3U]\NáDG8NáDGEHONRZ\]áR*RQ\

3ROHFHQLH Z\]QDF]\ü UHDNFMH SRGSRURZH GOD SRQL*V]HM EHONL REFL*RQHM VLá VNXSLRQ

P i

REFL*HQLHPFLJá\P

q(x)

RQDW *HQLX]PLHQLDMF\PVL OLQLRZR

Oznaczamy podpory literami A, B i C

QDWRPLDVWSRáF]HQLDSU]HJXERZHF\IUDPL

1 i 2.

8ZDOQLDP\XNáDGRGZL ]yZL]DVW SXMHP\SRGSRU\UHDNFMDPL

W utwierdzeniu w punkcie A 

G]LDáDM QDVW SXMFH UHDNFMH PRPHQW

M

A 

RUD] VNáDGRZD

pionowa V

A

 i pozioma H

A

NWyUHVRGVLHELHQLH]DOH*QH:SXQNFLH

B 

Z\VW SXMHUHDNFMD

R

B

 o

P =  3  ql

6 q

.

 = 30

o

l

l

3 l

2 l

2 l



 = 60

o

6 q

P =  3  ql

.

= 30

o

l

l

3 l

2 l

2 l



 = 60

o

A

B

C

2

1

C

R

C

90

o

.

= 30

o



 = 60

o



= 90

o

 

í. 

60

o

II

6 q

P =  3  ql

l

l

3 l

2 l

2 l



 = 60

o

A

B

C

2

1



 = 60

o

H

A

M

A

V

A

R

B

R

C

I

x

y

2

SLRQRZHM OLQLL G]LDáDQLD QDWRPLDVW Z SXQNFLH

C reakcja R

C

 G]LDáDMFD Z]GáX* SURVWHM

QDFK\ORQHMGRSR]LRPXSRGNWHP

 = 60

o

.

5R]ZL]DQLH ]DGDQLD UR]SRF]QLHP\ RG ]DSLVDQLD UyZQDQLD PRPHQWyZ Z]JO GHP SXQNWX

1

GOD F] FL 

I 

 XNáDGX : UyZQDQLX W\P Z\VWSL GZLH QLHZLDGRPH

M

A

 i V

A

, natomiast

SR]RVWDáH VLá\

V

1

, H

1

 i H

A

 PDM OLQLH G]LDáDQLD SU]HFKRG]FH SU]H] SXQNW

1

 D ZL F PRPHQW\

W\FKVLáZ]JO GHPSXQNWX

1

VUyZQH]HUX

∑

=

i

I

i1

M

0 :         

í

M

A

 

í

V

A

 

Â

l = 0           ( * )

=DSLV]HP\ QDVW SQH UyZQDQLH PRPHQWyZ Z]JO GHP SXQNWX

2

 GOD F] FL 

II

  XNáDGX Z

NWyU\P Z\VWSL WH VDPH QLHZLDGRPH : SXQNFLH

2

 ZDUWRü QDW *HQLD REFL*HQLD FLJáHJR

wynosi 4 q.

)LJXUD SRG Z\NUHVHP UR]NáDGX QDW *HQLD REFL*HQLD FLJáHJR PL G]\ SU]HJXEDPL

1 i 2 jest

WUDSH]HP : FHOX XQLNQL FLD NRQLHF]QRFL Z\]QDF]DQLD OLQLL G]LDáDQLD Z\SDGNRZHM WHJR

REFL*HQLD  SRáR*HQLD URGND FL *NRFL WUDSH]X SRG]LHOLP\ REFL*HQLH FLJáH G]LDáDMFH QD

W  F] ü XNáDGX ]JRGQLH ] SRQL*V]\P U\VXQNLHP :\]QDF]DP\ ZDUWRFL Z\SDGNRZ\FK MDNR

SRODILJXUSRGZ\NUHVDPLUR]NáDGXQDW *HQLDREFL*HQLDFLJáHJR

q

W

II

p

4

=

Â

 

2 l = 8 ql,

              

2

1

=

II

t

W

Â

q 

Â

l = 2 ql

I

l

A

1

H

A

M

A

V

A

H

1

V

1

II

t

W

II

p

W

1

2

1

2

l

l

l

3

4

3

2

l

4 q

2 q

2 l

II

p

W

II

t

W

II

2 l

l

A

1

H

A

M

A

V

A

H

2

V

2

2

l

l

l

3

4

3

2

l

4 q

2

6 q

l + 3 l = 4 l

2 l

1

3

5yZQDQLHPRPHQWyZZ]JO GHPSXQNWX

2

GODF] FL

II

XNáDGXPDSRVWDü

∑

=

i

II

i2

M

0 :       

II

p

W  

Â

l + 

II

t

W  

Â

3

4

l 

í

M

A

 

í

V

A

 

Â

l = 0            ( ** )

: UyZQDQLX W\P QLH Z\VW SXM QLHZLDGRPH

H

A

, V

2

 i H

2

 /LQLH G]LDáDQLD W\FK VLá SU]HFKRG]

SU]H] SXQNW  ZL F LFK PRPHQW\ Z]JO GHP SXQNWX  V UyZQH ]HUX 3R SRGVWDZLHQLX GR

UyZQDQLD ZDUWRFLZ\SDGNRZ\FK

II

p

W  i 

II

t

W

UR]ZL]XMHP\XNáDGUyZQD

í

M

A

 

í

V

A

 

Â

l = 0                                 ( * )

í

M

A

 

í

V

A

 

Â

l + 

3

32

Â

ql 

2

 = 0            ( ** )

=UR]ZL]DQLDXNáDGXUyZQDRWU]\PXMHP\

M

A

 = 

í

3

16

 ql 

2

,           V

A

 = 

3

16

 ql.

:\]QDF]RQHUHDNFMHQDVFKHPDFLHXNáDGXR]QDF]RQHVNRORUHPF]DUQ\P

3R]RVWDáHUyZQDQLDUyZQRZDJL]DSLV]HP\GODFDáHJRXNáDGX

3U]HG ]DSLVDQLHP UyZQD UyZQRZDJL Z\]QDF]\P\ Z\SDGNRZ REFL*HQLD FLJáHJR RUD]

VNáDGRZSLRQRZLSR]LRPVLá\VNXSLRQHMSU]\áR*RQHMGRSUDZHJRNRFDXNáDGX

:UyZQDQLXVXP\PRPHQWyZZ]JO GHPSXQNWX

C

Z\VWSLW\ONRMHGQDQLHZLDGRPD

R

B

JG\*

OLQLHG]LDáDQLDUHDNFML

H

A

 i R

C

SU]HFKRG]SU]H]SXQNW

C

DZL FPRPHQW\Z\PLHQLRQ\FKVLá

Z]JO GHPWHJRSXQNWXVUyZQH]HUX

0

=

∑

i

iC

M

:         

í

M

A

 

í

V

A

 

Â

l 

í

 R

B

 

Â

l 

í

 P

y

 

Â

l + W 

Â

l + l ) = 0         

⇒

 R

B

 = 

3

37

 ql

=DSLV]HP\WHUD]UyZQDQLHVXP\U]XWyZVLáQDRSLRQRZGODFDáHJRXNáDGX

6 q

P =  3  ql

l

l

3 l

2 l

2 l



 = 60

o

A

B

C

2

1



 = 60

o

H

A

M

A

 = 

í

3

16

 ql 

2

V

A

 = 

3

16

 ql

R

B

R

C

P

x

 =  3  ql 

ÂFRV

 = 

2

3

 ql

l

l

3 l

2 l

2 l

A

B

C

2

1



 = 60

o

H

A

M

A 

= 

í

3

16

 ql 

2

V

A

 = 

3

16

 ql

R

B

R

C

P

y

 =  3  ql 

ÂVLQ

 = 

2

3

 ql

W  = 

2

1

Â

q 

Â

l + l + 3 l ) = 18 ql

4

∑

=

i

iy

P

0 :          V

A

 + R

B

 + R

C

 

ÂVLQ

 

í

W 

í

P

y

 = 0     

⇒

   R

C

 = 

9

3

11

 ql

6XPD U]XWyZ VLá QD R SR]LRP GOD FDáHJR XNáDGX XPR*OLZL Z\]QDF]HQLH RVWDWQLHM

niewiadomej H

A

.

0

=

∑

i

ix

P

:          H

A

 

í

 R

C

 

ÂFRV

 

í

 P

x

 = 0     

⇒

     H

A

 = 

9

3

10

 ql.

6SUDZG]LP\ SRSUDZQRü Z\NRQDQ\FK REOLF]H ]DSLVXMF UyZQDQLH UyZQRZDJL ZF]HQLHM

niewykorzystane.

∑

=

i

iA

M

0 :     

í

 M

A

 

í

W 

Â

l 

í

P

y 

Â

l + R

B

 

Â

l + R

C

 

ÂVLQ

 

Â

l =

=  

í

( 

í

3

16

Â

 ql 

2

 

)

 

í

ql 

Â

l 

í

2

3

 ql 

Â

l + 

3

37

 ql 

Â

l + 

9

3

11

 ql 

Â

 

2

3

 

Â

l =

= ql 

2

 

(

3

16

íí

2

27

 + 

3

148

 + 

6

77

 

)

 = 0

5yZQDQLHVSHáQLRQHMHVWWR*VDPRFLRZR

3U]HGVWDZLP\RWU]\PDQHZ\QLNLZSRVWDFLOLF]EG]LHVL WQ\FK

M

A

 = 

í

3

16

 ql 

2

  = 

í

ql 

2

,     V

A

 = 

3

16

 ql  = 5,33 ql,    H

A

 = 

9

3

10

 ql = 1,92 ql

R

B

 = 

3

37

 ql = 12,33 ql,      R

C

 = 

9

3

11

 ql = 2,12 ql

=DSLV]HP\MHV]F]HUD]UyZQDQLHPRPHQWyZZ]JO GHPSXQNWX

A

GODFDáHJRXNáDGX

∑

=

i

iA

M

0 :     

í

 M

A

 

í

W 

Â

l 

í

P

y 

Â

l + R

B

 

Â

l + R

C

 

ÂVLQ

 

Â

l =

=  

í

( 

í

 ql 

2

 

)

 

í

ql 

Â

l 

í

 ql 

Â

l + 12,33 ql 

Â

l + 2,12 ql 

Â

 0,866 

Â

l =

= 0,0014 ql 

2

 

§

2WU]\PDQ\ Z\QLN QLH ZLDGF]\ R SRSHáQLHQLX Eá GX MHVW QDWRPLDVW NRQVHNZHQFM

]DRNUJOHQLDZDUWRFLUHDNFML

W tym samym zadaniu wyznaczymy reakcje 

EH] NRQLHF]QRFL UR]ZL]\ZDQLD XNáDGX GZX

UyZQD ] GZLHPD QLHZLDGRP\PL 5R]ZD*DQ\ XNáDG EHONRZ\ SRG]LHOLP\ QD SRMHG\QF]H

EHONL]ZDQHSRGXNáDGDPL

l

l

3 l

2 l

2 l

P

x

 = 

2

3

 ql

A

B

C

2

1



 = 60

o

H

A

 =

9

3

10

 ql

M

A 

= 

í

3

16

 ql 

2

V

A

 = 

3

16

 ql

R

B

 = 

3

37

 ql

R

C

 = 

9

3

11

 ql

P

y

 = 

2

3

 ql

W  = 

2

1

Â

q 

Â

l + l + 3 l ) = 18 ql

5

3RQL*V]\U\VXQHNSU]HGVWDZLDVFKHPDWSUDF\XNáDGXEHONRZHJR

5R]ZL]\ZDQLH]DGDQLDUR]SRF]\QDP\RG F] FL 

II ), która w punkcie 1 i 2

 SRáF]RQD MHVW

SU]HJXERZR]VVLHGQLPLEHONDPLQDWRPLDVWQLHMHVWSRáF]RQD]SRGáR*HP

W przegubach 1 i  2 

QD F] ü 

II

  XNáDGX G]LDáDM QLH]QDQH RGG]LDá\ZDQLD

H

1

, V

1

, H

2

 i V

2

.

2GG]LDá\ZDQLD SLRQRZH

V

1

 i V

2

 PR*HP\ Z\]QDF]\ü ]DSLVXMF UyZQDQLD UyZQRZDJL GOD

F] FL 

II 

 : UyZQDQLX PRPHQWyZ Z]JO GHP SXQNWX

1

 GOD F] FL 

II

  Z\VWSL W\ONR

niewiadoma V

2

QDWRPLDVWPRPHQW\VLá

H

1

, V

1

 i H

2

Z]JO GHPSU]HJXEX

1 

VUyZQH]HUXJG\*

LFKOLQLHG]LDáDQLDSU]HFKRG]SU]H]SXQNW

1.

∑

=

i

II

i1

M

0 :         V

2

 

Â

l  

í

II

p

W

Â

l 

í

II

t

W

Â

3

2

l = 0           

⇒

        V

2

 =  

3

14

 ql

: FHOX Z\]QDF]HQLD VLá\

V

1

 PR*HP\ ]DSLVDü UyZQDQLH U]XWyZ VLá QD R SLRQRZ  OXE

UyZQDQLHPRPHQWyZZ]JO GHPSXQNWX

2

GODF] FL

II

5yZQDQLHU]XWyZVLáQDRSLRQRZ

PDSRVWDü

0

=

∑

i

II

iy

P

:         V

1

 + V

2

 

í

II

p

W  

í

II

t

W = 0          

⇒

          V

1

 =  

3

16

 ql

1

2

H

1

H

2

V

2

V

1

II

p

W

l

l

II

t

W

l

3

4

3

2

l

2 l

II

II

6 q

4 q

1

2

H

1

H

2

V

2

V

1

I

4 q



 = 60

o

l

l

3 l

2 l

2 l

P =  3  ql



 = 60

o

1

A

H

A

M

A

V

A

B

C

2

R

B

R

C

H

1

H

2

V

2

V

1

III

6

.RU]\VWDMF]Z\]QDF]RQHMZDUWRFL

V

1

QDVFKHPDFLHVLáDR]QDF]RQDMHVWF]DUQ\PNRORUHP

]DSLV]HP\UyZQDQLDUyZQRZDJLGODF] FL

I

XNáDGX

=UyZQDQLDU]XWyZVLáQDRSLRQRZGODF] FL

I

REOLF]\P\ZDUWRüUHDNFML

V

A

.

∑

=

i

I

iy

P

0 :            V

A

 

í

V

1

 = 0         

⇒

        V

A

 =  

3

16

 ql

-DNRNROHMQH]DSLV]HP\UyZQDQLHPRPHQWyZZ]JO GHPSXQNWX$GODF] FL

I

XNáDGX

∑

=

i

I

iA

M

0 :          

í

M

A

 

í

V

1

 

Â

l = 0          

⇒

        M

A

 = 

í

 

3

16

 ql 

2

Niewiadome reakcje R

B

 i R

C

Z\]QDF]\P\NRU]\VWDMF]UyZQDUyZQRZDJLGODF] FL

III )

XNáDGX:DUWRüRGG]LDá\ZDQLD

V

2

MHVWMX*]QDQDDZL FQDVFKHPDFLHVLáDWDMHVWR]QDF]RQD

kolorem czarnym.

=DVWSLP\ REFL*HQLH FLJáH G]LDáDMFH QD F] ü 

III 

 XNáDGX VLá Z\SDGNRZ

III

t

W

,

QDWRPLDVWVLá VNXSLRQ

P

MHMVNáDGRZ\PLSLRQRZLSR]LRP

1

A

H

A

M

A

V

A

H

1

V

1

 =  

3

16

 ql

I

l

l

3 l

2 l

B

C

2



 = 60

o

R

B

R

C

H

2

P

x

 =  3  ql 

ÂFRV

 = 

2

3

 ql

P

y

 =  3  ql 

ÂVLQ

 = 

2

3

 ql

V

2

 = 

3

14

 ql

3

8

 l

3

4

 l

III

t

W

 =  

2

1

Â

q 

Â

l = 8 ql

III

l

3 l

2 l

B

C

2

4 q



 = 60

o

P =  3  ql



 = 60

o

R

B

R

C

H

2

V

2

 =  

3

14

 ql

III

7

= UyZQDQLD PRPHQWyZ Z]JO GHP SXQNWX

C

 GOD F] FL 

III

  Z\]QDF]\P\ UHDNFM 

R

B

.

0RPHQW\SR]RVWDá\FKQLHZLDGRP\FKVLá

H

2

 i R

C

Z]JO GHPSXQNWX

C

VUyZQH]HUXJG\*LFK

OLQLHG]LDáDQLDSU]HFKRG]SU]H]WHQSXQNW

0

=

∑

i

III

iC

M

:       

III

t

W

Â

3

8

 l + V

2

 

Â

l 

í

P

y

 

Â

l 

í

R

B

 

Â

l = 0       

⇒

        R

B

 = 

3

37

 ql

5HDNFM 

R

C

Z\]QDF]\P\]UyZQDQLDU]XWyZVLáQDRSLRQRZGODF] FL

III

XNáDGX

0

=

∑

i

III

iy

P

:         R

B

 

í

V

2

 

í

P

y

 + R

C

 

ÂVLQ

 

í

III

t

W

 = 0        

⇒

         R

C

 = 

9

3

11

 ql

1LHZLDGRP

H

A

 

PR*HP\Z\]QDF]\ü]UyZQDQLDU]XWyZVLáQDRSR]LRPGODFDáHJRXNáDGX

0

=

∑

i

ix

P

:          H

A

 

í

 R

C

 

ÂFRV

 

í

 P

x

 = 0     

⇒

     H

A

 = 

9

3

10

 ql.

:\]QDF]HQLH UHDNFML GUXJLP VSRVREHP MHVW NRU]\VWQLHMV]H JG\* QLH ZL*H VL  ]

NRQLHF]QRFL UR]ZL]\ZDQLD XNáDGX GZX UyZQD ] GZLHPD QLHZLDGRP\PL 1DOH*\ MHGQDN

GRGDWNRZR Z\]QDF]\ü RGG]LDá\ZDQLD SLRQRZH

 V

1

 i V

2

 w przegubach 1 i 2

 FKRFLD* Z

SROHFHQLX GR ]DGDQLD QLHZLDGRPH WH QLH E\á\ Z\PLHQLRQH 1DWRPLDVW QLH Z\]QDF]DP\

RGG]LDá\ZD SR]LRP\FK

 H

1

 i H

2

 JG\* Z *DGQ\P UyZQDQLX UyZQRZDJL Z\NRU]\VW\ZDQ\P

GR UR]ZL]DQLD ]DGDQLD QLH SRMDZLDM VL  WH QLHZLDGRPH =H Z]JO GX QD LGHQW\F]QH Z\QLNL

UR]ZL]DQLD ]DGDQLD SU]\ ]DVWRVRZDQLX REX VSRVREyZ SRPLMDP\ SRZWyUQH Z\NRQDQLH

sprawdzenia.