ZADANIE 1
Koło pojazdu o promieniu r=0,2 [m] poruszają się bez poślizgu po poziomym
moście o ω=16 [rad/s] pomost porusza się z prędkością V=ω·r. Oblicz prędkość
całkowitą punktu B koła i przyśpieszenie punktu A stycznego koła z pomostem.

V

V

A

=

Prędkość dowolnego punktu koła:

V

V

i

bysmy

odejmowali

to

strone

przeciwna

w

krecilo

sie

by

koło

Jeżeże

V

V

r

V

ponieważ

V

r

r

AB

V

V

V

r

r

AB

AB

AB

AB

V

V

B

B

A

B

B

A

B

=

=

⋅

=

=

+

=

×

+

=

=

=

⋅

=

⋅

⋅

=

×

×

+

=

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

3

:

3

2

|

|

|

|

2

2

sin

2

)

,

sin(

|

|

|

|

|

|

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

π

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

Przyśpieszenie dowolnego punktu koła np. A

SA

SA

a

a

S

A

⋅

−

×

+

=

2

ϖ

ε

Ponieważ V

S

= const to a

S

=0 [m/s

2

]

Ponieważ ω= const to ε=0 [rad/s

2

]

r

SA

a

a

SA

a

A

A

A

2

2

2

|

|

|

|

ϖ

ϖ

ϖ

=

⋅

−

=

=

⋅

−

=

ZADANIE 2
O jaki kąt φ trzeba odchylić od równowagi wahadlo matematyczne o długości 2l
i masie kulki m aby naciąg nieważkiej nici przy przejściu wahadła przez dane
położenie był dwukrotnie większy od ciężaru kulki.

mg

l

m

r

mg

r

mg

r

+

=

=

=

2

'

2

'

cos

2

ϖ

ϕ

l

r

V

m

F

l

m

F

r

V

r

V

od

od

2

)

(

2

2

2

⋅

=

⋅

=

=

=

ϖ

ϖ

ϖ

3

2

1

cos

cos

1

2

1

2

)

cos

1

(

)

cos

1

(

2

2

2

2

2

)

cos

1

(

2

cos

2

2

2

2

2

π

α

α

α

α

α

α

α

=

= >

=

−

=

−

=

=

−

=

+

=

−

=

−

=

l

l

mgh

mg

V

ghl

mV

mgh

l

mV

mg

mg

l

l

l

h

ZADANIE 3
Punkt materialny porusza się w płaszczyźnie XY z przyśpieszeniem

]

,

[

y

x

a

a

a

=

gdzie a

x

=-sint, a

Y

=-2cost. Wyznacz położenie i prędkość punktu w chwili t

1

=Π/2

[s], w chwili t=0.

ZADANIE 4
Do suwaka o masie m=5[kg] znajdującego się na chropowatej prowadnicy
poziomej przyłożono w chwili t=0 siłę F=20[N] działającą poziomo. W jakiej
odległości s od płożenia początkowego zatrzyma się suwak jeśli podczas
działania siły T=3[s]. Współczynnik tarcia μ=0,3, w chwili początkowej
prędkość suwakaV

0|t0

=0

I FAZA

Z zasady zachowania Pędu

m

T

mg

F

V

T

mg

F

mV

T

T

F

m

mV

t

F

p

p

x

x

x

)

(

)

(

)

(

0

)

(

)

0

(

)

1

(

µ

µ

−

=

−

=

−

=

−

Σ

=

−

Z Zasady zachowania energii kinetycznej

)

(

2

2

)

(

2

1

)

(

0

2

1

2

2

1

1

2

1

2

mg

F

mV

mg

F

mV

s

s

mg

F

mV

s

mg

F

mV

µ

µ

µ

µ

−

=

−

=

−

=

−

=

−

II FAZA

Z zasady zachowania energii kinetycznej

g

V

s

s

g

V

s

mg

mV

µ

µ

µ

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

−

2

2

1

2

0

2

2

2

2

2

2

S=s1+s2

ZADANIE 5
Koła pojazdu szynowego traktowane jak tarcza kołowa jednorodna ma promień
R i masę m, toczy się bez poślizgu po torze o kącie nachylenia α, współczynnik
tarcia między kołami a torem wynosi μ. Jaki warunek musi spełnić siła
pociągowa F przyczepiona w środku aby koło toczyło się bez poślizgu.

Z równań ruchu płaskiego

(1)

α

µ

α

cos

sin

..

..

mg

mg

F

x

m

T

Qx

F

x

m

s

s

−

+

=

⋅

−

+

=

⋅

R

a

R

a

a

x

=

⋅

=

=

ε

ε

..

(2)

α

µ

ε

α

µ

ε

α

µ

ε

α

µ

ε

ε

cos

2

cos

2

1

cos

2

1

cos

2

g

R

g

R

mg

R

mR

mg

R

Is

T

R

Is

=

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

α

µ

ε

cos

2

..

..

g

x

R

x

s

s

=

⋅

=

α

α

µ

α

µ

α

α

µ

sin

cos

3

cos

sin

cos

2

mg

mg

F

mg

mg

F

mg

−

=

−

+

=

ZADANIE 6
Przebieg prędkości pociągu w funkcji czasu między stacjami AB przedstawia
wykres. Wyznacz odległość s[m] między tymi stacjami jeśli t1=2[min];
t2=12[min]; t3=15[min]; V=72[km/h]

s- całkowita odległość między stacjami
s=s1+S2+s3

s1- droga od czasu 0 do czasu t1
s1=1/2·V·t1

s2- droga od czasu t1 do t2
s2=V(t2-t1)

s3- droga od czasu t2do t3
s3=1/2·V·(t3-t2)

dodajemy wszystkie czasy

ZADANIE 7
Koło pasowe o ciężarze Q=100[N] i promieniu r=0,12 [m] jest obsadzone na
łożyskach osi AM i obraca się z częstotliwością=50Π[Hz]. Geometryczna oś
obrotu jest przesunięta względem osi symetrii koła o e=1[mm] obliczyć reakcję
łożysk.

R

A

, R

B

– szukane reakcje

F- siła odśrodkowa

e

g

Q

e

m

F

2

2

ϖ

ϖ

=

=

Warunki równowagi

0

3

)

2

0

)

1

=

−

⋅

=

Σ

=

+

−

=

Σ

h

R

h

F

M

R

F

R

Fy

M

A

M

A

Z 2) równania otrzymujemy

g

e

Q

F

R

F

R

g

e

Q

F

R

M

A

M

3

2

3

2

3

3

1

2

2

ϖ

ϖ

=

=

−

=

=

=

]

/

[

96

,

986

50

2

2

s

rad

f

=

Π

⋅

Π

=

Π

=

ϖ

ϖ

ϖ

WYLICZAMY RA i RM

ZADANIE 7
Pociąg mający prędkość początkową V

o

= 54[km/h], przejechał drogę s

1

=

600[m] w ciągu czasu t

1

= 30[s]. Zakładając stałe przyspieszenie styczne

pociągu, obliczyć jego prędkość i przyspieszenie całkowite w końcu trzydziestej
sekundy, jeżeli ruch odbywał się po łuku o promieniu R=1[km].

R

o

V

1

V

R

s

1

V

→

a

t

→

a

n

→

a

→

.

.

→

→

a

t

−

przyspieszenie styczne,

a

n

−

przyspieszenie normalne,

a

−

przyspieszenie całkowite.

C

t

a

V

C

dt

a

dV

C

dt

a

dV

dt

a

dV

dt

dV

a

t

t

t

t

t

+

=

→

+

=

→

+

=

→

=

→

=

∫

∫

∫

∫

C

−

stała zależna od warunku początkowego,

0

t

V

=

= V

o

→ C = V

o

→ V = a

t

t + V

o

(1)

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+

+

=

→

+

+

=

→

+

=

→

=

→

=

1

o

t

1

o

t

1

C

dt

V

tdt

a

s

C

)dt

V

t

(a

ds

C

Vdt

ds

Vdt

ds

dt

ds

V

C

1

−

stała zależna od warunku początkowego,

1

o

2

t

C

t

V

t

a

2

1

s

+

+

=

→

0

t

s

=

= 0 → C

1

= 0 →

t

V

t

a

2

1

s

o

2

t

+

=

Z ostatniego równania wyliczamy a

t

: →

1

t

t

s

=

= s

1

→

1

o

2

1

t

1

t

V

t

a

2

1

s

+

=

→

2

1

1

o

1

t

t

)

t

V

2(s

a

−

=

Podstawiając dane liczbowe (V

o

= 15 [m/s]) otrzymujemy:

]

[m/s

3

1

a

2

t

=

Liczymy V w chwili t

1

ze wzoru (1):

[m/s]

25

15

30

3

1

V

1

t

t

=

+

=

=

a

n

w chwili t

1

liczymy ze wzoru:

8

5

R

V

a

1

1

t

t

2

t

t

n

=

=

=

=

[m/s

2

]

całkowite przyspieszenie w chwili t

1

:

24

17

a

a

a

2
n

2
t

=

+

=

[m/s

2

].

ZADANIE 8
Punkt materialny porusza się po płaszczyźnie Oxy zgodnie z równaniami:

)

sin(

)

(

cos

),

sin(

2

t

t

y

t

x

Π

−

Π

=

Π

=

Wyznacz tor punktu orazjego przyśpieszenie dla t1=3/2 [s]

)

sin(

)

(

cos

2

)

(

sin

2

)

cos(

)

sin(

)

cos(

2

)

sin(

),

cos(

_

1

)

(

)

sin(

)

(

sin

1

2

2

2

2

2

2

2

2

t

t

t

y

t

t

t

y

t

x

t

x

RUCHU

TOR

x

x

x

y

t

t

y

Π

Π

+

Π

Π

−

Π

Π

=

Π

Π

−

Π

Π

Π

−

=

Π

Π

−

=

Π

Π

=

−

+

−

−

=

⇒

Π

−

Π

−

=

•

•

•

•

•

•

Podstawiamy za t => t1=3/2 i otrzymujemy

2

1

2

3

cos

;

0

2

3

sin

−

=

Π

=

Π

stąd:

2

1

2

1

..

2

1

..

2

Π

=

Π

=

Π

=

a

y

x

ZADANIE 9
Ładunek o masie m=2[kg] znajdujący się na poziomej platformie porusza się
pod wpływem poziomej siły F(t)=2t [N]. Oblicz drogę jaką pokonał ładunek
ciała zatrzymanego w ciągu t1=3 [s]. Tarcie pomijamy

]

[

36

6

6

|

;

6

0

;

6

0

;

2

2

2

)

(

3

1

1

1

3

2

2

1

3

1

1

2

m

s

s

x

t

x

c

c

t

c

t

x

c

c

t

V

tdt

dV

t

V

t

F

V

m

t

t

=

=

⇒

=

=

=

+

+

=

=

+

=

=

→

=

→

=

=

•

•

ZADANIE 10

Wirnik obraca się ze stałą prędkością kątową ω

0

. Jego moment bezwładności

względem osi obrotu wynosi J. Po wyłączeniu prądu prędkość kątowa winrnika
spada na skutek momentu oporów ruchu M=h/(b+t) gdzie h,b – stałe, t – czas.
Po jakim czasie prędkość kątowa wirnika spadnie dwukrotnie?

b

h

J

c

c

t

b

h

J

t

t

b

h

J

t

M

J

ln

;

)

ln(

0

;

)

(

0

1

1

⋅

+

=

→

+

+

⋅

−

=

≥

+

−

=

→

−

=

•

•

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

0

1

0

2

1

|

)

ln(

ln

)

(

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

=

+

⋅

−

=

⋅

−

−

=

t

t

t

b

h

b

h

J

)

1

(

)

ln(

ln

2

1

2

/

0

1

1

0

−

=

→

+

⋅

=

⋅

−

−

h

J

e

b

t

t

b

h

b

h

J

ϖ

ϖ

ZADANIE 11
Wahadło matematyczne o długości 2l i masie kulki m znajduje się w środku
równowagi. Jaką prędkość początkową należy nadać kulce aby naciąg linki przy
przejściu przez górne położenie wahadła był równy zero?

Z zasady zachowania energii mechanicznej:

)

1

(

2

2

2

2

2

2

0

mV

mgl

mV

mgl

+

=

+

−

W położeniu górnym:

mg

Q

gdzie

Q

N

l

mV

=

+

=

:

2

2

Ma być N=0

:

)

1

(

)

2

(

)

2

(

2

2

>

−

→

=

mgl

mV

po podstawieniu otrzymujemy:

gl

V

10

0

=

ZADANIE 12

Łódź ze stojącym na niej człowiekiem ma prędkośćV

0

. Pomijając opór wody

znaleźć prędkość łodzi V i jej równanie ruchu s=s(t), jeśli człowiek porusza się
do przodu względem łodzi ze stałą prędkością U. Dla jakiej wartości prędkości
V

0

łódź nie będzie się przemieszczać.

m- masa człowieka
M – masa łodzi

Pęd początkowy p

1

=(m+M)V

0

Pęd końcowy p

2

=MV+m(U+V)

Z zasady zachowania pędu wynika równanie:
(m+M)V

0

=MV+m(U+V)

(m+M)V

0

=MV+mU+MV

(M+m)V=(m+M)V

0

-mU

Wyliczamy i otrzymujemy: V=

m

M

mU

V

M

m

+

−

+

0

)

(

- prędkość łodzi

m

V

m

M

U

mU

V

m

M

V

0

0

)

(

)

(

0

+

=

⇒

=

+

⇔

=

-przy takiej prędkości łódź w spoczynku

Równanie ruchu: s(t)=Vt =

t

m

M

mU

V

M

m

⋅

+

−

+

0

)

(

ZADANIE 14
Jednorodny walec o masie m = 30[kg] i promieniu r = 0,1[m] został ze stanu
spoczynku wprawiony w ruch obrotowy wokół swej nieruchomej osi symetrii
uzyskując prędkość kątową

ω

1

=

120[rad/s] w ciągu t

1

= 8[s]. Wiedząc, że

moment oporowy ruchu M

t

= 0,2[Nm], oblicz moment napędowy zakładając

jego stałą wartość.

Dynamiczne równanie ruchu:

t

n

M

M

ε

I

−

=

gdzie:

I

−

moment bezwładności walca

względem osi obrotu

ε

−

przyspieszenie kątowe

M

n

−

szukany moment napędowy

2

r

m

I

2

=

,

dt

dω

ε

=

→

t

n

2

M

M

dt

dω

2

r

m

−

=

→

dt

r

m

)

M

M

2(

dω

2

t

n

−

=

całkujemy obustronnie ostatnie równanie:

∫

∫

+

−

=

C

dt

r

m

)

M

M

2(

dω

2

t

n

C

t

r

m

)

M

M

2(

ω

2

t

n

+

−

=

,

0

ω

0

t

=

=

→ C = 0 →

t

r

m

)

M

M

2(

ω

2

t

n

−

=

z treści zad:

1

t

t

ω

ω

1

=

=

→

1

2

t

n

1

t

r

m

)

M

M

2(

ω

−

=

stąd:

1

2

1

t

n

2t

mr

ω

M

M

+

=

= 2,45 [Nm].

ZADANIE 15
Tarcza koła pasowego obraca się wokół swej nieruchomej osi symetrii tak że jej
opóźnienie kątowe ε jest proporcjonalne do jej prędkości kątowej ω: ε=-hω,
Gdzie h jest stałe. Prędkość początkowa tarczy wynosiła ω

0

[rad/s].

Wyprowadzić równania ω=ω(t) i ω=ω(φ). Oraz narysować wykres ω=ω(φ)

1)

hb

e

t

C

ht

dt

h

d

h

−

•

=

+

−

=

→

−

=

→

−

=

∫

∫

0

1

)

(

ln

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

2)

ϕ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϕ

ϖ

ϖ

ϕ

ϖ

ϖ

ϕ

ϕ

ϖ

ϖ

ϕ

h

C

h

h

d

d

dt

d

d

d

−

=

→

=

+

−

=

→

−

=

→

⋅

=

=

•

0

0

0

2

|

3)

ZADANIE 16
Lokomotywa ciągnie wagon w górę równi o nachyleniu α=0,02[rad]. Między
lokomotywę a wagon wstawiono dynamometr. W ciągu czasu t

1

120 [s]

dynamometr wskazywał średnio siłę F=10 [kN]. W tym czasie pociąg ze stanu
spoczynku nabrał prędkość V

1

=72 [km/h]. Współczynnik tarcia wagon-tor

μ=0,02. Obliczyć ciężar wagonu.

Z zasady zachowania pędu:

]

[

5

,

175

)

(

)

cos

sin

(

)

cos

sin

(

1

1

1

1

1

1

kN

gt

V

F

gt

V

F

Q

t

Q

Q

F

V

g

Q

=

+

+

=

+

+

=

−

−

=

µ

α

α

µ

α

α

µ

α

ZADANIE 17

Obliczyć przesunięcie platformy o ciężarze podstawy P

1

=100 [kN],

spoczywającej na stojącej wodzie. Jeśli wysięgnik platformy o ciężarze
p

2

=20[kN] z pozycji pionowej obróci się w prawo o kąt α=30

o

. Wysięgnik

potraktować jako jednorodną prostą belkę. Długość wysięgnikaO

1

A=2l=6[m].

Opory ruchu pomijamy.

Z zasady ruchu środka masy układu:

]

[

25

,

0

)

(

sin

)

sin

(

)

(

2

1

2

2

1

2

1

m

P

P

l

P

u

l

u

b

g

P

u

b

g

P

b

g

P

b

g

P

≈

+

⋅

=

+

−

+

−

=

+

α

α

ZADANIE 18
Pręt prosty AB=b=1[m]ślizga się ruchem płaskim, po osiach układu Oxy. W
chwili gdy tworzy on z osią Ox kąt α=60

o

, prędkość jego końca wynosi

V

A

=2[m/s]. Wyznacz dla tego położenia chwilowy środek obrotu, prędkość

kątową i prędkość pręta.

]

/

[

3

3

2

]

/

[

3

3

4

sin

s

m

ctg

V

V

s

rad

b

V

AC

V

A

B

A

A

=

=

=

=

=

α

α

ϖ

ZADANIE 19

Przez zamocowany obrotowo krążek oo promieniu r, przełożono nierozciągliwą
linkę. Na końcach tej linki zawieszono kuli o masach m

1

i m

2

(m

1>

m

2

) tak, że ich

środki znajdują się na tej samej wysokości i zablokowano ruch. Jaką prędkość
odzyskają kulki po odblokowaniu ruchu, jeżeli kulka o masie m

1

obniży się o

wielkość h? jaka będzie wtedy prędkość kątowa krążka? Zakładamy, żę między
krążkiem a linką brak jest poślizgu a linka krążek są nieważkie.

)

(

)

(

2

1

)

(

)

(

2

)

(

)

(

2

0

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

1

2

2

2

2

1

2

1

m

m

m

m

gh

r

r

V

m

m

m

m

gh

V

V

m

m

m

m

gh

g

m

h

g

m

V

m

V

m

gh

m

gh

m

+

−

⋅

=

=

+

−

=

+

=

−

⋅

+

⋅

+

+

=

+

ϖ

ZADANIE 20
Oblicz jaki kąt α powinna tworzyć z poziomem płaszczyzna na której ma się
toczyć bez poślizgu kula, jeżeli wiadomo, że współczynnik tarcia miedzy kulą a
płaszczyzną wynosi μ=0,2

Q

=mg

T=μr

(1)

ma

x

= mgsinα - μmgcosα

(2)

I

S

ε = μmgrcosα

(3)

a

x

= a

s

= εV

α

µ

cos

2

5

g

a

S

=

do (1):

o

arctg

tg

35

2

7

2

7

≤

≤

→

=

∗

α

µ

α

µ

α

ZADANIE 21

Ciężarek o masie m ze stanu spoczynku spada pionowo z wysokości h na
nieważką sprężynę śrubową o stałej sztywności równej k. Wyznacz ugięcie

λ

tej

sprężyny zakładając, że ciężarek po zetknięciu z górnym końcem sprężyny
przykleił się do niej. Opory ruchu pomijamy.

h

λ

k

poziom

odniesienia

Korzystamy z zasady zachowania energii. Energia kinetyczna ciężarka w chwili
początkowej jak i końcowej jest równa zero. Przyjęto poziom odniesienia dla
energii potencjalnej grawitacji jak pokazano na rysunku. Wobec tego całkowita
energia (E

1

) w położeniu początkowym: E

1

= mg(h +

λ

)

całkowita energia (E

2

) w położeniu końcowym jest energią potencjalną

sprężystości:

2

λ

k

E

2

2

=

Z zasady zachowania energii wynika równanie: E

1

= E

2

→

2

λ

k

λ)

h

mg(

2

=

+

Po przekształceniach otrzymujemy: k

λ

2

−

2mg

λ

−

2mgh = 0

2hk)

4mg(mg

2mgh)

4k(

2mg)

(

Δ

2

+

=

−

−

−

=

2hk)

mg(mg

2

Δ

+

=

k

2hk)

mg(mg

mg

λ

+

+

=

lub

0

k

2hk)

mg(mg

mg

λ

<

+

−

=

−

sprzeczne

czyli odpowiedzią jest:

k

2hk)

mg(mg

mg

λ

+

+

=

[m].

ZADANIE 22
Pociąg poruszający się po torze prostym z prędkością V

0

=72 [km/h] doznaje

przy hamowaniu opóźnienia a=0,4[m/s

2

]. Wyznaczyć po jakim czasie t

1

[s]

pociąg zatrzyma się i jaka będzie droga hamowania s

1

[m]

]

[

500

2

50

4

,

0

2

]

[

50

4

,

0

20

]

/

[

20

]

/

[

72

2

1

1

0

1

m

at

s

s

a

V

t

s

m

h

km

=

⋅

=

=

=

=

=

=

ZDANIE 23

Do ciała o masie m, które może poruszać się prostoliniowym ruchem
postępowym po chropowatej poziomej płaszczyźnie, przyłożona została siła P
tworząca kąt

α

z tą płaszczyzną. Wyznaczyć przyspieszenie, z którym zacznie

poruszać się to ciało. Współczynnik tarcia między ciałem a płaszczyzną jest
równy

µ

.

F=Pcosα
N=Psinα
T=μG; G=Q-N=mg-Psin α
T=μ(mg-Psin α)
P

w

=F-T = Pcosα- μ/(mg-Psin α)

P

w

=P(cos α + μsin α)-μmg

A=P

w

/m

ZADANIE 24
Prosty jednorodny pręt o długości l = 3,27 [m] osadzony jest swoim końcem O
obrotowo na osi i może wykonywać ruchy w płaszczyźnie pionowej,
prostopadłej do tej osi. Jaką prędkość trzeba nadać końcowi A, aby pręt z
położenia równowagi wykonał pół obrotu?

Korzystamy z zasady zachowania energii.

Na poniższym rysunku zaznaczono poziom odniesienia dla energii
potencjalnej (liczona jest względem środka masy)

Całkowita energia (E

1

) w położeniu początkowym:

2

Iω

E

2

1

=

gdzie:

I

−

moment bezwładności pręta

względem własnego końca
ω

−

prędkość kątowa w chwili początkowej

3

m

I

2

l

=

,

l

V

ω

=

→

6

V

m

V

3

m

2

1

E

2

2

2

2

1

=

=

l

l

Całkowita energia (E

2

) w położeniu końcowym:

2

mg

E

2

l

=

Z zasady zachow energii wynika równanie: E

1

= E

2

→

2

mg

6

V

m

2

l

=

→

l

3g

V

=

Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy: V = 9,81 [m/s].

ZADANIE 25

Płytka wykonuje ruch zgodnie z równaniem x=bsin(ωt), gdzie amplituda, t-czas.
Jaka musi być częstość ω, aby kulka spoczywająca na płutce oderwała się od
niej?(odrywanie i podrzucanie do góry)

)

(

min

)

(

max

))

sin(

(

),

sin(

2

2

2

2

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

ϖ

b

g

m

N

b

g

m

N

t

b

g

m

N

N

Q

x

m

t

b

x

−

=

+

=

−

=

→

−

=

−

=

•

•

•

•

Moment oderwania się kulki: Nmin=0 ->

b

q

=

2

ϖ

Warunek oderwania i podrzucenia:

b

q

≥

ϖ

ZDANIE 26
Na wał podnośnika o promieniu r i masie m1 nawinięto lekką nierozciągliwą
linkę, na końcu której zamocowano ładunek o masie m2. Na wał działa moment
napędowy M

0

przez co ładunek jest podnoszony do góry. Oblicz przyśpieszenie

kątowe ε wału i naciąg N linki

Równanie zmiany kąta względem osi obrotu

)

(

;

)

2

(

2

)

2

1

(

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

)

2

(

R

g

m

N

R

a

g

m

N

a

m

R

m

m

m

M

gR

m

M

R

m

R

m

M

k

n

n

M

O

ε

ε

ε

ε

+

=

=

−

=

+

−

=

−

=

+

→

=

•

ZADANIE 27
Dwie kule, jedna o masie m

1

= 200[g], a druga o masie m

2

= 300[g] poruszają

się do siebie wzdłuż prostej z prędkościami odpowiednio V

1

= 0,5[m/s] i V

2

=

0,4[m/s] W pewnej chwili zderzyły się i następnie zaczęły poruszać się razem.
Znaleźć ich wspólną prędkość oraz kierunek ruchu.

Pęd pierwszej kuli przed zderzeniem: p

1

= m

1

V

1

= 0,1 [kg

⋅

m/s]

Pęd drugiej kuli przed zderzeniem: p

2

= m

2

V

2

= 0,12 [kg

⋅

m/s]

Pęd drugiej kuli jest większy, wobec tego po zderzeniu kule będą poruszać się w
tym kierunku, w którym poruszała się druga kula.
Pęd kul po zderzeniu: p = (m

1

+ m

2

)V

Z zasady zachowania pędu wynika równanie: p

2

−

p

1

= p

→

m

2

V

2

−

m

1

V

1

= (m

1

+ m

2

)V

Stąd:

[m/s]

0,04

m

m

V

m

V

m

V

2

1

1

1

2

2

=

+

−

=

.

ZADNIE 28
Punkt materialny o masie m = 2[kg] porusza się zgodnie z równaniami
x(t) = hcos

ω

t [m],

y(t) = hsin

ω

t [m].

Wyznacz:
a) prędkość w chwili t

1

=

π

/

ω

,

b) przyspieszenie w chwili t

2

= 2

π

/

ω

,

c) siłę działającą na ten punkt w chwili t

2

. Przyjąć do obliczeń: h = 0,05[m],

ω

= 10[rad/s].

a)

2

y

2

x

V

V

V

+

=

,

[m/s]

ωhsinωt

dt

dx

V

x

−

=

=

,

[m/s]

ωhcosωt

dt

dy

V

y

=

=

[m/s]

ωh

ωt

cos

ωt

sin

ωh

t)

hcosω

(ω

ωhsinωt)

(

V

2

2

2

2

=

+

=

+

−

=

[m/s]

0,5

ωh

V

1

t

t

=

=

=

b)

2
y

2
x

a

a

a

+

=

,

t

hcosω

ω

dt

dV

a

2

x

x

−

=

=

[m/s

2

] ,

t

hsinω

ω

dt

dV

a

2

y

y

−

=

=

[m/s

2

]

h

ω

ωt

sin

ωt

cos

h

ω

t)

hsinω

ω

(

t)

hcosω

ω

(

a

2

2

2

2

2

2

2

2

=

+

=

−

+

−

=

[m/s

2

]

5

h

ω

a

2

t

t

2

=

=

=

[m/s

2

]

b)

am

F

=

, F = ω

2

hm [N]

10

hm

ω

F

2

t

t

2

=

=

=

[N].

ZADANIE 29
Punkt A porusza się po krzywej płaskiej zgodnie z równaniem s = b(e

kt

−

1),

gdzie s w [m], b, k są stałymi. Kąt między całkowitym przyspieszeniem, a
prędkością wynosi

α

= 60

o

. Obliczyć prędkość i całkowite przyspieszenie

punktu.

Prędkość punktu wyznaczamy ze wzoru:

kt

bke

dt

ds

V

=

=

[m/s]

Przyspieszenie styczne wynosi:

kt

2

t

e

bk

dt

dV

a

=

=

[m/s

2

]

Całkowite przyspieszenie jest równe:

kt

2

t

e

bk

2

cos60

a

a

=

=



[m/s

2

].

ZADANIE 30

Dla układu dwóch mas M i m połączonych nierozciągliwą i lekką nicią wyznaczyć ich
przyspieszenie oraz naciąg nici. Ciało o masie M spoczywa na chropowatej równi pochyłej o
kącie nachylenia α, współczynnik tarcia o równię wynosi µ. Jaki warunek musi spełniać masa
M, aby jej ruch w dół równi był możliwy?

Rozpatrujemy ruch masy M:
gdzie:

P

−

siła ciężkości, P = Mg, F

1

= Psin

α

=

Mgsin

α

, F

2

= Pcos

α

= Mgcos

α

S

−

siła naciągu linki

N

−

siła nacisku

T

−

siła tarcia

Dynamiczne równania ruchu w kierunku osi x i y
(obranych jak na rysunku)
x: aM = F

1

−

T

−

S

y: 0 = N

−

F

2

Uwzględniając, że: T = Nμ oraz podstawiając
wartości F

1

i F

2

otrzymujemy:

aM = Mgsin

α

−

Nμ

−

S, N = Mgcos

α

→ aM =

Mgsin

α

−

Mgμcos

α

−

S (1)

Rozpatrujemy ruch masy m:
gdzie: Q

−

siła ciężkości, P = mg, S

−

j.w.

Dynamiczne równanie ruchu:
am = S

−

Q → am = S

−

mg (2) (1) + (2)=>

aM + am = Mgsin

α

−

Mg

µ

cos

α

−

mg →

m

M

mg

μcosα)

Mg(sinα

a

+

−

−

=

a > 0, czyli: Mg(sin

α

−

µ

cos

α

)

−

mg > 0 stąd otrzymujemy:

μcosα

sinα

m

M

−

>

.