PODSTAWOWE MIARY  TENDENCJI  CENTRALNEJ 

 

Miary  klasyczne  -  stanowią  wypadkową  wszystkich  wartości  cechy  wszystkich  badanych 

jednostek zbiorowości. 

 

Średnią arytmetyczną   ̅  w rozkładzie empirycznym nazywamy wyrażenie: 



  dla szeregu szczegółowego: 

 ̅  

 

 

∑

 

 

 

   

, 

gdzie 

 

 

, 

                  są indywidualnymi obserwacjami w zbiorze danych,   jest liczbą obserwacji 



  dla szeregu rozdzielczego: 

 

-  punktowego:   

 ̅   ∑

 

 

 

 

 

 

 

∑

 

 

 

 

 

   

 

   

 

gdzie 

 

 

, 

                   są  wyróżnionymi  wartościami  w  rozkładzie,  zaś   

 

  odpowiednimi 

liczebnościami klasowymi. 

 

-  przedziałowego: 

 

 ̅  

 

 

∑

 

 

̇  

 

 

   

  

∑

 

 

̇  

 

 

   

, 

 

 

 

̇  - środek i-tego przedziału klasowego. (metoda przybliżona) 

Średniej arytmetycznej nie liczymy gdy 

  występują wartości nietypowe (skrajne) 
  przedziały skrajne są otwarte (nieograniczone) 
  zbiorowość jest niejednorodna. 

Np. widownia teatru dla dzieci analizowana jest ze względu na wiek. 

 

Miary pozycyjne

 - wyznaczane są typową pozycją niektórych jednostek lub grup jednostek. 

 

Medianą M

e

 rozkładu empirycznego (uporządkowanego niemalejąco) nazywamy taką wartość cechy, że co 

najmniej  połowa  jednostek  zbiorowości  ma  wartość  cechy  nie  większą  (mniejszą  lub  równą)  od  niej  i 
równocześnie  co  najmniej  połowa  jednostek  ma  wartość  cechy  nie  mniejszą  (większą  lub  równą)  od  tej 
wartości. 

 



  szereg szczegółowy lub rozdzielczy punktowy:   

 

 

 =





















parzyste

jest

gdy

e,

nieparzyst

jest

gdy

n

x

x

n

x

n

n

n

,

2

,

2

2

2

2

1

 

 

 



  szereg rozdzielczy przedziałowy: 

 





i

i

i

sk

e

i

e

n

h

n

pozM

x

M











)

1

(

0

 

    

 

 

   

 

                        

    

 

 

 

 

                   

 

  

 - dolna granica przedziału, w którym znajduje się wartość mediany, 

 

       

 – liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego przedział mediany, 

 

 

   

 

 - odpowiednio rozpiętość i liczebność przedziału, w którym znajduje się mediana. 

 

Decyle dzielą zbiorowość na 10 części. 

Kwartyle dzielą zbiorowość na 4 części. 

 



  Q1 - kwartyl pierwszy (kwartyl rzędu ¼ ), dzieli zbiorowość uporządkowaną na dwie części w ten 

sposób, że co najmniej  25% jednostek ma wartości cechy niższe lub równe i co najmniej 75% wyższe 
lub równe od kwartyla pierwszego; 

 



  Q2 - kwartyl drugi (kwartyl rzędu ½, czyli mediana) 

 



  Q3  -  kwartyl  trzeci  (kwartyl  rzędu  ¾),  dzieli  zbiorowość  uporządkowaną  na  dwie  części  w  ten 

sposób, że co najmniej 75% jednostek ma wartości cechy niższe lub równe i co najmniej 25% wyższe 
lub równe od kwartyla trzeciego. 





i

i

i

sk

i

n

h

n

pozQ

x

Q











)

1

(

1

0

1

 

 

 

 

    

 

 

   

 

                        

    

 

 

 

 

                  

 





i

i

i

sk

i

n

h

n

pozQ

x

Q











)

1

(

3

0

3

 

 

 

    

 

 

      

 

                      

    

 

 

  

 

                  

 

 

  

 - dolna granica przedziału, w którym znajduje się wartość kwartyla, 

 

       

 – liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego przedział kwartyla, 

 

 

   

 

 - odpowiednio rozpiętość i liczebność przedziału, w którym znajduje się kwartyl. 

Dominantą  D

o

  w  rozkładzie  empirycznym  nazywamy  wartość  cechy  występującą  w  tym  rozkładzie 

najczęściej, tzn. wartość, której odpowiada najwyższa liczebność (częstość). 

 



  szereg rozdzielczy przedziałowy:  



 







i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

h

w

w

w

w

w

x

h

n

n

n

n

n

n

x

D







































1

1

1

0

1

1

1

0

0

2

 

 

gdzie: 

 

  

 - dolna granica przedziału, w którym występuje dominanta, 

 

 

 - rozpiętość tego przedziału, 

 

 

   

   

   

   

   

 

   

   

   

   

 - odpowiednio liczebność i częstość przedziału w którym występuje dominanta, 

przedziału poprzedniego i następnego. 

 

Dominanty nie należy liczyć gdy: 

  zbiorowość nie jest jednorodna (czyli górki) 
  największa liczebność znajduje się w pierwszym lub ostatnim przedziale 
  rozpiętości  przedziałów  sąsiadujących  z  przedziałem  dominanty  są  różne  (muszą  być  3  równe 

rozpiętości) 

Jeśli wiele dominant – szereg wielomodalny, mówimy wtedy, że nie ma dominanty 

MIARY  DYSPERSJI 

(rozproszenia, zróżnicowania, rozrzutu, zmienności) 

Zadaniem  miar  dyspersji,  zwanych  również  miarami  zmienności  jest  wskazanie  w  jakim  stopniu 
poszczególne  wartości  jednostek  zbiorowości  statystycznej  koncentrują  się  wokół  wartości  centralnej 
badanej cechy, opisują rozkład cechy. Informują jak duże są różnice (odchylenia) między poszczególnymi 
wartościami jednostek zbiorowości a przeciętną. 

 

Dyspersją nazywamy zróżnicowanie jednostek zbiorowości ze względu na wartość badanej cechy. 

Miary te dzielimy na: 



  klasyczne (wariancja, odchylenie standardowe) 



  pozycyjne ( rozstęp i odchylenie ćwiartkowe) 

Są to miary bezwzględne posiadające jednostkę 
Do względnych miar pozycyjnych zaliczamy współczynnik zmienności 

 

Wariancją dla zbioru danych   

 

   

 

       

 

  nazywamy wyrażenie:  



  szereg szczegółowy:   

 

 

 

 

 

 

∑

( 

 

   ̅)

 

 

   

   

 



  szereg rozdzielczy punktowy:  

 

 

 

 

 

∑

  

 

   ̅ 

 

 

   

   

 

 



  szereg rozdzielczy przedziałowy: 

 

 

 

 

 

∑

  ̇

 

   ̅ 

 

 

   

   

 

 

gdzie 

 ̇

 

 - środek i-tego przedziału 

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji:  

    √ 

 

 

        -   wszystkie wartości cechy są jednakowe, brak zróżnicowania. 

 

Rozstępem jest różnica między największą i najmniejszą wartością cechy w zbiorze. 
Rozstęp (przedział) ćwiartkowy to różnica między kwartylem trzecim a pierwszym. 

Odchyleniem ćwiartkowym jest połowa rozstępu ćwiartkowego, czyli wielkość    

 

 

  

 

 

 

(samo w sobie nic nam nie mówi, ale potrzebne do współczynnika zmienności) 
Współczynnik zmienności – gdy należy porównać stopień zróżnicowania dwóch lub więcej rozkładów.  



  miary klasyczne 

 

 

 

 

 ̅

        

(jaki procent średniej stanowi miara rozrzutu)

 



 

miary pozycyjne 

 

 

 

 

 

 

      

 

Współczynniki zmienności informują o sile dyspersji. 
Ich duże wartości liczbowe świadczą o niejednorodności zbiorowości. 
Im większy procent tym większe względne zróżnicowanie cechy w rozkładzie. 

Współczynnik zmienności służy nam do porównywania zróżnicowania zbiorowości według kilku cech, lub 
porównywania kilku zbiorowości według jednej cechy. 

MIARY ASYMETRII SKOŚNOŚCI 

Współczynnik asymetrii   

( jeśli bardzo silna asymetria to A może przekroczyć granice przedziału) 

 

   ̅   

 ̅  

 

 

   

 

   ̅    〈    〉 

 

      

 

 

  

 

   

 

  

 

 

       〈    〉 

 

   

 

   

   ̅  

 

 

 

 

 

   

 

    〈    〉 

 

Szereg symetryczny   

        

 ̅    

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

Szereg niesymetryczny 



  asymetria prawostronna 

        

 

 

   

 

   ̅   

 

 

   

 

   

 

   

 

 

ponad połowa zbiorowości ma wartości mniejsze niż  ̅ 

 

 

 

 

 



  asymetria lewostronna 

        

 ̅    

 

   

 

   

 

 

   

 

   

 

   

 

 

ponad połowa zbiorowości ma wartości większe niż  ̅ 

 

 

 

 

 

Im bliżej krańców przedziału tym bardziej asymetryczne 



  skrajna asymetria