Sławomir Karaś,
Katedra Dróg i Mostów, Politechnika Lubelska
O metodzie Courbon’a
Wstęp
W numerze 4. z roku 2010 „Mosty” ukazał się artykuł dra inż. Janusza Hołowatego pt.
„Uproszczone metody rozdziału poprzecznego obciążeń w mostach drogowych” [1]. To
profesjonalne i eleganckie opracowanie, wsparte solidnymi pracami podstawowymi
zawartymi w zamieszczonej bibliografii, świadczy o racjonalności postępowania
polegającego na umiejętnym stosowaniu metod uproszczonych, a nawet prostych, w sposób
przemyślany. Obecnie, z różnych przyczyn sięgamy po relatywnie złożone procedury
numeryczne tylko z tej racji, że mamy do nich łatwy dostęp, podczas gdy zdarza się
niejednokrotnie, że zadanie nawet złożone daje się dostatecznie dobrze opisać
przysłowiowym
8
/
qL
2
. Niestety autor niniejszego tekstu kilkakrotnie stwierdzał tę
„oczywistą oczywistość” po około miesięcznym procesie obliczeń numerycznych.
Oczywiście nie będzie tak, że przewagę wezmą metody uproszczone w miejsce
precyzyjniejszym metod związanych z MES i jej pochodnych, ale zawsze istnieje alternatywa
przeprowadzenia niezależnego szybkiego sprawdzenia dokładnych obliczeń tak by ustrzec się
tzw. „grubych błędów”.
Spośród omówionych w artykule metod jedna będzie przedmiotem poniższych rozważań,
jest to metoda Jean Courbon’a nazywana w Polsce metodą sztywnej poprzecznicy [2]. Metoda
ta, w swej podstawowej wersji, może być śmiało zaliczona do metod prostych, jednakże tak
jak każde skuteczne uproszczenie zawiera w sobie cząstkę genialną. W tym przypadku jest to
możliwość myślowego wyseparowania dźwigara (na ogół teowego) z całości ustroju nośnego,
przy czym wyseparowanie oznacza tu geometryczne wyodrębnienie wraz z przypadającymi
na ten dźwigar obciążeniami, no a liczenie belki swobodnie podpartej zamiast ustroju nośnego
modelowanego płytą czy rusztem jest ulubionym zadaniem każdego inżyniera budownictwa.
Takie właśnie wyprowadzenie będzie przedstawione poniżej i będzie nie tyle
uzupełnieniem artykułu dra J. Hołowatego, a raczej rezultatem zainspirowania artykułem [1]
do przedstawienia poniższego uszczegółowienia.
Zaletą metody jest to, że może być przedstawiona, jako proste, jednakże kompletne w
sensie metodyki zadanie mechaniki, co ma dodatkowy wymiar aplikacji składowych teorii
sprężystości. Postąpimy następująco:
wprowadzimy założenia, włącznie z założeniem najsilniejszym – założeniem
Courbon’a,
w konsekwencji powyższego rozpatrzymy postać deformacji wyznaczonej przez
konfiguracje – początkową i aktualną, która może być rozłożona na składowe:
symetryczną i antysymetryczną,
w następnym kroku, przy korzystaniu ze związku konstytutywnego, wykorzystamy
warunki równowagi problemu,
zaistnieje sytuacja, że warunki równowagi nie tworzą dostatecznej liczby związków
do wyznaczenia wszystkich niewiadomych problemu, w tej sytuacji włączymy do
rozważań dodatkowe warunki zgodności deformacji wynikające z założenia
Courbon’a,
wreszcie po analizie symetrii otrzymanego związku wnioskować będziemy o tym, że
jest to linia wpływu.
Zatem, wg powyższego schematu mamy -
Metoda Courbon’a – wariant uproszczony
Wariant uproszczony to wariant, w którym wprowadza się założenia o symetrii
konstrukcji w przekroju poprzecznym i założeniu o jednakowych sztywnościach na zginanie
belek ustroju nośnego. W dalszej części nastąpi odejście od tych założeń.
W celu wyprowadzenia podstawowych związków załóżmy, że analizujemy dowolnie
wybrany przekrój poprzeczny A-A ustroju nośnego mostu z Rys. 1., który w rysunku
aksonometrycznym pokazano na Rys. 2.
1 2 3 , 1 4 m n p m
A
A
( 2 5. X. 2 00 5)
Rys. 1. Rozpatrujemy przekrój poprzeczny A-A mostu belkowego
A
A
P
Rys. 2. Przekrój A-A w rysunku aksonometrycznym
Na Rys. 2. wyraźnie zaznaczono sztywną poprzecznicę oraz występującą w przekroju A-
A siłę skupioną P.
Wprowadźmy następujące założenia:
1)
przekrój poprzeczny ustroju nośnego ma pionową oś symetrii, Rys. 3, pozioma oś
konstrukcji jest główną osią bezwładności, sztywności na zginanie dźwigarów są
jednakowe,
2)
problem jest statyczny i płaski, liniowo sprężysty na zasadzie Hooke’a, przy
słuszności zasady zesztywnienia (konfiguracja aktualna jest zbieżna z konfiguracją
początkową), liniowość pozwala na zastosowanie zasady superpozycji,
3)
w analizowanym przekroju poprzecznym ustroju nośnego mostu jest nieskończenie
sztywna poprzecznica – założenie Courbon’a,
4)
przemieszczenia przekroju poprzecznego są ograniczane reakcjami pochodzącymi od
oporów dźwigarów na zginanie i w konsekwencji możemy przyjąć, że w przekroju
poprzecznym w miejscach dźwigarów są podatne podparcia sprężyste typu Winklera,
Rys. 4, przy czym dla dowolnego n-tego dźwigara jest słuszna relacja konstytutywna –
)
n
(
)
n
(
u
~
r
r
η
;
(1)
gdzie przez
)
n
(
η
r
i
)
n
(
u
r
- oznaczono odpowiednio oddziaływanie (wektor reakcji) n-
tego dźwigara w ustroju pomostu oraz wektor przemieszczenia w miejscu tego
dźwigara; Rys. 3-4,
+x
A - A
P
Rys. 3. Symetryczny przekrój poprzeczny
2 '
1 '
0
P=1
+x
η
1
2
Ko n fi g u ra c j a p o c z
ą
tk o wa
x
1
b
2'
b
1'
b
2
b
Rys. 4. Model płaski przekroju poprzecznego ustroju nośnego mostu,
konfiguracja początkowa
Po statycznym przyłożeniu obciążenia, przy istnieniu w przekroju nieskończenie
sztywnej poprzecznicy, nastąpi deformacja ustroju w sposób pokazany na Rys. 5.
P=1
η
2 '
η
1 '
η
0
η
1
η
2
ϕ
η
2 '
u
1 '
u
0
u
1
u
2
u
K onfiguracja aktualna
+x
Rys. 5. Konfiguracja aktualna - po obciążeniu
Na podstawie założenia 2) możemy dokonać dekompozycji deformacji z Rys. 5 na
addytywne stany – symetryczny (Rys. 6) oraz antysymetryczny (Rys. 7). Na obu rysunkach
składniki: symetryczny oraz antysymetryczny odniesione są do konfiguracji początkowej
przekroju zaznaczonej symbolicznie linią przerywaną.
P=1
x
η
2 '
η
1 '
η
0
η
1
η
2
η
2 '
u
1 '
u
0
u
1
u
2
u
S tan symetryczny
(s )
(s )
(s )
(s )
(s )
(s )
(s )
(s )
(s )
(s )
Rys. 6. Symetryczna część deformacji
M=P. x
x
ϕ
η
1 '
u
0
u =0
2
u
S tan antysymetryczny
η
2 '
η
1 '
η =0
0
η
1
η
2
2 '
u
1
u
(a )
(a )
(a )
(a )
(a )
(a )
(a )
(a )
(a )
(a )
Rys. 7. Antysymetryczny składnik deformacji
Na załączonych powyżej rysunkach mamy 5 dźwigarów symbolizujących w ogólności
dowolną ich liczbę, którą oznaczymy przez ‘k’. Przy słuszności zasady superpozycji, możemy
teraz opisać płaskie stany równowagi niezależnie w obu przypadkach, tj. symetrii i
antysymetrii.
Stan symetryczny
Przy słuszności założeń 1) i 4) przekrój poprzeczny ustroju przesunie się
równomiernie (translacja), jako bryła sztywna o wektor
)
s
(
u
r
, co spowoduje zgodnie z (1)
równe reakcje we wszystkich umownych podporach sprężystych
)
s
(
)
s
(
η
=
η
r
. Do analizy stanu
równowagi wykorzystamy wariant równań równowagi, na który składają się sumy rzutów na
kierunki pionowy, poziomy oraz sumę momentów względem dowolnego punktu płaszczyzny.
Mamy zatem –
=
≡
=
η
→
=
∑
∑
∑
.
0
M
,
0
,
k
P
0
0
H
)
s
(
V
(2)
Stan antysymetryczny
Na skutek przyjętego założenia o nieskończenie sztywnej poprzecznicy nastąpi teraz
obrót (rotacja) przekroju poprzecznego ustroju nośnego, jako bryły sztywnej o kąt
ϕ
, a
ś
rodkiem obrotu jest punkt pomostu na osi pionowej symetrii. W rezultacie założenia 1)
otrzymamy w równaniu równowagi sumy momentów względem punktu ‘0’ podwojoną sumę
momentów składowych od odpowiednio antysymetrycznych reakcji, których zwroty
wektorów pokazano na Rys. 7. Stan równowagi jest opisany następująco –
(
)
=
η
+
η
→
=
≡
=
∑
∑
∑
.
x
P
b
b
2
0
M
,
0
,
0
1
)
a
(
1
2
)
a
(
2
0
H
V
(3)
Istotny, jeden warunek w równaniach (3) zawiera dwie niewiadome (w przypadku
ogólnym mamy:
( )
[ ]
2
/
k
2
/
k
Int
=
niewiadomych), musimy zatem sformułować dodatkową
relacje, która pozwoli rozwiązać problem. W tym celu ponownie posłużymy się założeniem
Courbon’a, traktując je tym razem jako
warunek zgodności deformacji wyrażony w
rozpatrywanym przypadku regułą Talesa w postaci –
1
)
a
(
1
2
)
a
(
2
)
1
(
1
)
a
(
1
2
)
a
(
2
b
b
b
u
b
u
tg
η
=
η
→
=
=
ϕ
r
r
.
(4)
Analizując konfigurację aktualną pokazaną na Rys. 5 stwierdzamy, że maksymalne
obciążenie przypada na dźwigar skrajny oznaczony numerem 2. Dlatego układ równań (3),
rozwiążemy wyznaczając wartość reakcji
( )
( )
2
1
a
2
)
a
(
2
)
a
(
1
b
/
b
f
η
=
η
=
η
, wówczas znajdujemy -
( ) ( )
[
]
2
2
2
1
2
)
a
(
2
b
b
2
b
x
P
+
=
η
,
(5)
którą możemy uogólnić na przypadek ‘k’ dźwigarów w przekroju poprzecznym pomostu
przez związek –
( )
[ ]
∑
=
=
η
2
/
k
...
,
2
,
1
m
2
m
s
)
a
(
s
b
2
b
x
P
,
(6)
przy czym indeks ‘s’ jest numerem dźwigara skrajnego.
Po analogicznych elementarnych przekształceniach możemy znaleźć wartości reakcji w
dowolnie wybranym n-tym dźwigarze poprzez relację –
( )
[ ]
∑
=
=
η
2
/
k
...
,
2
,
1
m
2
m
n
)
a
(
n
b
2
b
x
P
.
(6.1)
Korzystając teraz z zasady superpozycji możemy wyznaczyć sumaryczną reakcję w
dowolnym dźwigarze, ale z powodów opisanych powyżej tj. spodziewanych maksymalnych
wytężeń w dźwigarze skrajnym rozpatrzymy właśnie jego reakcję. Jeśli dodatkowo
przyjmiemy teraz, że siła P=1 to uzyskamy następującą zależność liniową –
( )
[ ]
( )
x
a
x
a
b
2
b
x
k
1
s
1
0
2
/
k
...
,
2
,
1
m
2
m
s
)
a
(
s
)
s
(
s
s
η
=
+
=
+
=
η
+
η
=
η
∑
=
,
(7)
gdzie
( )
[ ]
1
2
/
k
...
,
2
,
1
m
2
m
s
1
b
2
b
tg
a
−
=
=
ϕ
=
∑
;
(7.1)
przy czym argument ‘x’ jest odciętą lokalizującą położenie siły P=1 (7.1) w przekroju
poprzecznym.
Przepiszmy teraz wyrażenie (7) stosując uogólnienie uwzględniające wybór dowolnego
dźwigara spośród tych znajdujących się w przekroju poprzecznym mostu. Dodatkowo
wprowadźmy następne uogólnienie – dopuśćmy na zasadzie abstrakcji, że lokalizacja
położenia dźwigara przestaje mieć charakter dyskretny i staje się dziedziną ciągłą co
wyrażamy przez wprowadzenie argumentu
ξ
w miejsce
n
b
ξ
→
n
b
(8)
otrzymujemy wówczas
( )
[ ]
( ) ( )
ξ
η
=
ξ
η
=
⋅
ξ
⋅
+
=
ξ
+
=
η
∑
=
,
y
,
x
A
x
a
b
2
x
k
1
1
0
2
/
k
...
,
2
,
1
m
2
m
,
(9)
gdzie
( )
[ ]
1
2
/
k
...
,
2
,
1
m
2
m
1
b
2
A
−
=
=
∑
.
(9.1)
Jeśli przyjmijmy teraz, że wartości reakcji
η
od przemieszczającej się w przekroju siły
jednostkowej będziemy odkładali jako rzędne w miejscach zajmowanych chwilowo przez tę
siłę oraz uwzględnimy widoczną w relacji (9) biliniowość funkcji
η
względem jej dwóch
argumentów x ,
ξ
, przy jednoczesnej symetrii względem tych argumentów to możemy
stwierdzić, że
( )
ξ
η
,
x
jest:
linią wpływu siły
( )
1
x
P
=
na reakcję pola materiałowego w przekroju
poprzecznym (np. dźwigara) zlokalizowanym odciętą
ξ
- tę wielkość mechaniczną
nazywamy linią wpływu rozdziału poprzecznego obciążenia w przekroju poprzecznym
mostu.
Powróćmy teraz do wyrażenia (7), które wyznacza linię wpływu rozdziału poprzecznego
obciążenia dźwigara skrajnego. Aby ją wyznaczyć wystarczy znać jej dwie rzędne. Niech
będą to przypadki gdy siła P=1 jest w punkcie ‘0’ –
( )
k
1
0
0
x
)
s
(
s
s
=
η
=
η
→
=
(10.1)
oraz gdy P=1 jest w miejscu odciętej dźwigara skrajnego –
( )
( )
( )
[ ]
∑
=
+
=
η
→
=
2
/
k
...
,
2
,
1
m
2
m
2
s
s
s
s
b
2
b
k
1
b
b
x
.
(10.2)
2 '
1'
0
+x
η
1
2
P=1
x
0
2
( ) ( )
[
]
2
2
2
1
b
b
2
k
1
+
+
k
1
( )
2
2
b
Rys 8. Linia wpływu reakcji
( )
x
2
s
=
η
Wyznaczmy jeszcze położenie siły jednostkowej, przy którym wartość reakcji w
dźwigarze skrajnym jest zerowa, tym samym wyznaczymy zakresy tzw. dodatniej i ujemnej
gałęzi linii wpływu. Ich znajomość umożliwi aplikację redukcji i przeciążeń wynikających z
wartości współczynników stanu granicznego nośności (ULS) odpowiednio w przypadkach
odciążeń i dociążeń przy poszukiwaniu reakcji dźwigara na obciążenie.
Odciętą
0
x wyznaczymy uwzględniając relację
( )
0
x
0
s
=
η
,
(11.1)
stąd otrzymujemy
( )
[ ]
s
2
/
k
...
,
2
,
1
m
2
m
0
b
k
b
2
x
∑
=
−
=
.
(11.2)
Przez dodatnią gałąź linii wpływy rozumiemy odcinek dziedziny, na którym rzędne są
dodatnie. W trakcie poszukiwania maksymalnej wartości obliczeniowej
)
d
(
max
s
η
w zakresie
dodatniej gałęzi linii wpływu obciążenia mnożymy przez częściowe współczynniki
bezpieczeństwa
max
f
γ
, podczas gdy w obszarze ujemnej gałęzi stosujemy mnożniki
min
f
γ
.
Przy wyznaczaniu
)
d
(
min
s
η
postępujemy odwrotnie.
Stosowana dotychczas nazwa „reakcja dźwigara” może być zastąpiona inną nazwą,
bardziej adekwatną do zastosowań
s
η
, a mianowicie można mówić o udziale dźwigara w
przenoszeniu obciążeń występujących w przekroju poprzecznym, a to jest równoważne
interpretacji o wyznaczeniu obciążeń przypadających na wybrany dźwigar. W tym momencie
dokonujemy myślowego wyseparowania pojedynczego dźwigara z ustroju nośnego mostu, co
było zamysłem całej metody.
Metoda Courbon’a – wariant ogólny
Rozpatrzymy teraz, na bazie wcześniejszej analizy, wariant uwzględniający niesymetrię
dystrybucji materiału i jego gęstości w przekroju poprzecznym. Symbolicznie taki stan
przedstawiono na Rys. 9, gdzie rozstawy dźwigarów są nieregularne, a sztywności dźwigarów
różne. W opisie zastosowano uproszczenie, które należy rozumieć następująco:
( ) ( )
( )
m
m
m
EJ
J
E
→
.
η
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
P
x
E J
( 1)
E J
( 2)
E J
( 3)
E J
( 4)
E J
( 5)
E J
( 6)
y
0
x
O'
Rys. 9. Fikcyjny przekrój poprzeczny ustroju nośnego obrazujący zmienność
sztywności na zginanie dźwigarów oraz ich nieregularne rozstawy
Zmienimy teraz założenia 1) i 4) przyjmując w ich miejsce następujące odpowiedniki –
1’) przekrój poprzeczny ustroju nośnego nie ma geometrycznej pionowej osi symetrii, a
rozstawy dźwigarów są różne, dodatkowo sztywności na zginanie poszczególnych
dźwigarów są też różne;
4’) przemieszczenie n-tego dźwigara jest proporcjonalne do oddziaływania poprzecznicy
na dźwigar i odwrotnie proporcjonalne do jego sztywności na zginanie
)
n
(
EJ
)
n
(
)
n
(
)
n
(
EJ
~
u
η
r
r
;
(1’)
przyjmujemy też postać założenia Courbon’a uwzględniającą analizowane wcześniej
stany symetrii i antysymetrii –
(
)
)
n
(
1
0
)
n
(
)
n
(
y
c
c
EJ
+
=
η
,
(12)
przy czym
)
n
(
y
jest odciętą n-tego dźwigara względem dowolnie przyjętego początku
odciętej, na Rys. 9 jest to lewy kraniec w przekroju poprzecznym ustroju nośnego
oznaczony przez O’.
Uwzględniając (7’) z równań równowagi otrzymujemy –
( )
+
=
→
=
≡
+
=
→
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
.
EJ
y
c
EJ
y
c
x
P
0
M
,
0
,
EJ
y
c
EJ
c
P
0
)
m
(
2
)
m
(
k
m
1
)
m
(
)
m
(
k
m
0
0
H
)
m
(
)
m
(
k
m
1
)
m
(
k
m
0
V
(13)
Przedstawmy powstały układ równań w zapisie macierzowym
( )
=
∑
∑
∑
∑
x
1
P
c
c
EJ
y
EJ
y
EJ
y
EJ
1
0
)
m
(
2
)
m
(
k
m
)
m
(
)
m
(
k
m
)
m
(
)
m
(
k
m
)
m
(
k
m
.
(13.1)
Możemy uprościć (13.1) przez zmianę układu odniesienia tak by macierz współczynników
miała postać diagonalną. Warunkowi
0
EJ
y
)
m
(
)
m
(
k
m
=
∑
(14)
odpowiada wyznaczenie
odciętej środka sztywności dźwigarów
)
m
(
k
m
)
m
(
)
m
(
k
m
0
EJ
EJ
y
y
∑
∑
=
(15)
oraz transformacja odciętych
0
)
m
(
)
m
(
y
y
y
−
=
,
0
y
x
x
−
=
.
(16)
Wówczas
(
)
)
n
(
1
0
)
n
(
)
n
(
y
c
~
c
~
EJ
+
=
η
,
(12’)
( )
( )
⋅
=
∑
∑
∑
∑
x
1
EJ
0
0
EJ
y
EJ
y
EJ
P
c
~
c
~
)
m
(
k
m
)
m
(
2
)
m
(
k
m
)
m
(
2
)
m
(
k
m
)
m
(
k
m
1
0
(17)
lub po wymnożeniu
)
m
(
k
m
0
EJ
P
c
~
∑
=
,
( )
)
m
(
2
)
m
(
k
m
1
EJ
y
x
P
c
~
∑
=
.
(18)
Na podstawie (7’) i (17) otrzymujemy wartości reakcji n-tego dźwigara na poprzecznicę
( )
+
=
η
∑
∑
)
m
(
2
)
m
(
k
m
)
n
(
)
m
(
k
m
)
n
(
)
n
(
EJ
y
y
x
EJ
1
P
EJ
.
(19)
Wzór (19) przy założeniach 1) i 4), tj. gdy
( )
EJ
EJ
m
m
=
∧
oraz
0
y
0
=
prowadzi do
związku (7).
Zakończenie
Przedstawiono tu metodę Courbon’a od strony analitycznej. W sensie praktycznym
metoda wydaje się być na pozór archaiczna, jednakże nic nie stoi na przeszkodzie aby i dziś
stosować przy projektowaniu powyższe wzory. Na pewno są one właściwe w przypadkach
tradycyjnych typowych niewielkich mostów. Błąd metody w odniesieniu do metod bardziej
precyzyjnych jest znany, można powiedzieć, że w zakresie proporcji szerokości ustroju do
jego rozpiętości
5
,
0
L
/
B
t
≤
otrzymamy dobre rezultaty. Istnieje wiele miar, jedną z nich [3]
jest wartość wyznaczana wzorem:
g
3
J
E
6
b
∆
′
=
α
(19)
gdzie: b – rozstaw dźwigarów,
a
/
EJ
J
E
=
′
- sztywność na zginanie dźwigara przy
uwzględnieniu rozstawu poprzecznic – a,
g
∆
- ugięcie pojedynczego dźwigara od jego ciężaru
własnego. Jeśli wartość
005
,
0
≤
α
, wówczas z powodzeniem możemy stosować opisaną
metodę.
W latach 50-tych XX w. powstało wiele dodatkowych tablic i udoskonaleń metody
przez uwzględnienie sztywności skrętnej dźwigarów
[4], w rezultacie tych prac można
uzyskać rozwiązania co do dokładności równe rozwiązaniom powstałym za pomocą MES.
Rozwinięciem przedstawionego powyżej sposobu są metody Guyon-Massonet oraz
innych. W Polsce uogólnieniem metody Courbon’a zajmował się między innymi Jerzy Grycz
[5], w rezultacie czego powstała procedura numeryczna uwzględniająca dowolnie gęsty ruszt
belkowo-poprzecznicowy.
Bibliografia
[1] Hołowaty J. - Uproszczone metody rozdziału poprzecznego obciążeń w mostach
drogowych, Mosty, 4/2010.
[2] Courbon J. –
Calcul des ponts à pouters multiples solidarisées par des entretoises.
Annales des Ponts et Chaussées, mémoires et documents relatyfis à l’art des constructions au
service de l’ingénieur, 1940, vol. 17. pp. 293-322.
[3] Поливанов Н. И. – Железобетонные
мосты, Н-ТИАЛ, Москва, 1956.
[4] Осипов См. В. – Спровочные
таблнцы для росчета нерозрезных баок на упруго
оседающих опорах, ИЛСА, Москва, 1953.
[5] Grycz J. –
Metody analizy statycznej układów utworzonych z płyt i belek, rozdział w
monografii Budownictwo betonowe, t. XIV, Mosty, cz. 2., Arkady, 1973, str. 205-314.
Streszczenie
W nawiązaniu do artykułu J. Hołowatego [1] o uproszczonych metodach analizy ustrojów
nośnych mostów belkowo-płytowych, przedstawiono metodę J. Courbon’a jako zadanie
mechaniki prezentując kolejne kroki, jako grupy związków teorii sprężystości. W ostatnim
punkcie opracowania wyprowadzono związki w przypadku złożonego przekroju
poprzecznego – o różnych rozstawach dźwigarów i ich różnych sztywnościach.
Summary
In relation to J. Hołowaty article [1] on simplified method of beam-plate bridge carrying-deck
analysis the Courbon’s method was presented as a task of mechanics, where the steps
sequence was given in accordance to groups of theory of elasticity conditions. At the end, the
formulae for the complex case when the distances between girders are different as well as
theirs bending stiffness were derived.