dr Agnieszka Bobrowska

1

Ekonomia matematyczna I

Wykład 6

6. Modele równowagi konkurencyjnej

Modele równowagi konkurencyjnej wywodz

ą

si

ę

z rozwa

ż

a

ń

na temat działania mechanizmu

rynkowego polegaj

ą

cego na wzajemnym oddziaływaniu popytu, poda

ż

y i cen w warunkach rynku

doskonałego. Modele tego typu stanowi

ą

bardzo uogólnione odzwierciedlenie kategorii rynku

i mechanizmu kształtowania cen równowa

żą

cych popyt i poda

ż

.

We wszystkich modelach równowagi konkurencyjnej przyjmuje si

ę

pewne poj

ę

cia pierwotne, s

ą

to

poj

ę

cia towarów oraz podmiotów gospodarczych. Przyjmuje si

ę

ponadto dychotomiczny podział

podmiotów rynkowych ze wzgl

ę

du na odgrywane role w gospodarce. Zakłada si

ę

,

ż

e ka

ż

dy uczestnik

rynku wyst

ę

puje w roli konsumenta i/lub producenta, a działalno

ść

gospodarcza zaliczana jest albo do

sfery konsumpcji albo do sfery produkcji. Towary klasyfikowane s

ą

ze wzgl

ę

du na przeznaczenie na

towary konsumpcyjne i czynniki wytwórcze. Pozwala to wyodr

ę

bni

ć

dwa rodzaje rynków – rynek

towarów konsumpcyjnych i rynek czynników wytwórczych.

Zakładamy ponadto,

ż

e podmioty gospodarcze zachowuj

ą

si

ę

racjonalnie i podejmuj

ą

decyzje

niezale

ż

ne od zachowania innych uczestników rynku. W tej sytuacji dochodzi najcz

ęś

ciej do konfliktu

pomi

ę

dzy uczestnikami rynku, wynikaj

ą

cego ze sprzeczno

ś

ci interesów poszczególnych grup

podmiotów gospodarczych.

Celem ka

ż

dej gospodarki jest taka alokacja zasobów, która umo

ż

liwia prowadzenie działalno

ś

ci

produkcyjnej i podział wytworzonych dóbr. W przypadku gospodarki wolnokonkurencyjnej, w której

pojedynczy uczestnik rynku nie ma wpływu na ceny towarów, alokacja zasobów jest rezultatem

działa

ń

wielu podmiotów. Zakłada si

ę

,

ż

e w wyniku ukształtowania si

ę

na rynku pewnego układu cen

uczestnicy rynku staraj

ą

si

ę

do nich dostosowa

ć

, a ich indywidualne działania s

ą

wzajemnie zgodne

i wykonalne. Zało

ż

enie to jest sformułowan

ą

przez L. Walrasa koncepcj

ą

równowagi konkurencyjnej.

Ekonomia matematyczna wypracowała kilka modeli równowagi konkurencyjnej

1

.

6.1. Model rynku Arrowa-Hurwicza

Jednym z takich modeli jest model rynku Arrowa-Hurwicza. Nazwa tego modelu pochodzi od

nazwisk jego twórców. W oparciu o ten model omówimy mo

ż

liwo

ść

ustalenia si

ę

na rynku takiego

układu cen, przy którym popyt zrównuje si

ę

z poda

żą

oraz przy którym wszyscy uczestnicy rynku

maksymalizuj

ą

swoj

ą

u

ż

yteczno

ść

. W modelu tym uczestnicy rynku, zwani handlowcami, pełni

ą

jednocze

ś

nie funkcje sprzedawców i nabywców. Przybywaj

ą

z towarami na rynek z zamiarem ich

sprzeda

ż

y, dochody uzyskane w ten sposób pozwalaj

ą

im na zakup towarów słu

żą

cych do

zaspokojenie potrzeb.

1

Przedstawione modele omówione s

ą

w: E. Panek: Ekonomia matematyczna, wyd. AE Pozna

ń

, 2000, E. Panek:

Elementy ekonomii matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, t.1 1993 i A.C. Chiang: Podstawy ekonomii
matematycznej, PWE, 1994

dr Agnieszka Bobrowska

2

Ekonomia matematyczna I

Zakładamy,

ż

e na rynek dostarczanych jest n towarów (przestrze

ń

towarów

n

R

X

+

=

), w wymianie

których uczestniczy m podmiotów. Oznaczmy przez:

)

,...,

,

(

2

1

k

n

k

k

k

y

y

y

y

=

- koszyk towarów dostarczanych na rynek przez k-tego uczestnika wymiany,

)

,...,

,

(

2

1

k

n

k

k

k

x

x

x

x

=

- koszyk towarów, który jest gotów naby

ć

k-ty uczestnik wymiany,

)

,...,

,

(

2

1

n

p

p

p

p

=

- wektor cen towarów.

Zakładamy,

ż

e jedynymi dochodami uczestników rynku s

ą

te, które uzyskali ze sprzeda

ż

y swoich

zapasów oraz,

ż

e handlowiec nie mo

ż

e wyda

ć

na zakup towarów wi

ę

cej ni

ż

uzyskał przychodu ze

sprzeda

ż

y, co zapisujemy:

k

k

y

p

x

p

,

,

≤

.

W modelu Arrowa-Hurwicza uczestnicy rynku, przy dokonywaniu wyboru koszyka towarów x,

kieruj

ą

si

ę

indywidualnymi preferencjami, opisywanymi przy pomocy funkcji u

ż

yteczno

ś

ci. Zadanie

maksymalizacji u

ż

yteczno

ś

ci konsumpcji zapisujemy, w tym przypadku, w postaci:

)

(

max

x

u

k

,

pami

ę

taj

ą

c,

ż

e:

k

y

p

x

p

,

,

≤

i

0

≥

x

.

Przez

k

u

(k=1,2,…,m) oznaczamy funkcj

ę

u

ż

yteczno

ś

ci k-tego uczestnika.

Zakładamy o funkcji

k

u

,

ż

e jest ci

ą

gła, silnie wkl

ę

sła oraz rosn

ą

ca na

n

R

+

. Wówczas rozwi

ą

zanie

k

x

zdania maksymalizacji u

ż

yteczno

ś

ci k-tego uczestnika wymiany jest funkcj

ą

ceny p i jego dochodu

k

I

:

)

,

(

k

k

k

I

p

x

ϕ

=

.

Funkcja popytu

k

ϕ

zdefiniowana jest nast

ę

puj

ą

co:

)

(

max

arg

)

,

(

x

u

I

p

k

k

k

=

ϕ

, gdy

k

I

x

p

≤

,

i

0

≥

x

.

Poniewa

ż

jednak zakładamy,

ż

e dochód I jest funkcj

ą

ceny p, to funkcje popytu

k

ϕ

mo

ż

emy

zapisa

ć

w postaci funkcji jednoargumentowej

k

f

:

dr Agnieszka Bobrowska

3

Ekonomia matematyczna I

)

,

,

(

)

,

(

)

(

k

k

k

k

k

y

p

p

I

p

p

f

ϕ

ϕ

=

=

.

Wnioski:

1. Bezpo

ś

rednio z definicji funkcji

k

f

wnioskujemy,

ż

e s

ą

to funkcje dodatnio jednorodne stopnia

0.

2. Ponadto w warunkach niedosytu, przy zało

ż

eniu silnej wkl

ę

sło

ś

ci funkcji u

ż

yteczno

ś

ci,

k

f

s

ą

ci

ą

głe na

n

R

+

int

.

Poni

ż

ej prezentujemy inne dodatkowe zało

ż

enia o funkcjach popytu

k

f

(k=1,2,…,m):

(I) Funkcje

k

f

s

ą

ci

ą

głe i ró

ż

niczkowalne na

{ }

0

\

n

R

+

.

Zanim zaprezentujemy własno

ść

(II) zdefiniujemy najpierw nadwy

ż

kowy popyt:

Ró

ż

nic

ę

mi

ę

dzy globalnym popytem a globaln

ą

poda

żą

nazywamy

wektorem nadwy

ż

kowego

popytu na towary

i zapisujemy:

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

−

=

−

=

m

k

k

m

k

m

k

k

m

k

k

k

y

f

y

x

p

z

1

1

1

1

)

(

.

(II)

)

0

)

(

0

(

>

⇒

=

∀

p

z

p

i

i

i

.

(III)

Macierz funkcyjna

)

,

(

)

(

n

n

j

i

p

z

p

J















∂

∂

=

spełnia warunek:

)

0

)

(

(

1

int

),

(

\

<

=

∧

∈

∀

∪

∈

∀

+

−

+

T

n

n

n

n

p

J

p

R

p

R

R

R

λ

λ

λ

.

Uwagi:

1. Zało

ż

enia (I) i (II) stanowi

ą

punkt wyj

ś

cia do twierdzenia 6.1., w którym to twierdzeniu ich

spełnienie jest koniecznym i dostatecznym warunkiem istnienia wektora ceny równowagi.

2. Zało

ż

enie (II) oznacza,

ż

e popyt na towar oferowany za darmo zawsze przekracza poda

ż

.

3. Zało

ż

enie (III) jest słabsze od zało

ż

enia o ujemnej okre

ś

lono

ś

ci macierzy

)

(

p

J

.

dr Agnieszka Bobrowska

4

Ekonomia matematyczna I

Twierdzenie 6.1.

Je

ż

eli spełnione s

ą

warunki (I), (II), to istnieje wektor cen równowagi

0

>

p

okre

ś

lony

z dokładno

ś

ci

ą

do mno

ż

enia przez stał

ą

dodatni

ą

(z dokładno

ś

ci

ą

do struktury).

Wiedz

ą

c jakie warunki musz

ą

spełnia

ć

funkcje popytu

k

f

(k=1,2,…,m), aby istniał wektor cen

równowagi, podajmy definicj

ę

samego wektora cen równowagi oraz sytuacji, w której rynek znajduje

si

ę

w równowadze:

Mówimy,

ż

e

rynek jest w równowadze

, je

ż

eli ustaliły si

ę

na nim ceny

0

∩

>

p

, przy których wektor

nadwy

ż

kowego popytu spełnia warunek:

0

)

(

=

p

z

.

Wektor

p

nazywamy

wektorem cen równowagi

.

6.2. Model rynku z oczekiwaniami cenowymi

Model rynku z oczekiwaniami cenowymi nale

ż

y do grupy dynamicznych modeli rynku.

W modelu tym zachowania uczestników rynku uzale

ż

nione s

ą

nie tylko od bie

żą

cych cen towarów,

jak ma to miejsce w przypadku statycznej wersji modelu rynku Arrowa-Hurwicza, ale równie

ż

od

zmieniaj

ą

cego si

ę

w czasie trendu cenowego.

W omawianym aktualnie modelu, zakłada si

ę

,

ż

e obserwowane w danym okresie trendy cenowe

maj

ą

znacz

ą

ce znaczenie przy formułowaniu oczekiwa

ń

podmiotów rynkowych dotycz

ą

cych

przyszłego poziomu cen. Te oczekiwania cenowe mog

ą

z kolei wpływa

ć

na ich decyzje dotycz

ą

ce

popytu i poda

ż

y. Ceny w modelu z oczekiwaniami cenowymi traktujemy jako funkcj

ę

czasu:

)

(

t

p

p

=

.

Wówczas pierwsza i druga pochodna ceny po czasie, w przypadku czasu ci

ą

głego, dostarcza

informacji na temat kształtowania si

ę

trendu cenowego. Pochodna

t

p

∂

∂

informuje w jakim kierunku

pod

ąż

aj

ą

ceny (czy rosn

ą

/malej

ę

), natomiast pochodna

2

2

t

p

∂

∂

informuje o tempie zmian (czy cena

ro

ś

nie/maleje coraz szybciej (wolniej)).

Przyjmijmy nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia:

d

q

- wielko

ść

popyt,

s

q

- wielko

ść

poda

ż

y,

d – funkcja popytu,

s – funkcja poda

ż

y.

Przy danych oznaczeniach ogólny model rynku z oczekiwaniami cenowymi mo

ż

na zapisa

ć

w postaci układu:

dr Agnieszka Bobrowska

5

Ekonomia matematyczna I







=

=

))

(

''

),

(

'

),

(

(

))

(

''

),

(

'

),

(

(

t

p

t

p

t

p

s

q

t

p

t

p

t

p

d

q

s

d

.

Wida

ć

,

ż

e zarówno funkcja popytu d, jak i funkcja poda

ż

y q uwzgl

ę

dniaj

ą

trendy cenowe,

a wszystkie zmienne traktujemy jako funkcje czasu.

Je

ż

eli ograniczymy si

ę

do liniowych wersji funkcji popytu i poda

ż

y, wówczas model mo

ż

na zapisa

ć

w postaci:











>

+

+

+

−

=

>

+

+

−

=

)

0

,

(

'

'

'

)

0

,

(

'

'

'

δ

γ

δ

γ

β

α

β

α

wp

up

p

q

np

mp

p

q

s

d

.

W przypadku modelu z oczekiwaniami cenowymi, zadanie polegaj

ą

ce na wyznaczeniu ceny

równowagi

p

, tj. znalezieniu takiego układu cen, dla którego popyt zrównuje si

ę

z popytem

(

s

d

q

q

=

), sprowadza si

ę

do rozwi

ą

zania równania ró

ż

niczkowego rz

ę

du drugiego:

'

'

'

'

'

'

wp

up

p

np

mp

p

+

+

+

−

=

+

+

−

δ

γ

β

α

.

Po pogrupowaniu otrzymujemy:

γ

α

δ

β

−

−

=

−

−

+

−

+

−

p

p

u

m

p

w

n

)

(

'

)

(

''

)

(

.

Rozwi

ą

zaniem tego równania ró

ż

niczkowego jest

ś

cie

ż

ka czasowa p(t) o postaci:

1.

δ

β

γ

α

+

+

+

+

=

t

r

t

r

e

C

e

C

t

p

2

1

2

1

)

(

, gdy

2

1

, r

r

s

ą

pierwiastkami rzeczywistymi równania

charakterystyk rozwa

ż

anego równania ró

ż

niczkowego,

2.

δ

β

γ

α

+

+

+

+

=

rt

rt

te

C

e

C

t

p

2

1

)

(

, gdy

r

r

r

=

=

2

1

s

ą

podwójnym pierwiastkiem równania

charakterystyk rozwa

ż

anego równania ró

ż

niczkowego,

3.

δ

β

γ

α

η

η

ξ

+

+

+

+

=

)

sin

cos

(

)

(

2

1

t

C

t

C

e

t

p

t

, gdy

2

1

, r

r

s

ą

pierwiastkami zespolonymi równania

charakterystyk rozwa

ż

anego równania ró

ż

niczkowego, przy czym

η

ξ

i

r

r

+

=

=

2

1

.

W przypadku, gdy cena pocz

ą

tkowa p(0) jest równa dokładnie cenie równowagi

p

, czyli gdy rynek

znajduje si

ę

w poło

ż

eniu równowagi, wówczas dynamiczna analiza układu staje si

ę

nie potrzebna.

Bardziej interesuj

ą

cy staje si

ę

przypadek, gdy

p

p

≠

)

0

(

, w którym to tylko po pewnym procesie

dostosowania, o ile starczy czasu, rynek znajdzie si

ę

w stanie równowagi.

dr Agnieszka Bobrowska

6

Ekonomia matematyczna I

Je

ż

eli

p

t

p

t

∞

→

→

)

(

)

)

(

lim

(

∞

<

∞

→

t

p

t

, to poło

ż

enie równowagi nazywamy

dynamicznie stabilnym

.

Dynamiczna stabilno

ść

równowagi oznacza,

ż

e

ś

cie

ż

ka czasowa p(t) prowadzi cen

ę

w kierunku

poło

ż

enia równowagi

p

. Poziom cen

p

interpretujemy jako mi

ę

dzyokresowe poło

ż

enie równowagi,

a nie jak poziom cen oczyszczaj

ą

cy rynek.

Przykład:

Zakładamy,

ż

e model rynku z oczekiwaniami cenowymi ma posta

ć

:









+

−

=

+

+

−

=

p

q

p

p

p

q

s

d

6

4

'

'

'

3

4

6

.

Znaj

ą

c warunki pocz

ą

tkowe:







−

=

=

3

)

0

(

'

3

)

0

(

p

p

oraz wiedz

ą

c,

ż

e w ka

ż

dej chwili czasu t nadwy

ż

kowy popyt równa si

ę

zero (

0

=

−

s

d

q

q

), nale

ż

y

znale

źć

ś

cie

ż

k

ę

czasow

ą

p(t) oraz zbada

ć

, czy dany układ jest dynamicznie stabilny.

W tym celu rozwi

ą

zujemy równanie ró

ż

niczkowe liniowe niejednorodne rz

ę

du drugiego:

10

10

'

3

''

−

=

−

+

p

p

p

.

Odpowiadaj

ą

ce mu równanie ró

ż

niczkowe jednorodne i dalej równanie charakterystyk maj

ą

posta

ć

:

0

10

'

3

''

=

−

+

p

p

p

0

10

3

2

=

−

+

r

r

.

Poszukujemy rozwi

ą

zania równania ró

ż

niczkowego jednorodnego w postaci:

rt

e

t

p

=

)

(

.

Pierwiastkami równania charakterystyk s

ą

:

dr Agnieszka Bobrowska

7

Ekonomia matematyczna I

2

2

7

3

1

=

+

−

=

r

i

5

2

7

3

2

−

=

−

−

=

r

(pierwiastki rzeczywiste).

Zatem rozwi

ą

zanie ogólne równania

0

10

'

3

''

=

−

+

p

p

p

ma posta

ć

:

t

t

e

C

e

C

t

p

5

2

2

1

)

(

−

+

=

,

{ }

0

\

,

2

1

+

∈

R

C

C

.

Natomiast rozwi

ą

zaniem szczególnym równania

10

10

'

3

''

−

=

−

+

p

p

p

jest p=1.

Podsumowuj

ą

c, rozwi

ą

zaniem ogólnym równania niejednorodnego jest funkcja:

1

)

(

5

2

2

1

+

+

=

−

t

t

e

C

e

C

t

p

,

{ }

0

\

,

2

1

+

∈

R

C

C

.

Ze wzgl

ę

du na warunki pocz

ą

tkowe otrzymujemy ostatecznie rozwi

ą

zanie szczególne:

1

)

(

5

2

+

+

=

−

t

t

e

e

t

p

.

Poniewa

ż

+∞

=

∞

→

)

(

lim

t

p

t

, wi

ę

c mi

ę

dzyokresowe rozwi

ą

zanie równowagi jest dynamicznie

niestabilne.

6.3. Model paj

ę

czyny, model rynku z zapasami (zało

ż

enia, struktura i interpretacja modeli)

Model paj

ę

czyny oraz model rynku z zapasami s

ą

modelami rynku dla jednego dobra z czasem

dyskretnym.

Cech

ą

charakterystyczn

ą

modelu paj

ę

czyny, odró

ż

niaj

ą

c

ą

go od wcze

ś

niej omówionych modeli,

jest to,

ż

e wielko

ść

poda

ż

y

s

q

jest traktowana nie jako funkcja bie

żą

cej ceny towaru, ale ceny

z poprzedniego okresu.

Zakładamy,

ż

e producent podejmuj

ą

c w okresie t decyzj

ę

o wielko

ś

ci produkcji, opiera si

ę

na cenie

z bie

żą

cego okresu. Produkcja jest procesem, który wymaga czasu. W przypadku niektórych dóbr

mog

ą

to by

ć

nawet do

ść

długie okresy, ale dla uproszczenia w modelu przyjmuje si

ę

,

ż

e mi

ę

dzy

decyzj

ą

o wielko

ś

ci produkcji a wyprodukowaniem dobra upływa jeden okres. Zaplanowana produkcja

b

ę

dzie zate gotowa do sprzeda

ż

y w okresie t+1, nie b

ę

dzie wi

ę

c miała wpływu na wielko

ść

poda

ż

y

w okresie bie

żą

cym t (

t

s

q

,

), lecz na wielko

ść

poda

ż

y w okresie przyszłym t+1 (

1

,

+

t

s

q

).

W wyniku powy

ż

szego zało

ż

enia otrzymujemy funkcj

ę

opó

ź

nionej poda

ż

y:

)

(

1

,

t

t

s

p

s

q

=

+

dr Agnieszka Bobrowska

8

Ekonomia matematyczna I

lub równowa

ż

nie:

)

(

1

,

−

=

t

t

s

p

s

q

.

Natomiast co si

ę

tyczy zachowania konsumentów, w modelu paj

ę

czyny przyjmujemy,

ż

e ich

reakcja na zmian

ę

ceny jest natychmiastowa lub inaczej mówi

ą

c,

ż

e wielko

ść

zgłaszanego przez nich

popytu na dany towar jest wynikiem bie

żą

cej ceny tego towaru. Wynika st

ą

d, i

ż

funkcja popytu jest

funkcj

ą

bie

żą

cej ceny towaru:

)

(

,

t

t

d

p

d

q

=

.

Kiedy przyjmiemy,

ż

e funkcje popytu i poda

ż

y maj

ą

posta

ć

liniow

ą

, wtedy model paj

ę

czyny składa

si

ę

z układu trzech równa

ń

:

















=

>

+

−

=

>

−

=

−

t

s

t

d

t

t

s

t

t

d

q

q

p

q

p

q

,

,

1

,

,

0

,

,

0

,

,

δ

γ

δ

γ

β

α

β

α

.

Dokonuj

ą

c podstawienia dwóch pierwszych równa

ń

układu do równania ostatniego, a nast

ę

pnie

porz

ą

dkuj

ą

c i przenosz

ą

c wyrazy wolne na praw

ą

stron

ę

równo

ś

ci, a pozostałe na stron

ę

lew

ą

,

uzyskujemy model rynku w postaci pojedynczego równania ró

ż

nicowego rz

ę

du pierwszego:

γ

α

δ

β

+

=

+

−

1

t

t

p

p

.

Przekształcaj

ą

c poprzednie równanie oraz zmieniaj

ą

c jego indeksacj

ę

(bez znaczenia dla dalszych

rozwa

ż

a

ń

) mamy:

β

γ

α

β

δ

+

=

+

+

t

t

p

p

1

.

Rozwi

ą

zuj

ą

c nasze równanie ró

ż

nicowe, otrzymujemy rozwi

ą

zanie w postaci

ś

cie

ż

ki czasowej

t

p

:

δ

β

γ

α

β

δ

δ

β

γ

α

+

+

+













−













+

+

−

=

t

t

p

p

0

,

dr Agnieszka Bobrowska

9

Ekonomia matematyczna I

przy czym

0

p

prezentuje cen

ę

pocz

ą

tkow

ą

towaru.

Wnioski:

1. Wyra

ż

enie

δ

β

γ

α

+

+

mo

ż

e by

ć

traktowane jako cena równowagi mi

ę

dzyokresowej i oznaczamy j

ą

przez

p

.

2. Podstawiaj

ą

c do wzoru na

t

p

, w miejsce wyra

ż

enia

δ

β

γ

α

+

+

cen

ę

równowagi mi

ę

dzyokresowej

p

,

ś

cie

ż

k

ę

czasow

ą

mo

ż

na zapisa

ć

w postaci równowa

ż

nej:

(

)

p

p

p

p

t

t

+













−

−

=

β

δ

0

.

Od znaku ró

ż

nicy

p

p

−

0

b

ę

dzie zale

ż

e

ć

, czy pocz

ą

tek

ś

cie

ż

ki czasowej b

ę

dzie si

ę

zaczyna

ć

powy

ż

ej (

p

p

>

0

) czy poni

ż

ej (

p

p

<

0

) poło

ż

enia równowagi, z kolei od warto

ś

ci

bezwzgl

ę

dnej

p

p

−

0

zale

ż

y odległo

ść

pocz

ą

tku

ś

cie

ż

ki czasowej od poło

ż

enia równowagi.

3. Poniewa

ż

0

,

>

δ

β

mo

ż

emy wnioskowa

ć

,

ż

e

ś

cie

ż

ka oscyluje, od wielko

ś

ci

β

δ

−

zale

ż

y

charakter oscylacji. I tak wyró

ż

niamy trzy przypadki oscylacji:

- oscylacje eksploduj

ą

ce

(

)

β

δ

>

,

- oscylacje jednostajne

(

)

β

δ

=

,

- oscylacje gasn

ą

ce

(

)

β

δ

<

.

Poszczególne schematy oscylacji ilustruj

ą

rysunki 6.1.a) - c).

dr Agnieszka Bobrowska

10

Ekonomia matematyczna I

Rys.6.1. a) Model paj

ę

czyny z oscylacj

ą

jednostajn

ą

.

Rys.6.1. b) Model paj

ę

czyny z oscylacj

ą

eksploduj

ą

c

ą

.

Rys.6.1. c) Model paj

ę

czyny z oscylacj

ą

gasn

ą

c

ą

.

b)

p

q

3

p

0

1

p

p

p

2

p

4

p

1

q

q

β

δ

>

d

s

2

q

3

q

4

q

c)

p

0

2

4

3

1

p

p

p

p

p

p

q

β

δ

<

d

1

q

3

q

4

q

2

q

a)

p

q

1

p

p

0

p

1

q

q

2

q

β

δ

=

d

s

s

q

dr Agnieszka Bobrowska

11

Ekonomia matematyczna I

Interpretacja:

1. Oscylacja gasn

ą

ca (rysunek 6.1.c)): dana jest pewna cena pocz

ą

tkowej

0

p

(na nasz$ym

rysunku

p

p

>

0

). Poruszaj

ą

c si

ę

zgodnie ze strzałk

ą

, dochodzimy do krzywej s, na której

cenie

0

p

odpowiada wielko

ść

poda

ż

y

1

q

, któr

ą

producent zaplanował jeszcze w okresie 0.

W okresie 1, aby zredukowa

ć

nadwy

ż

k

ę

poda

ż

y popytem, ustalona zostaje nowa cena

1

p

.

Ustalenie si

ę

ceny na poziomie

1

p

powoduje,

ż

e w okresie 2 wielko

ść

poda

ż

y wynosi

2

q

.

Poniewa

ż

w okresie 2 popyt przewy

ż

sza poda

ż

, st

ą

d aby oczy

ś

ci

ć

rynek musi nast

ą

pi

ć

wzrost

dotychczasowej ceny do poziomu

3

p

. Rozumuj

ą

c jak dotychczas, poruszamy si

ę

zgodnie ze

strzałkami. W ten sposób „utkana” zostaje paj

ę

czyna z zewn

ą

trz do

ś

rodka. Z ka

ż

dym krokiem

coraz bardziej b

ę

dziemy si

ę

przybli

ż

a

ć

do punktu równowagi

( )

q

p,

.

2. Oscylacja eksploduj

ą

ca:

3. Oscylacja jednostajna:

W modelu paj

ę

czyny zakładamy,

ż

e cena jest tak ustalona, by w ka

ż

dym okresie produkt został

sprzedany w cało

ś

ci. Z zało

ż

enia tego wynika,

ż

e producenci nie gromadz

ą

ż

adnych zapasów swoich

produktów.

Innym modelem rynku, który uwzgl

ę

dnia mo

ż

liwo

ść

przechowywania zapasów towarów jest model

rynku z zapasami.

Zakładamy w nim,

ż

e wielko

ść

popytu

t

d

q

,

oraz wielko

ść

poda

ż

y

t

s

q

,

s

ą

liniowymi funkcjami ceny

t

p

, któr

ą

ustala sprzedaj

ą

cy na pocz

ą

tku ka

ż

dego okresu. Cena

t

p

uwzgl

ę

dnia wielko

ść

nagromadzonych zapasów i tak: je

ż

eli cena ustalona w poprzednim okresie spowodowała

nagromadzenie si

ę

zapasów, to w okresie bie

żą

cym nowa cena wyznaczana jest na ni

ż

szym poziomie

i odwrotnie, je

ż

eli zapasy si

ę

zmniejszyły, to nowa cena jest wyznaczana na wy

ż

szym poziomie.

Dostosowanie si

ę

cen bie

żą

cego okresu do cen z okresu poprzedniego jest odwrotnie proporcjonalne

do zaobserwowanej zmiany zapasów.

Wprowad

ź

my nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia:

σ

- współczynnik dostosowania cen w zale

ż

no

ś

ci od zapasów,

(

t

d

t

s

q

q

,

,

−

) - wielko

ść

zapasów.

W wyniku przyj

ę

tych zało

ż

e

ń

oraz oznacze

ń

model rynku z zapasami mo

ż

na zapisa

ć

nast

ę

puj

ą

co:



















>

−

−

=

>

+

−

=

>

−

=

+

)

0

(

)

(

)

0

,

(

)

0

,

(

,

,

1

,

,

σ

σ

δ

γ

δ

γ

β

α

β

α

t

d

t

s

t

t

t

t

s

t

t

d

q

q

p

p

p

q

p

q

.

dr Agnieszka Bobrowska

12

Ekonomia matematyczna I

Podstawiaj

ą

c pierwsze dwa równania do trzeciego, otrzymujemy model w postaci pojedynczego

równania ró

ż

nicowego.

)

(

))

(

1

(

1

γ

α

σ

δ

β

σ

+

=

+

−

−

+

t

t

p

p

,

którego rozwi

ą

zaniem jest

ś

cie

ż

ka czasowa

t

p

dana wzorem:

(

)

[

]

δ

β

γ

α

δ

β

σ

δ

β

γ

α

+

+

+

+

−













+

+

−

=

t

t

p

p

1

0

.

Podsumowanie:

1. Przedstawione modele równowagi konkurencyjnej rynków izolowanych ró

ż

ni

ą

si

ę

mi

ę

dzy sob

ą

ze wzgl

ę

du na skal

ę

odst

ę

pstw od zało

ż

e

ń

modelu rynku doskonałego.

2. Model Arrowa-Hurwicza w najwi

ę

kszym stopniu uwzgl

ę

dnia zało

ż

enia o rynku doskonałym. Jest

klasycznym modelem statycznym.

3. Model z oczekiwaniami cenowymi jest modelem dynamicznym, w którym zakłada si

ę

zdolno

ść

konsumentów i producentów do przewidywania kierunków i tempa zmian cen.

4. Model paj

ę

czyny, podobnie jak poprzedni, jest modelem dynamicznym i opisuje działanie

mechanizmu rynkowego przy zało

ż

eniu,

ż

e mi

ę

dzy decyzj

ą

producenta a pojawieniem si

ę

efektu rynkowego w postaci towarów wyst

ę

puje opó

ź

nienie wynikaj

ą

ce z faktu,

ż

e proces

produkcyjny trwa w czasie, natomiast konsumenci reaguj

ą

na zmieniaj

ą

c

ą

si

ę

sytuacj

ę

rynkow

ą

natychmiast.

5. Model rynku z zapasami uzale

ż

nia wielko

ść

produkcji od informacji o zmianach poziomu

zapasów towarów, co warunkuje bezpo

ś

redni wpływ zmian w poziomie zapasów na zmiany

cen.

6. Model paj

ę

czyny, model rynku z zapasami oraz model rynku z oczekiwaniami cenowymi s

ą

modelami rynków homogenicznych.

dr Agnieszka Bobrowska

13

Ekonomia matematyczna I

Pytania kontrolne:

1. Co oznacza,

ż

e rynek znajduje si

ę

w stanie równowagi w modelu Arrowa-Hurwicza?

2. Jakie s

ą

ź

ródła dochodów handlowców w modelu Arrowa-Hurwicza?

3. Co oznacza,

ż

e cena jest funkcj

ą

czasu? Podaj ekonomiczn

ą

interpretacj

ą

pochodnej funkcji

ceny po czasie

t

.

4. Jak

ą

ma posta

ć

warunek równowagi w modelu rynku z oczekiwaniami cenowymi?

5. Jakie rodzaje oscylacji wyró

ż

nia si

ę

w modelu paj

ę

czyny i od czego one zale

żą

?

6. Podaj zało

ż

enia modelu paj

ę

czyny.

7. Podaj równanie ceny w modelu rynku z zapasami.

8. Podaj ekonomiczn

ą

interpretacj

ę

parametrów równania popytu i równania poda

ż

y w modelu

rynku z zapasami.