1.

a) Oblicz miary kątów równoległoboku, w którym jeden z dwóch kątów sąsiednich jest pięć razy większy

od drugiego.

b) Oblicz miary kątów równoległoboku, w którym jeden z dwóch kątów sąsiednich jest dziewięć razy

większy od drugiego.

c) Jeden z kątów w trójkącie równoramiennym ma miarę



100 , Oblicz miary pozostałych kątów trójkąta.

d) Jeden z kątów w trójkącie równoramiennym ma miarę



110

, Oblicz miary pozostałych kątów trójkąta.

e) Oblicz miary kątów trójkąta, którego jeden kąt ma miarę



60 , a różnica dwu pozostałych wynosi 

30 .

f) Oblicz miary kątów równoległoboku, w którym jeden z dwóch kątów sąsiednich jest dwa razy większy

od drugiego.

g) W trapezie prostokątnym miary kątów przeciwległych różnią się o



36

. Wyznacz miary kątów tego

trapezu.

h) Oblicz miary kątów trójkąta, w którym miary kątów pozostają w stosunku 2 :3 :5 .

2.

a) W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 3

√

2 , a przeciwprostokątna

7

√

3 . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i długość wysokości padającej na przeciwprostokątną.

b) W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 2

√

6 , a przeciwprostokątna

9

√

2 . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i długość wysokości padającej na przeciwprostokątną.

c) W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 5

√

3 , a przeciwprostokątna 4

√

6 .

Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i długość wysokości padającej na przeciwprostokątną.

d) W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 2

√

5 , a przeciwprostokątna 3

√

7 .

Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i długość wysokości padającej na przeciwprostokątną.

e) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 2

√

5 i 3

√

2 . Oblicz długość

przeciwprostokątnej i długość wysokości padającej na przeciwprostokątną.

f) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 6

√

2 i 3

√

3 . Oblicz długość

przeciwprostokątnej i długość wysokości padającej na przeciwprostokątną.

g) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 2

√

2 i 3

√

5 . Oblicz długość

przeciwprostokątnej i długość wysokości padającej na przeciwprostokątną.

h) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 2

√

5 i 6

√

5 . Oblicz długość

przeciwprostokątnej i długość wysokości padającej na przeciwprostokątną.

3.

a) Długości boków prostokąta różnią się o 2 cm. Oblicz długość przekątnej tego prostokąta wiedząc, że

pole prostokąta wynosi 35 cm kwadratowych.

b) Długości boków prostokąta różnią się o 3 cm. Oblicz długość przekątnej tego prostokąta wiedząc, że

pole prostokąta wynosi 54 cm kwadratowych.

c) Długości boków prostokąta różnią się o 3 cm. Znajdź długości boków tego prostokąta wiedząc, że

przekątna prostokąta ma 15 cm długości.

d) W trapezie prostokątnym o obwodzie 40 krótsza podstawa i wysokość mają równe długości. Różnica

długości podstaw wynosi 6. Oblicz długości podstaw trapezu.

e) Jedna z przekątnych rombu jest o 4 krótsza od drugiej. Pole tego rombu jest równe 10,5. Oblicz obwód

tego rombu.

f) Jedna z przekątnych rombu jest o 4 dłuższa od drugiej. Bok rombu wynosi

√

74 . Oblicz pole rombu.

g) Jakie pole ma prostokąt o obwodzie 34, jeśli przekątna ma długość 13?
h) Suma długości przekątnych rombu wynosi 11, a jego pole powierzchni wynosi 12. Oblicz obwód

rombu.

4.

a) Podaj sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta, który ma 44 przekątne.
b) Podaj sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta, który ma 54 przekątne.
c) Podaj sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta, który ma 170 przekątne.
d) Podaj sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta, który ma 7 razy więcej przekątnych niż boków.
e) Podaj sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta, który ma o 12 więcej przekątnych niż boków.
f) Ile przekątnych ma wielokąt, w którym suma miar kątów wynosi

1080

∘

.

g) Ile przekątnych ma wielokąt, w którym suma miar kątów wynosi 2700

∘

.

h) Ile przekątnych ma wielokąta foremnego, w którym miara kąta wynosi 160

∘

.

5.

a) Oblicz długość boku trójkąta równobocznego, który ma takie samo pole jak sześciokąt foremny o boku

5.

b) Oblicz długość boku sześciokąta foremnego, który ma takie samo pole jak trójkąt równoboczny boku 5.
c) Oblicz długość boku kwadratu, który ma takie samo pole jak trójkąt równoboczny boku 6.
d) Oblicz długość boku kwadratu, który ma takie samo pole jak sześciokąt foremny o boku 7.
e) Oblicz pole trójkąta równobocznego, który ma taki sam obwód jak kwadrat o boku 6.
f) Oblicz pole sześciokąta foremnego, który ma taki sam obwód jak kwadrat o boku 6.
g) Oblicz długość boku sześciokąta foremnego, który ma takie samo pole jak kwadrat o boku 9.
h) Oblicz długość boku trójkąta równobocznego, który ma takie samo pole jak kwadrat o boku 6.

6.

a) Oblicz pole koła opisanego na prostokącie o bokach długości 3 cm i 7 cm.
b) Oblicz pole koła opisanego na prostokącie o bokach długości 7 cm i 5 cm.
c) Oblicz obwód koła opisanego na prostokącie o bokach długości 4 cm i 5 cm.
d) Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o bokach długości 8 cm.
e) Z pewnego punktu okręgu poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy o długościach 7 i 24. Oblicz

długość okręgu.

f) Na kwadracie, którego bok ma długość 4, opisano okrąg i w kwadrat ten wpisano okrąg. Oblicz pole

pierścienia wyznaczonego przez te okręgi.

g) Na trójkącie równobocznym, którego bok ma długość 4, opisano okrąg i w trójkąt ten wpisano okrąg.

Oblicz pole pierścienia wyznaczonego przez te okręgi.

h) Na sześciokąt foremny, którego bok ma długość 4, opisano okrąg i w sześciokąt ten wpisano okrąg.

Oblicz pole pierścienia wyznaczonego przez te okręgi.

7.

a) Promień koła (zobacz rysunek obok) wynosi 4. Jakie pole ma zacieniowany obszar?
b) Promień koła (zobacz rysunek obok) wynosi 6. Jakie pole ma zacieniowany obszar?
c) Promień koła (zobacz rysunek obok) wynosi 8. Jakie pole ma zacieniowany obszar?

d) Znajdź miarę kąta wpisanego opartego na

5
7

okręgu.

e) W okręgu o promieniu 5 poprowadzono dwie równoległe cięciwy o długościach 6 i 8. Oblicz odległość

między cięciwami.

f) Z dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu o boku 2 zakreślono okręgi o promieniu 2. Oblicz

pole „soczewki” wyznaczonej przez te okręgi.

8.

a) Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, a odległość ich środków jest równa 19. Gdyby te okręgi były

styczne wewnętrznie, to ta odległość wynosiłaby 5. Wyznacz długości promieni tych okręgów.

b) Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, a odległość ich środków jest równa 15. Gdyby te okręgi były

styczne wewnętrznie, to ta odległość wynosiłaby 7. Wyznacz długości promieni tych okręgów.

c) Trzy okręgi o środkach A, B i C są parami styczne zewnętrznie. Wiedząc, że

∣

AB

∣

=

8

,

∣

AC

∣

=

10 i

∣

BC

∣

=

12 , oblicz długości promieni tych okręgów.

d) Okręgi o promieniach 10 i 15 są współśrodkowe. Jaką długość ma promień okręgu stycznego do obu

tych okręgów?

e) Trzy okręgi o środkach A, B i C są parami styczne zewnętrznie. Okrąg o środku w punkcie A ma

promień długości 1, o środku w punkcie B – promień 2. Znajdź promień okręgu o środku w punkcie C
wiedząc, że kąt BAC jest prosty.