MATEMATYKA. I rok Chemii Biologicznej i ´

Srodowiska.

LISTA ZADA ´

N 12 – R ´

OWNANIA R ´

O ˙ZNICZKOWE.

• Metoda rozdzielonych zmiennych: r´ownanie r´o˙zniczkowe postaci

dy
dx

=

ϕ(x)
ψ(y)

sprowadza sie

‘

do postaci

ψ(y)dy = ϕ(x)dx i rozwia

‘

zuje obliczaja

‘

c caÃlki

R

ψ(y)dy =

R

ϕ(x)dx.

1. Metoda

‘

rozdzielonych zmiennych rozwia

‘

za´c r´ownania r´o˙zniczkowe:

(a) xy

0

+ y

2

= 1,

(b) xy

0

= y,

(c) y

0

sin x = y cos x,

(d) y

0

= e

2x−y

,

(e) ydx = (x

2

− 1)dy.

• Zastosowanie podstawienia y = xu, gdzie u = u(x) jest funkcja

‘

zmiennej x, daje:

dy
dx

= u + x

du
dx

2. Stosuja

‘

c tego typu podstawienie przeksztaÃlci´c poni˙zsze r´ownania r´o˙zniczkowe i rozwia

‘

za´c je:

(a) xy

0

= x + y,

(b) (x + y)y

0

+ y = 0,

(c) y

0

=

y
x

+ tg

y
x

,

(d) y

0

=

µ

x
y

¶

2

.

• R´

ownanie r´

o˙zniczkowe liniowe: y

0

= A(x)y + B(x). Dla B(x) = 0 jest to r´ownanie jednorodne, kt´ore

sprowadza sie

‘

je do postaci:

dy

y

= A(x)dx i caÃlkuje: y = exp

£

C

R

A(x) dx

¤

.

3. Rozwia

‘

za´c r´ownania liniowe jednorodne:

(a) xy

0

= y,

(b) xy

0

+ x

2

y = 0,

(c) y

0

= y sin x,

(d) y

0

+

y
x

= 0.

y

0

+ 2xy = 0.

• Je´sli y

c

(x) = c · ϕ(x) jest rozwia

‘

zaniem r´ownania liniowego jednorodnego y

0

= A(x)y, dla pewnej staÃlej c, to

metoda

‘

uzmienniania staÃlej c → c(x). Otrzymuje sie

‘

r´owno´s´c y(x) = c(x)ϕ(x), gdzie ϕ

0

(x) = A(x)ϕ(x) i

mo˙zna rozwia

‘

za´c r´ownanie niejednorodne

dy
dx

= A(x)y + B(x), podstawiaja

‘

c ϕ

0

(x) = A(x)ϕ(x) do r´ownania

dy
dx

= c(x)ϕ

0

(x) +

dc

dx

ϕ(x). Daje to, po uproszczeniu, r´ownanie r´o˙zniczkowe B(x) = ϕ(x)

dc

dx

, r´ownowa˙zne z

c(x) =

Z

B(x)

ϕ(x)

dx.

4. Metod uzmienniania staÃlej rozwia

‘

za´c naste

‘

puja

‘

ce r´ownania liniowe niejednorodne.

(a) xy

0

= x + y,

(b) xy

0

+ 2y = x,

(c) y

0

+ y = 2x,

(d) y

0

+ y = x

3

,

(e) y

0

− ay = e

ax

.

• Je´sli r´ownanie r´o˙zniczkowe jest postaci P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, i wyra˙zenie po lewej stronie jest r´

o˙zniczka

‘

zupeÃlna

‘

pewnej funkcji F (x, y), czyli dF (x, y) = P (x, y)dx+Q(x, y)dy, to krzywe caÃlkowe sa

‘

rozwia

‘

zaniami

r´ownania F (x, y) = C.

5. Rozwia

‘

za´c r´ownania r´o˙zniczkowe, znajduja

‘

c odpowiednia

‘

funkcje

‘

F (x, y). W (b), (c), (d) wyznaczy´c jakie´s 3

krzywe caÃlkowe:

(a) (2x + 3x

2

y

3

)dx + (3x

3

y

2

− 2y)dy = 0

(b)

y
x

dx + ln xdy = 0,

(c) (2x + 2y

2

)dx + (cos y + 4xy)dy = 0,

(d) y(1 + x

2

y

2

)

−1

dx + x(1 + x

2

y

2

)

−1

dy = 0.

• Je´sli wyra˙zenie P (x, y)dx + Q(x, y)dy nie jest r´o˙zniczka

‘

zupelna

‘

, ale istnieje funkcja µ = µ(x, y) taka, ˙ze

µ(x, y)P (x, y)dx+µ(x, y)Q(x, y)dy jest r´o˙zniczka

‘

zupeÃlna

‘

, to funkcje

‘

µ nazywamy czynnikiem caÃlkuja

‘

cym

r´ownania r´o˙zniczkowego P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. Je´sli czynnik caÃlkuja

‘

cy jest postaci µ(x, y) = ϕ(x)

(funkcja

‘

jednej zmiennej x), to znajdujemy go z r´ownania

∂

∂y

ϕ(x)P (x, y) =

∂

∂x

ϕ(x)Q(x, y), czyli

ϕ

0

(x)P (x, y) + ϕ(x)

∂

∂y

P (x, y) = ϕ

0

(x)Q(x, y) + ϕ(x)

∂

∂x

Q(x, y).

6. Rozwia

‘

za´c r´ownania r´o˙zniczkowe znajduja

‘

c odpowiedni czynnik calkuja

‘

cy postaci ϕ(x):

(a) (xy + 2y)dx + (x + x

2

)dy = 0

(b) (x

2

− y

2

)dx + 2xydy,

(c) y

2

dx + (x

2

− 2xy)dy,

(d) y

2

dx + x(1 − sin xy)dy.

Janusz Wysocza´

nski