15 Fale w ośrodkach sprężystych

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

15-1

Wykład 15

15.

Fale w ośrodkach sprężystych

15.1

Fale mechaniczne

Fale powstające w ośrodkach sprężystych (np. fale dźwiękowe) nazywamy

falami me-

chanicznymi

. Powstają w wyniku wychylenia jakiegoś fragmentu ośrodka z położenia

równowagi co w następstwie powoduje drgania fragmentu wokół tego położenia. Drga-
nia te (dzięki właściwościom sprężystym ośrodka) są przekazywane na kolejne części
ośrodka. Sam ośrodek nie przesuwa się a jedynie jego elementy wykonują drgania w
ograniczonych obszarach przestrzeni. Np. fale na powierzchni wody: przedmioty pły-
wające wykonują ruch drgający natomiast same fale poruszają się ruchem jednostaj-
nym. Fala dobiegające do danego przedmiotu wprawiają go w ruch drgający przekazu-
jąc mu energię. Można za pomocą fal przekazywać więc energię na duże odległości.
Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka.

Cechą charakterystyczną fal jest to, że przenoszą energię poprzez materię dzięki prze-
suwaniu si
ę zaburzenia w materii a nie dzięki ruchowi postępowemu samej materii

.

Do rozchodzenia się fal mechanicznych

potrzebny jest ośrodek

. To właściwości spręży-

ste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali.
Ze względu na kierunek drgań cząstek względem kierunku rozchodzenia się fali

fale poprzeczne (np. lina)

fale podłużne (np. sprężyna, głos)

Ze względu na czoło fali (powierzchnia łącząca punkty o jednakowych zaburzeniach w
danej chwili) wyróżniamy

fale płaskie (w jednym kierunku)

fale kuliste

15.2

Fale rozchodzące się w przestrzeni

Rozważmy długi sznur naciągnięty w kierunku x, wzdłuż którego biegnie fala po-

przeczna. W dowolnej chwili np. t = 0 kształt sznura można opisać funkcją

y = f(x),

t = 0


y – przemieszczenie cząsteczek sznura sznura.
W miarę upływu czasu fala biegnie wzdłuż sznura bez zmiany kształtu. Po czasie t fala
przesuwa się o

v

t w prawo (

v

- prędkość fali). Zatem po czasie t równanie krzywej ma

postać

y = f(x -

v

t),

t


Oznacza to, że w chwili t w punkcie x =

v

t, kształt jest taki sam jak w chwili t = 0

w punkcie x = 0. Mamy więc równanie fali tylko trzeba określić funkcję f.
Jeżeli śledzimy wybraną część fali (czyli określoną fazę) to musimy zbadać jak zmienia
się w czasie określona wartość y (np. maksimum - amplituda). Chcemy żeby y było cały

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

15-2

czas takie samo, więc argument x -

v

t musi być taki sam, a to oznacza, że gdy czas ro-

ś

nie to musi też rosnąć x (czyli ruch w prawo). Fala w lewo ma więc równanie

y = f(x+

v

t).

Podsumowując, dla wybranej fazy mamy

x -

v

t = const.


Różniczkując względem czasu otrzymujemy

0

d

d

=

v

t

x

czyli

v

=

t

x

d

d


To jest

prędkość fazowa

. Zauważmy, że dla danego t mamy równanie f(x), a dla danego

miejsca sznura x mamy równanie f(t).
Rozważmy teraz fale o szczególnym kształcie. Załóżmy, że w chwili t = 0 kształt sznura
jest opisany funkcją

x

A

y

λ

π

2

sin

=


gdzie A jest maksymalnym wychyleniem. Zauważmy, że wychylenie jest takie samo
w punktach x, x +

λ

, x + 2

λ

, x + 3

λ

itd. Wielkość

λ

nazywamy długością fali (odległość

między punktami o tej samej fazie). Jeżeli fala biegnie w prawo to po czasie t

)

(

2

sin

t

x

A

y

v

=

λ

π


To jest równanie fali biegnącej.
Okres T jest czasem, w którym fala przebiega odległość równą

λ

więc:

λ

=

v

T

stąd

=

T

t

x

A

y

λ

π

2

sin

(15.1)


Widać, że w danej chwili taka sama faza jest w punktach x, x +

λ

, x + 2

λ

, x + 3

λ

itd.,

oraz, że w danym miejscu faza powtarza się w chwilach t, t + T, t +2T, itd.
Często wprowadza się dwie nowe wielkości: liczbę falową k = 2

π

/

λ

i częstość

ω

= 2

π

/T.

Wówczas y = Asin(kx-

ω

t) lub y = Asin(kx+

ω

t) dla fal biegnących w prawo i lewo.

Widać, że prędkość fazowa fali v jest dana wzorem

v

=

λ

/T =

ω

/k

(15.2)


oraz, że dla danego x otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego.

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

15-3

15.3

Rozchodzenie się fal, prędkość fal

Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali

v

to śledzimy jak przemieszcza się w czasie

wybrana część fali czyli określona faza.

Wiemy, że prędkość fali zależy od sprężystości ośrodka i jego bezwładności. Sprę-

ż

ystość dla sznura jest określona poprzez napinającą go siłę F (np. im większa siła tym

szybciej wychylone elementy sznura wracają do położenia równowagi). Natomiast
bezwładność jest związana z masą sznura m oraz jego długością l. Spróbujemy teraz
wyprowadzić wzór na zależność prędkości v fali od siły F i od

µ

= m/l tj. masy przypa-

dającej na jednostkę długości sznura. W tym celu rozpatrzmy mały wycinek sznura
o długości dx pokazany na rysunku.

Końce wycinka sznura tworzą z osią x małe kąty

θ

1

i

θ

2

. Dla małych kątów

θ

sin

θ

dy/dx. Wypadkowa pionowa siła tj. siła wychylająca sznur w kierunku y wy-

nosi

1

2

1

2

θ

θ

θ

θ

F

F

F

F

F

wyp

=

=

sin

sin


Zgodnie z zasadą dynamiki siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka
dm =

µ⋅

dx i jego przyspieszenia. Stąd

2

1

2

)

(

)

(

t

y

dx

t

dx

F

F

F

y

wyp

=

=

=

2

µ

µ

θ

θ

v

lub

2

2

t

y

F

x

µ

θ

=


(Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cząstkowe oznaczane symbolem

y bo wy-

chylenie y jest funkcją dwóch zmiennych y = f (x,t) i liczymy pochodne zarówno
względem zmiennej x jak i zmiennej t).
Uwzględniają, że

θ

=

y/

x otrzymujemy

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

15-4

2

2

2

2

t

y

F

x

y

µ

=

(15.3)


Jest to

równanie falowe

dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpo-

wiednie pochodne funkcji

)

sin(

)

,

f(

t

x

k

A

t

x

y

ω

=

=

)

sin(

t

x

k

A

t

y

ω

ω

=

2

2

2

oraz

)

sin(

t

x

k

Ak

x

y

ω

=

2

2

2


W wyniku podstawienia otrzymujemy

2

2

ω

µ

F

k

=


skąd możemy obliczyć prędkość fali

µ

ω

F

k

=

=

v

(15.4)


Zwróćmy uwagę, że sinusoidalna fala może być przenoszona wzdłuż struny z prędko-
ś

cią niezależną od amplitudy i częstotliwości.

Jeżeli teraz przepiszemy równanie struny w postaci

2

2

2

2

2

1

t

y

x

y

v

=

(15.5)


to otrzymamy

równanie falowe

, które stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzą-

cych się fal, takich jak fale dźwiękowe czy elektromagnetyczne.

15.4

Przenoszenie energii przez fale

Szybkość przenoszenia energii wyznaczymy obliczając siłę F jaka działa na koniec

struny (porusza struną w górę i w dół w kierunku y).

W tym celu posłużymy się zależnością

P = F

y

v

y


Jak widać z rysunku prędkość poprzeczna równa jest

v

y

=

y/

t, a składowa siły F w kierunku y wynosi

Fsin

θ

. Podstawiając do wzoru na moc otrzymujemy

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

15-5

θ

sin

t

y

F

P

=


Dla małych kątów

θ

możemy przyjąć sin

θ

y/

x (znak minus wynika z ujemnego

nachylenia struny). Stąd

x

y

t

y

F

P

=


Obliczamy teraz pochodne funkcji

)

sin(

)

,

f(

t

x

k

A

t

x

y

ω

=

=

)

cos(

t

kx

A

t

y

ω

ω

=

)

cos(

t

kx

k

A

x

y

ω

=


i podstawiamy do wyrażenia na moc

)

(

cos

t

x

k

k

FA

P

ω

ω

=

2

2

(15.6)


Zauważmy, że moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Korzystając

z tego, że k =

ω

/

v

,

ω

= 2

π

f oraz, że

µ

/

F

=

v

otrzymujemy

)

(

cos

4

2

2

2

2

t

kx

f

A

P

ω

µ

π

=

v

(15.7)


Widzimy, że szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy
i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.

15.5

Interferencja fal

Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach ale o fazach róż-

niących się o

ϕ

. Równania tych fal są następujące

y

1

= Asin(kx –

ω

t –

ϕ

)

y

2

= Asin(kx –

ω

t)


Znajdźmy teraz falę wypadkową (

zasada superpozycji

) jako sumę y = y

1

+ y

2

.

Korzystając ze wzoru na sumę sinusów otrzymujemy

y = 2Acos(

ϕ

/2)sin(kx –

ω

t –

ϕ

/2)

(15.8)


co jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie 2Acos(

ϕ

/2). Dla

ϕ

= 0 fale spotykają

się zgodnie w fazie (wzmacniają), a dla

ϕ

= 180 wygaszają.

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

15-6

15.6

Fale stojące

Rozważmy teraz dwa ciągi falowe biegnące w przeciwnych kierunkach tzn.

y

1

= Asin(kx –

ω

t)

y

2

= Asin(kx +

ω

t)


np. falę padającą i odbitą.
Falę wypadkową można zapisać jako

y = y

1

+ y

2

= 2Asinkxcos

ω

t

(15.9)


To jest równanie fali stojącej. Zauważmy, że cząstki drgają ruchem harmonicznym pro-
stym. Cząstki mają tę samą częstość ale

żną amplitudę

zależną od położenia cząstki x.

Punkty kx =

π

/2, 3

π

/2, 5

π

/2, itd. czyli x =

λ

/4, 3

λ

/4, 5

λ

/4 itd. mające maksymalną am-

plitudę nazywamy

strzałkami

a punkty kx =

π

, 2

π

, 3

π

itd. czyli x =

λ

/2,

λ

, 3

λ

/2 itd. ma-

jące zerową amplitudę nazywamy

węzłami

.

Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną istotną różnicę.

Energia nie jest przenoszona

wzdłuż

sznura bo nie może ona przepłynąć przez węzły, jest na stałe zmagazynowana w po-
szczególnych elementach sznura.

15.6.1

Układy drgające, przykład

Jeżeli struna zamocowana na obu końcach zostanie najpierw wygięta a następnie

puszczona, to wzdłuż struny rozchodzą się drgania poprzeczne. Zaburzenia te odbijają
się od zamocowanych końców i w wyniku interferencji powstaje fala stojąca. Zwróćmy
uwagę, że drgania struny wytwarzają w otaczającym strunę powietrzu dźwiękowe fale
podłużne (fale akustyczne). Ponieważ jedynym warunkiem, jaki musi być spełniony,
jest nieruchomość obu końców struny, czyli istnienie węzłów fali stojącej na tych koń-
cach, to mogą powstać w tej strunie fale stojące o różnej długości. Pierwsze cztery ro-
dzaje drgań jakie powstają w strunie o długości L zamocowanej na końcach są pokazane
na rysunku poniżej. Takie fale stojące nazywamy

rezonansami

.


Widzimy, że długości fal spełniają związek

L

λ

4

= L/2

λ

3

= 2L/3

λ

2

= L

λ

1

= 2L

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

15-7

n

L

n

2

=

λ

(15.10)


Korzystając z tego, że prędkość fali

v

T

λ

λ

=

=

v

oraz podstawiając wyrażenie (15.4)

możemy obliczyć częstotliwość rezonansów

µ

F

L

n

L

n

f

n

2

2

=

=

v

(15.11)


Najniższą częstość nazywamy

częstością podstawową

a pozostałe

wyższymi harmonicz-

nymi

czyli

alikwotami

.

Zazwyczaj w drganiach występują, oprócz drgania podstawowego, również drgania
harmoniczne, a dźwięki jakie odbieramy są wynikiem nakładania się tych drgań. O ja-
kości instrumentu (jego barwie) decyduje właśnie to ile alikwotów jest zawarte w
dźwięku i jakie są ich natężenia. Przykładowo, drganie wypadkowe struny będące zło-
ż

eniem tonu podstawowego (n = 1) i wyższych harmonicznych (n = 3, 5, 7) o różnych

amplitudach jest pokazane na rysunku poniżej.

Zwróćmy uwagę, że wypadkowe drganie (chociaż okresowe) nie jest harmoniczne (nie
daje się opisać funkcją sinus lub cosinus).

15.7

Dudnienia - modulacja amplitudy

Mówiliśmy już o superpozycji fal,

interferencji w przestrzeni

(dodawanie fal o tej

samej częstości). Rozpatrzmy teraz przypadek

interferencji w czasie

. Pojawia się ona

gdy przez dany punkt w przestrzeni przebiegają w tym samym kierunku fale o trochę
różnych częstotliwościach. Wychylenie wywołane przez jedną falę ma postać

y

1

= Acos2

π

v

1

t

y

2

= Acos2

π

v

2

t

drganie wypadkowe

n = 7

n = 5

n = 3

n = 1

t

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

15-8

więc

y = y

1

+ y

2

= A(cos2

π

v

1

t + cos2

π

v

2

t)


Ze wzoru na sumę cosinusów

t

v

v

t

v

v

A

y

+

=

2

2

cos

2

2

cos

2

2

1

2

1

π

π

(15.12)


Drgania wypadkowe można więc uważać za drgania o częstości

v

srednie

= (v

1

+ v

2

)/2


która jest średnią dwóch fal, i o amplitudzie (wyrażenie w nawiasie kwadratowym)
zmieniającej się w czasie z częstością

v

amp

= (v

1

v

2

)/2


Jeżeli częstotliwości v

1

i v

2

są bliskie siebie to amplituda zmienia się powoli. Mówimy,

ż

e mamy do czynienia z modulacją amplitudy AM (stosowana np. w odbiornikach ra-

diowych). Dla fal dźwiękowych AM przejawia się jako zmiana głośności nazywana

dudnieniam

i (rysunek).

15.8

Zjawisko Dopplera

Austriak, Christian Doppler w pracy z 1842 r zwrócił uwagę, że barwa świecącego

ciała (częstotliwość) musi się zmieniać z powodu ruchu względnego obserwatora lub
ź

ródła. Zjawisko Dopplera występuje dla wszystkich fal. Obecnie rozważymy je dla fal

dźwiękowych. Zajmiemy się przypadkiem ruchu źródła i obserwatora wzdłuż łączącej
ich prostej.

y

y

t

t

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

15-9

Ź

ródło dźwięku spoczywa, a obserwator porusza się w kierunku źródła z prędkością

v

o

.

Nieruchomy obserwator odbierał by

v

t/

λ

fal w czasie t. Teraz odbiera jeszcze dodatko-

wo

v

o

t/

λ

fal. Częstość słyszana przez obserwatora

v

t

t

t

v

o

o

o

v

v

v

v

v

v

v

+

=

+

=

+

=

λ

λ

λ

'

Ostatecznie

v

v

v

o

v

v

+

=

'


Studiując pozostałe przypadki otrzymujemy ogólną zależność





±

=

z

o

v

v

v

v

v

v

m

'

(15.12)


gdzie v' - częstość odbierana przez obserwatora, v - częstość źródła,

v

- prędkość fali,

v

o

- prędkość obserwatora,

v

z

- prędkość źródła.

Znaki "górne" w liczniku i mianowniku odpowiadają zbliżaniu się, a znaki dolne odda-
laniu się obserwatora i źródła.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
15 - Fale w ośrodkach sprężystych - Teoria, Fale w ośrodkach sprężystych
Wykład 15 Fale w ośrodkach sprężystych ppt
15 Fale w osrodkach sprezystych (10)
15 fale w ośrodkach sprężystych
Fizyka wykład 10 Fale w ośrodkach sprężystych, Geodezja i Kartografia, Fizyka
Fizyka 1 15 fale sprężyste
fiz-fale, Fala mechaniczna jest to rozchodzenie się zaburzeń w ośrodku sprężystym
fiz-fale, Fala mechaniczna jest to rozchodzenie się zaburzeń w ośrodku sprężystym
Fizyka 1 15 fale sprężyste
Elektrodynamiczne formowanie blach z wykorzystaniem ośrodka sprężystego
Rezonans fali dźwiękowej, Falą akustyczną nazywamy zaburzenie rozchodzące się w ośrodku sprężystym (

więcej podobnych podstron