MATEMATYKA. I rok Chemii Biologicznej i ´
Srodowiska.
LISTA ZADA ´
N 12 – R ´
OWNANIA R ´
O ˙ZNICZKOWE.
• Metoda rozdzielonych zmiennych: r´ownanie r´o˙zniczkowe postaci
dy
dx
=
ϕ(x)
ψ(y)
sprowadza sie
‘
do postaci
ψ(y)dy = ϕ(x)dx i rozwia
‘
zuje obliczaja
‘
c caÃlki
R
ψ(y)dy =
R
ϕ(x)dx.
1. Metoda
‘
rozdzielonych zmiennych rozwia
‘
za´c r´ownania r´o˙zniczkowe:
(a) xy
0
+ y
2
= 1,
(b) xy
0
= y,
(c) y
0
sin x = y cos x,
(d) y
0
= e
2x−y
,
(e) ydx = (x
2
− 1)dy.
• Zastosowanie podstawienia y = xu, gdzie u = u(x) jest funkcja
‘
zmiennej x, daje:
dy
dx
= u + x
du
dx
2. Stosuja
‘
c tego typu podstawienie przeksztaÃlci´c poni˙zsze r´ownania r´o˙zniczkowe i rozwia
‘
za´c je:
(a) xy
0
= x + y,
(b) (x + y)y
0
+ y = 0,
(c) y
0
=
y
x
+ tg
y
x
,
(d) y
0
=
µ
x
y
¶
2
.
• R´
ownanie r´
o˙zniczkowe liniowe: y
0
= A(x)y + B(x). Dla B(x) = 0 jest to r´ownanie jednorodne, kt´ore
sprowadza sie
‘
je do postaci:
dy
y
= A(x)dx i caÃlkuje: y = exp
£
C
R
A(x) dx
¤
.
3. Rozwia
‘
za´c r´ownania liniowe jednorodne:
(a) xy
0
= y,
(b) xy
0
+ x
2
y = 0,
(c) y
0
= y sin x,
(d) y
0
+
y
x
= 0.
y
0
+ 2xy = 0.
• Je´sli y
c
(x) = c · ϕ(x) jest rozwia
‘
zaniem r´ownania liniowego jednorodnego y
0
= A(x)y, dla pewnej staÃlej c, to
metoda
‘
uzmienniania staÃlej c → c(x). Otrzymuje sie
‘
r´owno´s´c y(x) = c(x)ϕ(x), gdzie ϕ
0
(x) = A(x)ϕ(x) i
mo˙zna rozwia
‘
za´c r´ownanie niejednorodne
dy
dx
= A(x)y + B(x), podstawiaja
‘
c ϕ
0
(x) = A(x)ϕ(x) do r´ownania
dy
dx
= c(x)ϕ
0
(x) +
dc
dx
ϕ(x). Daje to, po uproszczeniu, r´ownanie r´o˙zniczkowe B(x) = ϕ(x)
dc
dx
, r´ownowa˙zne z
c(x) =
Z
B(x)
ϕ(x)
dx.
4. Metod uzmienniania staÃlej rozwia
‘
za´c naste
‘
puja
‘
ce r´ownania liniowe niejednorodne.
(a) xy
0
= x + y,
(b) xy
0
+ 2y = x,
(c) y
0
+ y = 2x,
(d) y
0
+ y = x
3
,
(e) y
0
− ay = e
ax
.
• Je´sli r´ownanie r´o˙zniczkowe jest postaci P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, i wyra˙zenie po lewej stronie jest r´
o˙zniczka
‘
zupeÃlna
‘
pewnej funkcji F (x, y), czyli dF (x, y) = P (x, y)dx+Q(x, y)dy, to krzywe caÃlkowe sa
‘
rozwia
‘
zaniami
r´ownania F (x, y) = C.
5. Rozwia
‘
za´c r´ownania r´o˙zniczkowe, znajduja
‘
c odpowiednia
‘
funkcje
‘
F (x, y). W (b), (c), (d) wyznaczy´c jakie´s 3
krzywe caÃlkowe:
(a) (2x + 3x
2
y
3
)dx + (3x
3
y
2
− 2y)dy = 0
(b)
y
x
dx + ln xdy = 0,
(c) (2x + 2y
2
)dx + (cos y + 4xy)dy = 0,
(d) y(1 + x
2
y
2
)
−1
dx + x(1 + x
2
y
2
)
−1
dy = 0.
• Je´sli wyra˙zenie P (x, y)dx + Q(x, y)dy nie jest r´o˙zniczka
‘
zupelna
‘
, ale istnieje funkcja µ = µ(x, y) taka, ˙ze
µ(x, y)P (x, y)dx+µ(x, y)Q(x, y)dy jest r´o˙zniczka
‘
zupeÃlna
‘
, to funkcje
‘
µ nazywamy czynnikiem caÃlkuja
‘
cym
r´ownania r´o˙zniczkowego P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. Je´sli czynnik caÃlkuja
‘
cy jest postaci µ(x, y) = ϕ(x)
(funkcja
‘
jednej zmiennej x), to znajdujemy go z r´ownania
∂
∂y
ϕ(x)P (x, y) =
∂
∂x
ϕ(x)Q(x, y), czyli
ϕ
0
(x)P (x, y) + ϕ(x)
∂
∂y
P (x, y) = ϕ
0
(x)Q(x, y) + ϕ(x)
∂
∂x
Q(x, y).
6. Rozwia
‘
za´c r´ownania r´o˙zniczkowe znajduja
‘
c odpowiedni czynnik calkuja
‘
cy postaci ϕ(x):
(a) (xy + 2y)dx + (x + x
2
)dy = 0
(b) (x
2
− y
2
)dx + 2xydy,
(c) y
2
dx + (x
2
− 2xy)dy,
(d) y
2
dx + x(1 − sin xy)dy.
Janusz Wysocza´
nski