Slajd 1
Fizyka kwantowa
dotyczy świata mikroskopowego
wiele wielkości jest skwantowanych,
tzn. występuje w całkowitych
wielokrotnościach pewnych minimalnych
porcji zwanych kwantami
Slajd 2
Foton, kwant światła
Zjawiska świadczące o kwantowej naturze
światła:
zjawisko fotoelektryczne – energia
kwantów - równanie Einsteina
efekt Comptona - pęd fotonów
widma emisyjne atomów
prawidłowy opis promieniowania
termicznego z postulatem kwantyzacji
energii świetlnej - prawo Plancka
Slajd 3
Zjawisko fotoelektryczne
Wiązka światła wybija elektrony z powierzchni metalu
z falowej teorii wynika:
elektron nie opuści metalu dopóki amplituda fali E
o
nie
przekroczy określonej wartości krytycznej
energia emitowanych elektronów wzrasta proporcjonalnie
do E
o
2
liczba emitowanych elektronów powinna zmniejszyć się ze
wzrostem częstotliwość światła
wyniki eksperymentalne:
progowego natężenia nie zaobserwowano
energia elektronów okazała się niezależna od wielkości E
o
zauważono zależność energii elektronów od częstotliwości
Slajd 4
Teoria Einsteina
światło o częstości
ν
stanowi zbiór pakietów
energii zwanych fotonami lub kwantami z
których każdy posiada energię h
ν
h to uniwersalna stała Plancka = 6.626×10
–34
Js
kwanty światła (fotony) zachowują się podobnie
do cząstek materialnych (przy zderzeniu foton
może być pochłonięty, a cała jego energia
przekazana jest elektronowi).
maksymalna energia kinetyczna elektronu
opuszczającego metal o pracy wyjścia W
o
wynosi
o
W
h
K
−
ν
=
max
Slajd 5
Doświadczenia
fotoelektryczne
j
A
U
j
U
U
h
I
o
2I
o
liczba emitowanych elektronów
(prąd j) rośnie ze wzrostem
natężenia światła I
o
maksymalna energia elektronów
K
max
=U
h
nie zależy od natężenia
światła I
o
, rośnie ze wzrostem
częstotliwości ν
o
W
h
K
−
ν
=
max
o
o
W
h
=
ν
max
K
ν
o
ν
częstość progowa
ce
z
só
d
0
K
T
materiał
tarczy:
Slajd 6
Pęd fotonu
Foton, oprócz energii E=h
ν, posiada również pęd p
Zgodnie z teorią relatywistyczną wszystkie cząstki
które posiadają energię muszą posiadać pęd,
nawet jeśli nie mają masy spoczynkowej
λ
ν
h
c
h
c
E
p
=
=
=
pc
E =
( )
(
)
2
2
2
2
c
m
pc
E
o
+
=
0
=
o
m
Kierunek pędu fotonu jest zgodny z kierunkiem
rozchodzenia się fali elektromagnetycznej
Foton nie ma ładunku elektrycznego ani momentu
magnetycznego, ale może oddziaływać z innymi cząstkami
Slajd 7
Efekt Comptona
Rozpraszanie fotonów na swobodnych elektronach:
wiązka promieniowania rentgenowskiego o długości fali
λ
rozpraszana przez grafitową tarczę zmieniała swą długość w
zależności od kąta rozpraszania
θ (położenia detektora).
W klasycznym podejściu częstość, a więc i długość wiązki
rozproszonej powinna być taka sama jak padającej.
θ
detektor
szczeliny
kolimujące
λ
'
λ
tarcza
grafitowa
wiązka
rozproszona
promieniowanie
rentgenowskie
Slajd 8
Zderzenie fotonu
z elektronem
e
E
c
p
mc
pc
'
' +
=
+
2
(
)
(
)
2
2
c
E
mc
p
p
e
/
'
'
=
+
−
e
p
p
p
'
' r
r
r
=
−
2
2
2
2
e
p
p
p
p
p
'
'
'
=
+
−
r
r
2
2
2
2
2
2
2
2
2
e
e
p
c
E
pp
mc
p
pmc
pp
c
m
'
'
cos
'
'
'
−
=
θ
+
−
+
−
(
)
2
2
2
2
2
2
c
m
pmc
p
mc
p
p
c
m
=
+
θ
−
+
−
cos
'
(
)
θ
−
+
=
cos
'
1
1
mc
p
p
p
(
)
θ
−
=
λ
−
λ
cos
'
1
mc
h
z prawa zachowania energii i pędu przed i po zderzeniu (m – masa spoczynkowa)
2
2
2
4
2
2
c
p
E
c
m
E
e
o
−
=
=
'
λ
ν
h
c
h
p
=
=
e
p
p
p
'
' r
r
r
+
=
energia spoczynkowa i całkowita elektronu
pc
E =
pr
hν
'
pr
e
p'
r
θ
hν
’
przed zderzeniem
po
e
e
Slajd 9
Wyniki doświadczenia
Comptona
przesunięcie comptonowskie
∆λ=λ’-λ zwiększa się wraz ze
wzrostem kąta rozpraszania
obecność wiązki o nie
zmienionej długości fali
wynika z rozproszenia na
elektronach związanych
im większa masa cząstki tym
mniejsze przesunięcie ∆λ
efekt Comptona potwierdza
korpuskularny charakter
światła – fotony obdarzone
energią i pędem
λ
λ’
I
o
długość fali
ϕ=90°
λ
λ’
I
o
długość fali
ϕ=135°
(
)
θ
−
=
λ
−
λ
cos
'
1
mc
h
Slajd 10
Widma emisyjne atomów
pochodzenie dyskretnych linii
spektralnych można wyjaśnić w
oparciu o dwa założenia:
pojęcie fotonu
istnienie poziomów energetycznych
atomu
Slajd 11
Model Bohra
elektrony poruszają się w atomach nie
promieniując energii, po takich orbitach
kołowych, że moment pędu elektronu jest równy
całkowitej wielokrotności stałej
przejścia elektronu z orbity o energii E
n
na
orbitę, gdzie energia wynosi E
m
, towarzyszy
emisja lub absorpcja fotonu o częstości
określonej wzorem
h
n
mvr =
ν
=
−
h
E
E
m
n
n = 1, 2, 3..
h
1913r. – 13 lat przed sformułowaniem
równania Schrodingera
Slajd 12
Widmo atomu wodoru
wzbudzenie atomu – przejście elektronu na
wyższy poziom energetyczny
po czasie 10
-8
s samorzutny powrót do stanu o
niższej energii i emisja fotonu o długości λ
jonizacja atomu – przejście elektronu na
najwyższy poziom energetyczny o zerowej
energii (elektron swobodny)
(energia jonizacji = E
0
)
−
=
−
=
ν
=
λ
2
2
1
1
1
n
m
R
hc
E
E
c
m
n
R – stała Rydberga
c
me
R
o
3
2
3
4
64
h
ε
π
=
E
1
E
2
E
3
E
∞
jonizacja
wzbudzenie
Slajd 13
Serie widmowe
seria Lymana z n na 1
seria Balmera z n na 2
seria Paschena z n na 3
seria Bracketta z n na 4
seria Pfunda z n na 5
Slajd 14
Promieniowanie termiczne
model ciała doskonale czarnego
prawa promieniowania termicznego
prawo Kirchhoffa
prawo Stefana-Boltzmanna
prawo przesunięć Wiena
prawo Rayleigha-Jeansa - klasyczne
prawo Plancka - kwantowe
Jak teoria fotonów wyjaśnia ciągłe widmo
promieniowania emitowanego przez gorące,
nieprzezroczyste ciała?
Slajd 15
Podstawowe definicje
Promieniowaniem termicznym
(zwanym też cieplnym lub
temperaturowym) nazywamy promieniowanie wysyłane przez
ciała ogrzane do pewnej temperatury - jest wynikiem drgań
ładunków elektrycznych
Zdolność emisyjna
ciała e(
ν,T)dν definiujemy jako energią
promieniowania wysyłanego w jednostce czasu z jednostki
powierzchni o temperaturze T, w postaci fal elektromagne-
tycznych o częstościach zawartych w przedziale od
ν do ν + dν.
Zdolność absorpcyjna
, a, określa jaki
ułamek energii padającej na
powierzchnię zostanie pochłonięty.
Zdolność odbicia
, r, określa jaki ułamek
energii padającej zostanie odbity.
(
) (
)
1
=
ν
+
ν
T
r
T
a
,
,
Slajd 16
Ciało doskonale czarne
Promień
świetlny
Powierzchnia
o dużej zdolności
absorpcyjnej
Ciało doskonale czarne
(c.d.cz.) całkowicie
absorbuje promieniowanie termiczne.
a =1 i r =0
Stosunek zdolności emisyjnej do
zdolności absorpcyjnej jest dla
wszystkich powierzchni jednakowy i
równy zdolności emisyjnej c.d.cz.
Prawo Kirchhoffa
:
(
)
(
)
(
)
T
T
a
T
e
,
,
,
ν
ε
=
ν
ν
Ponieważ zawsze a
≤1, więc i e(ν,T) ≤ ε(ν,T), tzn.
zdolność emisyjna każdej powierzchni nie jest większa
od zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego.
Slajd 17
Prawa promieniowania
c.d.cz.
ν
max
1
ν
max
2
Prawo Stefana-Boltzmanna
4
T
E
σ
=
T
b ⋅
=
ν
max
Prawo przesunięć Wiena
(
)
kT
c
T
2
2
2
πν
=
ν
ε ,
Prawo Rayleigha-Jeansa
Stała Stefana-Boltzmanna
σ = 5.67×10
–8
Wm
–2
K
–4
Stała Wiena
b = 5.877×10
10
s
–1
K
–1
katastrofa
nadfioletowa
Slajd 18
Prawo Plancka
Hipoteza Plancka: elektryczny oscylator harmoniczny
stanowiący model elementarnego źródła promieniowania, w
procesie emisji promieniowania może tracić energię tylko
porcjami, czyli kwantami
∆E, o wartości proporcjonalnej do
częstości
ν jego drgań własnych.
ν
=
∆
h
E
gdzie stała Plancka h = 6.626
×10
–34
Js
zdolność emisyjna c.d.cz. jest funkcją częstości i temperatury
(
)
(
)
1
1
2
2
3
−
ν
ν
π
=
ν
ε
kT
h
c
h
T
/
exp
,
i pozostaje w bardzo dobrej zgodności z doświadczeniem
Slajd 19
Wnioski
Postulat Plancka
(energia nie może być
wypromieniowana w sposób ciągły), doprowadził
do teoretycznego wyjaśnienia promieniowania
ciała doskonale czarnego.
Z prawa Plancka wynika prawo Stefana-
Boltzmanna i prawo przesunięć Wiena.
Porcje energii promienistej emitowanej przez
ciało wynoszące h
ν
zostały nazwane kwantami
lub fotonami.
Hipoteza Plancka
dała początek fizyce
kwantowej, a stała h występuje obecnie w wielu
równaniach fizyki atomowej, jądrowej i ciała
stałego.
(
)
ν
ν
ε
d
T
E
∫
∞
=
0
,
(
)
0
=
∂
∂
ν
ν
ε
T
,
Slajd 20
Jak światło może być
jednocześnie falą i cząstką
opisy światła: falowy i korpuskularny
są uzupełniające się
potrzeba obu tych opisów do
pełnego modelu świata, ale do
określenia konkretnego zjawiska
wystarczy tylko jeden z tych modeli
dlatego mówimy o dualizmie
korpuskularno-falowym światła
Slajd 21
Falowa natura cząstek
Promień świetlny jest falą,
ale energię i pęd przekazuje
materii w postaci fotonów.
Dlaczego innych cząstek np.
elektronów nie traktować jako
fal materii ?
Slajd 22
Hipoteza de Broglie’a
W 1924 r. Louis de Broglie przypisał elektronom o pędzie p
długość fali
λ
– długość fali de Broglie’a
p
h
=
λ
Słuszność hipotezy de Broglie’a została potwierdzona w 1927 r.
przez Davissona i Germera, którzy wykazali, że wiązka
elektronów ulega dyfrakcji tworząc typowy obraz interferencyjny
Promieniowanie i materia wykazują dwoistą falowo-korpuskularną
naturę – nazywamy to dualizmem korpuskularno-falowym
m
s
m
kg
s
J
p
h
27
6
34
10
6
6
1
10
1
0
10
63
6
−
−
−
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
,
,
,
λ
dla pyłku unoszonego
przez wiatr
Slajd 23
Dyfrakcja elektronów
mK
h
p
h
2
=
=
λ
Dla elektronów o K=1000eV
λ=4×10
–11
m
θ
= sin
d
p
h
Znając kąt
θ przy którym
obserwuje się pierwsze
maksimum można określić
stałą Plancka
∆D = d sinθ
∆D =λ
θ
=
sin
pd
h
Doświadczenie Davissona - Germera
(dyfrakcja elektronów)
Slajd 24
Fale prawdopodobieństwa
r
1
r
2
A
B
P
1
P
2
Rozkład
klasyczny
Rozkład
obserwowany
Rozkład elektronów na ekranie powinien być
sumą rozkładów dla każdej szczeliny
oddzielnie - obserwujemy obraz
interferencyjny dla dwóch szczelin
Do wyjaśnienia tego paradoksu musimy
stworzyć nowy formalizm matematyczny:
fale materii traktować jako fale
prawdopodobieństwa wytwarzającą na ekranie
obraz „prążków prawdopodobieństwa”
Slajd 25
Funkcja falowa
Formalizm matematyczny za pomocą którego usuwa się te
paradoksy, przypisuje każdej cząstce materialnej funkcję
falową
Ψ (x,y,z,t) będącą funkcją współrzędnych i czasu
Znajdując rozkład natężenia w obrazie dyfrakcyjnym
można określić prawdopodobieństwo, że elektron padnie w
określonym miejscu ekranu
Kwadrat amplitudy funkcji falowej jest proporcjonalny do
gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w
danym elemencie obszaru
Slajd 26
Właściwości funkcji falowej
Prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu
w objętości
dV=dxdydz wynosi
gdzie
warunek unormowania
funkcji falowej
zasada superpozycji
Ψ = Ψ
1
+
Ψ
2
funkcja falowa powinna być ograniczona |
Ψ|<∞
funkcja falowa
Ψ nie stanowi bezpośrednio obserwowanej
wielkości. Fale klasyczne i fale odpowiadające cząstkom
podlegają równaniom matematycznym tego samego typu.
Lecz w przypadku klasycznym amplituda fali jest
bezpośrednio obserwowana, a dla funkcji falowej
Ψ– nie.
1
2
=
Ψ
∫
dV
V
dxdydz
PdV
2
Ψ
=
∗
Ψ
⋅
Ψ
=
Ψ
2
Slajd 27
Postać funkcji falowej
o
o
o
k
h
h
p
π
λ
π
π
2
2
2
=
=
o
o
h
p
λ
=
o
o
k
p
h
=
π
2
o
o
h
=
h
Funkcja falowa cząstki o pędzie p
o
poruszającej się wzdłuż osi x,
odpowiada równaniu fali o długości λ
o
i wektorze falowym k
o
(
)
t
x
k
A
o
ω
−
=
Ψ
cos
Rzeczywista postać funkcji falowej jest niewłaściwa bo istniałyby
punkty, gdzie nie można cząstki zaobserwować. Lepsza zespolona
(
)
t
x
o
k
i
Ae
ω
−
=
Ψ
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
A
Ae
Ae
t
x
k
i
t
x
k
i
o
o
=
=
Ψ
Ψ
=
Ψ
−
−
−
∗
ω
ω
(
)
t
x
k
A
o
ω
−
=
Ψ
2
2
2
cos
Pokazaliśmy, że jeżeli pęd cząstki posiada określoną wartość, to
cząstkę można znaleźć z jednakowym prawdopodobieństwem w
dowolnym punkcie przestrzeni. Inaczej mówiąc,
Z hipotezy de Broglie’a:
jeżeli pęd cząstki
jest dokładnie znany, to nic nie wiemy o jej miejscu położenia.
Slajd 28
Równanie Schrodingera
( )
[
]
Ψ
−
−
=
Ψ
x
U
E
m
dx
d
2
2
2
2
h
stacjonarne, jednowymiarowe
równanie Schrödingera
W sytuacjach stacjonarnych, gdy potencjał nie zmienia się w czasie,
zmienne przestrzenne i czas można rozseparować i zapisać funkcję
falową w postaci:
(
)
(
)
t
i
e
z
y
x
t
z
y
x
ω
−
Ψ
=
Ψ
,
,
,
,
,
Postać przestrzennej funkcji falowej, dla przypadku jednowymia-
rowego, wyznaczamy z równania Schrödingera:
gdzie: m – masa cząstki, E – całkowita energia mechaniczna cząstki,
U(x) – energia potencjalna w danym obszarze
równania Newtona – fale dźwiękowe i fale w strunach
równania Maxwella – fale świetlne
równanie Schrödingera – fale materii (funkcja falowa)
Slajd 29
Równanie Schrodingera dla
cząstki swobodnej
( )
[
]
Ψ
−
−
=
Ψ
x
U
E
m
dx
d
2
2
2
2
h
Ψ
−
=
Ψ
E
m
dx
d
2
2
2
2
h
E
m
k
2
2
h
=
( )
0
=
x
U
Ψ
−
=
Ψ
2
2
2
k
dx
d
( )
ikx
ikx
Be
Ae
x
−
+
=
Ψ
oznaczając
którego rozwiązaniem jest
przyjmując B=0 (cząstka porusza się w kierunku dodatnich x)
(
)
( )
(
)
t
kx
i
t
i
Ae
e
x
t
x
ω
ω
−
−
=
Ψ
=
Ψ ,
funkcją falową cząstki swobodnej jest fala płaska o długości λ
określonej zależnością de Broglie’a
p
h
p
k
=
=
=
h
π
π
λ
2
2
m
p
E
2
2
=
tylko
kinetyczna
h
h
h
p
m
p
m
E
m
k
=
=
=
2
2
2
2
2
2
Slajd 30
Paczki falowe materii
Dla cząstki znajdującej się w t=0 w
określonym obszarze przestrzeni
kwadrat modułu funkcji falowej
przyjmuje postać funkcji Gaussa
( )
(
)
x
ik
x
A
x
o
x
exp
exp
,
σ
−
=
Ψ
2
2
4
0
σ
−
=
Ψ
2
2
2
2
2
x
x
A exp
Ψ
2
Tak zlokalizowana
funkcja nazywana
jest paczką falową
Slajd 31
Superpozycja fal
monochromatycznych
(
)
( )
( )
∫
∞
∞
−
=
−
=
Ψ
dk
ikx
k
B
x
ik
x
o
x
exp
exp
exp
2
2
4
σ
Paczka falowa powstaje w wyniku superpozycji fal o różnych
długościach, którym odpowiadają różne wartości pędu
współczynniki Fouriera
Amplitudy tych fal B(k), zwane
współczynnikami Fouriera,
posiadają również postać funkcji
Gaussa wokół wartości k
o
Pomiędzy funkcją falową
Ψ(x),
a współczynnikami Fouriera B(k)
istnieje ścisły związek
k
B(k)
k
o
Slajd 32
∆k
niemożliwe jest jednoczesne dokładne określenie wartości
współrzędnej i pędu cząstki
Zasada nieoznaczoności
x
p
x
∆
=
∆
h
k
x
∆
=
∆
1
h
≥
∆
∆
x
p
x
B(k)
k
k
o
Re (Ψ)
x
B(k)
k
k
o
Re (Ψ)
x
k
p
x
∆
=
∆
h
∆k
∆x
∆x
gdy
∆ p
x
=0,
to
∆ x = ∞
cząstka
swobodna
czym szerszy zakres k odpowiadający większemu rozrzutowi
∆p
x
, tym
paczka falowa jest przestrzennie węższa (mniejsze
∆x)
Slajd 33
Zasada nieoznaczoności w pociągu
2
λ
=
∆l
t
n
t
l
v
λ
=
=
λ
n
l =
n
v
t
t
l
v
2
2
=
=
∆
=
∆
λ
2
2
λ
n
l
x
=
=
∆
4
λ
v
v
x
=
∆
⋅
∆
4
λ
p
p
x
=
∆
⋅
∆
chcemy zmierzyć prędkość pociągu wiedząc, że każdy wagon ma długość λ
minęło nas n wagonów w ciągu czasu t
pokonana przez pociąg droga wynosi
średnia prędkość
pociągu wynosi
im większy przedział czasu tym pomiar prędkości dokładniejszy, ale maleje
dokładność położenia pociągu w chwili pomiaru
w mechanice kwantowej pociąg to paczka falowa o długości fali λ
rozciągająca się na obszar
l = n
λ
p
h
=
λ
h
≈
=
∆
⋅
∆
4
h
p
x
λ
Slajd 34
Znaczenie zasady
nieoznaczoności Heisenberga
∆t=1/∆ω
∆x=1/∆k
szerokość
paczki
falowej
k
p
h
=
h
=
∆
⋅
∆
p
x
ω
h
=
E
h
=
∆
⋅
∆
t
E
Działanie S można określić z dokładnością stałej Plancka
Zasada nieoznaczoności określa granice możliwości naszych
pomiarów.
Jest jednym z fundamentalnych twierdzeń mechaniki kwantowej:
• wyjaśnia dyfrakcję na szczelinie
• energie cząstek są zawsze większe od zera
• elektron nie spada na jądro atomowe
h
h
=
∆S
Slajd 35
Prędkość grupowa paczki
dk
d
v
g
ω
=
E
=
ω
h
p
k =
h
( )
m
k
2
2
h
h =
ω
m
p
E
2
2
=
m
k
dk
d
h
=
ω
v
m
p
m
k
dk
d
v
g
=
=
=
=
h
ω
v
v
g
=
klasycznie
relatywistycznie
2
2
2
2
c
p
E
E
o
+
=
dp
pc
dE
E
2
2
2
=
v
mc
mv
c
E
p
c
dp
dE
dk
d
v
g
=
=
=
=
=
2
2
2
ω
Paczka falowa przemieszcza się z prędkością równą
prędkości cząstki
- szerokość paczki falowej rośnie proporcjonalnie do t
Slajd 36
Rozpływanie się paczki falowej
t
x
m
x
o
∆
≈
∆
h
( )
t
v
x
g
∆
=
∆
Udowodnimy, że pojedynczej paczce falowej właściwy
jest rozrzut wartości prędkości grupowej
∆v
g
, który
powinien prowadzić do zwiększenia szerokości
∆x.
p
dp
dv
v
g
g
∆
=
∆
∆
≈
∆
o
g
x
m
v
h
1
”Rozpływania się” paczki falowej można uniknąć
umieszczając cząstkę w studni potencjału
swobodny elektron zlokalizowany w chwili początkowej w
obszarze
∆ x
o
= 10
–10
m (typowy rozmiar atomu) po upływie
sekundy będziemy mieć
∆x = 1100 km
Slajd 37
Mechanika kwantowa
dział mechaniki zajmujący się
ruchem mikrocząstek, których
stan opisany jest funkcją falową
będącą rozwiązaniem równania
Schrodingera
Slajd 38
Równanie Schrodingera dla
nieskończonej jamy potencjału
( )
[
]
Ψ
−
−
=
Ψ
x
U
E
m
dx
d
2
2
2
2
h
E
m
k
2
2
h
=
( )
0
=
x
U
Ψ
−
=
Ψ
2
2
2
k
dx
d
( )
ikx
ikx
Be
Ae
x
−
+
=
Ψ
( )
( )
0
0
=
Ψ
=
Ψ
L
0
=
+ B
A
0
=
+
−ikL
ikL
Be
Ae
(
)
0
=
−
−ikL
ikL
e
e
A
( )
0
=
kL
sin
π
= n
kL
2
2
2
2
2mL
n
E
n
h
π
=
( )
=
Ψ
L
x
n
C
x
n
π
sin
0
L
U=0
U=∞
warunki brzegowe
E
1
E
2
E
3
U=∞
n=1,2,3...
Ai
C
2
=
wartości energii E
n
nazywamy wartościami własnymi
odpowiadające im funkcje falowe Ψ
n
– funkcjami
własnymi
Slajd 39
Wnioski
energia jest skwantowana, występują dyskretne wartości
(poziomy) energii (n – liczba kwantowa)
cząstka nie może posiadać energii zerowej – wynika z
zasady nieoznaczoności
stałą C wyznaczamy z warunku unormowania
dla obiektów klasycznych poszczególne poziomy są tak
bliskie, że nierozróżnialne
L
x =
∆
L
p h
≥
∆
0
2
2
>
=
m
p
E
h
≥
∆
∆
p
x
1
0
0
2
2
=
=
Ψ
⋅
Ψ
∫
∫
dx
x
L
n
C
dx
L
L
π
sin
*
2
0
2
L
dx
x
L
n
L
=
∫
π
sin
1
2
2
=
L
C
L
C
2
=
( )
=
Ψ
x
L
n
L
x
n
π
sin
2
Slajd 40
Elektron w skończonej
studni potencjału
studnia potencjału o głębokości U
o
( )
[
]
Ψ
−
−
=
Ψ
x
U
E
m
dx
d
2
2
2
2
h
równanie
Schrodingera
rozwiązujemy dla
trzech obszarów
wyniki zbliżone jak dla nieskończonej studni, lecz:
•fale materii wnikają w ściany studni
•energie dla każdego stanu są mniejsze niż w ∞
•elektron o energii większej od U
0
nie jest
zlokalizowany, jego energia nie jest skwantowana
Slajd 41
Bariera
potencjału
( )
=
0
>
x
dla
0
<
x
dla
o
U
x
U
0
0
2
1
2
2
1
2
=
Ψ
+
Ψ
E
m
dx
d
h
( )
x
ik
x
ik
e
B
e
A
x
1
1
1
1
1
−
+
=
Ψ
E
m
k
2
1
2
h
=
(
)
0
2
2
2
2
2
2
=
Ψ
−
+
Ψ
o
U
E
m
dx
d
h
( )
x
ik
x
ik
e
B
e
A
x
2
2
2
2
2
−
+
=
Ψ
(
)
o
U
E
m
k
−
=
2
2
2
h
2
1
1
A
B
A
=
+
0
2
0
1
=
=
Ψ
=
Ψ
x
x
dx
d
dx
d
E>U
o
( )
( )
0
0
2
1
Ψ
=
Ψ
(
)
2
2
1
1
1
A
k
B
A
k
=
−
ruch cząstek w obszarze w którym bariera potencjału zmienia się skokowo
1
2
U(x)
U=0
U=U
0
U
0
x
0
1
2
z warunków
brzegowych
dla x = 0
2
1
2
1
1
1
k
k
k
k
A
B
+
−
=
2
1
1
1
2
2
k
k
k
A
A
+
=
B
2
= 0, bo nie
ma fali odbitej
Slajd 42
Współczynnik transmisji T
i odbicia R
x
ik
x
ik
e
k
k
k
k
A
e
A
1
2
1
2
1
1
1
1
1
−
+
−
+
=
Ψ
x
ik
e
k
k
k
A
2
2
1
1
1
2
2
+
=
Ψ
2
1
1
2
2
2
A
v
A
v
T
−
=
m
k
m
p
v
1
1
1
h
=
=
m
k
m
p
v
2
2
2
h
=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
1
4
4
2
E
U
E
E
U
E
k
k
k
k
k
k
k
k
k
T
o
o
−
+
−
=
+
=
+
=
współczynnik transmisji to gęstość
strumienia cząstek
przechodzących do padających,
odbicia to odbitych do padających
1
=
+ T
R
podejście falowe – fala świetlna odbija się od granicy dwóch ośrodków
klasycznie – niemożliwe, cząstka nie odbije się lecąc nad siatką
Slajd 43
(
)
0
2
2
2
2
2
2
=
Ψ
−
−
Ψ
E
U
m
dx
d
o
h
( )
x
x
e
B
e
A
x
χ
χ
−
+
=
Ψ
2
2
2
(
)
E
U
m
o
−
=
χ
2
2
h
Z warunku ograniczoności
Ψ
2
wynika A
2
= 0
1
1
1
1
A
i
k
i
k
B
χ
+
χ
−
−
=
1
1
1
2
2
A
i
k
k
B
χ
+
=
1
1
1
1
1
=
=
*
*
A
A
B
B
R
fala wchodząca do obszaru drugiego jest wykładniczo tłumiona i
gęstość prawdopodobieństwa jest proporcjonalna do
exp(–2
χ x)
Dla E<U
o
w 2
tj. dla x>0
całkowite odbicie
Slajd 44
Bariera potencjału o
skończonej szerokości
1
2
U(x)
U=0
U=U
0
U
0
x
0
3
U=0
L
( )
=
L
>
x
dla
L
<
x
<
0
dla
0
<
x
dla
0
0
o
U
x
U
0
2
2
2
2
=
Ψ
+
Ψ
E
m
dx
d
h
(
)
0
2
2
2
2
=
Ψ
−
−
Ψ
E
U
m
dx
d
o
h
ikx
ikx
e
B
e
A
−
+
=
Ψ
1
1
1
x
x
e
B
e
A
χ
−
χ
+
=
Ψ
2
2
2
ikx
e
A
3
3
=
Ψ
E
m
k
2
2
h
=
(
)
E
U
m
o
−
=
χ
2
2
h
∗
∗
∗
∗
=
=
1
1
3
3
1
1
3
3
1
3
A
A
A
A
A
A
A
A
v
v
T
L
e
T
χ
2
−
≈
Dla obszarów 1 i 3
Współczynnik transmisji bariery jest równy w przybliżeniu
ze względu na wykładniczą postać wartość T jest bardzo czuła na trzy zmienne:
masę cząstki m, szerokość bariery L i różnicę energii U
o
-E
Dla obszaru 2
(
)
E
U
m
L
o
e
T
−
−
≈
2
2
h
Slajd 45
Schemat obliczeń
E
m
k
2
2
h
=
(
)
E
U
m
o
−
=
χ
2
2
h
2
2
1
1
B
A
B
A
+
=
+
(
)
(
)
2
2
1
1
B
A
B
A
ik
−
χ
=
−
ikl
l
l
e
A
e
B
e
A
3
2
2
=
+
χ
−
χ
(
)
ikl
l
l
e
ikA
e
B
e
A
3
2
2
=
−
χ
χ
−
χ
(
)
(
)
l
l
ikl
e
i
k
e
i
k
ke
i
A
A
χ
−
χ
χ
−
−
χ
+
χ
=
2
2
1
3
4
∗
∗
∗
∗
=
=
1
1
3
3
1
1
3
3
1
3
A
A
A
A
A
A
A
A
v
v
T
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16
2
16
χ
+
−
+
χ
+
χ
=
χ
−
χ
k
e
e
k
k
T
l
l
(
)
l
e
k
k
T
χ
−
χ
+
χ
=
2
2
2
2
2
2
16
0
2
0
1
dx
d
dx
d
Ψ
=
Ψ
( )
( )
0
0
2
1
Ψ
=
Ψ
( )
( )
l
l
3
2
Ψ
=
Ψ
l
l
dx
d
dx
d
3
2
Ψ
=
Ψ
Slajd 46
Efekt tunelowy - przenikanie
cząstki przez barierę potencjału
E
A
1
B
1
A
3
U >E
o
0 l
Ψ(x)
x
prawdopodobieństwo
przejścia przez barierę
potencjału zależy od L i U
o
szybko maleje ze
wzrostem jej szerokości i
wysokości
wg. mechaniki klasycznej
przenikanie przez barierę
jest niemożliwe
energia cząstki, w
odróżnieniu od jamy
potencjału nie jest
skwantowana
(
)
E
U
m
L
o
e
T
−
−
≈
2
2
h
Slajd 47
Przykłady efektu
tunelowego
Dioda tunelowa (efekt tunelowy w złączu
p-n) Nagroda Nobla 1973r
Esaki - tunelowanie w półprzewodnikach
np. diody tunelowe
Giaever - tunelowanie w nadprzewodnikach
Josephson – złącze Josephsona, szybki
przełącznik kwantowy
Skaningowy Mikroskop Tunelowy
Binning i Rohrer Nagroda Nobla 1986r
Slajd 48
Diody
tunelowe
Slajd 49
Oscylator harmoniczny
Oscylator jako model
procesu okresowego
chaniczny
ektromagnetyczny
ający dipol
wiele układów fizycznych można traktować jak oscylatory harmoniczne
me
el
drg
kwantowy
E
Slajd 50
Oscylator klasyczny
Cząstka wykonująca ruch pod
wpływem siły quasisprężystej
x
k
F
r
r
−
=
x
k
F
r
r
−
=
x=0
x
k – stała sprężystości
x
k
F
−
=
)
t
cos(
x
x
kl
o
ϕ
+
ω
=
Energia potencjalna i całkowita
klasycznie energia E może przyjmować dowolne
wartości, w tym również wartość zerową
( )
2
2
2
2
2
x
m
kx
x
U
kl
ω
=
=
m
k
kl
=
ω
x
U
0
x
o
-x
o
2
2
o
kx
E =
Slajd 51
Oscylator kwantowy
Ψ
ω
−
−
=
Ψ
2
2
2
2
2
2
1
2
x
m
E
m
dx
d
kl
h
Rozwiązanie kwantowo-mechaniczne
otrzymujemy z równania Schrodingera przyjmując
Równanie to ma rozwiązanie jeżeli:
m
k
kl
=
ω
kl
n
n
E
ω
−
=
h
2
1
gdzie n=1, 2, 3 ...
( )
2
2
2
x
m
x
U
kl
ω
=
E
1
E
2
E
3
E
4
E
5
E
6
Przykład funkcji falowej dla n=2
Funkcja falowa wnika w
obszar poza amplitudą
drgań, co klasycznie jest
niemożliwe
( )
2
x
Ψ
x
o
-x
o
0
x
klasycznie
Slajd 52
Właściwości oscylatora
kwantowego
Energia oscylatora kwantowego jest skwantowana
Oscylator kwantowy nie może mieć energii równej zero –
każde ciało posiada pewną energię wewnętrzną, nie można
osiągnąć temperatury 0 K
Przy przejściach między sąsiednimi poziomami oscylator
kwantowy emituje kwanty energii (fotony) o częstotliwości
zgodnej z częstotliwością oscylatora klasycznego
Reguły wyboru zezwalają na przejścia jedynie między
sąsiednimi poziomami
∆n=±1
Otrzymane wyniki są zgodne z postulatami Plancka dla
promieniowania ciała doskonale czarnego
kl
n
n
E
ω
−
=
h
2
1
kl
E
E
ω
=
−
h
1
2
Slajd 53
Atom wodoru
teoria klasyczna
a kwantowa
równanie
Schrodingera
liczby kwantowe
Slajd 54
Budowa atomu wodoru
atom wodoru składa się z pojedynczego elektronu
(-e) związanego z jądrem – protonem (+e)
przyciągającą siła elektrostatyczną
rozmiary jądra – 10
-14
m
rozmiary atomu rzędu 10
-10
m
masa protonu = 1836 masy elektronu swobodnego
klasycznie energia elektronu przyjmuje dowolne
wartości – w rzeczywistości jest skwantowana
przy ruchu po orbicie elektron powinien tracić
energię przez promieniowanie i poruszając się po
spirali spaść na jądro – w rzeczywistości energia
się nie zmienia
eksperyment Rutherforda
rok 1911
Slajd 55
Sprzeczności z prawami
fizyki klasycznej
niezrozumiały postulat o dyskretnych
wartościach momentu pędu elektronu
brak emisji energii promieniowania przy
ruchu elektronu po orbicie
nie opadanie elektronów na jądro atomu
trudności przy opisie atomów
wieloeletronowych
Slajd 56
Równanie Schrodingera dla
atomu wodoru
atom wodoru jest swego rodzaju studnią potencjału
(naturalną pułapką) dla elektronu
energia potencjalna oddziaływania elektron-jądro
jest postaci
potencjał ma symetrię sferyczną
więc musimy wprowadzić
sferyczny układ współrzędnych
( )
r
e
r
U
o
πε
−
=
4
2
ϑ
=
ϕ
ϑ
=
ϕ
ϑ
=
cos
sin
sin
cos
sin
r
z
r
y
r
x
4
2
0
2
4
r[Å]
-10
-30
U[eV]
stan
podstawowy
r[Å]
Slajd 57
(
)
Ψ
−
−
=
∂
Ψ
∂
+
∂
Ψ
∂
+
∂
Ψ
∂
U
E
m
z
y
x
2
2
2
2
2
2
2
2
h
Ψ
πε
+
−
=
∂ϕ
Ψ
∂
ϑ
+
∂ϑ
Ψ
∂
ϑ
∂ϑ
∂
ϑ
+
∂
Ψ
∂
∂
∂
r
e
E
m
r
r
r
r
r
o
4
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
h
sin
sin
sin
0
4
2
1
2
2
2
2
=
Ψ
πε
+
+
Ψ
r
e
E
m
dr
d
r
dr
d
r
o
h
(
)
ϕ
ϑ
Ψ
,
,
r
(
)
( ) ( ) ( )
ϕ
Φ
ϑ
Θ
=
ϕ
ϑ
Ψ
r
R
r ,
,
podstawiając tą funkcję do równania Schrodingera otrzymujemy
trzy równania z których każde opisuje zachowanie się funkcji falowej
w zależności od r,
ϑ, ϕ - równanie radialne, biegunowe i azymutalne
Rozpatrzmy najprostszy przypadek, gdy
Ψ jest tylko funkcją r
tzn. żaden kierunek w przestrzeni nie jest wyróżniony – stan s
( )
o
r
r
o
e
r
/
−
Ψ
=
Ψ
Funkcja spełniająca to równanie to:
Równanie Schrodingera dla
przypadku trójwymiarowego i
we współrzędnych sferycznych
Slajd 58
Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w
elemencie objętości
dr
r
dV
2
4
π
=
( )
dr
e
r
dr
r
r
dV
P
o
o
r
r
2
2
2
2
2
4
4
Ψ
π
=
π
Ψ
=
−
/
Fizyczna
interpretacja
wyrażenia na r
o
i E są identyczne jak w modelu Bohra
kwantyzacja wynikiem rozwiązania równania Schrodingera,
a nie postulatem jak u Bohra
r
o
to nie promień orbity, lecz odległość od jądra przy której
prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu jest
największe
przyjęcie klasycznej orbity traci sens
dla rozpatrywanego stanu s moment pędu jest równy zeru
w ogólności moment pędu nie jest równy lecz
osiąga maksimum dla r = r
o
h
n
(
)
h
1
+
=
l
l
L
Slajd 59
Dokładne rozwiązanie
równania Schrodingera
rozwiązaniem równania biegunowego jest funkcja postaci
m
l
=0,±1,± 2..,±l
( )
ϕ
Φ
=
ϕ
Φ
l
im
o
e
rozwiązanie równania radialnego istnieje jeśli energia elektronu
przyjmuje ściśle określone wielkości
2
2
2
2
4
1
32
n
me
n
E
o
⋅
ε
π
−
=
h
( )
r
R
l
n,
n – całkowita liczba dodatnia
rozwiązaniem równania azymutalnego są tzw. wielomiany Legendre’a
( )
(
)
( )
ϑ
=
=
ϑ
=
ϑ
Θ
cos
;
.
cos
0
1
0
0
1 P
P
np
P
l
m
l
l – całkowita liczba dodatnia
Slajd 60
Orbitalny moment pędu
elektronu
z rozwiązania równania kątowego wynika, że
wartość L orbitalnego momentu pędu elektronu
w atomie jest skwantowana
liczba całkowita l to orbitalna liczba kwantowa
rzut momentu pędu na wyróżniony kierunek (z)
jest również skwantowany
liczba m
l
to magnetyczna liczba kwantowa
wektora L nie można w żaden sposób zmierzyć,
możemy jedynie zmierzyć składową tego
wektora wzdłuż danej osi np. określonej przez
pole magnetyczne
(
)
h
1
+
=
l
l
L
l = 0, 1, 2
h
l
z
m
L =
l
m
l
≤
m
l
=0,±1,± 2..,±l
Slajd 61
elektron porusza się po orbicie kołowej
droga przebyta przez elektron
więc jego funkcja falowa jest postaci
z jednoznaczności funkcji falowej
otrzymujemy warunek kwantyzacji L
z
długość orbity równa całkowitej wielokrotności λ,
fale nie wygaszają się – orbita dozwolona
= 6
h
Falowa interpretacja kwantyzacji
momentu pędu elektronu
k
r
L
z
r
p
h
=
=
ϕ
r
s =
( )
ϕ
ϕ
ikr
o
iks
o
e
e
Ψ
=
Ψ
=
Ψ
( )
(
)
π
+
ϕ
Ψ
=
ϕ
Ψ
2
)
(
π
+
ϕ
ϕ
Ψ
=
Ψ
2
ikr
o
ikr
o
e
e
1
2
=
π
ikr
e
l
m
kr =
h
l
z
m
L =
rp
rr
r
L
z
(
)
h
1
+
=
l
l
L
l
m
l
≤
m
l
=0,±1,± 2..,±l
r
m
l
π
λ
2
=
z
Slajd 62
Liczby kwantowe
główna liczba kwantowa
n = 1, 2, 3,...
określa możliwe wartości energii
orbitalna (poboczna) liczba kwantowa l = 0, 1, 2,....n-1
określa momentu pędu (kształt powłoki)
magnetyczna liczba kwantowa
m
l
= -l, -l+1,..,-1, 0, 1,....,l-1,l
określa składowe momentu pędu
dla danej wartości n liczba możliwych l i m
l
, czyli liczba
niezależnych rozwiązań równania Schrodingera
odpowiadająca jednej wartości energii wynosi
(
)
2
1
0
1
2
n
l
n
l
=
+
∑
−
=
stan jest n
2
-krotnie zwyrodniały
Slajd 63
Orbital atomowy
orbital atomowy to funkcja falowa
Ψ opisująca
stan elektronu w atomie zależna od trzech liczb
kwantowych: n, l, m
|
Ψ|
2
dV – określa prawdopodobieństwo
znalezienia się elektronu w elemencie objętości
dV
obszar w którym występuje duże
prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu
nazywa się chmurą elektronową
każdy orbital atomowy jest związany z pewną
symetrią obszaru, w którym znajduje się
elektron
Slajd 64
Pełna funkcja falowa
±1
1
2
2p
0
1
2
2p
0
0
2
2s
0
0
1
1s
funkcje falowe
m
l
l
n
stan
o
r
r
o
e
r
/
/
−
π
=
Ψ
2
3
100
1
1
o
r
r
o
o
e
r
r
r
2
2
3
200
2
1
2
4
1
/
/
−
−
π
=
Ψ
ϑ
π
=
Ψ
−
cos
/
/
o
r
r
o
o
e
r
r
r
2
2
3
210
1
2
4
1
ϕ
ϑ
π
i
r
r
o
o
e
e
r
r
r
o
±
−
=
Ψ
sin
/
/
2
2
3
211
1
8
1
( )
( )
( )
ϕ
ϑ
l
l
l
m
lm
nl
nlm
r
R
Φ
Θ
=
Ψ
orbitale: s, p, d, f, g, ....
l = 0, 1, 2, 3, 4,....
Slajd 65
Normowanie funkcji falowej
o
r
r
Ae
−
=
Ψ
100
1
2
2
2
100
=
=
Ψ
∫
∫
−
dV
e
A
dV
o
r
r /
ϕ
ϑ
ϑ
=
d
d
dr
r
dV
sin
2
1
2
0
0
0
2
2
2
=
ϕ
ϑ
ϑ
∫
∫
∫
π
π
∞
−
d
d
dr
e
r
A
o
r
r
sin
/
( )
3
0
2
2
2
2
o
r
r
r
dr
e
r
o
=
∫
∞
−
/
(
)
1
4
2
2
3
2
=
π
o
r
A
2
3
1
1
/
π
=
o
r
A
o
r
r
o
e
r
/
/
−
π
=
Ψ
2
3
100
1
1
Stałe współczynniki wyznaczamy z warunku unormowania
element objętości we współrzędnych sferycznych
( )
dr
r
p
dr
r
R
dV
P
nl
=
=
2
2
4
π
( )
2
2
4
r
R
r
p
nl
π
=
gęstość prawdopodobieństwa
dla stanu 1s:
dla stanu 1s:
( )
o
r
r
o
e
r
r
r
p
2
3
2
4
−
=
Slajd 66
Pułapki elektronowe
2
2
2
2
2mL
n
E
n
h
π
=
0
L
∞
∞
E
1
E
2
E
3
studnia
potencjału
stan podstawowy
2
2
2
2
4
1
32
n
me
n
E
o
⋅
ε
π
−
=
h
atom wodoru
E
o
kl
n
n
E
ω
−
=
h
2
1
oscylator harmoniczny
E
1
E
2
E
3
E
4
E
5
E
6