dr Agnieszka Bobrowska
1
Ekonomia matematyczna I
Wykład 6
6. Modele równowagi konkurencyjnej
Modele równowagi konkurencyjnej wywodz
ą
si
ę
z rozwa
Ŝ
a
ń
na temat działania mechanizmu
rynkowego polegaj
ą
cego na wzajemnym oddziaływaniu popytu, poda
Ŝ
y i cen w warunkach rynku
doskonałego. Modele tego typu stanowi
ą
bardzo uogólnione odzwierciedlenie kategorii rynku
i mechanizmu kształtowania cen równowa
Ŝą
cych popyt i poda
Ŝ
.
We wszystkich modelach równowagi konkurencyjnej przyjmuje si
ę
pewne poj
ę
cia pierwotne, s
ą
to
poj
ę
cia towarów oraz podmiotów gospodarczych. Przyjmuje si
ę
ponadto dychotomiczny podział
podmiotów rynkowych ze wzgl
ę
du na odgrywane role w gospodarce. Zakłada si
ę
,
Ŝ
e ka
Ŝ
dy uczestnik
rynku wyst
ę
puje w roli konsumenta i/lub producenta, a działalno
ść
gospodarcza zaliczana jest albo do
sfery konsumpcji albo do sfery produkcji. Towary klasyfikowane s
ą
ze wzgl
ę
du na przeznaczenie na
towary konsumpcyjne i czynniki wytwórcze. Pozwala to wyodr
ę
bni
ć
dwa rodzaje rynków – rynek
towarów konsumpcyjnych i rynek czynników wytwórczych.
Zakładamy ponadto,
Ŝ
e podmioty gospodarcze zachowuj
ą
si
ę
racjonalnie i podejmuj
ą
decyzje
niezale
Ŝ
ne od zachowania innych uczestników rynku. W tej sytuacji dochodzi najcz
ęś
ciej do konfliktu
pomi
ę
dzy uczestnikami rynku, wynikaj
ą
cego ze sprzeczno
ś
ci interesów poszczególnych grup
podmiotów gospodarczych.
Celem ka
Ŝ
dej gospodarki jest taka alokacja zasobów, która umo
Ŝ
liwia prowadzenie działalno
ś
ci
produkcyjnej i podział wytworzonych dóbr. W przypadku gospodarki wolnokonkurencyjnej, w której
pojedynczy uczestnik rynku nie ma wpływu na ceny towarów, alokacja zasobów jest rezultatem
działa
ń
wielu podmiotów. Zakłada si
ę
,
Ŝ
e w wyniku ukształtowania si
ę
na rynku pewnego układu cen
uczestnicy rynku staraj
ą
si
ę
do nich dostosowa
ć
, a ich indywidualne działania s
ą
wzajemnie zgodne
i wykonalne. Zało
Ŝ
enie to jest sformułowan
ą
przez L. Walrasa koncepcj
ą
równowagi konkurencyjnej.
Ekonomia matematyczna wypracowała kilka modeli równowagi konkurencyjnej
1
.
6.1. Model rynku Arrowa-Hurwicza
Jednym z takich modeli jest model rynku Arrowa-Hurwicza. Nazwa tego modelu pochodzi od
nazwisk jego twórców. W oparciu o ten model omówimy mo
Ŝ
liwo
ść
ustalenia si
ę
na rynku takiego
układu cen, przy którym popyt zrównuje si
ę
z poda
Ŝą
oraz przy którym wszyscy uczestnicy rynku
maksymalizuj
ą
swoj
ą
u
Ŝ
yteczno
ść
. W modelu tym uczestnicy rynku, zwani handlowcami, pełni
ą
jednocze
ś
nie funkcje sprzedawców i nabywców. Przybywaj
ą
z towarami na rynek z zamiarem ich
sprzeda
Ŝ
y, dochody uzyskane w ten sposób pozwalaj
ą
im na zakup towarów słu
Ŝą
cych do
zaspokojenie potrzeb.
1
Przedstawione modele omówione s
ą
w: E. Panek: Ekonomia matematyczna, wyd. AE Pozna
ń
, 2000, E. Panek:
Elementy ekonomii matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, t.1 1993 i A.C. Chiang: Podstawy ekonomii
matematycznej, PWE, 1994
dr Agnieszka Bobrowska
2
Ekonomia matematyczna I
Zakładamy,
Ŝ
e na rynek dostarczanych jest n towarów (przestrze
ń
towarów
n
R
X
+
=
), w wymianie
których uczestniczy m podmiotów. Oznaczmy przez:
)
,...,
,
(
2
1
k
n
k
k
k
y
y
y
y
=
- koszyk towarów dostarczanych na rynek przez k-tego uczestnika wymiany,
)
,...,
,
(
2
1
k
n
k
k
k
x
x
x
x
=
- koszyk towarów, który jest gotów naby
ć
k-ty uczestnik wymiany,
)
,...,
,
(
2
1
n
p
p
p
p
=
- wektor cen towarów.
Zakładamy,
Ŝ
e jedynymi dochodami uczestników rynku s
ą
te, które uzyskali ze sprzeda
Ŝ
y swoich
zapasów oraz,
Ŝ
e handlowiec nie mo
Ŝ
e wyda
ć
na zakup towarów wi
ę
cej ni
Ŝ
uzyskał przychodu ze
sprzeda
Ŝ
y, co zapisujemy:
k
k
y
p
x
p
,
,
≤
.
W modelu Arrowa-Hurwicza uczestnicy rynku, przy dokonywaniu wyboru koszyka towarów x,
kieruj
ą
si
ę
indywidualnymi preferencjami, opisywanymi przy pomocy funkcji u
Ŝ
yteczno
ś
ci. Zadanie
maksymalizacji u
Ŝ
yteczno
ś
ci konsumpcji zapisujemy, w tym przypadku, w postaci:
)
(
max
x
u
k
,
pami
ę
taj
ą
c,
Ŝ
e:
k
y
p
x
p
,
,
≤
i
0
≥
x
.
Przez
k
u
(k=1,2,…,m) oznaczamy funkcj
ę
u
Ŝ
yteczno
ś
ci k-tego uczestnika.
Zakładamy o funkcji
k
u
,
Ŝ
e jest ci
ą
gła, silnie wkl
ę
sła oraz rosn
ą
ca na
n
R
+
. Wówczas rozwi
ą
zanie
k
x
zdania maksymalizacji u
Ŝ
yteczno
ś
ci k-tego uczestnika wymiany jest funkcj
ą
ceny p i jego dochodu
k
I
:
)
,
(
k
k
k
I
p
x
ϕ
=
.
Funkcja popytu
k
ϕ
zdefiniowana jest nast
ę
puj
ą
co:
)
(
max
arg
)
,
(
x
u
I
p
k
k
k
=
ϕ
, gdy
k
I
x
p
≤
,
i
0
≥
x
.
Poniewa
Ŝ
jednak zakładamy,
Ŝ
e dochód I jest funkcj
ą
ceny p, to funkcje popytu
k
ϕ
mo
Ŝ
emy
zapisa
ć
w postaci funkcji jednoargumentowej
k
f
:
dr Agnieszka Bobrowska
3
Ekonomia matematyczna I
)
,
,
(
)
,
(
)
(
k
k
k
k
k
y
p
p
I
p
p
f
ϕ
ϕ
=
=
.
Wnioski:
1. Bezpo
ś
rednio z definicji funkcji
k
f
wnioskujemy,
Ŝ
e s
ą
to funkcje dodatnio jednorodne stopnia
0.
2. Ponadto w warunkach niedosytu, przy zało
Ŝ
eniu silnej wkl
ę
sło
ś
ci funkcji u
Ŝ
yteczno
ś
ci,
k
f
s
ą
ci
ą
głe na
n
R
+
int
.
Poni
Ŝ
ej prezentujemy inne dodatkowe zało
Ŝ
enia o funkcjach popytu
k
f
(k=1,2,…,m):
(I) Funkcje
k
f
s
ą
ci
ą
głe i ró
Ŝ
niczkowalne na
{ }
0
\
n
R
+
.
Zanim zaprezentujemy własno
ść
(II) zdefiniujemy najpierw nadwy
Ŝ
kowy popyt:
Ró
Ŝ
nic
ę
mi
ę
dzy globalnym popytem a globaln
ą
poda
Ŝą
nazywamy
wektorem nadwy
Ŝ
kowego
popytu na towary
i zapisujemy:
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
−
=
−
=
m
k
k
m
k
m
k
k
m
k
k
k
y
f
y
x
p
z
1
1
1
1
)
(
.
(II)
)
0
)
(
0
(
>
⇒
=
∀
p
z
p
i
i
i
.
(III)
Macierz funkcyjna
)
,
(
)
(
n
n
j
i
p
z
p
J
∂
∂
=
spełnia warunek:
)
0
)
(
(
1
int
),
(
\
<
=
∧
∈
∀
∪
∈
∀
+
−
+
T
n
n
n
n
p
J
p
R
p
R
R
R
λ
λ
λ
.
Uwagi:
1. Zało
Ŝ
enia (I) i (II) stanowi
ą
punkt wyj
ś
cia do twierdzenia 6.1., w którym to twierdzeniu ich
spełnienie jest koniecznym i dostatecznym warunkiem istnienia wektora ceny równowagi.
2. Zało
Ŝ
enie (II) oznacza,
Ŝ
e popyt na towar oferowany za darmo zawsze przekracza poda
Ŝ
.
3. Zało
Ŝ
enie (III) jest słabsze od zało
Ŝ
enia o ujemnej okre
ś
lono
ś
ci macierzy
)
(
p
J
.
dr Agnieszka Bobrowska
4
Ekonomia matematyczna I
Twierdzenie 6.1.
Je
Ŝ
eli spełnione s
ą
warunki (I), (II), to istnieje wektor cen równowagi
0
>
p
okre
ś
lony
z dokładno
ś
ci
ą
do mno
Ŝ
enia przez stał
ą
dodatni
ą
(z dokładno
ś
ci
ą
do struktury).
Wiedz
ą
c jakie warunki musz
ą
spełnia
ć
funkcje popytu
k
f
(k=1,2,…,m), aby istniał wektor cen
równowagi, podajmy definicj
ę
samego wektora cen równowagi oraz sytuacji, w której rynek znajduje
si
ę
w równowadze:
Mówimy,
Ŝ
e
rynek jest w równowadze
, je
Ŝ
eli ustaliły si
ę
na nim ceny
0
∩
>
p
, przy których wektor
nadwy
Ŝ
kowego popytu spełnia warunek:
0
)
(
=
p
z
.
Wektor
p
nazywamy
wektorem cen równowagi
.
6.2. Model rynku z oczekiwaniami cenowymi
Model rynku z oczekiwaniami cenowymi nale
Ŝ
y do grupy dynamicznych modeli rynku.
W modelu tym zachowania uczestników rynku uzale
Ŝ
nione s
ą
nie tylko od bie
Ŝą
cych cen towarów,
jak ma to miejsce w przypadku statycznej wersji modelu rynku Arrowa-Hurwicza, ale równie
Ŝ
od
zmieniaj
ą
cego si
ę
w czasie trendu cenowego.
W omawianym aktualnie modelu, zakłada si
ę
,
Ŝ
e obserwowane w danym okresie trendy cenowe
maj
ą
znacz
ą
ce znaczenie przy formułowaniu oczekiwa
ń
podmiotów rynkowych dotycz
ą
cych
przyszłego poziomu cen. Te oczekiwania cenowe mog
ą
z kolei wpływa
ć
na ich decyzje dotycz
ą
ce
popytu i poda
Ŝ
y. Ceny w modelu z oczekiwaniami cenowymi traktujemy jako funkcj
ę
czasu:
)
(
t
p
p
=
.
Wówczas pierwsza i druga pochodna ceny po czasie, w przypadku czasu ci
ą
głego, dostarcza
informacji na temat kształtowania si
ę
trendu cenowego. Pochodna
t
p
∂
∂
informuje w jakim kierunku
pod
ąŜ
aj
ą
ceny (czy rosn
ą
/malej
ę
), natomiast pochodna
2
2
t
p
∂
∂
informuje o tempie zmian (czy cena
ro
ś
nie/maleje coraz szybciej (wolniej)).
Przyjmijmy nast
ę
puj
ą
ce oznaczenia:
d
q
- wielko
ść
popyt,
s
q
- wielko
ść
poda
Ŝ
y,
d – funkcja popytu,
s – funkcja poda
Ŝ
y.
Przy danych oznaczeniach ogólny model rynku z oczekiwaniami cenowymi mo
Ŝ
na zapisa
ć
w postaci układu:
dr Agnieszka Bobrowska
5
Ekonomia matematyczna I
=
=
))
(
''
),
(
'
),
(
(
))
(
''
),
(
'
),
(
(
t
p
t
p
t
p
s
q
t
p
t
p
t
p
d
q
s
d
.
Wida
ć
,
Ŝ
e zarówno funkcja popytu d, jak i funkcja poda
Ŝ
y q uwzgl
ę
dniaj
ą
trendy cenowe,
a wszystkie zmienne traktujemy jako funkcje czasu.
Je
Ŝ
eli ograniczymy si
ę
do liniowych wersji funkcji popytu i poda
Ŝ
y, wówczas model mo
Ŝ
na zapisa
ć
w postaci:
>
+
+
+
−
=
>
+
+
−
=
)
0
,
(
'
'
'
)
0
,
(
'
'
'
δ
γ
δ
γ
β
α
β
α
wp
up
p
q
np
mp
p
q
s
d
.
W przypadku modelu z oczekiwaniami cenowymi, zadanie polegaj
ą
ce na wyznaczeniu ceny
równowagi
p
, tj. znalezieniu takiego układu cen, dla którego popyt zrównuje si
ę
z popytem
(
s
d
q
q
=
), sprowadza si
ę
do rozwi
ą
zania równania ró
Ŝ
niczkowego rz
ę
du drugiego:
'
'
'
'
'
'
wp
up
p
np
mp
p
+
+
+
−
=
+
+
−
δ
γ
β
α
.
Po pogrupowaniu otrzymujemy:
γ
α
δ
β
−
−
=
−
−
+
−
+
−
p
p
u
m
p
w
n
)
(
'
)
(
''
)
(
.
Rozwi
ą
zaniem tego równania ró
Ŝ
niczkowego jest
ś
cie
Ŝ
ka czasowa p(t) o postaci:
1.
δ
β
γ
α
+
+
+
+
=
t
r
t
r
e
C
e
C
t
p
2
1
2
1
)
(
, gdy
2
1
, r
r
s
ą
pierwiastkami rzeczywistymi równania
charakterystyk rozwa
Ŝ
anego równania ró
Ŝ
niczkowego,
2.
δ
β
γ
α
+
+
+
+
=
rt
rt
te
C
e
C
t
p
2
1
)
(
, gdy
r
r
r
=
=
2
1
s
ą
podwójnym pierwiastkiem równania
charakterystyk rozwa
Ŝ
anego równania ró
Ŝ
niczkowego,
3.
δ
β
γ
α
η
η
ξ
+
+
+
+
=
)
sin
cos
(
)
(
2
1
t
C
t
C
e
t
p
t
, gdy
2
1
, r
r
s
ą
pierwiastkami zespolonymi równania
charakterystyk rozwa
Ŝ
anego równania ró
Ŝ
niczkowego, przy czym
η
ξ
i
r
r
+
=
=
2
1
.
W przypadku, gdy cena pocz
ą
tkowa p(0) jest równa dokładnie cenie równowagi
p
, czyli gdy rynek
znajduje si
ę
w poło
Ŝ
eniu równowagi, wówczas dynamiczna analiza układu staje si
ę
nie potrzebna.
Bardziej interesuj
ą
cy staje si
ę
przypadek, gdy
p
p
≠
)
0
(
, w którym to tylko po pewnym procesie
dostosowania, o ile starczy czasu, rynek znajdzie si
ę
w stanie równowagi.
dr Agnieszka Bobrowska
6
Ekonomia matematyczna I
Je
Ŝ
eli
p
t
p
t
∞
→
→
)
(
)
)
(
lim
(
∞
<
∞
→
t
p
t
, to poło
Ŝ
enie równowagi nazywamy
dynamicznie stabilnym
.
Dynamiczna stabilno
ść
równowagi oznacza,
Ŝ
e
ś
cie
Ŝ
ka czasowa p(t) prowadzi cen
ę
w kierunku
poło
Ŝ
enia równowagi
p
. Poziom cen
p
interpretujemy jako mi
ę
dzyokresowe poło
Ŝ
enie równowagi,
a nie jak poziom cen oczyszczaj
ą
cy rynek.
Przykład:
Zakładamy,
Ŝ
e model rynku z oczekiwaniami cenowymi ma posta
ć
:
+
−
=
+
+
−
=
p
q
p
p
p
q
s
d
6
4
'
'
'
3
4
6
.
Znaj
ą
c warunki pocz
ą
tkowe:
−
=
=
3
)
0
(
'
3
)
0
(
p
p
oraz wiedz
ą
c,
Ŝ
e w ka
Ŝ
dej chwili czasu t nadwy
Ŝ
kowy popyt równa si
ę
zero (
0
=
−
s
d
q
q
), nale
Ŝ
y
znale
źć
ś
cie
Ŝ
k
ę
czasow
ą
p(t) oraz zbada
ć
, czy dany układ jest dynamicznie stabilny.
W tym celu rozwi
ą
zujemy równanie ró
Ŝ
niczkowe liniowe niejednorodne rz
ę
du drugiego:
10
10
'
3
''
−
=
−
+
p
p
p
.
Odpowiadaj
ą
ce mu równanie ró
Ŝ
niczkowe jednorodne i dalej równanie charakterystyk maj
ą
posta
ć
:
0
10
'
3
''
=
−
+
p
p
p
0
10
3
2
=
−
+
r
r
.
Poszukujemy rozwi
ą
zania równania ró
Ŝ
niczkowego jednorodnego w postaci:
rt
e
t
p
=
)
(
.
Pierwiastkami równania charakterystyk s
ą
:
dr Agnieszka Bobrowska
7
Ekonomia matematyczna I
2
2
7
3
1
=
+
−
=
r
i
5
2
7
3
2
−
=
−
−
=
r
(pierwiastki rzeczywiste).
Zatem rozwi
ą
zanie ogólne równania
0
10
'
3
''
=
−
+
p
p
p
ma posta
ć
:
t
t
e
C
e
C
t
p
5
2
2
1
)
(
−
+
=
,
{ }
0
\
,
2
1
+
∈
R
C
C
.
Natomiast rozwi
ą
zaniem szczególnym równania
10
10
'
3
''
−
=
−
+
p
p
p
jest p=1.
Podsumowuj
ą
c, rozwi
ą
zaniem ogólnym równania niejednorodnego jest funkcja:
1
)
(
5
2
2
1
+
+
=
−
t
t
e
C
e
C
t
p
,
{ }
0
\
,
2
1
+
∈
R
C
C
.
Ze wzgl
ę
du na warunki pocz
ą
tkowe otrzymujemy ostatecznie rozwi
ą
zanie szczególne:
1
)
(
5
2
+
+
=
−
t
t
e
e
t
p
.
Poniewa
Ŝ
+∞
=
∞
→
)
(
lim
t
p
t
, wi
ę
c mi
ę
dzyokresowe rozwi
ą
zanie równowagi jest dynamicznie
niestabilne.
6.3. Model paj
ę
czyny, model rynku z zapasami (zało
Ŝ
enia, struktura i interpretacja modeli)
Model paj
ę
czyny oraz model rynku z zapasami s
ą
modelami rynku dla jednego dobra z czasem
dyskretnym.
Cech
ą
charakterystyczn
ą
modelu paj
ę
czyny, odró
Ŝ
niaj
ą
c
ą
go od wcze
ś
niej omówionych modeli,
jest to,
Ŝ
e wielko
ść
poda
Ŝ
y
s
q
jest traktowana nie jako funkcja bie
Ŝą
cej ceny towaru, ale ceny
z poprzedniego okresu.
Zakładamy,
Ŝ
e producent podejmuj
ą
c w okresie t decyzj
ę
o wielko
ś
ci produkcji, opiera si
ę
na cenie
z bie
Ŝą
cego okresu. Produkcja jest procesem, który wymaga czasu. W przypadku niektórych dóbr
mog
ą
to by
ć
nawet do
ść
długie okresy, ale dla uproszczenia w modelu przyjmuje si
ę
,
Ŝ
e mi
ę
dzy
decyzj
ą
o wielko
ś
ci produkcji a wyprodukowaniem dobra upływa jeden okres. Zaplanowana produkcja
b
ę
dzie zate gotowa do sprzeda
Ŝ
y w okresie t+1, nie b
ę
dzie wi
ę
c miała wpływu na wielko
ść
poda
Ŝ
y
w okresie bie
Ŝą
cym t (
t
s
q
,
), lecz na wielko
ść
poda
Ŝ
y w okresie przyszłym t+1 (
1
,
+
t
s
q
).
W wyniku powy
Ŝ
szego zało
Ŝ
enia otrzymujemy funkcj
ę
opó
ź
nionej poda
Ŝ
y:
)
(
1
,
t
t
s
p
s
q
=
+
dr Agnieszka Bobrowska
8
Ekonomia matematyczna I
lub równowa
Ŝ
nie:
)
(
1
,
−
=
t
t
s
p
s
q
.
Natomiast co si
ę
tyczy zachowania konsumentów, w modelu paj
ę
czyny przyjmujemy,
Ŝ
e ich
reakcja na zmian
ę
ceny jest natychmiastowa lub inaczej mówi
ą
c,
Ŝ
e wielko
ść
zgłaszanego przez nich
popytu na dany towar jest wynikiem bie
Ŝą
cej ceny tego towaru. Wynika st
ą
d, i
Ŝ
funkcja popytu jest
funkcj
ą
bie
Ŝą
cej ceny towaru:
)
(
,
t
t
d
p
d
q
=
.
Kiedy przyjmiemy,
Ŝ
e funkcje popytu i poda
Ŝ
y maj
ą
posta
ć
liniow
ą
, wtedy model paj
ę
czyny składa
si
ę
z układu trzech równa
ń
:
=
>
+
−
=
>
−
=
−
t
s
t
d
t
t
s
t
t
d
q
q
p
q
p
q
,
,
1
,
,
0
,
,
0
,
,
δ
γ
δ
γ
β
α
β
α
.
Dokonuj
ą
c podstawienia dwóch pierwszych równa
ń
układu do równania ostatniego, a nast
ę
pnie
porz
ą
dkuj
ą
c i przenosz
ą
c wyrazy wolne na praw
ą
stron
ę
równo
ś
ci, a pozostałe na stron
ę
lew
ą
,
uzyskujemy model rynku w postaci pojedynczego równania ró
Ŝ
nicowego rz
ę
du pierwszego:
γ
α
δ
β
+
=
+
−
1
t
t
p
p
.
Przekształcaj
ą
c poprzednie równanie oraz zmieniaj
ą
c jego indeksacj
ę
(bez znaczenia dla dalszych
rozwa
Ŝ
a
ń
) mamy:
β
γ
α
β
δ
+
=
+
+
t
t
p
p
1
.
Rozwi
ą
zuj
ą
c nasze równanie ró
Ŝ
nicowe, otrzymujemy rozwi
ą
zanie w postaci
ś
cie
Ŝ
ki czasowej
t
p
:
δ
β
γ
α
β
δ
δ
β
γ
α
+
+
+
−
+
+
−
=
t
t
p
p
0
,
dr Agnieszka Bobrowska
9
Ekonomia matematyczna I
przy czym
0
p
prezentuje cen
ę
pocz
ą
tkow
ą
towaru.
Wnioski:
1. Wyra
Ŝ
enie
δ
β
γ
α
+
+
mo
Ŝ
e by
ć
traktowane jako cena równowagi mi
ę
dzyokresowej i oznaczamy j
ą
przez
p
.
2. Podstawiaj
ą
c do wzoru na
t
p
, w miejsce wyra
Ŝ
enia
δ
β
γ
α
+
+
cen
ę
równowagi mi
ę
dzyokresowej
p
,
ś
cie
Ŝ
k
ę
czasow
ą
mo
Ŝ
na zapisa
ć
w postaci równowa
Ŝ
nej:
(
)
p
p
p
p
t
t
+
−
−
=
β
δ
0
.
Od znaku ró
Ŝ
nicy
p
p
−
0
b
ę
dzie zale
Ŝ
e
ć
, czy pocz
ą
tek
ś
cie
Ŝ
ki czasowej b
ę
dzie si
ę
zaczyna
ć
powy
Ŝ
ej (
p
p
>
0
) czy poni
Ŝ
ej (
p
p
<
0
) poło
Ŝ
enia równowagi, z kolei od warto
ś
ci
bezwzgl
ę
dnej
p
p
−
0
zale
Ŝ
y odległo
ść
pocz
ą
tku
ś
cie
Ŝ
ki czasowej od poło
Ŝ
enia równowagi.
3. Poniewa
Ŝ
0
,
>
δ
β
mo
Ŝ
emy wnioskowa
ć
,
Ŝ
e
ś
cie
Ŝ
ka oscyluje, od wielko
ś
ci
β
δ
−
zale
Ŝ
y
charakter oscylacji. I tak wyró
Ŝ
niamy trzy przypadki oscylacji:
- oscylacje eksploduj
ą
ce
(
)
β
δ
>
,
- oscylacje jednostajne
(
)
β
δ
=
,
- oscylacje gasn
ą
ce
(
)
β
δ
<
.
Poszczególne schematy oscylacji ilustruj
ą
rysunki 6.1.a) - c).
dr Agnieszka Bobrowska
10
Ekonomia matematyczna I
Rys.6.1. a) Model paj
ę
czyny z oscylacj
ą
jednostajn
ą
.
Rys.6.1. b) Model paj
ę
czyny z oscylacj
ą
eksploduj
ą
c
ą
.
Rys.6.1. c) Model paj
ę
czyny z oscylacj
ą
gasn
ą
c
ą
.
b)
p
q
3
p
0
1
p
p
p
2
p
4
p
1
q
q
β
δ
>
d
s
2
q
3
q
4
q
c)
p
0
2
4
3
1
p
p
p
p
p
p
q
β
δ
<
d
1
q
3
q
4
q
2
q
a)
p
q
1
p
p
0
p
1
q
q
2
q
β
δ
=
d
s
s
q
dr Agnieszka Bobrowska
11
Ekonomia matematyczna I
Interpretacja:
1. Oscylacja gasn
ą
ca (rysunek 6.1.c)): dana jest pewna cena pocz
ą
tkowej
0
p
(na nasz$ym
rysunku
p
p
>
0
). Poruszaj
ą
c si
ę
zgodnie ze strzałk
ą
, dochodzimy do krzywej s, na której
cenie
0
p
odpowiada wielko
ść
poda
Ŝ
y
1
q
, któr
ą
producent zaplanował jeszcze w okresie 0.
W okresie 1, aby zredukowa
ć
nadwy
Ŝ
k
ę
poda
Ŝ
y popytem, ustalona zostaje nowa cena
1
p
.
Ustalenie si
ę
ceny na poziomie
1
p
powoduje,
Ŝ
e w okresie 2 wielko
ść
poda
Ŝ
y wynosi
2
q
.
Poniewa
Ŝ
w okresie 2 popyt przewy
Ŝ
sza poda
Ŝ
, st
ą
d aby oczy
ś
ci
ć
rynek musi nast
ą
pi
ć
wzrost
dotychczasowej ceny do poziomu
3
p
. Rozumuj
ą
c jak dotychczas, poruszamy si
ę
zgodnie ze
strzałkami. W ten sposób „utkana” zostaje paj
ę
czyna z zewn
ą
trz do
ś
rodka. Z ka
Ŝ
dym krokiem
coraz bardziej b
ę
dziemy si
ę
przybli
Ŝ
a
ć
do punktu równowagi
( )
q
p,
.
2. Oscylacja eksploduj
ą
ca:
3. Oscylacja jednostajna:
W modelu paj
ę
czyny zakładamy,
Ŝ
e cena jest tak ustalona, by w ka
Ŝ
dym okresie produkt został
sprzedany w cało
ś
ci. Z zało
Ŝ
enia tego wynika,
Ŝ
e producenci nie gromadz
ą
Ŝ
adnych zapasów swoich
produktów.
Innym modelem rynku, który uwzgl
ę
dnia mo
Ŝ
liwo
ść
przechowywania zapasów towarów jest model
rynku z zapasami.
Zakładamy w nim,
Ŝ
e wielko
ść
popytu
t
d
q
,
oraz wielko
ść
poda
Ŝ
y
t
s
q
,
s
ą
liniowymi funkcjami ceny
t
p
, któr
ą
ustala sprzedaj
ą
cy na pocz
ą
tku ka
Ŝ
dego okresu. Cena
t
p
uwzgl
ę
dnia wielko
ść
nagromadzonych zapasów i tak: je
Ŝ
eli cena ustalona w poprzednim okresie spowodowała
nagromadzenie si
ę
zapasów, to w okresie bie
Ŝą
cym nowa cena wyznaczana jest na ni
Ŝ
szym poziomie
i odwrotnie, je
Ŝ
eli zapasy si
ę
zmniejszyły, to nowa cena jest wyznaczana na wy
Ŝ
szym poziomie.
Dostosowanie si
ę
cen bie
Ŝą
cego okresu do cen z okresu poprzedniego jest odwrotnie proporcjonalne
do zaobserwowanej zmiany zapasów.
Wprowad
ź
my nast
ę
puj
ą
ce oznaczenia:
σ
- współczynnik dostosowania cen w zale
Ŝ
no
ś
ci od zapasów,
(
t
d
t
s
q
q
,
,
−
) - wielko
ść
zapasów.
W wyniku przyj
ę
tych zało
Ŝ
e
ń
oraz oznacze
ń
model rynku z zapasami mo
Ŝ
na zapisa
ć
nast
ę
puj
ą
co:
>
−
−
=
>
+
−
=
>
−
=
+
)
0
(
)
(
)
0
,
(
)
0
,
(
,
,
1
,
,
σ
σ
δ
γ
δ
γ
β
α
β
α
t
d
t
s
t
t
t
t
s
t
t
d
q
q
p
p
p
q
p
q
.
dr Agnieszka Bobrowska
12
Ekonomia matematyczna I
Podstawiaj
ą
c pierwsze dwa równania do trzeciego, otrzymujemy model w postaci pojedynczego
równania ró
Ŝ
nicowego.
)
(
))
(
1
(
1
γ
α
σ
δ
β
σ
+
=
+
−
−
+
t
t
p
p
,
którego rozwi
ą
zaniem jest
ś
cie
Ŝ
ka czasowa
t
p
dana wzorem:
(
)
[
]
δ
β
γ
α
δ
β
σ
δ
β
γ
α
+
+
+
+
−
+
+
−
=
t
t
p
p
1
0
.
Podsumowanie:
1. Przedstawione modele równowagi konkurencyjnej rynków izolowanych ró
Ŝ
ni
ą
si
ę
mi
ę
dzy sob
ą
ze wzgl
ę
du na skal
ę
odst
ę
pstw od zało
Ŝ
e
ń
modelu rynku doskonałego.
2. Model Arrowa-Hurwicza w najwi
ę
kszym stopniu uwzgl
ę
dnia zało
Ŝ
enia o rynku doskonałym. Jest
klasycznym modelem statycznym.
3. Model z oczekiwaniami cenowymi jest modelem dynamicznym, w którym zakłada si
ę
zdolno
ść
konsumentów i producentów do przewidywania kierunków i tempa zmian cen.
4. Model paj
ę
czyny, podobnie jak poprzedni, jest modelem dynamicznym i opisuje działanie
mechanizmu rynkowego przy zało
Ŝ
eniu,
Ŝ
e mi
ę
dzy decyzj
ą
producenta a pojawieniem si
ę
efektu rynkowego w postaci towarów wyst
ę
puje opó
ź
nienie wynikaj
ą
ce z faktu,
Ŝ
e proces
produkcyjny trwa w czasie, natomiast konsumenci reaguj
ą
na zmieniaj
ą
c
ą
si
ę
sytuacj
ę
rynkow
ą
natychmiast.
5. Model rynku z zapasami uzale
Ŝ
nia wielko
ść
produkcji od informacji o zmianach poziomu
zapasów towarów, co warunkuje bezpo
ś
redni wpływ zmian w poziomie zapasów na zmiany
cen.
6. Model paj
ę
czyny, model rynku z zapasami oraz model rynku z oczekiwaniami cenowymi s
ą
modelami rynków homogenicznych.
dr Agnieszka Bobrowska
13
Ekonomia matematyczna I
Pytania kontrolne:
1. Co oznacza,
Ŝ
e rynek znajduje si
ę
w stanie równowagi w modelu Arrowa-Hurwicza?
2. Jakie s
ą
ź
ródła dochodów handlowców w modelu Arrowa-Hurwicza?
3. Co oznacza,
Ŝ
e cena jest funkcj
ą
czasu? Podaj ekonomiczn
ą
interpretacj
ą
pochodnej funkcji
ceny po czasie
t
.
4. Jak
ą
ma posta
ć
warunek równowagi w modelu rynku z oczekiwaniami cenowymi?
5. Jakie rodzaje oscylacji wyró
Ŝ
nia si
ę
w modelu paj
ę
czyny i od czego one zale
Ŝą
?
6. Podaj zało
Ŝ
enia modelu paj
ę
czyny.
7. Podaj równanie ceny w modelu rynku z zapasami.
8. Podaj ekonomiczn
ą
interpretacj
ę
parametrów równania popytu i równania poda
Ŝ
y w modelu
rynku z zapasami.