

) = m (

x

) = 0

II-zasada dynamiki

=

analog.:

=

dla ruchu obrotowego

Jeśli

= 0, to

= 0 czyli = const

I zasada dynamiki dla r. obr.

Dla bryły sztywnej o momencie bezwładności I

= I

= I

;

=

= I

= I analog. = m

(inna postać II-giej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego)

= analog. =

→

v

→

p

→

v

→

v

→

v

→

v

d L

dt

→

→

wyp

T

.

d p

dt

→

→

wyp

F

.

wyp

T

→

d L

dt

→

→

L

→

L

→

ω

d L

dt

→

d

dt

→

ω

d

dt

→

ω

→

α

d L

dt

→

→

α

→

T wyp

→

α

→

F

→

a

→

α

→

T

I

wyp.

→

a

→

F

m

Przykład:

Jaką prędkość na dole studni o głębokości h osiągnie

wiadro o masie m na nieważkim sznurze nawiniętym na kołowrót o
masie M i promieniu r

= m

= I

F = mg - N

=

x

mg - N = m a

I = 0.5 M r

2

r N = 0.5 M r

2

α

a =

α

r

α

= a/r

(**) N = 0.5 M a

Dodajemy stronami równ.(*),(**): m g - N + N = m a + 0.5 M a

m g = (m + 0.5 M ) a

a =

(a

<

g, tylko

gdy M = 0 to a = g)

→

F

→

a

→

T

→

α

→

T

→

r

→

N

g

M

m

m

5

0.

+

h =

; t =

=

;

V = a t =

=

Z zasady zachowania całkowitej energii mechanicznej E=U+K

E

1

= mgh + 0; E

2

= 0 +

;

E

1

= E

2

mgh =

mV

2

+

I

ω

2

I =

Mr

2

;

ω

=

mgh = m V

2

+

Mr

2

; mgh = V

2

(m + M)

V =

a t

2

2

2h

a

2

1

2

h

g

m

M

m

+

m

m

M

g

+

1

2

2

1

2

h

g

m

M

m

+

2

1

2

hg

m

m

M

+

1

2

1

2

2

2

mV

I

+

ω

1

2

1

2

1

2

V

r

1

2

1

2

1

2

2

2

V

r

1

2

1

2

2

1

2

hg

m

m

M

+

Z II-giej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

wynika, że gdy

= 0 to

= const. czyli :

Moment pedu jest stały, gdy nie działa zewnetrzny moment siły.

Jest to zasada zachowania momentu pędu

To prawo odnosi się nie tylko do ciał poruszających się ruchem

obrotowym lub po orbitach zamkniętych - dotyczy również dowolnych

trajektorii oraz zderzeń.

Dla układu n cząstek

=

=

d L

dt

T wyp

→

=

→





















→

T wyp

→

L

→

=

∑

i

i

n

T

1

∑

=

→

n

i

L

i

dt

d

1

)

(

L

cał

dt

d

.

→

Jeśli układ jest odosobniony, to nie działają zewnętrzne momenty sił.

Przy oddziaływaniach wewnętrznych występują zawsze siły reakcji.

= -

i -

mają to samo ramię działania

⊥

→

F reakcji

F

→

→

F reakcji

F

→

→

r

więc

= -

reakcji

→

i

T

→

i

T

Czyli

= 0

i

i

n

T

=

∑

1

= 0

⇒

= const.

Prawo zachowania momentu pędu dla układu odosobnionego

d L cał

dt

→

→

.

L cał

Przykład:

Chłopiec stojący na stoliku obrotowym trzyma w

wyciągniętych rękach ciężarki o masie m każda. Nadano mu
prędkość kątową

ω

1

= 1,57 s

-1

. Z jaką częstotliwością będzie się

obracał po ściągnięciu rąk do siebie ?. Dane liczbowe jak na rysunku:

I

C1

= 2mr

1

2

I

C2

= 2mr

2

2

L

1

= I

CH

ω

1

+ I

C1

ω

1

L

2

= I

CH

ω

2

+ I

C2

ω

2

Nie działa zewnętrzny moment siły, więc L

1

= L

2

(I

CH

+ I

C1

)

ω

1

= (I

CH

+ I

C2

)

ω

2

ω

2

=

ω

1

ω

= 2

π

f;

f

1

=

s

-1

; f

2

=

1,3 s

-1

Jaką pracę wykonał chłopiec ściągając do siebie ciężarki?

K

1

=

(I

CH

+ I

C1

); K

2

=

(I

CH

+ I

C2

)

W = K

2

- K

1

≅

10,88 J - 2,14 J = 8,74 J

CH

CH

I

2m

1

2

r

I

2m

2

2

r

1,57

1

s

0,3kg

2

m

2 2 0,6

2

kg m

2

0,3kg m

2

2 2 0,1

2

kg m

2

8s

1

+

+

=

−

+

⋅

+

=

−

1

ω

2

0 25

π

= ,

2

ω

2π

≅

1

2

1

2

ω

1

2

2

2

ω

Ś

rodek masy układu odosobnionego porusza się ruchem

prostoliniowym jednostajnym (tzn. pęd całkowity jest stały)

Rozpatrzmy moment pędu względem środka masy. Całkowity moment
pędu względem dowolnego punktu dla układu n cząsteczek.

całk.

=

x

Moment pędu zależy od wyboru punktu początkowego układu
współrzędnych 0. Niech

Ś

M

będzie wektorem położenia środka

masy układu n cząstek w wybranym układzie współrzędnych.

Podstawimy

=

-

Ś

M

+

Ś

M

→

L

i i

i

n

m r

→

=

∑

1

→

v i

→

R

→

i

r

→

i

r

→

R

→

R

1

=

-

Ś

M

Ś

M

x

i

=

-

Ś

M

m

i

i

x

=

i ŚM

Ś

M

x

całk.

→

R

→

1

r

R

→

→

R

i

i

n

m

=

∑

1

→

i

V

→

R

→

i

r

→

R

→

R

→

i

V

→

L

→

R

→

p

Ś

M

- całkowity moment pędu układu względem jego środka

masy

Ś

M

x

całk

-moment pędu środka masy względem punktu 0

Ś

M

x

całk

zależy od wyboru układu współrzędnych,

natomiast

Ś

M

nie zależy.

→

R

→

p

→

L

→

p

→

R

→

L

=

iŚM

+

Ś

M

x

całk.

=

Ś

M

+

Ś

M

x

całk

→

=

∑

L

i

1

n

→

R

→

p

→

L

→

R

→

p

całk.

=

(

-

Ś

M

) x

+

Ś

M

x =

→

L

i

i

n

m

=

∑

1

→

i

r

→

R

→

i

V

i

i

n

m

=

∑

1

→

R

→

i

V

Dla pojedynczej cząstki

Ś

M

nazywamy

spinowym momentem pędu.

Jeśli wybierzemy początek układu („0”) w środku masy, to

Ś

M

= 0 i

Ś

M

x

całk

= 0

całk.

=

Ś

M

II zasada Newtona dla ruchu obrotowego wokół środka masy:

=

→

L

→

R

→

R

→

p

→

L

→

L

d L

dt

Ś

M

→

→

T

wyp

* Ruch środka masy jest określony przez wypadkową siłę
zewnętrzną działającą na układ (ciało sztywne).

* Obrót wokół środka masy układu (ciała sztywnego) jest określony
przez wypadkowy zewnętrzny moment sił.

Jeżeli ciało sztywne jest w spoczynku lub porusza się ruchem
jednostajnym postępowym lub obrotowym (może to być ruch
złożony), to :

1) =

= 0; 2)

=

= 0

→

∑

j

F

→

wyp

F

.

→

∑

j

j

T

→

T

wyp

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Ruch obrotowy wokół osi stałej

Punkt materialny o masie ∆m poruszający się po okręgu o promieniu r
z prędkością kątowa

ω

ma energię kinetyczną K:

K

=

=

ω

2

∆

mr

2

=

ω

2

I

[ V =

ω

r]

Dla układu n punktów materialnych (o tej samej

ω

, np. bryła sztywna)

K

=

=

=

ω

2

=

ω

2

I

1

2

2

∆mV

1

2

1

2

1

2

2

2

1

ω

∆

i i

i

n

m r

=

∑

1

2

∆

i

i

i

n

m r

2

1

=

∑

1

2

=

+

K

całk.

=

=

(

) =

1

2

1

∆

i

i

n

m

=

∑

i

2

v

1

2

1

∆

i

i

n

m

=

∑

→

v

i

→

v

i

= (

(

+

) (

+

) =

1

2

1

∆

i

i

n

m

=

∑

i

v'

→

Ś

M

v

→

i

v'

→

=

+

v

i

'

+

∑∆

=

n

i

i

m

1

2

1

2

'

v

i

Ś

M

v

→

∆

i

m

i

1

n

=

∑

∑∆

=

n

1

i

V 2

Ś

M

i

m

2

1

)

(

=

K'

V

m

.

2

1

2
Ś

M

całk

+

0

K

'

Energia kinetyczna środka masy
względem układu odniesienia,
K' - Energia kinetyczna

względem środka masy

v' i

→

→

v

Ś

M

→

v

i

-

prędkość środka

mas

→

v

Ś

M

-

prędkość cząstki

"i"

względem śr. masy

i

v'

→

=

→

Ś

M

v'

∑∆

∑∆

=

=

→

n

i

i

n

i

i

m

V

m

i

1

1

'

=

= 0

= 0 (prędkość środka masy

względem środka masy)

∆

i

i

i

n

m V

→

=

∑

'

1

Ś

M

v'

→

∆

i

i

n

m

=

∑

1

Całkowita energia kinetyczna

Ś

M

v'

→

Ś

M

v

→

Dla bryły sztywnej, w układzie środka masy, może występować tylko
energia kinetyczna obrotowa (poszczególne punkty są „sztywno”
związane i nie mogą zbliżać się ani oddalać od środka masy).

K

’

=

ω

2

I

K

całk.

=

M

+

ω

2

I

M - masa bryły sztywnej

I - moment bezwładności bryły (oś przechodzi przez środek masy

M

- energia kinetyczna ruchu postępowego bryły sztywnej

ω

2

I

- energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły wokół środka masy

1

2

1

2

v

2

Ś

M

1

2

1

2

v

2
Ś

M

1

2

Przykład:

Jaką prędkość w ruchu postępowym na dole równi pochyłej o

wysokości h i kącie nachylenia α uzyska masa m w postaci :
a) klocka zsuwającego się bez tarcia;

b) pustego, cienkościennego walca o promieniu r;

c) pełnego walca o tym samym promieniu r (walce staczają się bez

poślizgu) ?

Na dole
równi

K

1

=

K

2

=

I

2

= m r

2

ω

2

=

K

2

=

K

2

=

K

2

= m

K

3

=

I

3

= m r

2

ω

3

=

K

3

=

K

3

=

K

3

=

m V

1

2

2

mV

I

2

2

2

2

2

2

2

+

ω

2

V

r

mV

m r

V

r

2

2

2

2

2

2

2

2

+

2

2

2

2

2

2

V

V

m

m

+

2

2

v

mV

I

3

3

3

2

2

2

+

ω

1

2

3

V

r

mV

m r

V

r

3

2

2

3

2

2

2

1

2

2

+

mV

mV

3

2

3

2

2

4

+

3
4

m

3

2

v

mV

1

2

2

2

2

v

3
4

m

3

2

v

2gh

gh

4
3

gh

2

gh

gh

4
3

gh

K

1

=K

2

=K

3

=mgh

mgh=

mgh=m

mgh=

V

1

=

V

2

=

V

3

=

niezależne
od masy i
od promienia

V

1

=

V

2

=

V

3

=

V

1

>

V

3

>

V

2

mV

2

2

3

2

2

m r

3
2

2

2

3

2

2

m r

V

r

3
4

3

2

mV

4
3

gh

Gdyby klocek i pusty walec
miały taką samą prędkość V

K

’

1

=

K

’

2

= m V

2

2K

’

1

= K

’

2

I

’

3

=

K

3

=

K

3

=

V

3

=

Inna metoda obliczenia dla
pełnego walca

Bąk symetryczny, żyroskop

Jeżeli do obracającego się bąka zostanie przyłożony moment sił usiłujący
go obrócić wokół osi prostopadłej do jego osi obrotu, to bąk zacznie się
obracać wokół trzeciej osi, prostopadłej do tamtych dwóch.

Pierwotna oś obrotu bąka: 00

’

(prędkość kątowa

)

Działająca para sił

i

usiłuje obrócić bąk wokół osi

AA

’

.

Moment

pary sił

i

powoduje powstanie

przyspieszenia kątowego

zgodnie z II-gą zasadą

Newtona dla ruchu obrotowego:

=

(

⊥

)

W efekcie, bąk obróci się wokół osi BB

’

(efekt żyroskopowy) i CC

’

będzie

nową, chwilową osią obrotu bąka.

→

ω

→

F

→

'

F

→

T

→

F

→

'

F

→

α

→

α

→

T

I

→

α

→

F

Ruch precesyjny

Gdy oś obrotu bąka 0 0

’

odchyli się od

kierunku pionowego, składowa siły

ciężkości będzie usiłowała

przewrócić

bąk.

Efekt żyroskopowy sprawi, że bąk odchyli

się w kierunku prostopadłym do osi 00

’

i do osi wymuszanej przez siłę

, tzn.

w kierunku wskazanym przez wektor V.

→

g

F

'

→

g

F

'

Precesja pod wpływem momentu

siły ciężkości

=

d =

dt = x

⊥

⇒ d ⊥

(w każdej chwili działanie momentu

wywołuje zmiany kierunku

momentu pędu

).

Kąt dφ, o jaki obróci się oś bąka 00

’

w czasie dt:

tg(dφ)≈dφ

dφ =

Zatem prędkość kątowa precesji :

ω

p

=

=

=

→

T

→

g

F

'

→

T

d L

dt

→

→

L

→

T

→

T

→

r

→

g

F

→

T

→

L

→

L

→

L

→

T

→

L

dL

L

d

dt

ϕ

1

L

dL

dt

T

L

T

I

=

ω

Precesja kuli ziemskiej

Ziemia jest bąkiem symetrycznym swobodnym. Wskutek spłaszczenia i
nachylenia osi obrotu względem ekliptyki, część I jest silniej przyciągana
przez Słońce niż część II, ponadto w ruchu obrotowym wokół Słońca, na
część I działa mniejsza siła „odśrodkowa” F

I

niż na część II (F

II

).

Powstaje moment sił usiłujący obrócić Ziemię wokół osi prostopadłej do
rysunku. W efekcie następuje obrót wokół chwilowej osi B B

’

i ruch

precesyjny.

Nutacja

W rzeczywistości ruch osi bąka jest złożony, wykonuje drgania zwane
nutacją.