1

Ć

wiczenie 8

Badanie odkształceń belki zginanej metodą tensometrii oporowej

Opracował: dr inż. Henryk Olszewski

1. Wstęp

Tensometria zajmuje się metodami pomiaru odkształceń ciał stałych w granicach

proporcjonalności. Odkształcenia dostarczają informacje dotyczące szeregu właściwości
badanych ciał, takich jak: współczynnik rozszerzalności cieplnej, granice sprężystości,
proporcjonalności i plastyczności, zjawiska pełzania i histerezy. Odkształcenia pozwalają
również na dokonanie pomiarów wielkości fizycznych związanych z odkształceniami: sił,
naprężeń, momentów itp. W badaniach laboratoryjnych pomiary odkształceń polegają
najczęściej na mierzeniu wydłużeń na powierzchni ciała. Pomiary na powierzchni badanego
ciała wynikają z zasady działania przyrządów pomiarowych oraz z faktu, że ekstremalne
wartości odkształceń występują w większości przypadków na powierzchni ciała. Pomiary
odkształceń wewnątrz ciała są kłopotliwe i z tego względu są rzadko.

W celu pomiaru tensometrycznego odkształceń liniowych na powierzchni badanego

elementu konstrukcyjnego ustala się odcinek pomiarowy o długości l nazywany bazą
pomiarową.

Odkształcenie

jednostkowe

odcinka

pomiarowego

w

przypadku

jednokierunkowego stanu naprężenia wynosi:

l

l

ś

r

∆

=

ε

(1)

gdzie: l

∆ - wydłużenie odcinka pomiarowego.

W innych przypadkach odkształceń wartość odkształcenia uśrednia się na długości bazy
pomiarowej. Im mniejsza jest długość bazy pomiarowej l zaś stan odkształceń bliższy
jednorodnemu, tym uśredniona wartość odkształceń jednostkowych

ś

r

ε

jest bliższa

rzeczywistej wartości odkształceń

ε

badanego elementu.

Tensometry ze względu na zasadę działania dzielimy na dwie grupy:

tensometry elektryczne

o

rezystancyjne zwane elektrooporowymi lub oporowymi,

o

indukcyjne,

o

pojemnościowe,

o

elektrodynamiczne,

o

piezoelektryczne,

o

magnetyczne,

tensometry mechaniczne:

o

optyczno-mechaniczne,

o

strunowe.

Zasada działania tensometrów indukcyjnych oparta jest na zjawisku zmiany indukcyjności
własnej lub zespołu cewka indukcyjna – magnetyczny rdzeń wywołanej odkształceniem
badanego elementu konstrukcyjnego.

W przypadku kondensatorów pojemnościowych odkształcenia konstrukcji powodują

zmianę odległości pomiędzy płytkami kondensatora, stanowiącego główny elementu
czujnika. Zmiana odległości pomiędzy płytkami kondensatora wywołuje z kolei zmianę
pojemności elektrycznej, która jest mierzoną wielkością fizyczną.

2

Zasada działania tensometrów piezoelektrycznych opiera się na zjawisku

piezoelektrycznym, czyli na pojawianiu się ładunków elektrycznych na ściankach kryształu,
który ulega odkształceniu w granicach plastyczności.

Głównymi elementami tensometrów mechanicznych, za pomocą których wykonuje się

pomiary przemieszczeń, są części mechaniczne: dźwignie, pręty, przekładnie. Bazę
pomiarową l tensometrów mechanicznych jest zazwyczaj odległość pomiędzy dwoma
ostrzami pryzmatycznymi dociskanymi do powierzchni badanego elementu za pomocą
zacisków. Odkształcenia elementu konstrukcyjnego wywołują zmianę odległości pomiędzy
ostrzami, która jest odczytywana przy pomocy tensometru mechanicznego.

2. Budowa tensometrów oporowych

W chwili obecnej najszersze zastosowanie mają tensometry oporowe. Tensometria

oporowa wykorzystuje zjawisko zmiany oporu elektrycznego drutu metalowego podczas
zmiany jego długości. Tensometria oporowa stosowana jest do:

wyznaczania właściwości mechanicznych metali,

określania stanu odkształceń i naprężeń w wybranych punktach elementów

konstrukcyjnych obciążonych statycznie lub dynamicznie.

pomiarów naprężeń własnych,

pomiarów odkształceń w wysokich i niskich temperaturach.

Ze względu na budowę wyróżniamy dwa podstawowe typy tensometrów oporowych:

drucikowe:

o

wężykowe (rys. 1a),

o

kratowe (rys. 1b),

o

zygzakowe,

o

choinkowe,

o

spiralne;

foliowe (rys. 2).

a)

b)

Rys. 1. Tensometry drucikowe: a) wężykowy, b) kratowy

1 – drucik oporowy, 2 – podkładka nośna, 3 – naklejka, 4 – przewody, 5 – taśma miedziana

Tensometr wężykowy (rys. 1a) składa się z drucika oporowego o średnicy 0.02

÷ 0.05 mm

ukształtowany w postaci wielokrotnego wężyka. Wężyk naklejony jest na podkładce nośnej
wykonanej z bibułki, folii taśmy celuloidowej lub cienkiego papieru. Dopływ prądu odbywa
się za pomocą dwóch grubszych przewodów. Są one przylutowane do końca drucika
oporowego. Drucik oporowy jest chroniony z wierzchu przed uszkodzeniami mechanicznymi
oraz przed wpływem wilgoci oraz nagłych zmian temperatury za pomocą paska papieru lub

3

filcu zwanego nakładką. Tak przygotowany tensometr nakleja się na powierzchnię badanego
elementu konstrukcyjnego przy zastosowaniu specjalnego kleju.

Rys. 2. Tensometr foliowy

1 – drucik oporowy, 2 – podkładka nośna, 3 – naklejka, 4 – przewody

Tensometr kratowy (rys. 1b) charakteryzuje się brakiem czułości na odkształcenia w kierunku
prostopadłym do kierunku nałożenia drutu oporowego na podkładkę nośną. Tensometr ten
składa się z zestawu równolegle ułożonych drucików i połączonych nalutowanymi lub
napawanymi grubszymi odcinkami taśmy miedzianej. Poprzecina taśma miedziana wraz
z drucikami oporowymi tworzy obwód elektryczny. Odcinki taśmy miedzianej stanowią
ograniczenie bazy pomiarowej tensometru. Podobnie, jak w przypadku tensometru
wężykowego dopływ prądu elektrycznego odbywa się za pomocą dwóch grubszych
przewodów przylutowanych do drucika pomiarowego. Odcinki drucika oporowego oraz
taśmy miedzianej tworzą siatkę oporową, która naklejona jest na podkładkę nośną i chroniona
z wierzchu przez nakładkę.

Tensometry foliowe (rys. 2) aktualnie są coraz częściej stosowane. Składają się one

z wężykowatej siatki oporowej wykonanej z cienkiej folii metalowej naklejonej na podkładkę
nośną. Część pomiarowa siatki pokryta jest nakładką ochronną wykonaną podobnie, jak
podkładka nośna z folii z tworzywa sztucznego. Do zakończeń siatki oporowej dołączone są
grubsze przewody elektryczne. Siatkę oporową wykonuje się podobnie, jak obwody
drukowane, metodą fotochemiczną po naklejeniu folii na podkładkę nośną. Tensometry
foliowe przyklejane są do powierzchni badanego elementu konstrukcyjnego za pomocą
specjalnych klejów podobnie, jak w przypadku tensometrów drucikowych.

Na właściwą pracę tensometru oporowego, obok jego budowy, wpływa odpowiednie

przymocowanie jego do powierzchni badanego elementu konstrukcyjnego. Tensometry
należy przyklejać ze szczególną dokładnością i przy zachowaniu wyjątkowej czystości.
Powierzchnię, na którą nakleja się czujnik, należy przetrzeć papierem ściernym w celu
usunięcia nierówności, a następnie odtłuścić acetonem lub innym odtłuszczającym środkiem
chemicznym. Następnie na powierzchnię nakładamy dwie warstwy kleju i łączymy tensometr
z badanym przedmiotem lekko go dociskając. Pomiary rozpoczynamy po całkowitym
wyschnięciu kleju. Kleje tensometryczne stosowane do nakładania tensometrów na
powierzchnie badanych elementów konstrukcyjnych oraz do wyrobu czujników powinny
spełniać szereg wymagań:

brak pełzania i histerezy,

brak wpływu wilgotności,

brak wpływu zmian temperatury,

dobra przyczepność do kleju,

wystarczająca wytrzymałość mechaniczna,

wystarczająca izolacja elektryczna.

4

Aktualnie stosowane są wieloskładnikowe kleje kompozytowe oraz kleje szybkoschnące
umożliwiające wykonanie pomiarów w kilka minut po naklejeniu tensometru oporowego.

2.1. Zasada działania tensometrów oporowych

Opór elektryczny tensometru oporowego określa wzór

S

l

R

⋅

=

ρ

,

(2)

gdzie:

ρ

- opór właściwy, l - baza pomiarowa, będą długością czynną tensometru, S - pole

przekroju poprzecznego drucika oporowego.
Zakładamy, że tensometr oporowy jest rozciągany lub ściskany w kierunku równoległym do
osi drucika oporowego o przekroju kołowym o średnicy d. Wówczas pole przekroju
poprzecznego drucika wynosi:

4

2

d

S

⋅

=

π

.

(3)

W warunkach opisanych powyżej w dowolnym miejscu drucika oporowego występuje

jednokierunkowy stan naprężenia o stałej wartości naprężeń normalnych

σ

. Odkształcenia

jednostkowe w kierunku równoległym do osi drucika są określone prawem Hooke’a:

E

σ

ε

=

,

(4)

gdzie: E- moduł Young’a materiału drucika oporowego.
Odkształcenia jednostkowe w dowolnym kierunku poprzecznym wynoszą:

ε

ν

ε

⋅

−

=

1

,

(5)

gdzie:

ν

- liczba Poisson’a materiału drucika oporowego.

Logarytmując obustronnie prawo Ohma (2) otrzymujemy:

S

l

R

ln

ln

ln

ln

−

+

=

ρ

.

(6)

Różniczkując obydwie strony powyższego równania uzyskujemy:

S

dS

l

dl

d

R

dR

−

+

=

ρ

ρ

.

(7)

Dla różnic skończonych równanie (7) przyjmuje postać:

S

S

l

l

R

R

∆

−

∆

+

∆

=

∆

ρ

ρ

.

(8)

Logarytmując obustronnie wzór na pole przekroju poprzecznego S drucika oporowego (3)
otrzymujemy:

4

ln

ln

2

ln

ln

−

+

=

d

S

π

.

(9)

Różniczkując obydwie strony powyższego równania uzyskujemy:

d

d

S

S

d

2

d

=

.

(10)

Dla różnic skończonych powyższe równanie (10) przyjmuje formę:

d

d

S

S

∆

=

∆

2

.

(11)

5

Ś

rednica drucika d jest wymiarem prostopadłym do osi drutu, stąd odkształcenie jednostkowe

w kierunku porzecznym wynosi:

d

d

∆

=

1

ε

.

(12)

Równania (4) przyjmuje wówczas postać:

ε

ν

⋅

−

=

∆

d

d

.

(13)

Z zależności (11) i (13) otrzymujemy:

ε

ν

⋅

−

=

∆

2

S

S

.

(14)

Podstawiając powyższe wyrażenie do równania (8) oraz uwzględniając

l

l

∆

=

ε

otrzymujemy:

ε

ν

ε

ρ

ρ

⋅

+

+

∆

=

∆

2

R

R

stąd:

ε

ν

ε

ρ

ρ

⋅













+

+

∆

=

∆

2

1

1

R

R

.

(15)

Stosunek względnego przyrostu oporu do odkształcenia jednostkowego dla pewnych wartości

ε

jest wielkością stałą i nazywany jest współczynnikiem odkształcenia tensometru lub krótko

stałą tensometru k:

ν

ε

ρ

ρ

ε

2

1

1

+

+

∆

=

∆

= R

R

k

.

(16)

Graniczne warto

ś

ci odkształcenia jednostkowego

ε

, dla których k nie zmienia si

ę

nazywamy zakresem pomiarowym tensometru oporowego. Zwi

ą

zek pomi

ę

dzy wzgl

ę

dnym

przyrostem oporu a odkształceniem jednostkowym przyjmuje wi

ę

c posta

ć

:

ε

⋅

=

∆

k

R

R

.

(17)

Stanowi on podstawow

ą

zale

ż

no

ść

tensometrii oporowej.

Warto

ść

stałej tensometru k zale

ż

y od szeregu czynników, w

ś

ród których mo

ż

na wyró

ż

ni

ć

:

materiał, z którego wykonany jest drucik oporowy, np. tensometry wykonane z
konstantanu posiadaj

ą

stał

ą

tensometru k= 2.1

÷ 2.4;

sposób uło

ż

enia drucika oporowego,

rodzaj kleju,

rodzaj materiału podkładki.

Warto

ść

stałej tensometru wyznacza si

ę

do

ś

wiadczalnie. Stała tensometru k, długo

ść

bazy

pomiarowej l oraz oporno

ść

R drucika oporowego stanowi

ą

parametry charakteryzuj

ą

ce

tensometr oporowy. Parametry charakteryzuj

ą

ce tensometr podawane przez producenta na

6

opakowaniu czujników, np. RL 20/150 oznacza tensometr oporowy o bazie pomiarowej
l

= 20 mm i oporno

ś

ci R = 150

Ω.

2.2. Zalety i wady tensometrów oporowych

Tensometry oporowe w porównaniu z innymi typami tensometrów charakteryzuj

ą

si

ę

nast

ę

puj

ą

cymi zaletami:

wysoka czuło

ść

pomiaru, co pozwala na przeprowadzenie pomiarów bardzo małych

odkształce

ń

,

tensometry

pozwalaj

ą

na

pomiar

odkształcenia

jednostkowego

z dokładno

ś

ci

ą

do

6

10

1

−

⋅

=

ε

, co dla stali odpowiada napr

ęż

eniom

1

=

σ

N/mm

2

;

wysoka dokładno

ść

pomiarów, która wynika z liniowej charakterystyki tensometru oraz

wi

ąż

e si

ę

z mo

ż

liwo

ś

ci

ą

stosowania wzmacniaczy;

niewielkie wymiary, co pozwala na stosowanie tensometrów przy pomiarach w miejscach
trudno dost

ę

pnych oraz do badania zjawiska spi

ę

trzenia napr

ęż

e

ń

;

mała masa, dzi

ę

ki której mo

ż

na nimi bada

ń

zjawiska dynamiczne;

niewra

ż

liwo

ść

na drgania i wstrz

ą

sy – mog

ą

by

ć

naklejane na elementy konstrukcyjne

znajduj

ą

ce si

ę

w ruchu;

mo

ż

liwo

ść

pracy w wysokich temperaturach i ci

ś

nieniach;

mo

ż

liwo

ść

umieszczenia na zakrzywionych powierzchniach;

mo

ż

liwo

ść

budowania zło

ż

onych układów pomiarowych, w których pomiar dokonywany

jest w jednym miejscu operacyjnym dla wielu oddalonych od siebie punktów
pomiarowych;

mo

ż

liwo

ść

rejestracji wyników pomiarów;

łatwa i bezpieczna obsługa,

brak bł

ę

dów i niedokładno

ś

ci przekładni, luzów, po

ś

lizgów, bezwładno

ś

ci wyst

ę

puj

ą

cych

w tensometrach mechanicznych dzi

ę

ki bezpo

ś

redniemu przekazywaniu odkształce

ń

na

drucik oporowy;

mo

ż

liwo

ść

pomiaru napr

ęż

e

ń

głównych przy pomocy tensometrów rozetowych

umo

ż

liwiaj

ą

cych pomiar odkształce

ń

w trzech kierunkach.

Tensometry oporowe posiadaj

ą

równie

ż

pewne wady, do których mo

ż

na zaliczy

ć

:

skomplikowany proces naklejania tensometru na badany element konstrukcyjny,

jednorazowe u

ż

ycie, po zdj

ę

ciu tensometru z punktu pomiarowego prawie zawsze ulega

on uszkodzeniu,

wra

ż

liwo

ść

na zmiany temperatury i wilgotno

ść

,

wyst

ę

powanie histerezy wła

ś

ciwo

ś

ci elektrycznych tensometru, przez co nale

ż

y

kilkakrotnie obci

ąż

y

ć

go wst

ę

pnie w pierwszych pomiarach po naklejeniu na badany

element konstrukcyjny.

3. Układy pomiarowe

Układy pomiarowe stosowane podczas pomiarów tensometrycznych składaj

ą

si

ę

z czterech

podstawowych cz

ęś

ci (rys. 3):

7

1) element zasilaj

ą

cy: generator lub inne

ź

ródło pr

ą

du,

2) tensometr oporowy z kompensacj

ą

lub mostek elektryczny z tensometrem czynnym,

3) wzmacniacz zwi

ę

kszaj

ą

cy amplitud

ę

impulsu z czujnika (bez zniekształce

ń

),

4) urz

ą

dzenie rejestruj

ą

ce zmiany mierzonej wielko

ś

ci fizycznej.

Ź

ródło

prądu

Mostek

tensometryczny

Wzmacniacz

Rejestrator

Rys. 3. Układ pomiarowy

Jedn

ą

z wad tensometrii oporowej jest jej wra

ż

liwo

ść

na temperatur

ę

. Zmiana temperatury

otoczenia o

t

∆

powoduje zmian

ę

:

oporno

ś

ci wła

ś

ciwej drucika oporowego,

odkształcenia materiału badanego elementu konstrukcyjnego,

odkształcenia drucika oporowego,

oporno

ś

ci przewodów układu pomiarowego poza tensometrem.

Wzrost temperatury tensometru wywołane przepływem przez niego pr

ą

du elektrycznego

powoduje dalsz

ą

zmian

ę

temperatury drucika oporowego i dalsz

ą

zmian

ę

jego oporno

ś

ci

wła

ś

ciwej.

Wzgl

ę

dny przyrost oporu drucika oporowego tensometru wywołany zmian

ą

temperatury otoczenia okre

ś

la nast

ę

puj

ą

ca zale

ż

no

ść

:

(

)

t

k

R

R

∆

⋅

⋅

−

=

∆

β

α

0

1

,

(18)

gdzie:

1

R

∆

- przyrost oporu drucika oporowego tensometru,

0

R

- pocz

ą

tkowy opór drucika

oporowego tensometru,

α

- cieplny współczynnik rozszerzalno

ś

ci liniowej materiału

badanego elementu konstrukcyjnego,

β

-cieplny współczynnik rozszerzalno

ś

ci liniowej

drucika oporowego tensometru,

t

∆

- przyrost temperatury otoczenia.

Wzgl

ę

dny przyrost oporu drucika oporowego wywołany ogrzaniem drucika oporowego o

t

∆

wynosi:

t

R

R

∆

⋅

=

∆

1

0

2

γ

,

(19)

gdzie:

1

γ

- współczynnik termicznych zmian oporu materiału drucika oporowego.

Przyrost temperatury drucika oporowego zale

ż

y od warto

ś

ci pr

ą

du przepływaj

ą

cego przez

drucik oraz od warunków chłodzenia tensometru i ró

ż

ni si

ę

do zmiany temperatury otoczenia,

st

ą

d wzgl

ę

dny przyrost oporu uwzgl

ę

dniaj

ą

cy ró

ż

nic

ę

pomi

ę

dzy zmian

ą

temperatury drucika

a zmian

ą

temperatury otoczenia jest okre

ś

lony zale

ż

no

ś

ci

ą

:

(

)

d

t

k

R

R

∆

⋅

⋅

−

=

∆

β

γ

1

0

3

,

(20)

gdzie:

d

t

∆

- ró

ż

nica pomi

ę

dzy przyrostem temperatury drucika oporowego i przyrostem

temperatury otoczenia.

8

Całkowity wzgl

ę

dny przyrost oporu drucika oporowego wynosi:

(

)

[

]

(

)

d

t

k

t

k

R

R

R

R

R

R

R

R

∆

⋅

⋅

−

+

∆

⋅

+

⋅

−

=

∆

+

∆

+

∆

=

∆

β

γ

γ

β

α

1

1

0

3

0

2

0

1

0

.

(21)

Wpływ temperatury na działanie tensometru oporowego mo

ż

na skompensowa

ć

za pomoc

ą

:

kompensacji wewn

ę

trznej,

tensometru kompensacyjnego poł

ą

czonego z tensometrem czynnym (pomiarowym) w

układzie mostka Wheatstone’a (rys. 4).

Kompensacja wewn

ę

trzna polega na szeregowym poł

ą

czeniu tensometru z opornikiem

kompensacyjnym o oporze

k

R

. Opór

k

R

tak si

ę

dobiera, by wypadkowa zmiana oporu układu

tensometr + opornik kompensacyjny była równa zeru:

0

=

∆

+

∆

k

R

R

,

(22)

gdzie:

k

R

∆

- przyrost oporu opornika kompensacyjnego:

t

R

R

k

k

k

∆

⋅

⋅

=

∆

γ

,

(23)

za

ś

k

γ

jest współczynnikiem termicznych zmian oporu opornika kompensacyjnego.

Podstawiaj

ą

c równania (21) i (23) do (22) otrzymujemy:

(

)

[

]

(

)

{

}

0

0

1

1

=

⋅

∆

⋅

⋅

−

+

∆

⋅

+

⋅

−

+

∆

⋅

⋅

R

t

k

t

k

t

R

d

k

k

β

γ

γ

β

α

γ

.

(24)

W celu zapewnienia kompensacji zupełnej, niezale

ż

nej od zmian temperatury otoczenia i od

zmian temperatury nagrzania drucika oporowego musza by

ć

spełnione nast

ę

puj

ą

ce równania:







⋅

⋅

=

⋅

−

⋅

=

0

1

R

k

R

k

k

k

α

γ

β

γ

.

(25)

Cieplny

współczynnik

rozszerzalno

ś

ci

liniowej

materiału

badanego

elementu

konstrukcyjnego w wi

ę

kszo

ś

ci przypadków jest dodatni. Wówczas współczynnik termicznych

zmian oporu powinien zgodnie z równaniem (25) przyj

ąć

ujemn

ą

warto

ść

, st

ą

d opornik

kompensacyjny o oporze

k

R

ł

ą

czy si

ę

z tensometrem w przyległej gał

ę

zi mostka

Wheatstone’a. Dodatnie zmiany oporu opornika kompensacyjnego działaj

ą

wtedy jak ujemne

zmiany oporu w poł

ą

czeniu szeregowym opornika z tensometrem.

Drugi sposób kompensacji polega na poł

ą

czeniu tensometru czynnego (pomiarowego)

z tensometrem kompensacyjnym w układzie mostka Wheatstone’a w przyległej jego gał

ę

zi.

Mostek Wheastone’a składa si

ę

wówczas z czterech gał

ę

zi, w których umieszczone s

ą

(rys. 4):

tensometr czynny o oporze R

1

,

tensometr kompensacyjny o oporze R

2

,

opornik o oporze R

3

,

opornik o oporze R

4

.

9

Rys. 4. Mostek Wheatstone’a

Tensometr kompensacyjny kompensuje wpływ czynników ubocznych, w tym temperatury
i wilgoci. Tensometr ten naklejony jest na ten sam element konstrukcyjny co tensometr
czynny lub na inny element konstrukcyjny wykonany z tego samego materiału co badana
konstrukcja i znajduje si

ę

w tych samych warunkach temperaturowych i wilgotno

ś

ciowych.

Tensometr kompensacyjny jest nieobci

ąż

ony lub doznaje tych samych odkształce

ń

co do

warto

ś

ci lecz przeciwnych co do znaku jak tensometr czynny.

3.1. Badanie płaskiego stanu naprężeń

W przypadku, gdy nie s

ą

znane kierunki główne, nie jest mo

ż

liwe zbadanie płaskiego stanu

napr

ęż

enia przy pomocy pojedynczego tensometru oporowego. St

ą

d w praktyce stosowane s

ą

układy tensometrów naklejonych w danym punkcie pomiarowym lub blisko siebie zwane
rozetami tensometrycznymi.

Tensometry rozety tensometrycznej s

ą

tak rozmieszczone, by zminimalizowa

ć

bł

ą

d

wywołany ich sko

ń

czonymi wymiarami. K

ą

ty, pod którymi rozmieszczone s

ą

tensometry w

rozetach przyjmuj

ę

pewne ustalone warto

ś

ci: 45

°, 60°, 90°, 120°.

a)

b)

Rys. 5. Rozety 2-tensometrowe: a) tensometry przylegające do siebie, b) tensometry skrzyżowane

10

Najprostszymi rozetami tensometrycznymi s

ą

rozety prostok

ą

tne utworzone przez dwa

tensometry przylegaj

ą

ce do siebie (rys. 5a) lub skrzy

ż

owane (rys. 5b). W

ś

ród rozet

składaj

ą

cych si

ę

z trzech tensometrów mo

ż

na wyró

ż

ni

ć

:

rozety prostok

ą

tne zło

ż

one (rys. 6a),

rozety prostok

ą

tne skrzy

ż

owane (gwiazdowe) o zwartej budowie, identyczne pod

wzgl

ę

dem obliczeniowym z rozetami prostok

ą

tnymi zło

ż

onymi (rys.6b),

rozety typu „delta” (rys. 6c).

a)

b)

c)

Rys. 6. Rozety 3-tensometrowe: a) prostokątne złożone, b) prostokątne skrzyżowane (gwiazdowe),

c) typu „delta”

Podczas badania płaskiego stanu napr

ęż

e

ń

najcz

ęś

ciej stosowane s

ą

rozety składaj

ą

ce si

ę

z

czterech tensometrów, w których czwarty tensometr pełni rol

ę

kontroln

ą

lub pomocnicz

ą

.

Przykładem takiej rozety jest rozeta T – „delta” (rys. 7).

Rys. 7. Rozeta T – „delta”

4. Przykłady zastosowań tensometrów oporowych

W szeregu zastosowaniach pomiary przy pomocy tensometrów oporowych maj

ą

charakter pomiarów po

ś

rednich, kiedy przy pomocy pomiarów odkształce

ń

wyznacza si

ę

wielko

ś

ci fizyczne zwi

ą

zane z odkształceniami.

4.1. Pomiar sił w prętach

W przypadku wyznaczania sił w pr

ę

tach rozci

ą

ganych lub

ś

ciskanych metod

ą

tensometryczn

ą

przyjmuje si

ę

,

ż

e w pr

ę

cie wyst

ę

puje jednorodny, jednokierunkowy stan

napr

ęż

enia o zadanym kierunku głównym. Wówczas siła normalna w pr

ę

cie wynosi:

A

N

⋅

=

σ

,

(26)

11

gdzie: A - pole przekroju poprzecznego pr

ę

ta,

σ

- napr

ęż

enia normalne.

Uwzgl

ę

dniaj

ą

c prawo Hooke’a sił

ę

normaln

ą

w pr

ę

cie wyznaczamy z zale

ż

no

ś

ci:

A

E

N

⋅

⋅

=

ε

,

(27)

gdzie:

ε

- odkształcenie jednostkowe mierzone przy pomocy tensometru oporowego,

E

– moduł Younga.

4.2. Pomiar momentu gnącego i siły poprzecznej w belkach

W przypadku pomiarów momentu gn

ą

cego i siły poprzecznej metod

ą

tensometryczn

ą

zakładamy,

ż

e element belkowy o wymiarach przekroju poprzecznego

h

b

×

odkształca si

ę

w

stanie prostego zginania. Przy takim zało

ż

eniu do pomiaru momentu gn

ą

cego i siły

poprzecznej wystarczy jeden tensometr naklejony w danej odległo

ś

ci z od osi oboj

ę

tnej belki,

tak by druciki oporowe przejmuj

ą

ce odkształcenie były równoległe do osi belki (rys. 8).

Zwykle tensometr montuje si

ę

w punkcie pomiarowym znajduj

ą

cym si

ę

na powierzchni

włókien poło

ż

onych w najwi

ę

kszej odległo

ś

ci od osi oboj

ę

tnej. Wówczas moment gn

ą

cy

q

M

wzgl

ę

dem osi oboj

ę

tnej y wynosi:

W

E

z

I

M

g

⋅

⋅

=

⋅

=

ε

σ

,

(28)

gdzie:

I

- moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi oboj

ę

tnej y,

W

- wska

ź

nik przekroju na

ginanie wzgl

ę

dem osi oboj

ę

tnej y.

Rys. 8. Pomiar momentu gnącego i siły tnącej

Warto

ść

siły poprzecznej T wyznaczamy z pomiaru momentu gn

ą

cego w zadanych punktach

belki. Z warunków równowagi odcinka belki o długo

ś

ci

dx

wynika,

ż

e pochodna momentu

gn

ą

cego jest równa sile tn

ą

cej:

dx

dM

T

g

=

.

(29)

Rozwa

ż

my belk

ę

obci

ąż

on

ą

siła skupion

ą

, dla której moment gn

ą

cy jest liniow

ą

funkcj

ą

poło

ż

enia, za

ś

siła tn

ą

ca jest funkcj

ą

przedziałami stał

ą

. Naklejaj

ą

c dwa tensometry w

odległo

ś

ci L od siebie (zgodnie z rys. ) i mierz

ą

c momenty gn

ą

ce w punktach pomiarowych

warto

ść

siły poprzecznej T mo

ż

na wyznaczy

ć

z równania:

L

M

M

T

g

g

1

2

−

=

,

(30)

gdzie:

2

1

,

g

g

M

M

- momenty gn

ą

ce zmierzone w punktach pomiarowych 1 i 2, L -odległo

ść

pomi

ę

dzy punktami pomiarowymi 1 i 2.

12

4.3. Pomiar momentu skręcającego

Pomiar momentu skr

ę

caj

ą

cego metod

ą

tensometryczn

ą

pozwala okre

ś

li

ć

warto

ść

momentu

skr

ę

caj

ą

cego

s

M

obracaj

ą

cego si

ę

wałka o

ś

rednicy D. Maksymalne napr

ęż

enia skr

ę

caj

ą

ce

τ

w pr

ę

cie o przekroju kołowym skr

ę

canym momentem

s

M

wynosz

ą

:

0

W

M

s

=

τ

,

(31)

gdzie:

0

W

- wska

ź

nik wytrzymało

ś

ci przekroju na skr

ę

canie, który jest równy ilorazowi

biegunowego momentu bezwładno

ś

ci

0

I

wzgl

ę

dem

ś

rodka przekroju przez odległo

ść

najdalszego włókna

max

ρ

od

ś

rodka przekroju:

max

0

0

ρ

I

W

=

,

(32)

Dla przekroju kołowego wska

ź

nik wytrzymało

ś

ci przekroju na skr

ę

canie wynosi:

16

3

0

D

W

π

=

,

(33)

st

ą

d moment skr

ę

caj

ą

cy przekrój kołowy wynosi:

τ

π

τ

16

3

0

D

W

M

s

=

⋅

=

.

(34)

Napr

ęż

enie styczne

τ

działa stycznie do obwiedni przekroju poprzecznego wałka i wywołuje

stan czystego

ś

cinania. Kierunki główne napr

ęż

e

ń

s

ą

obrócone o k

ą

t 45

° w stosunku do

kierunku wyznaczonego przez styczn

ą

do przekroju poprzecznego i le

żą

w płaszczy

ź

nie

stycznej do obwiedni wałka. Napr

ęż

ania w kierunkach głównych stanu napr

ęż

enia podobnie,

jak i odkształcenia maj

ą

takie same warto

ś

ci, ale s

ą

przeciwnych znaków:

2

1

2

1

ε

ε

σ

σ

−

=

−

=

.

(35)

St

ą

d tensometry mierz

ą

ce odkształcenia jednostkowe

1

ε

i

2

ε

przykleja s

ą

do powierzchni

bocznej wałka pod k

ą

tem 45

° wzgl

ę

dem osi symetrii wałka w sposób pokazany na rys. 9. Ze

wzoru (35) wynika,

ż

e do pomiaru momentu skr

ę

caj

ą

cego wystarczy jeden tensometr.

Zastosowanie dwóch tensometrów pozwala na u

ś

rednienie wyników pomiarów

1

ε

i

2

ε

.

Prawo Hooke’a w przypadku skr

ę

cania ma posta

ć

:

G

τ

γ

=

,

(36)

gdzie:

γ

- k

ą

t odkształcenia postaciowego równy:

2

1

2

2

ε

ε

γ

=

=

,

(37)

za

ś

G jest modułem spr

ęż

ysto

ś

ci postaciowej (modułem Kirchhoffa):

(

)

ν

+

=

1

2

E

G

.

(38)

13

Rys. 9. Pomiar momentu skręcającego

Podstawiaj

ą

c równanie (37) opisuj

ą

ce k

ą

t odkształcenia postaciowego do prawa Hooke’a (36)

otrzymujemy:

1

2

ε

γ

τ

⋅

=

⋅

=

G

G

.

(39)

Ostatecznie moment skr

ę

caj

ą

cy wyznaczany jest ze wzoru:

1

3

3

8

16

ε

π

τ

π

⋅

⋅

=

⋅

=

G

D

D

M

s

.

(40)

5. Wykonanie ćwiczenia

5.1. Cel ćwiczenia

Celem

ć

wiczenia jest zapoznanie si

ę

z pomiarem odkształce

ń

metod

ą

tensometrii

oporowej i do

ś

wiadczalne wyznaczenie rozkładu napr

ęż

e

ń

normalnych w belce zginanej.

5.2. Stanowisko pomiarowe

Stanowisko pomiarowe składa si

ę

badanej belki dwuteownikowej wykonanej ze stali

podpartej na dwóch wałeczkach, maszyny wytrzymało

ś

ciowej wywieraj

ą

cej wymagane

obci

ąż

enie na badan

ą

belk

ę

oraz układu pomiarowego. Na półce belki naklejony jest

tensometr oporowy w odległo

ś

ci z od osi oboj

ę

tnej belki. Na rys. 10 przedstawiono schemat

stanowiska pomiarowego.

Rys. 10. Stanowisko pomiarowe:

1- bela, 2 – mostek, 3 – obciążenie belki, 4 - podpory

14

5.3. Przebieg pomiarów

W trakcie

ć

wiczenia nale

ż

y:

zapozna

ć

si

ę

z instrukcj

ą

obsługi mostka tensometrycznego,

skompensowa

ć

i wykalibrowa

ć

mostek tensometryczny,

obci

ąż

a

ć

belk

ę

kolejnym obci

ąż

eniami

i

P

przy pomocy maszyny wytrzymało

ś

ciowej

i odczytywa

ć

wskazania mostka tensometrycznego,

wyniki pomiarów zanotowa

ć

w tabeli pomiarowej.

5.4. Opracowanie wyników pomiarów

W ramach

ć

wiczenia nale

ż

y wykona

ń

opracowanie wyników pomiarów obejmuj

ą

ce:

opis celu i zakresu

ć

wiczenia,

schemat stanowiska pomiarowego,

tabel

ę

pomiarow

ą

,

wykresy strzałki ugi

ę

cia belki

pom

f

i

obl

f

w połowie jej długo

ś

ci w funkcji siły P

obci

ąż

aj

ą

cej belk

ę

,

porównanie ugi

ę

cia belki wyznaczonego do

ś

wiadczalnie i teoretycznie.

wnioski dotycz

ą

ce wyznaczonego do

ś

wiadczalnie przebiegu strzałki ugi

ę

cia w funkcji siły

obci

ąż

aj

ą

cej belk

ę

.

Tabela pomiarowa

.

Zestawienie wyników pomiarów i oblicze

ń

belki zginanej

Ugi

ę

cie belki

Lp.

P

[kN]

g

M

[Nm]

obl

g

σ

[MPa]

Odczyt

na mostku

k

R

R

1

∆

[‰]

Odkształcenie

jednostkowe

ε

[-]

pom

g

σ

[MPa]

pom

f

[mm]

obl

f

[mm]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

15

gdzie:

P

- siła skupiona obci

ąż

aj

ą

ca belk

ę

przyło

ż

ona w

ś

rodku belki,

g

M

- moment gn

ą

cy w punkcie pomiarowym znajduj

ą

cym w połowie długo

ś

ci

badanej belki:

4

L

P

M

g

⋅

=

,

L

- długo

ść

belki, przyjmujemy

ż

e jest ona równa odległo

ś

ci pomi

ę

dzy

podporami: L = 1000 mm,

obl

g

σ

- napr

ęż

enia gn

ą

ce w punkcie pomiarowym wyznaczone ze wzoru:

g

g

g

W

M

=

σ

,

g

W

- wska

ź

nik wytrzymało

ś

ci na zginanie:

g

W

= 34.2 cm

3

,

ε

- odkształcenie jednostkowe wyznaczane zale

ż

no

ś

ci:

R

R

k

∆

=

1

ε

,

k

- stała tensometru oporowego: k = 2.15,

pom

g

σ

- napr

ęż

enia gn

ą

ce w punkcie pomiarowym wyznaczone na podstawie

pomiarów tensometrycznych odkształcenia jednostkowego:

E

pom

g

⋅

=

ε

σ

,

E

- moduł Young’a:

5

10

2

⋅

=

E

MPa,

obl

f

- strzałka ugi

ę

cia belki w punkcie pomiarowym wyznaczona z zale

ż

no

ś

ci:

I

E

L

P

f

obl

⋅

⋅

⋅

=

48

3

,

I

- moment bezwładno

ś

ci przekroju poprzecznego belki wzgl

ę

dem osi

oboj

ę

tnej: I = 105 cm

4

,

pom

f

- strzałka ugi

ę

cia belki w punkcie pomiarowym wyznaczona z pomiarów.

Bibliografia

1. Bachmacz W.: Wytrzymało

ść

materiałów. Badania do

ś

wiadczalne. Skrypt Politechniki

Cz

ę

stochowskiej, Cz

ę

stochowa 1973.

2. Banasik M.:

Ć

wiczenia laboratoryjne z wytrzymało

ś

ci materiałów. PWN, Warszawa

1977.

3. Boruszak A., Sykulski R., Wrze

ś

niowski K.: Wytrzymało

ść

materiałów. Do

ś

wiadczalne

metody bada

ń

. Wydawnictwo Politechniki Pozna

ń

skiej, Pozna

ń

1977.

4. Katarzy

ń

ski S., Koca

ń

da S., Zakrzewski M.: Badania wła

ś

ciwo

ś

ci mechanicznych metali.

WNT, Warszawa 1967.

5. Mazurkiewicz S.: Laboratorium z wytrzymało

ś

ci materiałów. Wydawnictwo Politechniki

Krakowskiej, Kraków 1978.

6. Orło

ś

Z.: Do

ś

wiadczalna analiza odkształce

ń

i napr

ęż

e

ń

. PWN, Warszawa 1977.