KOD ZDAJĄCEGO
MMA-R2D1P-021
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM ROZSZERZONY
Arkusz II
Czas pracy 150 minut
Instrukcja dla zdającego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12 stron.
Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu
na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.
3. Proszę pisać tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisać
ołówkiem.
4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraźnie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
9. Podczas egzaminu można korzystać z tablic matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać
z kalkulatora graficznego.
10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,
którą wypełnia egzaminator.
Życzymy powodzenia!
ARKUSZ II
STYCZEŃ
ROK 2003
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie 60 punktów
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
(Wpisuje zdający przed
rozpoczęciem pracy)
Miejsce
na naklejkę
z kodem
2
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
)
Zadanie 11. (4 pkt)
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji
, określonej wzorem:
, w przedziale
R
R
f
→
:
(
) (
x
x
x
f
−
⋅
−
=
5
1
)
(
7
;
0
.
Odpowiedź: ...........................................................................................................
Zadanie 12. (4 pkt)
Dane jest równanie postaci
, w którym niewiadomą jest .
a
x
x
a
+
=
−
⋅
1
2
x
Zbadaj liczbę rozwiązań tego równania, w zależności od parametru .
a
Odpowiedź: .............................................................................................................................
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
3
Zadanie 13. (4 pkt)
Wyznacz te wartości parametrów oraz b , przy których funkcja
, określona
wzorem
a
R
R
g
→
:
−
+
=
2
2
2
)
(
2
x
dla
b
x
dla
x
a
x
x
g
=
≠
jest ciągła w punkcie
.
2
=
x
Odpowiedź: .............................................................................................................................
Zadanie 14. (5 pkt)
Suma
początkowych, kolejnych wyrazów ciągu
, jest obliczana według wzoru
,
(
. Wyznacz
. Wykaż, że ciąg
(
jest ciągiem arytmetycznym.
n
2
+
(
n
a
)
n
a
)
n
n
S
n
3
=
)
+
∈ N
n
n
a
Odpowiedź: .............................................................................................................................
4
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 15. (5 pkt)
Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10 . Oblicz iloczyn dziewiętnastu
początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.
Zadanie 16. (4 pkt)
Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia,
polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej cztery razy.
Odpowiedź: .............................................................................................................................
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
5
Zadanie 17. (5 pkt)
W układzie współrzędnych są dane punkty:
oraz . Wyznacz współrzędne
punktu
C leżącego na osi
tak że kąt
jest kątem prostym.
)
2
,
9
(
−
−
A
ACB
)
2
,
4
(
B
,
,
OY
Odpowiedź: .............................................................................................................................
Zadanie 18. (4 pkt)
Wybierz dwie dowolne przekątne sześcianu i oblicz cosinus kąta między nimi. Sporządź
odpowiedni rysunek i zaznacz na nim kąt, którego cosinus obliczasz.
Odpowiedź: .............................................................................................................................
6
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 19. (5 pkt)
Trapez równoramienny, o obwodzie równym
, jest opisany na okręgu. Wiedząc, że
przekątna trapezu ma długość
cm
20
cm
41
, oblicz pole tego trapezu.
Odpowiedź: .............................................................................................................................
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
7
Zadanie 20. (10 pkt)
Funkcja h jest określona wzorem
. Wyznacz wszystkie
wartości parametru dla których równanie
ma dwa różne pierwiastki.
)
5
(
log
)
4
(
log
)
(
2
2
2
−
−
−
=
x
x
x
h
0
log
)
(
2
=
−
k
x
h
,
k
8
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Odpowiedź: .............................................................................................................................
Zadanie 21. (10 pkt)
Na kuli o promieniu
opisujemy stożki o promieniu i wysokości
. Spośród
wszystkich takich stożków wyznacz ten, który ma najmniejszą objętość. Oblicz tę objętość.
cm
4
=
R
r
H
Oblicz promień i wysokość znalezionego stożka.
Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz II – Poziom rozszerzony – styczeń 2003 r.
SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ
ARKUSZ II – POZIOM ROZSZERZONY
Nr
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Maksymalna
liczba
punktów za
dany etap
1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli: W
.
)
4
,
3
(
1p.
2. Obliczenie wartości
.
5
)
0
(
−
=
f
1p.
3. Obliczenie wartości
.
12
)
7
(
−
=
f
1p.
11.
(4 pkt)
4. Zapisanie odpowiedzi: Funkcja w przedziale
f
7
;
0
osiąga największą
wartość równą , zaś najmniejszą równą (
.
4
)
12
−
1p.
5. Przekształcenie danego równania do postaci np.
równania:
1
)
1
)(
1
(
+
=
+
−
a
a
a
x
1p.
6. Zapisanie, że dla a
dane równanie nie ma żadnego rozwiązania.
1
=
1p.
7. Zapisanie, że dla a
dane równanie ma nieskończenie wiele
rozwiązań.
1
−
=
1p.
12.
(4 pkt)
8. Zapisanie, że dla a
i
dane równanie ma dokładnie jedno
rozwiązanie.
1
≠
1
−
≠
a
1p.
9. Zapisanie, że warunkiem koniecznym ciągłości danej funkcji w punkcie
jest istnienie skończonej granicy w tym punkcie. Uzasadnienie, że
dwumian
jest podzielnikiem dwumianu
, zatem parametr
przyjmuje wartość: . (1punkt przyznajemy za podanie odpowiedzi
bez uzasadnienia)
2
=
x
4
a
= −
)
2
( −
x
)
(
2
a
x
+
a
4
−
=
a
2p.
10. Obliczenie granicy danej funkcji w punkcie
:
2
=
x
4
2
4
2
2
=
−
−
→
x
x
x
lim
.
1p.
13.
(4 pkt)
11. Porównanie obliczonej granicy z wartością funkcji w punkcie
:
oraz zapisanie odpowiedzi: Funkcja jest ciągła w
punkcie gdy a
oraz
.
g
2
=
x
b
g
x
g
x
=
=
=
→
)
2
(
4
)
(
lim
2
2
=
x
=
g
4
−
4
=
b
1p.
12. Zapisanie, że
1
1
2
4
n
n
n
a
S
S
n
+
+
=
−
=
+
2p.
13. Obliczenie n - tego wyrazu ciągu: .
2
2
+
= n
a
n
1p.
14. Zapisanie różnicy dwóch dowolnych, kolejnych wyrazów tego ciągu:
1
n
n
r a
a
+
=
−
1p.
14.
(5 pkt)
15. Obliczenie różnicy ciągu i stwierdzenie, że jest to ciąg arytmetyczny.
1p.
16. Oznaczenie pierwszego wyrazu tego ciągu, np. przez oraz ilorazu, np.
przez q i zapisanie, że
.
1
a
10
9
1
=
⋅ q
a
1p.
17. Doprowadzenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych
wyrazów danego ciągu do postaci
.
18
...
2
1
19
1
+
+
+
⋅ q
a
1p.
18. Przekształcenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych
wyrazów danego ciągu do postaci
.
9
19
19
1
⋅
⋅ q
a
1p.
19. Przekształcenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych
wyrazów danego ciągu do postaci
19
9
1
)
(
q
a
⋅
1p.
15.
(5 pkt)
20. Zapisanie odpowiedzi: Iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych
wyrazów tego ciągu jest równy 10 .
19
1p.
Strona 1 z 3
Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz II – Poziom rozszerzony – styczeń 2003 r.
21. Zauważenie i zapisanie, że dane doświadczenie losowe można opisać
schematem Bernoullego, w którym prawdopodobieństwo sukcesu
6
1
=
p
,
prawdopodobieństwo porażki
6
5
=
q
, liczba prób
, liczba sukcesów
.
5
=
N
4
≥
k
1p.
22. Zapisanie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia w postaci:
.
)
5
(
)
4
(
)
4
(
5
5
5
=
+
=
=
≥
k
P
k
P
k
P
1p.
23. Wykorzystanie wzorów i zapisanie prawdopodobieństwa szukanego
zdarzenia w postaci:
0
5
4
5
6
5
6
1
5
5
6
5
6
1
4
5
)
4
(
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
≥
k
P
.
1p.
16.
(4 pkt)
24. Poprawne obliczenie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia:
00334
,
0
3888
13
7776
26
7776
1
7776
25
)
4
(
5
≈
=
=
+
=
≥
k
P
.
1p.
25. Zapisanie warunku (1)
, gdzie
.
0
=
→
→
CB
CAD
)
,
0
( y
C
1p.
26. Obliczenie współrzędnych wektora CA
[
]
y
−
−
−
=
→
2
,
9
.
1p.
27. Obliczenie współrzędnych wektora CB
[
]
y
−
=
→
2
,
4
.
1p.
28. Obliczenie iloczynu skalarnego wektorów
i
:
CA
JJJG
JJJG
CB
36 (2
) (2
)
y
y
− − − ⋅ +
1p.
17.
(5 pkt)
29. Rozwiązanie równania (1) i zapisanie odpowiedzi: Istnieją dwa takie
punkty:
)
10
2
,
0
(
C
lub
)
10
2
,
0
(
−
C
.
1p.
30. Sporządzenie rysunku i zaznaczenie na nim szukanego kąta.
1p.
31. Wykorzystanie twierdzenia cosinusów i zapisanie równania np.
α
cos
4
3
2
4
3
4
3
2
2
2
2
⋅
⋅
−
+
=
a
a
a
a
α
, gdzie a - długość krawędzi sześcianu,
zaś - miara kąta ostrego między przekątnymi sześcianu
2p.
18.
(4 pkt)
32. Obliczenie wartości cosinusa kąta ostrego:
3
1
=
α
cos
. (Albo:
3
1
cos
−
=
β
gdzie jest katem rozwartym).
β
1p.
33. Wykorzystanie faktu istnienia okręgu wpisanego w dany trapez i
zapisanie, że suma długości podstaw i trapezu jest równa 10
.
a b
cm
2p.
34. Zauważenie i zapisanie, że wysokość trapezu, opuszczona z wierzchołka
kąta rozwartego, dzieli dłuższą podstawę na odcinki o długościach:
2
a b
+
oraz
2
b
a
−
.
1p.
)
35. Obliczenie długości wysokości trapezu:
.
cm
h 4
=
1p.
19.
(5 pkt)
36. Obliczenie pola danego trapezu:
.
2
20
P
cm
=
1p.
37. Wyznaczenie warunków określających dziedzinę równania
: i
.
0
log
)
(
2
=
−
k
x
h
5
>
x
0
>
k
2p.
38. Przekształcenie równania
do postaci:
0
log
)
(
2
=
−
k
x
h
k
x
x
=
−
−
5
4
2
1p.
20.
(10 pkt)
39. Przekształcenie równania do postaci:
.
0
4
5
2
=
−
+
−
k
kx
x
1p.
Strona 2 z 3
Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz II – Poziom rozszerzony – styczeń 2003 r.
40. Zapisanie układu warunków
, gdzie
oznacza odciętą
wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji
, przy
pewnej wartości .
>
>
>
∆
0
)
5
(
5
0
f
x
w
w
x
f
x
2
5
kx
k
=
−
+
− 4
k
1p.
41. Obliczenie wyróżnika trójmianu:
.
16
20
2
+
−
=
∆
k
k
1p.
42. Rozwiązanie nierówności
:
0
>
∆
(
) (
)
∞
−
∞
−
∈
⇔
>
∆
;
21
2
21
2
10
;
0
k
+
∪ 10
.
1p.
43. Rozwiązanie nierówności : k
.
5
>
w
x
(
)
∞
∈
;
10
1p.
44. Sprawdzenie, że warunek
zachodzi dla każdej rzeczywistej
wartości parametru .
0
)
5
(
>
f
k
1p.
44. Zapisanie odpowiedzi, uwzględniającej zbiór rozwiązań układu
nierówności z p.40 oraz warunku
: Dla wszystkich
0
k
>
(
)
∞
+
∈
;
21
2
10
k
równanie ma dwa różne pierwiastki.
0
log
)
(
2
=
−
k
x
h
1p.
45. Zapisanie zależności między zmiennymi:
2
2
r
H
r
R
H
R
+
=
−
.
1p.
46. Wyznaczenie jednej zmiennej z powyższej zależności, np.
8
16
2
−
=
H
H
r
.
1p.
47. Wyznaczenie objętości stożka, jako funkcji jednej zmiennej:
8
16
3
)
(
2
−
⋅
=
H
H
H
V
π
.
1p.
48. Wyznaczenie dziedziny funkcji V
:
.
)
(H
(
)
∞
= ;
8
V
D
1p.
49. Obliczenie pochodnej funkcji objętości:
(
)
2
8
)
16
(
3
16
)
(
'
−
−
⋅
=
H
H
H
H
π
V
,
.
V
V
D
D
=
'
1p.
50. Wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji objętości:
.
16
=
H
1p.
51. Zbadanie znaku pochodnej funkcji objętości:
V
oraz
V
.
)
;
16
(
0
)
(
'
∞
∈
⇔
>
H
H
)
16
;
8
(
0
)
(
'
∈
⇔
<
H
H
1p.
52. Stwierdzenie i zapisanie, że dla
funkcja V osiąga lokalne
minimum równe
16
=
H
3
512
)
16
(
π
=
V
.
1p.
53. Uzasadnienie, że minimum lokalne funkcji objętości stożka jest
wartością najmniejszą tej funkcji, np. poprzez powołanie się na dwa fakty:
oraz
.
+∞
=
+
→
)
(
lim
8
H
V
H
+∞
=
∞
→
)
(
lim
H
V
H
1p.
21.
(10 pkt)
54. Podanie wymiarów stożka o najmniejszej objętości opisanego na kuli o
promieniu
: wysokość stożka,
, promień podstawy
stożka
cm
R 4
=
cm
H
16
=
cm
2
4
=
.
r
1p.
Uwaga:
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od
przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Strona 3 z 3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Matematyka Matura Styczen 2003 poziom rozszerzony
Matematyka Matura Styczen 2003 poziom podstawowy(1)
Matematyka Matura Styczen 2003 poziom podstawowy
2003 probna matura styczen 2003 Chemia rozszerzona arkusz2 id 6 (2)
2003, próbna matura styczeń 2003 Chemia rozszerzona arkusz2 odpowiedzi
fizyka matura styczen 2003 arkusz 1 YNEIP4Z27B573GY22RTYTQ
chemia matura styczen 2003 arkusz 1 7NL7HMDRBPQUD5O26HUGWX
Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 2
2003 probna matura styczen 2003 Chemia podstawowa arkusz1 id 60 (2)
Matematyka Matura Maj 2003 Arkusz 1
Matura Język Angielski poziom rozszerzony transkrypcja maj 2013
2015 matura język polski poziom rozszerzony TEST
chemia matura styczen 2003 arkusz 2 DOOLNKVR7PUVYFDVTTSM5B
2003 próbna matura styczeń 2003, Chemia podstawowa arkusz1-odpowiedzi
2015 matura język polski poziom rozszerzony KLUCZ
Matura próbna z fizyki poziom rozszerzony wer 2
2015 matura JĘZYK FRANCUSKI poziom rozszerzony TEST
więcej podobnych podstron